P rograma de certificación de Black Belts

1

Programa de certificación de Black Belts

V. Seis Sigma – Medición Parte B

P. Reyes / Abril 2010

2

V. Seis Sigma - MediciónD. Estadística básica

1. Términos básicos2. Teorema del límite central3. Estadística descriptiva

Medidas de tendencia central Medidas de dispersión Funciones de densidad de probabilidad Distribuciones de frecuencia y Funciones acumulativas de distribución

4. Métodos gráficos5. Conclusiones estadísticas válidas

3

V. Seis Sigma - MediciónE. Probabilidad

1. Distribuciones de probabilidad2. Distribuciones de probabilidad discretas

Hipergeométrica, Binomial, Poisson3. Distribución normal4. Distribuciones muestrales

Chi Cuadrada, t de Student, F

5. Otras Distribuciones de probabilidadBivariada, Exponencial, Lognormal, Weibull

4

V. Seis Sigma - MediciónF. Capacidad de procesos

1. Índices de capacidad de procesos2. Índices de desempeño de procesos

3. Capacidad a corto y a largo plazo4. Capacidad de proceso de datos no normales

5. Capacidad de proceso para datos por atributos

6. Capacidad de procesos bajo Seis Sigma

5

V.D Estadística básica

6

V.D Estadística básica1. Términos básicos

2. Teorema del límite central

3. Estadística descriptiva

4. Métodos gráficos

5. Conclusiones estadísticas válidas

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V.D.1 Términos básicos

“La estadística descriptiva nos proporciona métodos para organizar y resumir información, la estadística inferencial se usa para obtener conclusiones a partir de una muestra”

Por ejemplo, sí deseamos saber el promedio de peso de las personas en una población tenemos dos opciones:

Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media.

Pesar solo una porción o subconjunto de la población (muestra). Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, tomándola para pronosticar o Inferir la media de toda la población.

Estadística

9

Población y muestra

Población: Es la colección de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sería un número infinito de mediciones de la característica del proceso bajo estudio.

Muestra: Es una parte o subconjunto representativo de la población, o sea un grupo de mediciones de las características.

10

Estadísticos y parámetros

Estadístico: Es una medición tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relación con una población (media de la muestra, desviación estándar de la muestra se indican con letras latinas X, s, p).

Normalmente es una variable aleatoria y tiene asociada una distribución.

Parámetro: Es el valor verdadero en una población (media, desviación estándar, se indican con letras griegas , , )

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Tipos de datos

Distribución continua Una distribución con un número infinito de puntos de datos (variables) que pueden mostrarse en una escala de medición continua. Por ejemplo: Distribuciones normal, uniforme, exponencial y Webull

Distribución discreta: Una distribución que resulta de datos contables (discretos) con un número finito de valores posibles. Por ejemplo: Distribuciones binomial, Poisson, hipergeométrica.

12

V.D.2 Teorema del límite central

13

Teorema del límite central La distribución de las medias de las muestras

tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribución poblacional de la que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R.

14

Teorema del límite central Por lo anterior la dispersión de las medias es

menor que para los datos individuales

Para las medias muestrales, el error estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de la población como sigue:

XXs n

Aplicación del teorema del límite central

15

16

Teorema del Límite Central La distribución de las medias de las muestras tienden a

distribuirse en forma normal

Por ejemplo los 300 datos (cuyo valor se encuentra entre 1 a 9) pueden estar distribuidos como sigue:

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frec.

Población con media y desviación estándar y cualquier distribución.

Seleccionando muestras de tamaño n y calculando la X-media o promedio en cada una

X-media 1 X-media 2 X-media 3Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias y desviación estándar de las medias de las muestras / n. También

se denomina Error estándar de la media.

Teorema del Límite Central

18

La distribución de las medias de las muestras tienden a distribuirse en forma normal

Tomando de muestras de 10 datos, calculando su promedio y graficando estos promedios se tiene:

0

2

4

6

8

10

3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5

Frec.

Teorema del Límite Central

19

DEFINICIONEs una ayuda gráfica para el control de las variaciones de

los procesos administrativos y de manufactura.

CausaespecialCausas

normales ocomunes

Cartas de Control

20

Variación observada en una Carta de Control

Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con límites de control superior e inferior, diferentes a los límites de especificación.

El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.

El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación.

21

Variación – Causas comunes

Límiteinf. deespecs.

Límitesup. deespecs.

Objetivo

22

Variación – Causas especialesLímiteinf. deespecs.

Límitesup. deespecs.

Objetivo

“Escuche la Voz del Proceso” Región de control, captura la variaciónnatural del proceso

original

Causa Especialidentifcada

El proceso ha cambiado

TIEMPO

Tendencia del proceso

LSC

LIC

Aplicación en la carta de controlMEDIDAS

CALIDAD

24

Corridas 7 puntos consecutivos de un lado de X-media.

Puntos fuera de control 1 punto fuera de los límites de control a 3 sigmas en cualquier dirección (arriba o abajo).

Tendencia ascendente o descendente 7 puntos consecutivos aumentando o disminuyendo.

Adhesión a la media15 puntos consecutivos dentro de la banda de 1 sigma del centro.

Otros2 de 3 puntos fuera de los límites a dos sigma

Patrones Fuera de Control

25

Proceso en Control estadístico

Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 de las medias en la carta de control.

Lo anterior equivale a tener el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control.

Patrón de Carta en Control Estadístico

26

Aplicación en Intervalos de confianza

Intervalo de confianza para la media: A) Sigma conocida y n>30 (n es tamaño de

muestra)

B) Sigma desconocida y n<30, los grados de libertad son gl = n-1.

2

2

X Zn

X tn

27

Aplicación en Intervalos de confianza

Intervalo de confianza para proporciones y varianza: Para proporciones, p es la proporción y n>30

Para la varianza

2

(1 )p pp Zn

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

( 1) ( 1)

n n

n s n s

28

V.D.3 Estadística descriptiva

29

No existen en la naturalezados cosas exactamente iguales,

ni siquiera los gemelos, por tanto la variación es inevitable y es analizada por la Estadística

Estadística Descriptiva

30

Estadística descriptiva La estadística descriptiva incluye:

Medidas de tendencia central

Medidas de dispersión

Funciones de densidad de probabilidad

Distribuciones de frecuencia y

Funciones acumulativas de distribución

31

Estadística descriptiva Medidas de tendencia central

Representan las diferentes formas de caracterizar el valor central de un conjunto de datos

Media muestral poblacional

nxix

nxi

Ejemplo 1: En un equipo de fútbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.

73.11119

nxix

32


Mediana: es el valor medio cuando los datos se arreglan en orden ascendente o descendente, en el caso de n par, la mediana es la media entre los valores intermedios

Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84; como tenemos 11 datos el número es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el número que ocupa la sexta posición en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana

73.1~ x

2

122~

nnX

33


Moda: Valor que más se repite, puede haber más de una

Media acotada (Truncated Mean): Se elimina cierto porcentaje de los valores más altos y bajos de un conjunto dado de datos (tomando números enteros), para los valores restantes se calcula la media.

34


35

Estadística descriptiva

36

Estadística descriptiva Medidas de dispersión:

Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un conjunto de datos

Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0 Su rango es R = 4.0 – 2.0 = 2.0

37


Varianza: es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media (n para población y n-1 para muestra para eliminar el sesgo)

nxxi 2

2 )(

1)( 2

2

nxxis

38


Coeficiente de variación: es igual a la desviación estándar dividida por la media y se expresa en porcentaje

)100(var..

XsCViacióndeeCoeficient

Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviación estándar es 12.14, el CVt:

%05.12)100(7.78

14.12tCV

Por otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviación estándar de 2, el CVs de salarios es:

%20)100(102

sCV

Por tanto la dispersión de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente disímbolos.

Rango: Valor Mayor – Valor menor

Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media )*100%,Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o

tipo. Por ejemplo:

Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación

n s Srel A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250

El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B

Error estándar de la Media: Es la desviación estándar de las medias de las muestras de mediciones, se representa como la desviación estándar de la población entre la raíz de n = número de mediciones por muestra.

Medidas de Dispersión- Rango, CV

40

Estadística descriptiva Función de densidad de probabilidad

El área bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad de la variable aleatoria en el eje x para X<= x

Para distribuciones continuas

Para distribuciones discretas

1)()( xdxf

n

xf0

1)(

41

Estadística descriptiva Función de

densidad de probabilidad

42

Estadística descriptiva Función de distribución acumulada

xtdtfxF )()()(

Función de

densidad

Función dedistribución acumulada

43

V.D.4 Métodos gráficos

44

Métodos gráficos Se incluyen los métodos siguientes:

Diagramas de caja Diagramas de tallo y hojas Diagramas de dispersión

Análisis de patrones y tendencias

Histogramas Distribuciones de probabilidad normales Distribuciones de Weibull

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Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES Cada conjunto de datos ordenado tiene tres cuartiles que lo

dividen en cuatro partes iguales.

El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante.

El segundo cuartil divide a los datos a la mitad similar a la mediana.

El tercer cuartil es el valor debajo del cual se encuentra el 75% de las observaciones.

Los deciles separan un conjunto de datos ordenado en 10 subconjuntos iguales y los percentiles en 100 partes

46

Diagrama de cajaPERCENTILES, DECILES Y QUARTILES La ubicación de un percentil se encuentra en:

Donde:Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenadan es el número de observacionesP es el percentil deseado

100

)1( PnLp

47

Diagrama de caja Por ejemplo para los datos siguientes:

3 10 19 27 34 38 48 56 67 74

4 12 20 29 34 39 48 59 67 74

7 14 21 31 36 43 52 62 69 76

9 15 25 31 37 45 53 63 72 79

10 17 27 34 38 47 56 64 73 80

Diagrama de cajaLa localización del percentil 35 se halla en:

O sea que el percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17 que es 29 y la observación 18 que es 31 o sea L35 = 29 + (0.85)(31-29) = 30.7. Por tanto el 35% de las observaciones están por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7.

De la misma forma los percentiles 25, 50 y 75 proporcionan la localización de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 respectivamente.

Q1: es el número que representa al percentil 25

Q2 o Mediana: es el número que representa al percentil 50

Q3: es el número que representa al percentil 75 (hay 75% de los datos por debajo de este).

Rango o Recorrido intercuartílico: es la diferencia entre Q1 y Q3.

85.17

10035)150(35 L

DEFINICION: Es una ayuda gráfica para ver la variabilidad de los datos.

• Permite identificar la distribución de los datos, muestra la mediana, bases y extremos.

• Mediana = dato intermedio entre un grupo de datos ordenados en forma ascendente

Mediana

Valormínimo

Valormáximo

Primer cuartil Tercer cuartil

Gráficas de caja

50

Métodos gráficos Diagramas de caja

Representan un resumen de los datos. La línea media es la mediana, los lados son el primer y tercer cuartil. El máximo y el mínimo se dibuja como puntos al final de las líneas (bigotes)

51

Métodos gráficos Diagramas de tallo y hojas

El diagrama consiste del agrupamiento de los datos por intervalos de clase, como tallos y los incrementos de datos más pequeños como hojas.

HojasTallos

52

Métodos gráficos Diagramas de dispersión

Es una gráfica de muchos puntos coordenados X-Y que representan la relación entre dos variables. También se denomina carta de correlación. Se puede tomar la variable dependiente para el eje Y y la dependiente en el eje X.

La correlación tiene las siguientes fuentes: Una relación de causa efecto Una relación entre dos causas Una relación entre una causa y dos o más causas

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Métodos gráficos Diagramas de dispersión

Positiva débil Positiva fuerte Sin correlación

Negativa fuerte

Relaciones no lineales

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Métodos gráficos Coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación “r” determina el grado de asociación entre dos variables X y Y

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Métodos gráficos Análisis de correlación

Busca descubrir relaciones, aplicar el sentido común

La línea de “mejor ajuste” es la línea de regresión, sin embargo un análisis visual debiera ser suficiente para identificar si hay o no hay relación

Los diagramas de dispersión deben ser analizados antes de tomar decisiones sobre correlación estadística

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Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo

Tendencia creciente

Tendencia decrecienteCorrida de proceso

Valores anormales Ciclos Variabilidad creciente

57

Métodos gráficos Análisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo Tendencia

creciente

58

Histogramas

59

Métodos gráficos Histogramas

Son gráficas de columnas de frecuencia que muestran una imagen estática del comportamiento del proceso y requieren un mínimo de 50 a 100 puntos

La frecuencia en cada barra o intervalo es el número de puntos que caen dentro de ese intervalo

Un proceso estable muestra un histograma con forma de campana unimodal, es predecible

60

Métodos gráficos Histogramas

Un proceso inestable muestra un histograma que no tiene una forma acampanada. Sin embargo los procesos que siguen una distribución exponencial, lognormal, gamma, beta, Weibull, Poisson, binomial, hipergeométrica, geométrica, etc. existen como procesos estables

Cuando la distribución es acampanada, la variación alrededor de la media es aleatoria, otras variaciones son debidas a causas especiales o asignables.

61

DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de

datos muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.

Permite ver la distribución que tienen los procesos de manufactura y administrativos vs. especificaciones

Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas.

La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o .Un rango de ± 3 cubre el 99.73%.

Métodos gráficos

62

Histograma de Frecuencia

En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una campana.

TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO

MEDICIONES

Media

MEDICIONES

DEFINICION Un Histograma es la organización de un número de datos

muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva.

• Permite ver la distribución de la frecuencia con la que ocurren las cosas en los procesos de manufactura y administrativos.

• La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estándar o , ± 3 cubre el 99.73%.

LSELIE

Histograma de Frecuencia

Las distribuciones pueden variar en:

POSICIÓN AMPLITUD FORMA

… O TENER CUALQUIER COMBINACION

Ejemplos de histogramas:

66

Histogramas con Datos agrupadosEl Histograma es una gráfica de las frecuencias que presenta los diferentes datos o valores de mediciones agrupados en celdas y su frecuencia.

Una tabla de frecuencias lista las categorías o clases de valores con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo:

CLASE FRECUENCIA1-5 76-10 1211-15 1916-20 1621-25 826-30 4

Definiciones - datos agrupadosLímite inferior y superior de clase Son los numeros más pequeños y más grandes de las clases (del ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30)

Marcas de claseSon los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28)

Fronteras de clase Se obtienen al incrementar los límites superiores de clase y al decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la diferencia entre un límite superior de clase y el siguiente límite inferior de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5 y 30.5)

Ancho de claseEs la diferencia entre dos límites de clase inferiores consecutivas(en el ejemplo, es 5).

Construcción del histograma - datos agrupadosPaso 1. Contar los datos (N)Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor)

Paso 3. Seleccionar el número de columnas o celdas del histograma (K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10. También se utiliza el criterio K = Raíz (N)

Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase

Paso 5. Identificar el límite inferior de clase más conveniente y sumarle el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias

Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clasePaso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

Ejemplo: Datos para histogramaDatos:

19 21 25 33 30 27 31 25 35

37 44 43 42 39 43 40 38 37

36 42 41 44 32 45 46 47 45

54 52 50 48 49 47 48 49 47

52 51 50 49 58 59 61 62 63

59 61 66 76 70

Ejemplo: Construcción del histograma

Paso 1. Número de datos N = 50

Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60

Paso 3. Número de celdas K = 6;

Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10

Paso 5. Lím. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94Paso 6. Número de datos: 2 7 14 17 7 2 1

Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5

Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

71

• Accesar el menu de análisis de datos con HERRAMIENTAS, ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS

• Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el rango de los límites superiores de clase en RANGO DE CLASES, indicar GRAFICA, marcar el área de resultados con RANGO DE SALIDA y obtener resultados y gráfica

NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los grupos en forma automática o se le pueden proporcionar los límites de las celdas.

Histograma en Excel

72

Construcción del histograma

02468

1012141618

15-24

25-34

35-44

45-54

55-64

65-75

Frec.

73

Rango: Valor Mayor – Valor menor

Coeficiente de variación: (Desv. Estándar / Media *100%Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o

tipo. Por ejemplo:

Material No. de Media Desviación Coeficiente Observaciones Aritmética Estándar de Variación

n s Srel

A 160 1100 225 0,204 B 150 800 200 0,250

El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B

Otras medidas de Dispersión- Rango, CV

Media - Promedio numérico o centro de gravedad del histograma

Cálculo de la media - datos agrupados

- Usa todos los datos - Le afectan los extremos

Donde, Fi = Frecuencia de cada observaciónxi = Valor de cada marca de clase

Mediana - Es el valor que se encuentra en medio de los datos

Moda - Es el valor que más se repite

n

ii

n

iii

F

XFX

1

1

*

Desviación Estándar - Datos agrupados S es usada cuando los datos corresponden a una muestra de la población

Nota: Cada Xi representa la marca de clase

típicamente es usada si se está considerando a toda la población

NOTA: Para lo cálculos con Excel, se puede utilizar el mismo método que para datos no agrupados, tomando como Xi los valores de las marcas de clase.

1

/**1

2

1

2

n

nXFXFs

n

iii

n

iii

n

nXFXFn

iii

n

iii /**

1

2

1

2

76

Ejercicio de Histogramas

Datos:

6.40 6.39 6.41 6.39 6.40 6.39 6.40 6.37 6.40 6.38

6.42 6.38 6.40 6.38 6.416.40 6.41 6.41 6.43 6.39

6.41 6.35 6.39 6.41 6.436.38 6.40 6.42 6.37 6.40

6.37 6.43 6.43 6.39 6.426.40 6.42 6.39 6.42 6.38

6.42 6.40 6.38 6.45 6.416.39 6.44 6.36 6.44 6.36

77

V.D.5 Conclusiones estadísticas válidas

78

Estadística descriptiva e inferencial

Estudios descriptivos enumerativos : Los datos enumerativos son los que pueden

ser contados.

Para Deming: En un Estudio enumerativo la acción se toma en

el universo. En un estudio analítico la acción será tomada en

un proceso para mejorar su desempeño futuro

79

Obteniendo conclusiones válidas

Obtención de conclusiones estadísticas válidas El objetivo de la estadística inferencial es

obtener conclusiones acerca de las características de la población (parámetros , , ) con base en la información obtenida de muestras (estadísticos X, s, r)

Los pasos de la estadística inferencial son: La inferencia La evaluación de su validez

80


Los pasos de la estadística inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa

Decidir si el problema se evaluará con una o dos colas

Formular una hipótesis nula y la alterna

Seleccionar una distribución de prueba y un valor crítico del estadístico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo)

81


Los pasos de la estadística inferencial son: Calcular el valor del estadístico de prueba con la

información de la muestra

Comparar el valor del estadístico calculado vs su valor crítico y tomar una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula

Comunicar los hallazgos a las partes interesadas

82


Hipótesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha)

La hipótesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada

La hipótesis alterna incluye todas las posibilidades que no están en la nula y se designa con H1 o Ha.

Ho: Ya = Yb Ha: Ya Yb Prueba de dos colas Ho: A B Ha: A<B Prueba de cola

izquierda

83


Estadístico de prueba: Para probar la hipótesis nula sobre un

parámetro poblacional, se debe calcular un estadístico de prueba de la información de la muestra

El estadístico de prueba se compara con un valor crítico apropiado

Se toma una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula

84


Tipos de errores: Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho

siendo verdadera, se denomina como alfa o riesgo del productor

Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo que es falsa, es denominado beta o riesgo del consumidor

Incrementando el tamaño de muestra se reducen alfa y beta. Alfa es normalmente 5%. Alfa y beta son inversamente relativos

85


Estudios enumerativos y analíticos: Los datos enumerativos pueden ser contados.

Las pruebas de hipótesis utilizadas son la Chi cuadrada, binomial y de Poisson.

Deming: en los estudios enumerativos las acciones se toman en el universo.

Deming: en los estudios analíticos se toma acción en un proceso para mejorar su desempeño futuro

86

V.E Probabilidad

V. E Probabilidad1. Conceptos básicos

2. Distribuciones utilizadas normalmente

3. Otras distribuciones

87

88

V.E.1 Conceptos básicos

89

Conceptos básicosIntroducción:Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico).

Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similares • La caída de un cuerpoAleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares.• Tiempo de vida de un componente eléctrico

90

Conceptos relacionados a experimentos aleatorios:

Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la característica (s) de interés observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras mayúsculas. Pueden ser Continuas o Discretas.

Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito.

Evento. Puede ser uno o una combinación de los valores Que toma una variable aleatoria

91

Espacio MuestralConsiste en todos los posibles resultados de un

experimento.Para el lanzamiento de una moneda es (A,S).

92

Probabilidad histórica o frecuentista.

Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado. Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces sucedía el evento A, entonces n/N es un estimación razonable de la proporción de tiempos Que el evento A sucederá en el futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporción como la probabilidad de del evento A.

P EventoAnNN

( ) lim

93

Ejemplo

prob

abilid

ad d

e ca

ras

n0 500 1000

0

.5

1

» en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporción de 0.5005.

Definición Clásica de Probabilidad. La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relación de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

P EventoAFavorable A

Total resultados( )

##

Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta será un numero entre 0 y 1.Ejemplo 1. Se observa si 3 artículos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v).S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral . Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable aleatoria X=# de defectos, la cual toma los valores {0,1,2,3}

95

Conceptos básicos Principios básicos:

La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (éxito)

Un evento simple no puede descomponerse El conjunto de resultados posibles del experimento

se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio

muestra es 1 Si se repite un experimento un gran número de

veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente:

( ) EnP EN

96

Conceptos básicos Eventos compuestos (conjunto de dos o más

eventos): La unión de A o B contiene elementos de A o

de B

La intersección de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B

Leyes de probabilidades1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: P A P A( ) ( ) 1

2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es

P A o B P A P B( ) ( ) ( )

Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes.P A o B P A P B P AyB( ) ( ) ( ) ( )

A las dos ecuaciones se les conoce como Leyes de adición de probabilidad

98

Reglas de la probabilidad• Ley de la Adición

Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:

• Ley de la Multiplicación probabilidad que ambos A y B ocurran es (A y B dependientes)

Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(A|B) = P(A) y

P(AB)P(B)P(A)B)orP(A

A)P(A)|P(BB)P(B)|P(AP(AB)

P(A)P(B)P(AB)

99

Probabilidades de Eventos 1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos

entonces

n

ii

n

ii EPEP

11

)(

Resultados 1. Si A B entonces P(A) P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2…Bn = S entonces

n

iiBEPEP

1

)()(

Permutaciones Definición.

Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutación .

El numero resultante de ordenar n objetos diferentes tomando r a la vez será representado por el símbolo n

rP

Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!!

Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Física (F), Otro de Matemáticas (M). Note Que existen 6 formas de acomodar dichos libros.

{ HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aquí importa el orden

3*2*1=6

101

Diagramas de árbolEn casos simples resultan útiles los diagramas de árbol para enumerar objetos en forma sistemática.Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla.

L2

L3

L4

L1A1

A1

A1

A2

A2

A2

A3

A3

A3

A2A1

A3

12 tratamientos

102

El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es :

n n n n! ( )( )...( )( ) 1 2 2 1

n! se lee como n factorial¿ Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r?En este caso el numero de arreglos resulta ser:

n n n n r n r P

Pn

n r

rn

rn

( )( )...( [ ])( [ ])!

( )!

1 2 2 1

103

Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presión. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, ¿ cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?.10 intensidades (i1,i2,…,i10 ) y 2 aplicaciones.Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),…..

P2

10 10!8!

90 .

104

CombinacionesUna combinación es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinación difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.

!! En este caso no es importante el orden de los objetos !!

Definición. (Combinaciones). El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamaño r de los n objetos. Esto se denota como:

nr

nC

r

105

Cnr

Pr

nr n rr

n rn

!!

!( )!

Teorema 2.

Ejemplo: En un lote de producción 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, ¿ de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?.

Cnr

nr n rr

n

!

!( )! )!100!

10!(100 10

106

V.E.2 Distribuciones de probabilidad

107

Distribuciones usadas por los Black Belts

1. Distribuciones de probabilidad2. Distribuciones de probabilidad discretas

Hipergeométrica, Binomial, Poisson3. Distribución normal4. Distribuciones muestrales

Chi Cuadrada, t de Student, F

5. Otras Distribuciones de probabilidadExponencial, Lognormal, Weibull

108

1. Distribuciones de probabilidad

109

Tipos de variables aleatorias

Tipos de variables aleatorias Discretas Continuas

Variable aleatoria: Es aquella función que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real.Se denotan con letras Mayúsculas: X,Y,Z,etc....

110

Variables aleatorias discretasEs aquella variable que únicamente toma valores susceptibles de contarse.Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al año de un empleado. Note que X toma valores 0,1,2,...,250.

Ejemplo 2: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artículos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de defectos , toma valores 0,1,2,...

111

Distribuciones y funciones de probabilidad

Toda variable aleatoria tiene asociada una función de probabilidades

Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras.

Espacio muestral:{a, as, sa, ss}Y toma valores 0,1,2.

112

Función de probabilidades para Y.

y P(Y=y)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.26

0.31

0.36

0.41

0.46

0.51

pGráfica

Y

P(Y=y)

113

La distribución de probabilidades puede ser una Tabla, una Gráfica o una formula.

Formula para la distribución de probabilidades de la tabla

anterioryy

yyYPyP )5(.)5(.

3)()( 3

114

Requisitos para una distribuciónde probabilidad discreta

)()(

).(.21)(0.1

xXPxf

yP

yP

X

ytoda

En algunas ocasiones la notación usada es:

115

Funciones de distribución acumulativa

La función de distribución de probabilidades acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas hasta un determinado valor de la variable aleatoria.

)()( xXPxFX Esta función tiene propiedades.

0)(1)(

1)(0

xFLimxFLim

xF

x

x

116

Función de distribución acumulativa para Y=#de caras

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.3

0.5

0.7

0.9

F(x)

0 1 2

117

Valor Esperado o Media de una variable aleatoria

discreta

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como o E(X), es X

xx

XX xXxPxxfXE )()()(

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.

118

Calculo de la media para la variable de No. De defectos

X

215.004003.03014.02178.01805.00

)(4

0

x

X XXxP

En este caso note que esta media no toma un valor entero como X

119

0 1 2 3 4x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

prob

Media X

120

Ejercicio: La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1 significa devolución). Con probabilidades dadas por 1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la demanda esperada. X

121

Varianza de una variable aleatoria

Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:

x

XXX xXPxXE )()(])[( 222

Medida de dispersión

122

2147.00)215.04(003.0)215.03(

014.0)215.02(

178.0)215.01(805.0)215.00(

)()(

22

2

22

22

x

XX xXPx

123

La desviación estándar de una variable aleatoria es simplemente la raíz cuadrada de la varianza

2XX

124

2. Distribuciones de probabilidad discretas

125

Distribuciones Discretas Uniforme discreta. La variable aleatoria toma un numero finito de n valores , cada uno con igual probabilidad.

nxXPxf 1)()(

1260 2 4 6 8 1e+001

x

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

prob

Uniforme discreta con n=10

127

121

2)1(

22

n

n

X

X

La media y varianza de la distribución Uniforme discreta son:

Aplicaciones

128

Distribución hipergeométrica Se aplica cuando la muestra (n) es una

porporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N).

El muestreo se hace sin reemplazo P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x

éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:

Nn

DNxn

Dx

CCC

xP)(

)!(!!xnx

nC nx

129

Distribución hipergeométrica La media y la varianza de la distribución

hipergeométrica son:

NnD

112

NnN

ND

NnD

130

Distribución hipergeométricaEjemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se

seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.

N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5

P(x=5) = 0.0183 = 1.83% 0183.0

!10!10!20

!10!5!15

!0!5!5

)5(

P

131

Distribución BinomialEnsayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p

• Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes.

• Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos.

• X toma valores 0,1,2,...,n

132

Distribución binomial Se utiliza para modelar datos discretos y se

aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N).

El muestreo binomial es con reemplazamiento. Es apropiada cuando la proporción defectiva

es mayor o igual a 0.1. La binomial es una aproximación de la

hipergeométrica La distribución normal se paroxima a la

binomial cuando np > 5

133

nxppxn

xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(

La variable aleatoria X tiene una distribución binomial

)1()(

)(2 pnpXV

npXE

X

X

Tiene media y varianza.

134

Distribución de Poisson Se utiliza para modelar datos discretos Se aproxima a la binomial cuando p es igual o

menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np < 5

135

Distribución de Poisson Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

,...1,0!

)(

xx

exfx

pn

pn

136

3. La Distribución Normal

Los primeros industriales frecuentemente se basaban en el conocimiento de limites normales para clasificar artículos o procesos como correctos o de otro modo.

Por ejemplo, el colesterol arriba de 250 mg/dl es ampliamente conocido que incrementa el riesgo de un paro cardiaco. Una determinación precisa - pudiera ser asunto de vida o muerte.

Sin embargo , no todas las variables son normales. Por ejemplo: urea y ph

IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Abraham Simon de Carl Francisde Moivre Laplace Gauss Galton

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es simétrica alrededor de su media.

Es asintotica - la curva se acerca a eje x pero nunca lo toca.

La curva normal es acampanada y tiene un solo pico en toda la distribución.

La media, mediana, y moda de la distribución son las mismas y están localizadas en el pico.

La mitad del área de la curva esta arriba del punto central (pico), y la otra mitad esta abajo.

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL

Teóricamente, la curva se extiende a - infinito

Teóricamente, la curva se extiende a + infinito

Media, mediana, y moda son iguales

Cola Cola

La Normal is simétrica - -

140

141

f t t( ) exp

12

12

2

Distribución de la Función Normal

Función de Densidad de Probabilidad Normal

Distribución Normal

= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

20

3.1 3.9 = 5.0

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

= 5, = 3 = 9, = 6 = 14, = 10

144

La distribución Normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución de probabilidad que tiene media 0 y desviación estándar de 1.

El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar, su número se describe con Z.

Para cada valor Z se asigna una probabilidad o área bajo la curva mostrada en la Tabla de distribución normal

145

Las distribuciones pueden variar en:POSICIÓN AMPLITUD FORMA

… O TENER CUALQUIER COMBINACION

146

x x+s x+2s x+3sx-sx-2sx-3s

X3 2 2 3

Para la población - se incluyen TODOS los datos

Para la muestra

La Distribución Normal

147

z0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3X

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal

La Distribución Normal Estándar

Alrededor de 68 % del area bajo la curva normal está entre más una y menos una desviación estándar de la media. Esto puede ser escrito como: m ± 1s.

Cerca del 95 % del área bajo la normal está entre más y menos 2 desviaciones estándar de la media, m ± 2s.

Prácticamente toda (99.74 %) el área bajo la normal esta entre 3 desviaciones de la media m ± 3s.

AREA BAJO LA CURVA NORMAL

149

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida

Z Area

2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o

DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z

Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

1 2 3123

Entre:

1. 68.26%

2. 95.44%

3. 99.97%

151

68%34% 34%

95%

99.73%

+1s

+2s

+3s

Características de la Distribución Normal

El valor de ZDetermina el número de desviaciones estándar entre algún valor x y la media de la población, mu Donde sigma es la desviación estándar de la población.

En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIÓN, para calcular el valor de Z

z = x -

68%34% 34%

95%68%

99.73%68% 2.356%2.356%

Proceso con media =100y desviación estándar = 10

70 80 90 100 110 120 130

90 110

80 120

70 130

154

Áreas bajo la curva normal

Distribución normal estándar con media = 0 y desviación estándar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s1. Área desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el área requerida

Z Area

2. Un valor de Z específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS, o

DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del área y se obtiene la Z

Cálculos con Excel – Dist. Normal Estándar

Distribución normal, dadas una media y desviación estándar: 1. Área desde menos infinito a X se obtiene como sigue:- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviación Estándar s, VERDADERO y se obtendrá el área requerida

X Area

2. Un valor de X específico para una cierta área (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue:

- Colocarse en una celda vacía- Accesar el menú de funciones con Fx, ESTADÍSTICAS,

DISTR.NORM.INV, dar el valor del área, Media y Desviación Estándar y se obtendrá el valor de la X

Cálculos con Excel – Distr. Normal

1. Identificar la variable de interés.2. Identificar los parámetros de la variable (su

media y desv. estándar).3. ¿Cual es la pregunta área bajo la curva de

probabilidad normal?4. Convertir los valores a la distribución normal

estándar (estandarización Z = (X-Media)/S) .5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal

estándar o por Excel.

Calculo de Probabilidades normales

El agua usada diariamente por persona en México está distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts..

¿Entre que valores cae cerca del 68% el agua usada por una persona en Mexico?

m ± 1s = 20 ± 1(5). Esto es, cerca del 68% de la cantidad usada por persona cae entre 15 lts. y 25 lts..

De manera similar para 95% y 99%, el intervalo será de 10 lts a 30 lts y 5 lts a 35 lts.

Ejemplo

El agua usada diariamente por persona en México es distribuida normalmente con media 20 litros y una desviación de 5 lts. Sea X el uso diario de agua.

Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use menos de 20 lts./dia?

El valor z asociado es z = (20 - 20)/5 = 0. entonces,

P(X < 20) = P(z < 0) = 0.5.

Ejemplo

Que porciento usa entre 20 y 24 lts? El value z asociado con X = 20 es z = 0 y con

X = 24, z = (24 - 20)/5 = 0.8. Entonces, P(20 < X < 24) = P(0 < z < 0.8) =

P(0.8) - P(0) = 0.7881- 0.5 = 0.2881 o 28.81%.

¿Que porciento usa entre 16 y 20 lts?

El valor z1 para X = 16 es z1 = (16 - 20)/5 = -0.8,

y para X = 20, z2 = 0. Entonces, P(16 < X < 20) = P(-0.8 < z < 0) = P(0) - P(-0.8) = 0.5 - 0.2119 = 0.2881 = 28.81%.

Ejemplo

0.8

P(0 < z < 0.8) = 0.2881.

Cual es la probabilidad que una persona seleccionada al azar use mas de 28 lts?

El valor z asociado a X = 28 es

z = (28 - 20)/5 = 1.6. Ahora, P(X > 28) = P(z > 1.6) = 1 - P(z < 1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548.

Ejemplo

P(z > 1.6) =1 - 0.9452=0.0548

Area = 0.9452

1.6 z

• ¿Que porcentaje usa entre 18 y 26 lts?

El valor z asociado con X = 18 es z = (18 - 20)/5 = -0.4, y para X = 26, z = (26 - 20)/5 = 1.2. entonces, P(18 < X < 26)= P(-0.4 < z < 1.2) = F(1.2) - F(-0.4)= 0.8849 - 0.3446 = 0.5403.

Ejemplo

165

El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una distribución aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.

¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?

Ejemplos

¿Que porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?

Z = (x-mu) / sZ = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42

85.3680

-1.42 0

Área bajo la curva normal

0 1

86 8785.36

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?


85.36 87

¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 87 horas?

1.67 = .33 ó 33% de las veces una batería durará más de 87 horas


169

Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. Contestar lo siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.

4. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?

Ejercicios

170

4. Distribuciones muestrales

Distribuciones muestrales1. Introducción a las distribuciones muestrales

2. Distribución Chi cuadrada

3. Distribución t de student

4. Distribución F

171

172

A las distribuciones de los estadísticas muestrales se les llama distribuciones muestrales.

POBLACION

173

Distribuciones Derivadas del muestreo de Poblaciones Normales

Población

Muestra

Aparecen distribuciones muestrales:Normal, Chi-cuadrada, t-student, F

174

Distribución de la Media:

Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se

distribuye normal con media y varianza

nXXX ,...,, 21

),( 2n X

, n/2

)/,( 2 nnX

175

Distribución Chi Cuadrada

Esta distribución se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estándar.

Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadístico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad.

223

22

21 .... nzzzzy

176

Distribución de la varianza.

Repaso de la distribución ji-cuadrada.

La función de densidad de probabilidad con k grados de libertad y la función gama Γ es:

.0,

22

1)( 21

2

2

xex

kxf

xk

k

k=grados de libertad. (1,2,...)

177

K=1 K=5

K=25K=50

Gráficas de la distribución ji-cuadrada

Con k grande ji-cuadrada se hace normal

178

Media y varianza de una ji-cuadrada.E(X)=kV(X)=2k

Calculo de puntos críticos usando las tablas de ji-cuadrada

)( 2,kXP

179

Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface

05.)( 220,05.0 XP

41.31220,05.0

De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20

180

Resultado:

Si es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribución normal .Entonces se

distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad.

Donde S cuadrada es la varianza muestral.

nXXX ,...,, 21

),( 2n 22

)1( Sn

21

22

)1(

nSn

181

Distribución t-student

Si es una muestra aleatoria de una Población (X) con distribución normal . Entonces se distribuye t-student con n-1 grados de libertad. Se utiliza en vez de la distribución normal cuando sigma es desconocida (que la aproxima con n > 100)

nXXX ,...,, 21

),( 2n

)/()( nsX

1)/()( ntnsX

182

),(]12/][2/[

]2/)1[()(2/)1(2

xxkk

kxfk

Función de Distribución t-student

K=1 K=10

K=100

183

Función de Distribución t-student

184

Distribución t de Student La media y la varianza de la distribución t son:

De una muestra aleatoria de n artículos, la probabilidad de que

Caiga entre dos valores especificados es igual al área bajo la distribución de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad

0

3;2

kkk

3;2

kkk

nsxt/

185

Distribución t de StudentEjemplo:

La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498

¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviación estándar es de 8.467.

t = -2.227 y el área es 0.0214

3;2

kkk

227.215/467.850013.495

t

186

Distribución F

Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes

F=(W/u)/(Y/v)

W se distribuye ji-cuadrada con u g.l.Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l.

El uso de esta distribución es para comparar varianzas (Recuerde el análisis de varianza)

187

Distribución F.

),0(

]1][2/[)2/(

/]2/)[()(2/)(

1)2/(2

x

xvuvu

xvuvuxfvk

uu

u=10

v=5

u=20

v=20

Función de densidad de la Distribución F

188

Distribución F.Función de densidad de la Distribución F

189

Distribución F Para determinar la otra cola de la distribución

F se determina con la expresión.

Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1

Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8

F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326

190

Distribución F.Función de densidad de la Distribución F

191

V.E.3 Otras distribuciones de probabilidad

Otras distribuciones de probabilidad

1. Distribución bivariada

2. Distribución exponencial

3. Distribución Lognormal

4. Distribución de Weibull

192

193

Distribución Bivariada La distribución conjunta de dos variables es

llamada una distribución bivariada. El coeficiente de correlación es :

194

Distribución Exponencial Se usa para modelar artículos con una tasa de

falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson.

Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.

La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0 x

x

eexf

1)(

195

Distribución Exponencial Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la

media La función de densidad de la distribución

exponencial

196

Distribución Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de

vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante

Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencial

Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.

Distribución Exponencial

La forma de la exponencial siempre es la misma

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todo los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:


h

@

)(:FALLA DETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etfetR

etF

t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000

198

R(t) = e(-t) (Confiabilidad)

Función de Confiabilidad Exponencial

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

R(t)

= 0.003, MTBF = 333

= 0.002, MTBF = 500

= 0.001, MTBF = 1,000


199

h(t) = 1 MEDIA (Velocidad de Falla)

Función de la Tasa de Falla Exponencial

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

h(t)

= 0.001, MTBF = 1,000

= 0.002, MTBF = 500

= 0.003, MTBF = 333


Note que la tasa de falla tiende a ser una constante para cualquier tiempo. La distribución exponencial es la única que tiene una velocidad de falla constante

200

Distribución Lognormal La transformación más común se hace

tomando el logaritmo natural, pero también se puede hacer con los logaritmos base 2 y base 10.

Y = x1 x2 x3Ln y = ln x1 + ln x2 + ln x3

La función de densidad de probabilidad lognormal es con Y = ln(t): 2

21

21)(

y

yy

y

et

tf

201

Distribución Lognormal La media y la varianza de la distribución

lognormal son las siguientes:

)2/( 2eMedia

)1)((22 )2( eeVar

202

Un tiempo de falla se distribuye según una Lognormal si el logaritmo del tiempo de falla está normalmente distribuido.

La Distribución Lognormal es una distribución sesgada hacia la derecha.

La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuye después.

Distribución Lognormal

203

Si un tiempo t está distribuido Lognormal, t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)


2

21

21)(

y

yy

y

et

tf

2

21

21)(

y

yy

y

eyf

y

TttF

)ln(

)( 50

y

yyyF

)(

2exp

2

50y

yt T

)ln( 50Ty

2

250

1

)exp(

t

t

tyT

y

PDF

CDF

MEDIA

MEDIANA

t y = ln(t)

2

2

1lnt

t

1)exp()exp( 222

50 yyT VARIANZA

(z) es la CDF de la Normal estándar

204

La Distribución de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo muy flexible que puede empíricamente ajustar a muchos tipos de datos de falla.

En su forma de dos parámetros tiene los parámetros sln(t) = sy parámetro de forma, y T50 = la mediana (un parámetro de escala)

Si el tiempo para la falla t, tiene una distribución Lognormal, entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tiene una distribución normal con media my = ln T50 y desviación estándar sy.


205

Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlos así:

Determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datos normales resultantes.

Posteriormente, haga la conversión a tiempo real y a los parámetros lognormales usando y como la forma lognormal y T50 = exp(y como (mediana) el parámetro de escala.


206


Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t<18)

Calculemos los valores que nos permiten usar la tabla normal estándar

Para poder usar las Tablas de la Normal Estándar:P(t<18) = P{Z<[ln(t/ T50)]/ y] =

P{Z<[ln(18/24.7)]/0.159} = P(Z<-1.99) = 0.023

68.242541251

2

2

2

50

t

ttT

02527.02541ln1ln

2

2

22

t

ty

1589.002527.0 y

207

Función de Distribución Lognormal

f tt

t( ) exp

ln( )

12

12

2

donde y son funciones de ln’sFunción de Densidad de Probabilidad Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

f(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1


208

R t f t dt f t d t z dzt t z t

( ) ( ) [ln( )] [ln( )] ( )ln( ) [ln( )]

Función de Distribución Lognormal donde z[ln(t)] = [ln(t)-/]

(z) = normal estandarizada normal pdfFunción de Confiabilidad Lognormal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

R(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1


209

h ( ) ( )( )

t f tR t

Función de Distribución Lognormal

Función Tasa de Falla Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

h(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1


210

Número de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes metálicas, en niveles de tensión mucho menores que sus límites

Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecánicos, especialmente en el caso de uso

La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribución Lognormal

Las variables de peso son frecuentemente bien representadas con una distribución Lognormal

Es una buena distribución para cualquier variable La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de

una proporción o efecto multiplicativo es Lognormal


211

Distribución de Weibull La distribución de Weibull es una de las más

utilizadas en confiabilidad y estadística.

La versión de dos parámetros forma y escala (que representa la vida característica) no incluye el parámetro de localización es cero.

La versión de tres parámetros tiene una parámetro de localización cuando hay un tiempo de falla diferente de cero para la primera falla

212

Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de

Weibull de 3 parámetros es:

Para x es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización

xxxf exp)(

1

213

Distribución de Weibull La función de densidad de probabilidad de

Weibull de 3 parámetros también se puede expresar como:

Para t 0 es el parámetro de forma es el parámetro de escala es el parámetro de localización diferente de cero

También es la vida característica si el parámetro

de localización es cero, de otra forma será +

tytf exp)(

1

214

Distribución de Weibull La media y la varianza de la distribución de

Weibull es:

11

1121 222

215

Distribución de Weibull Efecto del parámetro de forma Beta con Theta

= 100 y Delta = 0

216

Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Theta

217

Distribución de Weibull Efecto del parámetro de escala Delta

218

El Modelo Weibull En muchas aplicaciones de confiabilidad, el

supuesto de tasa de riesgo constante no es apropiado.

Los artículos mecánicos tienen Failure Rate Creciente.

Otros artículos pueden ser Failure Rate Decreciente.

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

h(t)

Failure Rate Constante

Failure RateCrecienteFailure

Rate Decreciente

219

Un modelo que puede representar un amplio espectro de comportamientos es el modelo Weibull.

La densidad del modelo Weibull puede tomar muchas y diferentes formas.

Note que si = 1 entonces se tiene el modelo exponencial como caso particular del modelo Weibull.

1

1

)(

)(

exp)(

)(

tth

tttf

etS t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

f(t)

= 0.5

= 2

= 3

= 1

Modelo Weibull

220

Modelo Weibull El modelo Weibull es

FRC si = 1 FRI si > 1 FRD si < 1

Entonces el parámetro muestra la forma de la función de riesgo.

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

h(t)

= 0.5 = 3

= 1FRC

FRIFRD

221

Modelo Weibull Que es ?

Entonces presenta la escala de h(t).

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2

Time (t)

h(t) = 3 = 2 = 1

222

Modelo Weibull Los momentos de la distribución Weibull son:

11211][][)(

)(][

111)(][

22

22

0

22

0

TETETVar

dttftTE

dtttfTE

0

1 exp dxxxk k

223

El tiempo de vida (sobre horas) de cierto tipo de resorte usado continuamente bajo condiciones de funcionamiento, es sabido que tiene una distribución de Weibull con parámetro de forma 0.00022 y de escala 1.28.

Cuál es el tiempo medio de falla?

Cuál es la probabilidad de que un resorte funcionará por 500 horas?

Cuál es la probabilidad que un resorte que ha funcionado por 200 horas funcione por otras 500 horas?

Modelo Weibull

224

Se tiene un sistema de n componentes. Los componentes son independientes e

idénticamente distribuidos de acuerdo a una distribución Weibull.

Cual es la distribución del tiempo de vida del sistema?

Se sabe que

Entonces

},,min{ 1 nTTT

)},,(min{ 1 tTTPtTP n

Modelo Weibull

225

Distribución Weibull

La distribución de Weibull es un modelo de distribución de vida útil muy flexible, para el caso de 2 parámetros:

1

2

2

1

1

:FALLA DETASA

1121:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

t

ettf

etR

etF

t

t

t

Donde h (etha) es un parámetro de escala (la vida característica) y beta se conoce como el parámetro de forma (pendiente) y G es la función Gamma con G(N)=(N-1)! para N entero

226


1

2

2

1

1

:FALLA DETASA

1121:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

t

ettf

etR

etF

t

t

t

Una forma más general de 3 parámetros de la Weibull incluye un parámetro de tiempo de espera localización ó desplazamiento). Las fórmulas se obtienen reemplazando t por (t-g). No puede ocurrir una falla antes de g horas, el tiempo comienza en g no en 0.

227

Función de Distribución Weibullf t t t( ) exp

1

Función de Densidad de Probabilidad Weibull

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

f(t)

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


228

Funciones de Distribución Weibull R t t( ) exp

Función de Confiabilidad Weibull

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

R(t)

= 0.5 = 1000

= 1.0 = 1000

= 3.4 = 1000


229

Funciones de Distribución Weibull h

( )tt

1

Función Tasa de Falla Weibull

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

h(t)

= 3.4 = 1000

= 1.0 = 1000

= 0.5 = 1000


230

Distribución Weibull La función pdf de la distribución exponencial

modela la característica de vida de los sistemas, la Weibull modela la característica de vida de los componentes y partes

Modela fatiga y ciclos de falla de los sólidos Es el traje correcto para datos de vida

La función de distribución Weibull pdf es una distribución de la confiabilidad de los elementos de una muestra

Muy flexible y puede tomar diferentes formas


231

Distribución Weibull Tiene usted una Distribución Weibull con =2 y

=2, ¿Cuál es la media y la varianza?

2

2 1121varianza

11

m

12 3

Archivo Weibull.xls

232

tiempo

Índi

ce d

e fa

lla

Tiempo de vida útilFallastempranas

Desgaste

decreciente

< 1

constante

= 1

creciente

> 1

< 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantil = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumenta rápidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y envejecimiento

Las tres porciones de la curva de tina de la bañera tienen diferentes índices de falla. Las fallas tempranas se caracterizan por un índice de falla decreciente, la vida útil por un índice de falla constante y el desgaste se caracteriza por un índice de falla creciente. La distribución de Weibull puede modelar matemáticamente estas tres situaciones.


< 1 (Tasa de riesgo decreciente)

• Implica mortalidad infantil

• Si esto ocurre, puede existir: Carga, inspección o prueba inadecuada Problemas de Manufactura Problemas de reparación

• Si un componente sobrevive la mortalidad infantil , la resistencia a fallar mejora con la edad.

= 1 (Tasa de riesgo constante)

• Implica fallas aleatorias(Distribución Exponencial)

• Una parte vieja es tan buena como una nueva

• Si esto ocurre: Mezcla de modos de falla Las fallas pueden deberse a eventos

externos, como:luminosidad o errores humanos

Fundido y removido antes de su desgaste 1 < 4 (Tasa de Riesgo creciente)

• Si esto ocurre La mayoría de los baleros y engranes

fallan Corrosión o Erosión El reemplazo programado puede ser

efectivo en costo- =3.44aprox. Normal, =2Rayleigh

4 (La tasa de riesgo crece rápidamente)

• Implica edad avanzada y rápido desgaste

• Si esto ocurre, sospeche de: Propiedades del material Materiales frágiles como la cerámica Variabilidad pequeña en manufactura o

material

La Distribución Weibull - Interpretación

234

• Cuando = 2.5 la Weibull se aproxima a la distribución Lognormal(estas distribuciones son tan cercanas que se requieren tamaños de muestra mayores a 50 para distinguirlas).

• Cuando se modela el tiempo que se necesita para que ocurran reacciones químicas, se ha mostrado que la distribución Lognormal usualmente proporciona un mejor ajuste que la Weibull.

• Cuando = 5 la Weibull se aproxima a una Normal puntiaguda.


235

Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de falla observadas que no pueden modelarse adecuadamente mediante la Weibull. Algunos ejemplos son.

1.La resistencia a la ruptura de componentes o el esfuerzo requerido para la fatiga de metales.

2.El tiempo de falla de componentes electrónicos.

3.El tiempo de falla para artículos que se desgastan, tales como las llantas de un automóvil.

4.Sistemas que fallan cuando falla el componente más débil del sistema(la distribución Weibull representa una distribución de valor extremo).


236

• ¿Qué pasa en una distribución Weibull si el tiempo tiene el valor de la vida característica, t = ?


6321.0)(1)(

3678.0exp)(

t si

exp)(

1

tRtF

etR

ttR

Al llegar al tiempo de vida igual a la vida característica el 63.2% de los elementos habrá fallado. Este hecho se usa en las gráficas para identificar el valor de h (eta)

Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial, recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuando b = 1.

237

V.F Capacidad de procesos

238

V.F Capacidad de procesos1. Índices de capacidad de procesos2. Índices de desempeño de procesos

3. Capacidad a corto y a largo plazo4. Capacidad de proceso de datos no normales

5. Capacidad de proceso para datos por atributos

6. Capacidad de procesos bajo Seis Sigma

239

V.F.1 Índices de capacidad del proceso

Nigel´s Trucking Co.

Teoría del camión y el túnel• El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación.• Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de laespecificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Siel chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.

Ancho 9´

El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado

241

Objetivos de la capacidad del proceso

1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones

2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones

3. Especificar requerimientos de desempeño para el equipo nuevo

4. Seleccionar proveedores

5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura

6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias

242

Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad La capacidad del proceso es un patrón

predecible de comportamiento estadístico estable donde las causas de variación se comparan con las especificaciones.

243

_Xxi

s

Z

LIEEspecificación inferior

LSEEspecificación superior

p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones

Análisis de la capacidad de proceso – Estudios de capacidad

244

¿Cómo vamos a mejorar esto?

Podemos reducir la desviación estándar...

Podemos cambiar la media...

O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas

Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo,asegúrarse que se mantenga

245

Procedimiento1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio

2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso

3. Seleccionar un operador entrenado

4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)

5. Cuidadosamente colectar la información

6. Construir un histograma de frecuencia con los datos

7. Calcular la media y desviación estándar del proceso

246

Objetivos: Establecer un estado de control sobre el

proceso de manufactura mantenerlo en el tiempo.

Al comparar el proceso vs los límites de especificación pueden ocurrir los siguientes eventos: No hacer nada Cambiar las especificaciones Centrar el proceso+ Reducir la variabilidad Aceptar las pérdidas


247

Identificación de características: Deben ser indicativas de un factor clave en la

calidad del producto o proceso

Debería ser posible ajustar el valor de la característica como factor de control

Las condiciones de operación que afecten la característica medida deben ser identificadas y controladas

El PPAP indica la evaluación una inicial de la capacidad


248

La desviación estándar del proceso cuando se encuentra en control se determina como sigue con base en una carta de control X-R siempre que esté bajo control estadístico:

Desv. Est. st

(Within)=

Rango medio

Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R

D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2D2= 2.326 para carta X-R con n=5

Estimación de la desviación estándar

con el proceso normal o en control

249

Límites de tolerancia natural del proceso

LTNS = Media + 3*sigma

LTNI = Media – 3*sigma

Si los límites de especificación son: LIE y LSE

El Cp = (LSE – LIE) / (LTNS – LTNI) debe ser mayor a 1

250

Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:

Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st

LSE - Promedio del proceso

Desviación Estándar - st

La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:

P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)

Zs =

Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)

Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva

251

El índice de capacidad potencial del Proceso (Cp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.

Cp = ToleranciaVariación del proceso

=LSE - LIE

6 Desviaciones Estándar - st

La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.

CR = Rango del procesoTolerancia

= 6 desviaciones estándar - stLSE - LIE

Índices de Capacidad Potencial del proceso en control – Corto

plazo

Otro índice que toma en cuenta el centrado del proceso vsMedia de Especificaciones M es:

22 )(6 MX

LIELSECpm

252

Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.

Con límites bilaterales da una indicación del centrado.

Es el menor de:

Cpk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones Est. - st y

Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - st

Índice de capacidad real del proceso

en control estadístico – corto plazo

253

Cálculo de la capacidad del proceso

Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6 st

Debe ser 1.33, si está entre 1 – 1.33 requiere mucho control, <1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Habilidad o capacidad real Cpk = Menor | ZI y ZS | / 3El Cpk debe ser 1.33 para que elproceso cumpla especificaciones, entre 1 y 1.33 requiere control, <1 inac.

254

Tasa de falla vs Cp

255

Tasa de capacidad

Tasa de capacidad l Cp = 6 st/ (LSE - LIE )

Debe ser <= 0.75 si está entre 0.75 y 1 requiere mucho control, >1 inac.para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Índice Cpm basado en el índice de Taguchi, equivale al Cp tomando en cuenta el centrado:T = valor objetivo

256

Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas siguientes:

Zi = LIE - promedio del procesoDesviación Estándar - st

LSE - Promedio del proceso

Desviación Estándar - st

La fracción defectiva se calcula con la distribución normal estándar:

P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z)

Zs =

Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs)

Capacidad del procesoZ’s y P(Z’s) Fracción defectiva

257

Capacidad de proceso a partir de Histogramas y Distribución

normal

258

EjemploSe tomaron los datos siguientes:

265 205 263 307 220 268 260 234 299197 286 274 243 231 267 281 265 214346 317 242 258 276 300 208 187 264280 242 260 321 228 250 299 258 267265 254 281 294 223 260 308 235 283200 235 246 328 296 276 264 269 235221 176 248 263 231 334 280 265 272265 262 271 245 301 280 274 253 287261 248 260 274 337 250 278 254 274278 250 265 270 298 257 210 280 269215 318 271 293 277 290 283 258 275251

259

Ejemplo (cont…)Agrupando los datos en celdas se tiene:

Intervalo Marca Frecuencia Frecuencia de clase de clase Frecuencia Relativa Absoluta170 - 189 179.5 2 0.02 0.02190 - 209 199.5 4 0.04 0.06210-229 219.5 7 0.07 0.13230-249 239.5 13 0.13 0.26250-269 259.5 32 0.32 0.58270-289 279.5 24 0.24 0.82290-309 299.5 11 0.11 0.93310-329 319.5 4 0.04 0.97330-349 339.5 3 0.03 1.00 .

260

Ejemplo (cont…)

El histograma es el siguiente (se observa con forma normal):

05

101520253035

170-189

210-229

250-269

290-309

330-349

Frec.

261

Ejemplo (cont…)

Calculando la media y la desviación estándar se tiene:

X-media = 264.06 s = 32.02

La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330

Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hábil el proceso

Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02

Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones

262

EjercicioCalcular la capacidad del proceso con la distribución de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580:

Intervalo Frecuencia Frecuenciade clase Marca de clase Frecuencia Relativa Absoluta .

531 - 535 533 6536 - 540 538 8541 - 545 543 12546 - 550 548 13551 - 555 553 20556 - 560 558 19561 - 565 563 13566 - 570 568 11571 - 575 573 8

263

Ejemplo de capacidad de proceso

13.612.812.011.210.49.6

LSL USLProcess Data

Sample N 50StDev(Within) 0.85577StDev(Overall) 0.80259

LSL 9.00000Target *USL 14.00000Sample Mean 11.74400

Potential (Within) Capability

CCpk 0.97Overall Capability

Pp 1.04PPL 1.14PPU 0.94Ppk

Cp

0.94Cpm *

0.97CPL 1.07CPU 0.88Cpk 0.88

Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 0.00PPM Total 0.00

Exp. Within PerformancePPM < LSL 671.85PPM > USL 4191.66PPM Total 4863.51

Exp. Overall PerformancePPM < LSL 314.35PPM > USL 2470.24PPM Total 2784.59

WithinOverall

Process Capability of Viscosidad

264

Interpretación de salida Minitab

Desviación estándar “Within” se determina con R / d2, se usa para determinar los índices de capacidad a corto plazo Cp, Cpk y PPM “Within”

Desviación estándar “Overall” det. Con la desviación estándar de los datos S/C4, donde C4=4(n–1)/(4n-3)), se usa para determinar los índices de Desempeño Pp, Ppk y PPM “Overall”

El “Observed Perfomance” se determina comparando los datos de la muestra con las especificaciones

265

Capacidad a partir de cartas de control

266

EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOSDONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON TOTALMENTE INESPERADASTENEMOSUN PROCESO INESTABLE o “IMPREDECIBLE”. ?

? ? ? ?? ?

267

Bases del CEP

SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”. LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO

Predicción

Tiempo

268

Control y Capacidad de Proceso Control de Proceso:

Cuando la única fuente de variación es normal o de causa común, se dice que el proceso esta operando en “CONTROL”.

Capacidad de Proceso:

Medición estadística de las variaciones de causa común que son demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando la causa común de variación cae dentro de las especificacionesdel cliente. La capacidad no se puede determinar a menos que el proceso se encuentre en Control y Estable.

269

Proceso en Control Estadístico La distribución de la mayoría de las características medidas forman una curva en forma de campana o normal, si no hay causas especiales presentes, que alteren la normalidad . ¿cuales son las causas comunes?|

Distribucióndel Proceso

Area entre 0 y 1s -Probabilidad de Ocurrencia

_ x= media s= sigma; es la desviación estándar; medida de la variación del proceso.14 % 14 %

2% 2%-3s -2s -1s x +1s +2s 3s

99.73%

34% 34%

x

270

Ejemplo de carta de control X-R

Sample

Sam

ple

Mea

n

18161412108642

90

80

70

60

__X=72.69

UCL=86.84

LCL=58.53

Sample

Sam

ple

Rang

e

18161412108642

48

36

24

12

0

_R=24.54

UCL=51.89

LCL=0

Xbar-R Chart of Pulse1

271

Desviación estándar: Si el proceso sigue una distribución normal y

está en control estadístico, entonces la desviación estándar puede ser estimada de:

Para procesos nuevos, se puede estimar la capacidad del proceso de una producción piloto

Estudios de capacidad

2dR

R

272

Desviación Estándar del proceso

Donde, = Desviación estándar de la poblaciónd2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - RC4 = Idem al anterior para una carta X - S

NOTA: En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio= Suma rangos / (n -1)

= R o = S d2 c4

273

Capacidad de procesoCuando las causas comunes son la única variación:

Cp El índice de capacidad potencial del proceso compara la amplitud del proceso con la amplitud especificada. Cp = (LSE - LIE) / 6

Cpk El índice de capacidad real del proceso compara la media real con el límite de especificaciones más cercano (LE) a esta.

Cpk = LE – Xmedia Cpk = menor |Z1 ; Z2| / 3 3

274

Ejemplo (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

= X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23

[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones

275

Ejemplo (carta X - S)

De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

Xmedia de medias = 100 Smedio = 1.05

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

= X media de medias = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 = 1.117

[ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ]Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105. El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984por tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones

276

Ejercicios 1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46):

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):

Xmedia de medias = 20 Smedio = 1.5

277

V.F.2 Índices de desempeño del proceso

278

Se toman todos los datos del proceso históricos, no importa que el proceso no esté en control o no sea normal.

Desv. Est. lt(Overall)

=

Estimación de la desviación estándar

con el proceso a largo plazo

44

1

2

)(

34)1(4

1

)(

CdatosDesvest

CS

nnn

XXin

i

lt

279

El índice de desempeño potencial del Proceso (Pp) mide la variación del proceso en relación con el rango de Especificación.

Pp = ToleranciaVariación del proceso

=LSE - LIE

6 Desviaciones Estándar - lt

La relación de capacidad (CR) es la inversa del cálculo de Cp. Este índice le indica que porcentaje de la especificación está siendo usado por la variación del proceso.

CR = Rango del procesoTolerancia

= 6 desviaciones Est. - ltLSE - LIE

Índices de desempeño Potencial del proceso – Largo plazo

280

Ppk es una medida del desempeño real del proceso en función de la posición de la media del proceso (X) en relación con con los límites de especificación.

Con límites bilaterales da una indicación del centrado.

Es el menor de:

Ppk = LSE - promedio del proceso3 desviaciones est. - lt y

Promedio del proceso - LIE3 desviaciones Estándar - lt

Índice de desempeño real del proceso – largo plazo

281

Cálculo del desempeño del proceso a lago plazo

Índice de desempeño potencial Pp = (LSE - LIE ) / 6 lt

Debe ser 1 de preferencia >1.33para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE)

Índice de desempeño real Ppk = Menor | ZI y ZS | / 3El Ppk debe ser 1 para que elproceso cumpla especificacionesde preferencia > 1.33

282

IIIF.3 Capacidad a corto y a largo plazo

283

Corto y largo plazos Corto plazo:

Es un periodo corto de tiempo en el cual no hay cambios significativos en el proceso en relación a las 6M’s (personal, materiales, métodos, medio ambiente, mediciones, máquinas)

Largo Plazo Es el periodo de tiempo en el cual ya han

ocurrido todos los cambios posibles en el proceso, se trata de información histórica

284

Carta de corridas cortas Se puede utilizar una carta X-R modificada

para corridas cortas, con base en subgrupos de 3 a 10 piezas.

Inicialmente se utilizan A2 y D4 para calcular los límites de control que se modifican al tomar más puntos

El Cpk calcualdo de esta forma se considera preliminar

Corto y largo plazos Los índices de capacidad del proceso Cp y Cpk

se consideran a corto plazo, cuando no se presentan cambios en el proceso (en las 6 M’s)

Los índices de desempeño Pp y Ppk se consideran a largo plazo con datos históricos cuando ya han sucedido todos los cambios en el proceso

285

286

V.F.4 Análisis de la Capacidad de procesos no normales

287

Procesos no normales Los datos no siempre se ajustan a la

distribución normal. Se tienen dos estrategias para transformar los

datos no normales para lograr un comportamiento normal, la de Box Cox y Johnson

288

Transformación de Box Cox Minitab encuentra una transformación óptima

(W = Y**Lamda) Está limitada a datos positivos . Asume que los

datos están en subgrupos para permitir un análisis “dentro del subgrupo”

La transformación de potencia de Box-Cox dada por:

0;1)(

2

xx

0;)ln()( x

289

Procesos no normales Dadas las observaciones X1, X2, X3,….., Xn,

seleccionar la potencia que maximice el logaritmo de la función de máxima verosimilitud

Con la media aritmética de los datos transformados dada por:

n

ii

n

i

i xnxxnxf

11

2

)ln()1())()((

ln2

)(

n

iixn

x1

)(1)(

290

Capacidad de procesos no normales transformando datos

con Box - Cox Con archivo de Minitab TILES.MTW, lamda =

0.5

Lambda

StDe

v

543210-1-2

20

15

10

5

0

Lower CL Upper CL

Limit

Lambda

0.500000

(using 95.0% confidence)Estimate 0.345504Lower CL 0.052120Upper CL 0.642093Best Value

Box-Cox Plot of Warping

291

Capacidad de procesos no normales transformando datos

con Box - Cox Con la raíz cuadrada de los datos y de los límites de

especificaciones se tiene:

2.82.42.01.61.20.80.40.0

LSL USLProcess Data

Sample N 100StDev(Within) 0.51337StDev(Overall) 0.53934


Potential (Within) Capability

CCpk 0.92Overall Capability

Pp 0.87PPL 1.00PPU 0.74Ppk

Cp

0.74Cpm *

0.92CPL 1.05CPU 0.78Cpk 0.78

Observed PerformancePPM < LSL 0.00PPM > USL 20000.00PPM Total 20000.00

Exp. Within PerformancePPM < LSL 781.08PPM > USL 9472.66PPM Total 10253.74


WithinOverall

Process Capability of Transf

292

Transformación de Johnson

Minitab selecciona la función de transformación de tres tipos de funciones (SB, SL y SU), para tener muchas opciones

Transformación de Johnson Con archivo Tiles.mtw

293

1050-5

99.999

90

50

101

0.1

Perc

ent

N 100AD 1.028P-Value 0.010

420-2

99.99990

50

101

0.1

Perc

ent

N 100AD 0.231P-Value 0.799

1.21.00.80.60.40.2

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Z Value

P-Va

lue

for

AD

test

0.6

Ref P

P-Value for Best Fit: 0.798895Z for Best Fit: 0.6Best Transformation Type: SBTransformation function equals0.882908 + 0.987049 * Ln( ( X + 0.132606 ) / ( 9.31101 - X ) )

Probability Plot for Original Data

Probability Plot for Transformed Data

Select a Transformation

(P-Value = 0.005 means <= 0.005)

Johnson Transformation for WarpingWarping Transf1.60103 -0.590060.84326 -1.24983.00679 0.1947491.29923 -0.816752.24237 -0.193652.63579 0.0141730.34093 -2.020426.96534 1.9758023.46645 0.4043471.41079 -0.72885

Etc. Etc.

294

Capacidad con distribuciones diferentes a la normal

Se pueden utilizar otras distribuciones que ajusten a los datos no normales para determinar el Pp y el Ppk

10.01.00.1

99.99050

10

1

0.1

Warping

Perc

ent

10.01.00.1

99.999

90

50

10

10.1

Warping

Perc

ent

10.0001.0000.1000.0100.001

99.99050

10

1

0.1

Warping

Perc

ent

1050

99.999

90

50

10

10.1

Warping

Perc

ent

Weibull0.994

Lognormal0.978

Exponential*

Normal0.978

Correlation Coefficient

Probability Plot for WarpingLSXY Estimates-Complete Data

Weibull Lognormal

Exponential Normal

295

Capacidad de procesos no normales usando la distribución

de Weibull Con archivo de Minitab TILES.MTW

7.56.04.53.01.50.0

LSL USLProcess Data

Sample N 100Shape 1.69368Scale 3.27812


Overall CapabilityPp 0.81PPL 1.03PPU 0.73Ppk 0.73

Observed PerformancePPM < LSL 0PPM > USL 20000PPM Total 20000


Process Capability of WarpingCalculations Based on Weibull Distribution Model

296

Capacidad de procesos por Pearson

• Independientemente de si los datos siguen una distribución normal o no, se pueden calcular los índices de capacidad y habilidad de proceso determinando los valores de los “Percentiles” o “límites de control” equivalentes a un área bajo la curva de 0.135% de cada lado de la misma.

• Este método ha sido propuesto por Clements (1989) con base en las curvas de Karl Pearson (1893), para ello, es necesario caracterizar la curva de distribución de acuerdo a su posición (Media), dispersión (Desviación Estándar) y forma (Grado de asimetría mediante el Sesgo y grado de “achatamiento” o Kurtosis).

297


Procedimiento : Identificar los límites de especificación de la

variable de interés (LSE, LIE) Calcular la Media (Y). Calcular la Desviación estándar (s ó s) Calcular el coeficiente de sesgo (a3) Calcular el coeficiente de Kurtosis

Pi’ se determina de la tabla 1ª y Ps’ de la 1b

298


Cálculo del sesgo:

Donde : momento 3 = m3 = (S(yi – y)3)/n

a3 = n .(n-1)(n-2) S

i=1

n ( ) yi – y s

3O bien :

a3 > 0 a3 < 0a3 = 0

299


Calcular el coeficiente de curtosis (a4 -3)

a4 = m4 / 4 Donde : momento 4 = m4 = (S(yi – y)4)/n

a4-3 = n (n+1) .(n-1)(n-2)(n-3) S

i=1

n ( ) yi – y s

4{ } 3 (n-1)2 .(n-2)(n-3) -

O bien :

Curva Leptocúrtica : a4 > 3

Curva Mesocúrtica : a4 = 3Curva Platicúrtica : a4 < 3

300

Con Minitab Stat > Basic Statistics > Display descriptive statistics >> Graphs... >> Graphical Summary

1.000.850.700.550.40

95% Confidence Interval for Mu

0.580.530.48

95% Confidence Interval for Median

Variable: Dist.1

0.47619

0.12829

0.51402

Maximum3rd QuartileMedian1st QuartileMinimum

NKurtosisSkewnessVarianceStDevMean

P-Value:A-Squared:

0.52875

0.17075

0.57338

1.111110.588240.513160.454550.34483

962.485151.44751

2.15E-020.1464900.543699

0.0003.073

95% Confidence Interval for Median

95% Confidence Interval for Sigma

95% Confidence Interval for Mu

Anderson-Darling Normality Test

Descriptive Statistics

301

Con MinitabDe la tabla 2 de las curvas de Pearson obtenga

la Mediana estandarizada (M’) :Para coeficiente de sesgo positivo cambie el signo a

M’.Para coeficiente de sesgo negativo deje el signo de

M’.Calcular el percentil 0.135 estimado (PI) :

PI = y – s * PI’Calcular percentil 99.865 estimado

(PS) : PS = y + s * PS’Calcular la Mediana estimada (M) :

M = y + s * M’

302

Con MinitabCalcular el índice de capacidad potencial de proceso

(Pp). LSE - LIE PS - PI

Pp =

Calcular el índice de habilidad del proceso (Ppk)

Ppk = min {Ppi, Pps}

M - LIE M - PI

Ppi =

LSE – M PS - M

Pps =

Tabla 1a de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.421 1.317 1.206 1.092 0.979 0.868 0.762 -1.4-1.2 1.727 1.619 1.496 1.364 1.230 1.100 0.975 0.858 0.747 -1.2-1.0 1.966 1.840 1.696 1.541 1.384 1.232 1.089 0.957 0.836 -1.0-0.8 2.210 2.072 1.912 1.736 1.555 1.377 1.212 1.062 0.927 0.804 0.692 -0.8-0.6 2.442 2.298 2.129 1.941 1.740 1.539 1.348 1.175 1.023 0.887 0.766 0.656 -0.6-0.4 2.653 2.506 2.335 2.141 1.930 1.711 1.496 1.299 1.125 0.974 0.841 0.723 0.616 -0.4-0.2 2.839 2.692 2.522 2.329 2.116 1.887 1.655 1.434 1.235 1.065 0.919 0.791 0.677 0.574 -0.20.0 3.000 2.856 2.689 2.500 2.289 2.059 1.817 1.578 1.356 1.163 1.000 0.861 0.739 0.630 0.531 0.00.2 3.140 2.986 2.834 2.653 2.447 2.220 1.976 1.726 1.485 1.269 1.086 0.933 0.801 0.686 0.583 0.20.4 3.261 3.088 2.952 2.785 2.589 2.368 2.127 1.873 1.619 1.382 1.178 1.008 0.865 0.742 0.634 0.536 0.40.6 3.366 3.164 3.045 2.896 2.714 2.502 2.267 2.015 1.754 1.502 1.277 1.087 0.931 0.799 0.685 0.583 0.469 0.60.8 3.458 3.222 3.118 2.986 2.821 2.622 2.396 2.148 1.887 1.625 1.381 1.172 1.000 0.857 0.736 0.629 0.533 0.81.0 3.539 3.266 3.174 3.058 2.910 2.727 2.512 2.271 2.013 1.748 1.491 1.262 1.072 0.917 0.787 0.675 0.575 0.484 1.01.2 3.611 3.300 3.218 3.115 2.983 2.817 2.616 2.385 2.132 1.876 1.602 1.357 1.149 0.979 0.840 0.721 0.617 0.510 1.21.4 3.674 3.327 3.254 3.161 3.043 2.893 2.708 2.488 2.243 1.981 1.713 1.456 1.230 1.045 0.894 0.768 0.659 0.562 0.475 1.41.6 3.731 3.349 3.282 3.199 3.092 2.957 2..787 2.581 2.345 2.089 1.821 1.556 1.316 1.113 0.950 0.815 0.701 0.600 0.510 1.61.8 3.782 3.367 3.306 3.229 3.133 3.011 2.855 2.664 2.438 2.189 1.925 1.664 1.404 1.185 1.008 0.863 0.743 0.638 0.546 0.461 1.82.0 3.828 3.382 3.325 3.255 3.167 3.055 2.914 2.736 2.524 2.283 2.023 1.755 1.494 1.261 1.068 0.913 0.785 0.676 0.580 0.494 2.02.2 3.870 3.395 3.342 3.277 3.196 3.093 2.964 2.800 2.600 2.369 2.116 1.850 1.584 1.339 1.132 0.964 0.828 0.714 0.615 0.526 0.445 2.22.4 3.908 3.405 3.356 3.295 3.220 3.126 3.006 2.855 2.669 2.448 2.202 1.940 1.673 1.420 1.198 1.018 0.873 0.752 0.649 0.557 0.475 2.42.6 3.943 3.415 3.367 3.311 3.241 3.153 3.043 2.904 2.730 2.521 2.283 2.026 1.760 1.501 1.267 1.073 0.918 0.791 0.683 0.589 0.504 2.62.8 3.975 3.423 3.378 3.324 3.259 3.177 3.075 2.946 2.784 2.586 2.358 2.107 1.844 1.581 1.338 1.131 0.965 0.830 0.717 0.620 0.533 2.83.0 4.004 3.430 3.387 3.326 3.274 3.198 3.103 2.983 2.831 2.646 2.427 2.183 1.924 1.661 1.410 1.191 1.013 0.870 0.752 0.651 0.562 3.03.2 4.031 3.436 3.395 3.346 3.288 3.216 3.127 3.015 2.874 2.699 2.491 2.254 2.000 1.738 1.483 1.253 1.063 0.911 0.787 0.681 0.590 3.23.4 4.056 3.441 3.402 3.356 3.300 3.233 3.149 3.043 2.911 2.747 2.549 2.321 2.072 1.813 1.555 1.317 1.115 0.953 0.822 0.712 0.618 3.43.6 4.079 3.446 3.408 3.364 3.311 3.247 3.168 3.069 2.945 2.790 2.602 2.383 2.140 1.884 1.626 1.381 1.169 0.996 0.858 0.744 0.646 3.63.8 4.101 3.450 3.414 3.371 3.321 3.259 3.184 3.091 2.974 2.829 2.651 2.440 2.205 1.953 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2.766 2.622 2.456 2.271 2.070 1.861 1.648 9.810.0 4.408 3.497 3.475 3.451 3.424 3.393 3.359 3.320 3.275 3.222 3.161 3.088 3.003 2.901 2.780 2.639 2.476 2.295 2.097 1.890 1.679 10.010.2 3.425 3.395 3.361 3.322 3.278 3.226 3.166 3.095 3.011 2.911 2.793 2.655 2.496 2.318 2.123 1.918 1.708 10.210.4 3.396 3.363 3.325 3.281 3.230 3.171 3.101 3.019 2.921 2.806 2.671 2.515 2.340 2.148 1.945 1.737 10.410.6 3.364 3.327 3.283 3.233 3.175 3.107 3.026 2.930 2.818 2.686 2.533 2.361 2.172 1.972 1.765 10.610.8 3.329 3.286 3.237 3.179 3.112 3.033 2.940 2.829 2.700 2.551 2.382 2.196 1.998 1.793 10.811.0 3.289 3.240 3.184 3.118 3.040 2.948 2.840 2.714 2.567 2.401 2.218 2.023 1.819 11.011.2 3.243 3.188 3.123 3.046 2.956 2.851 2.727 2.583 2.420 2.240 2.047 1.845 11.211.4 3.191 3.128 3.053 2.964 2.861 2.739 2.598 2.438 2.261 2.070 1.870 11.411.6 3.195 3.132 3.058 2.972 2.870 2.751 2.613 2.456 2.281 2.093 1.895 11.611.8 3.137 3.064 2.979 2.879 2.762 2.627 2.473 2.301 2.115 1.919 11.812.0 3.141 3.070 2.986 2.888 2.773 2.641 2.489 2.320 2.136 1.942 12.012.2 3.075 2.993 2.896 2.784 2.653 2.505 2.338 2.157 1.965 12.2

Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Tabla 1b de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 1.512 1.584 1.632 1.655 1.653 1.626 1.579 1.516 -1.4-1.2 1.727 1.813 1.871 1.899 1.895 1.861 1.803 1.726 1.636 -1.2-1.0 1.966 2.065 2.134 2.170 2.169 2.131 2.061 1.966 1.856 -1.0-0.8 2.210 2.320 2.400 2.446 2.454 2.422 2.349 2.241 2.108 1.965 1.822 -0.8-0.6 2.442 2.560 2.648 2.704 2.726 2.708 2.646 2.540 2.395 2.225 2.062 1.885 -0.6-0.4 2.653 2.774 2.869 2.934 2.969 2.968 2.926 2.837 2.699 2.518 2.314 2.114 1.928 -0.4-0.2 2.839 2.961 3.060 3.133 3.179 3.194 3.173 3.109 2.993 2.824 2.608 2.373 2.152 1.952 -0.20.0 3.000 3.123 3.224 3.303 3.358 3.387 3.385 3.345 3.259 3.116 2.914 2.665 2.405 2.169 1.960 0.00.2 3.140 3.261 3.364 3.447 3.510 3.550 3.564 3.546 3.488 3.378 3.206 2.970 2.690 2.412 2.167 0.20.4 3.261 3.381 3.484 3.570 3.639 3.688 3.715 3.715 3.681 3.603 3.468 3.264 2.993 2.687 2.398 2.149 0.40.6 3.366 3.485 3.588 3.676 3.749 3.805 3.843 3.858 3.844 3.793 3.693 3.529 3.290 2.984 2.658 2.366 2.119 0.60.8 3.458 3.575 3.678 3.768 3.844 3.905 3.951 3.978 3.961 3.953 3.883 3.758 3.561 3.283 2.945 2.609 2.322 0.81.0 3.539 3.654 3.757 3.847 3.926 3.991 4.044 4.080 4.096 4.087 4.043 3.952 3.797 3.561 3.243 2.881 2.547 2.269 1.01.2 3.611 3.724 3.826 3.917 3.997 4.066 4.124 4.167 4.194 4.208 4.177 4.115 3.998 3.808 3.529 3.172 2.798 2.476 1.21.4 3.674 3.786 3.887 3.978 4.060 4.131 4.193 4.243 4.278 4.296 4.290 4.252 4.168 4.020 3.789 3.463 3.075 2.705 2.399 1.41.6 3.731 3.842 3.942 4.033 4.115 4.189 4.253 4.308 4.351 4.378 4.386 4.367 4.311 4.200 4.015 3.736 3.364 2.961 2.609 1.61.8 3.782 3.891 3.990 4.081 4.164 4.239 4.307 4.365 4.414 4.449 4.468 4.472 4.431 4.352 4.209 3.979 3.646 3.238 2.840 2.511 1.82.0 3.828 3.936 4.034 4.125 4.208 4.285 4.354 4.416 4.468 4.511 4.539 4.549 4.532 4.479 4.372 4.189 3.907 3.522 3.095 2.719 2.02.2 3.870 3.976 4.073 4.164 4.248 4.325 4.396 4.460 4.517 4.564 4.600 4.620 4.619 4.587 4.510 4.369 4.137 3.796 3.370 2.949 2.603 2.22.4 4.908 4.013 4.109 4.199 4.283 4.361 4.433 4.500 4.559 4.611 4.653 4.682 4.693 4.678 4.627 4.521 4.336 4.047 3.648 3.201 2.808 2.42.6 3.943 4.046 4.142 4.231 4.315 4.394 4.467 4.535 4.597 4.653 4.700 4.736 4.757 4.756 4.725 4.649 4.506 4.269 3.916 3.471 3.033 2.62.8 3.975 4.077 4.172 4.261 4.344 4.423 4.498 4.567 4.631 4.690 4.741 4.783 4.812 4.824 4.809 4.758 4.650 4.460 4.160 3.745 3.280 2.83.0 4.004 4.105 4.199 4.287 4.371 4.450 4.525 4.596 4.662 4.723 4.777 4.824 4.860 4.882 4.881 4.850 4.771 4.623 4.376 4.007 3.544 3.03.2 4.031 4.131 4.224 4.312 4.396 4.475 4.550 4.622 4.689 4.752 4.810 4.861 4.903 4.932 4.944 4.929 4.875 4.762 4.563 4.347 3.813 3.23.4 4.056 4.155 4.247 4.335 4.418 4.498 4.573 4.645 4.714 4.779 4.839 4.893 4.940 4.976 4.997 4.996 4.963 4.880 4.723 4.461 4.072 3.43.6 4.079 4.177 4.269 4.356 4.439 4.518 4.594 4.667 4.737 4.803 4.865 4.922 4.973 5.015 5.044 5.055 5.038 4.980 4.859 4.647 4.311 3.63.8 4.101 4.197 4.288 4.375 4.458 4.537 4.614 4.687 4.757 4.825 4.888 4.948 5.002 5.049 5.085 5.106 5.103 5.066 4.976 4.806 4.524 3.84.0 4.121 4.217 4.307 4.393 4.476 4.555 4.631 4.705 4.776 4.845 4.910 4.972 5.029 5.080 5.122 5.150 5.159 5.139 5.075 4.943 4.712 4.04.2 4.140 4.234 4.324 4.410 4.492 4.571 4.648 4.722 4.794 4.863 4.929 4.993 5.052 5.107 5.153 5.189 5.208 5.202 5.159 5.059 4.873 4.24.4 4.157 4.251 4.340 4.425 4.508 4.587 4.663 4.737 4.809 4.879 4.947 5.012 5.074 5.131 5.181 5.223 5.250 5.257 5.232 5.159 5.012 4.44.6 4.174 4.267 4.355 4.400 4.522 4.601 4.677 4.752 4.824 4.895 4.963 5.029 5.093 5.152 5.207 5.253 5.288 5.305 5.295 5.244 5.131 4.64.8 4.189 4.281 4.369 4.454 4.535 4.614 4.691 4.765 4.838 4.909 4.978 5.045 5.110 5.172 5.229 5.280 5.321 5.346 5.349 5.318 5.233 4.85.0 4.204 4.295 4.383 4.467 4.548 4.627 4.703 4.778 4.851 4.922 4.992 5.060 5.126 5.190 5.249 5.303 5.350 5.383 5.396 5.381 5.320 5.05.2 4.218 4.308 4.395 4.479 4.560 4.638 4.715 4.789 4.862 4.934 5.004 5.073 5.141 5.206 5.267 5.325 5.376 5.415 5.437 5.436 5.395 5.25.4 4.231 4.321 4.407 4.090 4.571 4.649 4.725 4.800 4.873 4.945 5.016 5.086 5.154 5.220 5.284 5.344 5.399 5.443 5.474 5.483 5.460 5.45.6 4.243 4.332 4.418 4.501 4.581 4.659 4.736 4.810 4.884 4.956 5.027 5.097 5.166 5.233 5.299 5.361 5.418 5.468 5.505 5.525 5.516 5.65.8 4.255 4.343 4.429 4.511 4.591 4.669 4.745 4.820 4.893 4.966 5.037 5.108 5.177 5.246 5.312 5.376 5.436 5.491 5.533 5.571 5.565 5.86.0 4.266 4.354 4.439 4.521 4.600 4.678 4.754 4.829 4.902 4.975 5.046 5.117 5.188 5.257 5.325 5.390 5.452 5.511 5.558 5.593 5.608 6.06.2 4.276 4.364 4.448 4.530 4.609 4.695 4.763 4.837 4.911 4.983 5.055 5.126 5.197 5.267 5.336 5.403 5.467 5.529 5.581 5.621 5.645 6.26.4 4.286 4.373 4.457 4.538 4.618 4.703 4.771 4.845 4.919 4.991 5.063 5.135 5.206 5.276 5.346 5.440 5.480 5.542 5.600 5.646 5.678 6.46.6 4.296 4.382 4.466 4.547 4.626 4.710 4.778 4.853 4.926 4.999 5.071 5.143 5.214 5.285 5.356 5.425 5.492 5.557 5.618 5.669 5.706 6.66.8 4.305 4.391 4.474 4.554 4.633 4.717 4.785 4.860 4.933 5.006 5.078 5.150 5.222 5.293 5.364 5.434 5.503 5.569 5.634 5.688 5.732 6.87.0 4.313 4.399 4.481 4.562 4.640 4.724 4.792 4.867 4.940 5.013 5.085 5.157 5.229 5.301 5.372 5.443 5.513 5.581 5.648 5.706 5.754 7.07.2 4.322 4.406 4.489 4.569 4.647 4.730 4.799 4.873 4.946 5.019 5.091 5.164 5.236 5.308 5.380 5.451 5.522 5.591 5.658 5.722 5.775 7.27.4 4.330 4.414 4.496 4.576 4.654 4.736 4.805 4.879 4.952 5.025 5.097 5.170 5.242 5.314 5.387 5.459 5.530 5.601 5.669 5.736 5.792 7.47.6 4.337 4.421 4.503 4.582 4.660 4.742 4.811 4.885 4.958 5.031 5.103 5.175 5.248 5.320 5.393 5.466 5.538 5.609 5.679 5.749 5.808 7.67.8 4.344 4.428 4.509 4.588 4.666 4.747 4.817 4.890 4.963 5.036 5.109 5.181 5.253 5.326 5.399 5.472 5.545 5.617 5.688 5.760 5.823 7.88.0 4.351 4.434 4.515 4.594 4.672 4.753 4.822 4.896 4.969 5.041 5.114 5.186 5.259 5.331 5.404 5.478 5.551 5.624 5.696 5.771 5.836 8.08.2 4.358 4.441 4.521 4.600 4.677 4.758 4.827 4.901 4.974 5.046 5.118 5.191 5.263 5.336 5.410 5.483 5.557 5.631 5.704 5.775 5.847 8.28.4 4.365 4.447 4.527 4.605 4.682 4.762 4.832 4.905 4.978 5.051 5.123 5.195 5.268 5.341 5.414 5.488 5.562 5.637 5.710 5.783 5.858 8.48.6 4.371 4.452 4.532 4.611 4.687 4.767 4.837 4.910 4.983 5.055 5.127 5.200 5.272 5.345 5.419 5.493 5.567 5.642 5.717 5.790 5.867 8.68.8 4.377 4.458 4.538 4.616 4.692 4.772 4.841 4.914 4.987 5.059 5.132 5.204 5.276 5.349 5.423 5.497 5.572 5.647 5.722 5.797 5.875 8.89.0 4.382 4.463 4.543 4.621 4.697 4.776 4.845 4.918 4.991 5.063 5.135 5.208 5.280 5.353 5.427 5.501 5.576 5.652 5.727 5.803 5.883 9.09.2 4.388 4.468 4.548 4.625 4.701 4.780 4.850 4.923 4.995 5.067 5.139 5.211 5.284 5.357 5.431 5.505 5.580 5.656 5.732 5.808 5.883 9.29.4 4.393 4.473 4.552 4.630 4.705 4.784 4.854 4.926 4.999 5.071 5.143 5.215 5.287 5.361 5.434 5.509 5.584 5.660 5.736 5.813 5.889 9.49.6 4.398 4.478 4.557 4.634 4.710 4.788 4.857 4.930 5.002 5.074 5.146 5.218 5.291 5.364 5.437 5.512 5.587 5.663 5.740 5.817 5.894 9.69.8 4.403 4.483 4.561 4.638 4.714 4.791 4.861 4.934 5.006 5.078 5.149 5.222 5.294 5.367 5.440 5.515 5.590 5.667 5.744 5.821 5.898 9.810.0 4.408 4.487 4.565 4.642 4.717 4.795 4.865 4.937 5.009 5.081 5.156 5.225 5.297 5.370 5.443 5.518 5.593 5.670 5.747 5.825 5.903 10.010.2 4.721 4.798 4.868 4.940 5.012 5.084 5.156 5.228 5.300 5.373 5.446 5.521 5.596 5.673 5.750 5.828 5.906 10.210.4 4.871 4.943 5.015 5.087 5.158 5.230 5.303 5.375 5.449 5.523 5.599 5.675 5.753 5.831 5.910 10.410.6 4.874 4.947 5.018 5.090 5.161 5.233 5.305 5.378 5.451 5.526 5.601 5.678 5.755 5.834 5.913 10.610.8 4.949 5.021 5.092 5.164 5.236 5.308 5.300 5.454 5.528 5.603 5.680 5.757 5.836 5.915 10.811.0 5.024 5.095 5.166 5.238 5.310 5.383 5.456 5.530 5.605 5.682 5.760 5.838 5.918 11.011.2 5.098 5.169 5.240 5.312 5.385 5.458 5.532 5.607 5.684 5.762 5.840 5.920 11.211.4 5.171 5.243 5.314 5.387 5.460 5.534 5.609 5.686 5.763 5.842 5.922 11.411.6 5.173 5.245 5.316 5.389 5.462 5.536 5.611 5.687 5.765 5.844 5.924 11.611.8 5.247 5.318 5.391 5.464 5.538 5.613 5.689 5.767 5.845 5.925 11.812.0 5.249 5.320 5.393 5.465 5.539 5.614 5.690 5.760 5.847 5.927 12.012.2 5.322 5.394 5.467 5.500 5.616 5.692 5.769 5.848 5.928 12.2

Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Tabla 2 de PearsonCurtosis Sesgo Curtosis

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0-1.4 0.000 0.053 0.111 0.184 0.282 0.424 0.627 0.754 -1.4-1.2 0.000 0.039 0.082 0.132 0.196 0.284 0.412 0.591 0.527 -1.2-1.0 0.000 0.031 0.065 0.103 0.151 0.212 0.297 0.419 0.586 -1.0-0.8 0.000 0.026 0.054 0.085 0.123 0.169 0.231 0.317 0.439 0.598 0.681 -0.8-0.6 0.000 0.023 0.047 0.073 0.104 0.142 0.190 0.254 0.343 0.468 0.616 0.653 -0.6-0.4 0.000 0.020 0.041 0.064 0.091 0.122 0.161 0.212 0.280 0.375 0.504 0.633 0.616 -0.4-0.2 0.000 0.018 0.037 0.058 0.081 0.108 0.141 0.183 0.237 0.311 0.413 0.542 0.638 0.574 -0.20.0 0.000 0.017 0.034 0.053 0.073 0.097 0.126 0.161 0.206 0.266 0.347 0.456 0.579 0.621 0.531 0.00.2 0.000 0.015 0.032 0.049 0.068 0.089 0.114 0.145 0.183 0.233 0.299 0.388 0.501 0.605 0.582 0.20.4 0.000 0.014 0.029 0.045 0.063 0.082 0.105 0.132 0.165 0.208 0.263 0.336 0.433 0.545 0.607 0.536 0.40.6 0.000 0.013 0.028 0.043 0.059 0.077 0.097 0.122 0.151 0.188 0.235 0.297 0.379 0.481 0.579 0.579 0.589 0.60.8 0.000 0.013 0.026 0.040 0.055 0.072 0.091 0.113 0.140 0.172 0.213 0.266 0.336 0.425 0.527 0.590 0.533 0.81.0 0.000 0.012 0.025 0.038 0.053 0.068 0.086 0.106 0.130 0.159 0.196 0.242 0.301 0.379 0.474 0.563 0.569 0.484 1.01.2 0.000 0.011 0.024 0.036 0.050 0.065 0.082 0.100 0.122 0.148 0.181 0.222 0.274 0.341 0.426 0.520 0.576 0.524 1.21.4 0.000 0.011 0.023 0.035 0.048 0.062 0.078 0.095 0.116 0.140 0.169 0.206 0.252 0.310 0.385 0.474 0.554 0.555 0.475 1.41.6 0.000 0.010 0.022 0.034 0.046 0.060 0.075 0.091 0.110 0.132 0.159 0.192 0.233 0.285 0.351 0.432 0.518 0.564 0.510 1.61.8 0.000 0.010 0.021 0.032 0.044 0.057 0.072 0.087 0.105 0.126 0.151 0.180 0.217 0.264 0.323 0.396 0.480 0.549 0.540 0.461 1.82.0 0.000 0.009 0.020 0.031 0.043 0.065 0.069 0.084 0.101 0.120 0.143 0.171 0.204 0.246 0.299 0.365 0.443 0.521 0.552 0.494 2.02.2 0.000 0.009 0.020 0.030 0.042 0.054 0.067 0.081 0.097 0.115 0.137 0.162 0.193 0.231 0.279 0.338 0.410 0.488 0.544 0.522 0.445 2.22.4 0.000 0.009 0.019 0.029 0.040 0.052 0.065 0.078 0.094 0.111 0.131 0.155 0.183 0.218 0.261 0.315 0.381 0.456 0.524 0.538 0.475 2.42.6 0.000 0.008 0.018 0.029 0.039 0.051 0.063 0.076 0.091 0.107 0.126 0.148 0.175 0.207 0.246 0.295 0.355 0.426 0.498 0.539 0.503 2.62.8 0.000 0.008 0.018 0.028 0.038 0.049 0.061 0.074 0.080 0.104 0.122 0.143 0.167 0.197 0.233 0.278 0.333 0.398 0.470 0.526 0.522 2.83.0 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.048 0.059 0.072 0.085 0.101 0.118 0.138 0.161 0.189 0.222 0.263 0.313 0.374 0.443 0.506 0.530 3.03.2 0.000 0.008 0.017 0.027 0.037 0.047 0.058 0.070 0.083 0.098 0.114 0.033 0.155 0.181 0.212 0.250 0.296 0.352 0.417 0.483 0.525 3.23.4 0.000 0.008 0.017 0.026 0.036 0.046 0.057 0.068 0.081 0.095 0.111 0.129 0.150 0.174 0.203 0.239 0.281 0.333 0.394 0.460 0.513 3.43.6 0.000 0.007 0.016 0.025 0.035 0.045 0.056 0.067 0.079 0.093 0.108 0.125 0.145 0.168 0.196 0.228 0.268 0.316 0.373 0.437 0.495 3.63.8 0.000 0.007 0.016 0.025 0.034 0.044 0.054 0.066 0.078 0.091 0.105 0.122 0.141 0.163 0.188 0.219 0.256 0.301 0.354 0.415 0.475 3.84.0 0.000 0.007 0.015 0.025 0.034 0.043 0.053 0.064 0.076 0.089 0.103 0.119 0.137 0.158 0.182 0.211 0.246 0.288 0.337 0.395 0.495 4.04.2 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.043 0.053 0.063 0.075 0.087 0.101 0.116 0.133 0.153 0.176 0.204 0.236 0.276 0.322 0.376 0.435 4.24.4 0.000 0.007 0.015 0.024 0.033 0.042 0.052 0.062 0.073 0.085 0.099 0.113 0.130 0.149 0.171 0.197 0.228 0.265 0.308 0.359 0.416 4.44.6 0.000 0.007 0.015 0.023 0.032 0.041 0.051 0.061 0.072 0.084 0.097 0.111 0.127 0.145 0.167 0.191 0.220 0.255 0.296 0.344 0.399 4.64.8 0.000 0.006 0.015 0.023 0.032 0.041 0.050 0.060 0.071 0.082 0.095 0.109 0.124 0.142 0.162 0.186 0.213 0.246 0.285 0.330 0.382 4.85.0 0.000 0.006 0.014 0.023 0.031 0.040 0.049 0.059 0.070 0.081 0.093 0.107 0.122 0.139 0.158 0.181 0.207 0.238 0.274 0.317 0.367 5.05.2 0.000 0.006 0.014 0.022 0.031 0.040 0.049 0.058 0.069 0.080 0.092 0.105 0.119 0.136 0.155 0.176 0.201 0.231 0.265 0.306 0.353 5.25.4 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.048 0.057 0.068 0.078 0.090 0.103 0.117 0.133 0.151 0.172 0.196 0.224 0.257 0.295 0.340 5.45.6 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.039 0.047 0.057 0.067 0.077 0.089 0.101 0.115 0.131 0.148 0.168 0.191 0.218 0.249 0.285 0.328 5.65.8 0.000 0.006 0.014 0.022 0.030 0.038 0.047 0.056 0.066 0.076 0.087 0.100 0.113 0.128 0.145 0.164 0.186 0.212 0.242 0.277 0.317 5.86.0 0.000 0.006 0.014 0.021 0.029 0.038 0.046 0.055 0.065 0.075 0.086 0.098 0.111 0.126 0.142 0.161 0.182 0.207 0.235 0.268 0.307 6.06.2 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.046 0.055 0.064 0.074 0.085 0.097 0.110 0.124 0.140 0.158 0.178 0.202 0.229 0.261 0.298 6.26.4 0.000 0.006 0.013 0.021 0.029 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.084 0.096 0.108 0.122 0.137 0.155 0.175 0.197 0.223 0.254 0.289 6.46.6 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.037 0.045 0.054 0.063 0.073 0.083 0.094 0.107 0.120 0.135 0.152 0.171 0.193 0.218 0.247 0.281 6.66.8 0.000 0.006 0.013 0.021 0.028 0.036 0.044 0.053 0.062 0.072 0.082 0.093 0.105 0.118 0.133 0.150 0.168 0.189 0.213 0.241 0.273 6.87.0 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.053 0.061 0.071 0.081 0.092 0.104 0.117 0.131 0.147 0.165 0.185 0.209 0.236 0.267 7.07.2 0.000 0.005 0.013 0.020 0.028 0.036 0.044 0.052 0.061 0.070 0.080 0.091 0.103 0.115 0.129 0.145 0.162 0.182 0.205 0.230 0.260 7.27.4 0.000 0.005 0.013 0.020 0.027 0.035 0.043 0.052 0.060 0.070 0.079 0.090 0.101 0.114 0.128 0.143 0.160 0.179 0.201 0.226 0.254 7.47.6 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.060 0.069 0.079 0.089 0.100 0.113 0.126 0.141 0.157 0.176 0.197 0.221 0.249 7.67.8 0.000 0.005 0.012 0.020 0.027 0.035 0.043 0.051 0.059 0.068 0.078 0.088 0.099 0.111 0.124 0.139 0.155 0.173 0.193 0.217 0.243 7.88.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.059 0.068 0.077 0.087 0.098 0.110 0.123 0.137 0.153 0.170 0.190 0.213 0.238 8.08.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.027 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.097 0.109 0.121 0.135 0.151 0.168 0.187 0.209 0.234 8.28.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.260 0.034 0.042 0.050 0.058 0.067 0.076 0.086 0.096 0.108 0.120 0.134 0.149 0.165 0.184 0.205 0.229 8.48.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.034 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.085 0.095 0.107 0.119 0.132 0.147 0.163 0.181 0.202 0.225 8.68.8 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.066 0.075 0.084 0.094 0.106 0.118 0.131 0.145 0.161 0.179 0.199 0.221 8.89.0 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.041 0.049 0.057 0.065 0.074 0.084 0.094 0.105 0.116 0.129 0.143 0.159 0.176 0.196 0.218 9.09.2 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.065 0.073 0.083 0.093 0.104 0.115 0.128 0.142 0.157 0.174 0.193 0.214 9.29.4 0.000 0.005 0.012 0.019 0.026 0.033 0.040 0.048 0.056 0.064 0.073 0.082 0.092 0.103 0.114 0.127 0.140 0.155 0.172 0.190 0.211 9.49.6 0.000 0.005 0.012 0.019 0.025 0.033 0.040 0.048 0.055 0.064 0.072 0.082 0.091 0.102 0.113 0.125 0.139 0.153 0.170 0.188 0.208 9.69.8 0.000 0.005 0.012 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.072 0.081 0.091 0.101 0.112 0.124 0.137 0.152 0.168 0.185 0.205 9.8

10.0 0.000 0.005 0.011 0.018 0.025 0.032 0.040 0.047 0.055 0.063 0.071 0.080 0.090 0.100 0.111 0.123 0.136 0.150 0.166 0.183 0.202 10.010.2 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.063 0.071 0.080 0.089 0.099 0.110 0.122 0.135 0.149 0.164 0.181 0.200 10.210.4 0.000 0.032 0.039 0.047 0.054 0.062 0.071 0.079 0.089 0.099 0.109 0.121 0.133 0.147 0.162 0.179 0.197 10.410.6 0.000 0.039 0.046 0.054 0.062 0.070 0.079 0.088 0.098 0.109 0.120 0.132 0.146 0.160 0.177 0.195 10.610.8 0.000 0.046 0.054 0.061 0.070 0.078 0.088 0.097 0.108 0.119 0.131 0.144 0.159 0.175 0.192 10.811.0 0.000 0.053 0.061 0.069 0.078 0.087 0.097 0.107 0.118 0.130 0.143 0.157 0.173 0.190 11.011.2 0.000 0.061 0.069 0.078 0.087 0.096 0.106 0.117 0.129 0.142 0.156 0.171 0.188 11.211.4 0.000 0.069 0.077 0.086 0.095 0.105 0.116 0.128 0.141 0.154 0.169 0.186 11.411.6 0.000 0.068 0.077 0.086 0.095 0.104 0.116 0.127 0.139 0.153 0.168 0.184 11.611.8 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.115 0.126 0.138 0.152 0.166 0.182 11.812.0 0.000 0.076 0.085 0.094 0.104 0.114 0.125 0.137 0.150 0.165 0.181 12.012.2 0.000 0.084 0.093 0.103 0.113 0.124 0.136 0.149 0.163 0.179 12.2

Sesgo 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

Procedimiento : Obtener el índice de capacidad potencial de proceso a

corto plazo (Cp) y el índice de capacidad real de proceso a largo plazo (Ppk).

Calcular el índice de desempeño potencial de proceso (Zcp).

Zst = 3 Cp (P/especif. Bilaterales) Zst = 3 Cpk (P/especif. Unilaterales)

Calcular el índice de desempeño real de proceso (Zlp): Zlt = 3 Ppk

Calcule el índice de desempeño entre grupos (Zshift): Zshift = Zst - Zlt

Índices de desemepeño

Índices de desempeño Analice la información; se consideran como

valores aceptables los siguientes: Zlt > 3 ; Zst > 4 ; Zshift < 1.5

Zst4.0 6.0

Zshi

ft

2.00.00.0

1.0

2.0

3.0

Zlp =

4Zlp

=5Zlp

=3

Zlp =

2

Zlp =

1

Zlp =

0Zlp =

-1

Cont

rol

Capacidad/Diseño/TecnologíaZst

4.0 6.0

Zshi

ft

2.00.00.0

1.0

2.0

3.0

Cont

rol

Capacidad/Diseño/Tecnología

Buen

oM

alo

Malo Bueno

Estado deseado

Pobre control

Pobre capacidad

Pobre control y pobre capacidad

308

V.F.5 Capacidad de procesos por atributos

309

Capacidad de proceso para datos por atributos

En este caso la capacidad del proceso es la proporción media de producto no conforme

Para cartas p y np, la capacidad del proceso es la p media de fracción no conforme. Se puede usar 1 – p.

Para cartas c, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades, c media, para una muestra fija de tamaño n.

Para cartas u, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades por unidad, u media

310

V.E.6 Capacidad de procesos

bajo Seis Sigma

311

Capacidad de procesos bajo Seis Sigma

Motorola notó que muchas operaciones en productos complejos tendían a desplazarse 1.5 sobre el tiempo, por tanto un proceso de 6 a la larga tendrá 4.5 hacia uno de los límites de especificación, generando 3.4 DPMOs (defectos por millón de oportunidades)

312

Variación a Corto Plazo (periodo durante el cual no se presenta ningún cambio en el proceso)Zst = Zlt + 1.5

Variación a largo plazo (periodo en el cual ya se han presentado todos los cambios posibles en el proceso) - Zlt

Variación Global - Zbench.

313

DNOSAJJMAMFEDNOSAJJMAMFE

3.5

Salida

Mes

Variabilidad Total

(Natural)

Variabilidad “entre subgrupos”

Variabilidad combinada“dentro del subgrupo”+=

2.5

1.5

LIE

Capacidad a Largo Plazo

LSE

Capacidad a Corto Plazo

Capacidad en el corto y largo plazo

314

Rendimiento de la capacidad realRecibo de partes del proveedor

45,000 Unidades

desperdiciadas

51,876 Unidades

desperdiciadas

Correcto la primera

vez

Después de la inspección de recepción

De las operaciones de Maquinado

En los puestos de prueba - 1er intento

125,526 unidades desperdiciadaspor millón de oportunidades

28,650 Unidades

desperdiciadas

95.5% de rendimiento

97% de rendimiento

94.4% de

rendimiento

YRT = .955*.97*.944 = 87.4%

1,000,000 unidades

315

Ejemplos de defectos / unidad

Determinar DPU en la producción de 100 unidades

DPU = D/U = (20+10+12+4)/100=0.46Si cada unidad tiene 6 oportunidades para defecto

(características A, B, C, D, E y F), calcular DPO y DPMO

DPO = DPU / O = 0.46/6 = 0.078 DPMO = 78,333

Defectos 20 10 12 4Unidade

s70 20 6 4

316

Relaciones de sigmas La probabilidad de uno o más defectos es:

P(d) = 1- Yrt = 1 – FPY o P(d) = 1 – Yrt para varios procesos

Si se tiene FPY = 95% P(d) = 0.05

Entonces la Z a largo plazo se encuentra en tablas como Zlt = 1.645 sigma y por tanto la Zst a corto plazo es:

Zst = 1.645 + 1.5 (corrimiento) = 3.145

317

¿Como calcular la capacidad Seis Sigma para un proceso (equivale a la Zst de corto plazo)?

¿Qué proceso se considera? Facturación y CxC ¿Cuántas unidades tiene el proceso? 1,283 ¿Cuántas están libres de defectos? 1,138

Calcular el desempeño del proceso 1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113

Determinar el número de oportunidades que pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24

Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709

Calcular los defectos x millón de oportunidades DPMO = 4,709

Calcular #sigmas con tabla de conversión de sigma 4.1

318

Planta escondida

$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100

10Rework Rework Rework Rework

100 100 100

10 10 10

Y1=0.90 Y2=0.90 Y3=0.90 Y3=0.90 100 90 81 73 66

10 9 8 7

319

La eficiencia rolada$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit

100 100

10Reproceso Reproceso Reproceso Reproceso

100 100 100

10 10 10

1 – YRT = Probabilidad de un defecto/unidad = 1 – 0.67 = 0.33 = 33%1 + (1 – YRT) = Numero de unidades equivalentes iniciadas para producir una unidad buena = 1 + (1 - 0.67) = 1.33

YRT = e- DPU = e- (40/100) = e- 0.4 = 0.67 = 67%

Aproximando de Binomial a Poisson :

0.9 x 0.9 x 0.9 x 0.9 = 0.94 = 66/100 = 0.66 = 66%

YRT = pi=1

nYi =

320

Costos de pobre calidad

$1/Unit $1/Unit $1/Unit $1/Unit 100 100

10Rework Rework Rework Rework

100 100 100

10 10 10

Considerando :• No existe scrap ni costos de inventarios• Precio de Ventas = $5.00/Unidad

Por lo tanto :• Como el número de unidades equivalentes iniciadas para producir

una unidad buena = 1.33• Costo de producir una unidad buena = 1.33*$4 = $5.32• Utilidades = $5.00 - $5.32 = -$0.32/Unidad• COPQ = ($5.32-$4.00)/$5.00 = 26.4% de las ventas

321

Eficiencias y DPMOs PPMs

El desempeño de un proceso también puede ser expresado en términos de eficiencia. Las 3 eficiencias más usadas son :

Eficiencia de primer paso (bien a la primera vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)

Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield” (YRT)

Eficiencia Normalizada (Ynorm)

322

Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia de primer paso (bien a la primera

vez), eficiencia final (Yfinal) o “First Time Yield” (YFT)Yfinal = Número de unidades buenas antes de retrabajo

Número de unidades probadas ó evaluadas

323

Eficiencias y DPMOs PPMs Eficiencia rolada o “Rolled-Throughput Yield”

(YRT)Y1=S1/E Y2=S2/S1 Y3=S3/S2 Yn=Sn/Sn-1 ....

. E S1 S2 S3 Sn-1 Sn

Donde : e = 2.71828182845 m = Número de oportunidades por unidad

Para datos continuos : YRT = p

i=1

nYi = Y1 x Y2 x Y3 x....x Yn

Para datos discretos (Aproximación de Binomial a Poisson) :YRT = e-TDPU

YRT = e-(DPO)m

Donde : Y1, Y2, Y3,...., Yn son “first time Yield” de los pasos 1, 2, 3,...,n

324

Eficiencias y DPMOs PPMs

Eficiencia Normalizada (Ynorm)

Ynorm = (YRT)1/k

Cálculo de DPU a partir de la Eficiencia :

DPU = 1 - Y

Eficiencia a partir de PPM’s :Y = 1 – (PPM/1’000,000)

Cálculo de la Eficiencia Normalizada (Ynorm) :

325

Relaciones con el rendimiento Y

La probabilidad de encontrar X defectos con la distribución de Poisson es:

X es un entero y DPU > 0 Para el caso de que X sea cero se tiene

Rendimiento o FRC = P(X=0) = Exp(-DPU)

326

Fórmulas de desempeño

327

Rolled Troughput Yield (Yrt) Yrt es el cálculo acumulativo del índice de

defectos a lo largo de procesos múltiples

La probabilidad de un defecto es 1 – P(Yrt) = 0.05

328

Tablero de control de variable discreta

Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.

Defina el defecto, la unidad y el número de oportunidades por unidad

Defina que es un corto plazo

Evalúe el desempeño en DPMO y Z del CTQ en varios (k) cortos plazos

329


Evalúe el desempeño en DPMO del largo plazo, considerando lo siguiente

Dlt = S Dsti i = 1

k

TotOplt = S [Ui*(Op/U)i ] i = 1

k

DPMOlt = Dlt .TotOplt* 106

Donde :Dlt = Defectos de largo plazoDst = Defectos de corto plazoU = Número de unidades

Op/U = Oportunidades por unidadTotOp = Total de oportunidades

DPMOlt = Defectos por Millón de Oportunidades k = Número total de características críticas

330


Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y

ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :

Zshift = Zst - Zlt

331

Tablero de control de variable continua

Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un CTQ, pero hay desempeños parciales en el tiempo.

Determine la variable y los Límites de Especificación

Defina que es un periodo de tiempo

Recolecte datos de cada periodo y calcule la desviación estándar de Corto plazo (Sst) y las PPM’s de cada periodo de tiempo

Calcule la Zst y Zlt de cada periodo de tiempo

332


Calcule la Sst total del CTQ mediante:

Calcule la Zst total del CTQ Calcule los PPM’s totales mediante un

promedio ponderado

g (nj-1) sj

2j=1 (n-g)sst =Donde : n = Número Total de Datos

nj = Número de datos del grupo j

sj = Desviación Estándar del grupo j

g = Número de grupos

333


Con los PPM’s totales obtenga Zlt total del CTQ Calcule la Zshift considerando que :

Donde : PPM = PPM Totales PPMj = PPM’s del periodo i ni = Número de datos del

periodo i N = Número total de datos

PPM = S PPMi niN i = 1

k

334


Con los DPMOlt evalúe la Zlt Identifique la Z de corto plazo más pequeña y

ésta será la Zst Calcule la Zshift considerando que :

Zshift = Zst - Zlt

335

Tablero de control de variable múltiple

Se utiliza cuando se va a evaluar el desempeño de un Producto, Proceso ó Sistema a partir del desempeño de varios CTS’s, CTQ’s ó CTP’s

Defina el Producto, Proceso ó Sistema a evaluar

Identifique los CTS’s, CTQ’s ó CTP’s del Sistema a evaluar

Evalúe de forma individual cada CTS, CTQ ó CTP en términos de DPMOlt

336


• Calcule la eficiencia (Yftlt) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que:

• Evalúe desempeño potencial de cada característica crítica expresado en DPMOst, el cual se puede obtener a partir de la Zst ó los menores DPMO que el proceso ha demostrado generar a corto plazo.

yftlti = 1 –

Donde :yftlti

= Eficiencia de la característica crítica iDPMOlti

= Defectos por Millón de Op. de la caract. i

DPMOlti

106

337


Calcule la eficiencia (yftst) de cada CTS, CTQ ó CTP considerando que :

yftsti = 1 – DPMOsti

106

Calcule las eficiencias roladas (YRT) de Corto (st) y largo plazo (lt) del Producto, Proceso ó Sistema mediante :

YRTlt = P yftlti i = 1

k Donde :YRTlt = Eficiencia rolada total del sistemaYRTst = Eficiencia rolada potencial del sistemayftlti

= Eficiencia de la característica crítica iyftsti

= Eficiencia potencial de la característica crítica i k = Número total de características

YRTst = P yftsti i = 1

k

338


Calcule la Eficiencia Normalizada (ynorm) de corto (st) y largo plazo (lt) :Ynormst

= (YRTst)1/k

Ynormlt = (YRTlt)1/k

En caso de que cada Característica Crítica tenga un diferente nivel de importancia, entonces la Eficiencia Normalizada se puede obtener ponderando las eficiencias de cada Característica usando la siguiente fórmula :

Ynorm = (d1I1) x (d2

I2) x … x (dnIn)

(1/SIi)

I es la importancia. La característica crítica con mayor valor de I es ponderado con mayor peso al calcular el valor total compuesto Y

339


• Calcule los DPMO totales del sistema mediante:

• Con los DPMOst obtenga la Zst, con los DPMOlt obtenga la Zlt

Calcule la Zshift del sistema mediante :

DPMOst = (1 – Ynormst)*106 DPMOlt = (1 – Ynormlt

)*106

Zshift = Zst - Zlt

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