Probabilità. Un percorso didattico ancora sulla legge della moltiplicazione probabilità che dipendono da altre 12 Giugno 2014 1 Didattica probabilità e

Probabilità. Un percorso didatticoancora sulla legge della moltiplicazioneprobabilità che dipendono da altre

12 Giugno 2014

1Didattica probabilità e statistica PAS 2014

L. Cappello, C. Bonmassar

a cura di L. Cappello

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Probabilità di eventi non elementari – Contesti significativi

Il daltonismo

letture per la classe oppure approfondimento per alcuni che poi espongono

Noto il patrimonio genetico dei genitori, sono indipendenti gli eventi “avere un figlio daltonico” e “avere un figlio maschio”?

Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Alcune abilità coinvolte:

- interpretare un testo scientifico-matematico- modellizzare in vari modi schemi con frecce, diagramma di Punnet, grafo ad albero, …- effettuare collegamenti con le altre discipline raccomandato nelle Indicazioni nazionali

- giustificare e argomentare

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• 18 giugno 1964. Los Angeles. Juanita Brooks viene derubata.

• I testimoni individuano sei caratteristiche dei due responsabili:- uomo di colore con la barba - uomo con i baffi- donna bianca con capelli biondi

- donna con la coda di cavallo- coppia mista in un’automobile- automobile gialla

• L’accusa stima la probabilità che una coppia possieda una di tali caratteristiche.

1/101/41/31/101/10001/10

• Qual è la probabilità che una coppia qualunque possieda le 6 caratteristiche?

p = 110 ∙14 ∙13 ∙ 110 ∙ 11000 ∙ 110 = 𝟏𝟏𝟐.𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎 … per il consulente

• E’ arrestata la coppia Malcom e Janet Collins. Presenta tali caratteristiche.



Un caso giudiziario diventato un classico

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• 1964. La giuria dichiara colpevole la coppia arrestata.

• 1968. La corte suprema dello Stato della California annulla la sentenza.

Quali errori sono stati commessi nel primo processo? Esaminiamone uno.

La legge della moltiplicazione ha la forma p(A e B) = p(A) p(B)∙

solo se A, B sono indipendenti.

Ma le 6 caratteristiche (A = “uomo di colore con la barba” … ) non sono indipendenti!




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- Tra gli scialpinisti, gli arrampicatori saranno (ragionevolmente) più di 1/10, che è il rapporto relativo all’intera scuola. Praticare lo scialpinismo ed arrampicare non sono eventi indipendenti!

In un Istituto 1 studente su 30 pratica lo scialpinismo, 1 su 10 l’arrampicata. La probabilità che un suo studente scelto a caso pratichi entrambi gli sport è130 ∙ 110 ?

- Per applicare la legge della moltiplicazione serve sapere la percentuale di scialpinisti dell’Istituto che arrampica.



esaminiamo l’errore mediante un esempio

130 ∙𝟏𝟒 = 𝟏 𝟏𝟐𝟎 ≠ 1 300

- Se, tra gli scialpinisti, gli arrampicatori sono 1/4, allora la probabilità richiesta è


Quindi attenzione nell’applicare la legge della moltiplicazione!

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Probabilità di eventi non elementari – Un pb istruttivo

Attività - Esaminare i compleanni di alcune classi - Ogni studente scrive un naturale “a caso” tra 1 e 365; poi si confrontano i numeri scritti - Esaminare i compleanni dei titolari e dell’arbitro (22+1) di alcune partite di calcio della squadra del cuore

Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno due tra esse compiano gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)?

gli studenti formulano delle congetture sul risultato del problema iniziale


Mondiale di calcio 2014. Ogni squadra deve convocare 23 giocatori. Per 15 squadre su 32: almeno due giocatori compiono gli anni nello stesso giorno.

(dati da wikipedia, 1/06)

http://it.wikipedia.org/wiki/Convocazioni_per_il_campionato_mondiale_di_calcio_2014

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Risolviamo il problema

- un caso più semplice: alla festa ci sono 3 persone

un suggerimento: consideriamo l’evento complementare

risoluzione e osservazioni


- le ipotesi: non condizioni astratte … le nascite secondo l’Istat

la formalizzazione: esigenza di precisione e coincisione

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p

n


Diamo i numeri …

n. persone p ( ≥ 2 compleanni = giorno)

10 0,12 20 0,41 23 0,51 30 0,71 40 0,90 50 0,97 56 0,99

Ad una festa scommetti che almeno due partecipanti compiano gli anni in uno stesso giorno. Affinché la tua probabilità di vittoria sia maggiore del 50%, i partecipanti devono essere più di 182?

Qual è il più piccolo naturale per cui tale probabilità è maggiore di un dato valore?Didattica probabilità e statistica PAS 2014

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Vogliamo comprendere

Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno una tra esse compia gli anni nel tuo stesso giorno (oltre a te)?

p = 1−ቀ364365ቁ22 ≈ 0,0586

Perché la probabilità del problema iniziale è “grande”?

L’idea:- nel pb iniziale (“in uno stesso giorno”) i casi favorevoli non sono 23 intervengono le coppie di persone … 23 22 /2∙

- in questo pb (“nel tuo stesso giorno”) le coppie sono 22


un approfondimento: compleanni e coincidenze

Qual è la probabilità che una quarantenne viva almeno fino a 70 anni?

Tavole di mortalità - ISTAT 2010

età num. viventi maschi num. viventi femmine

0 100.000 100.000

40 97.921 98.918

70 81.482 89.879

popolazione stazionaria scelta a caso

Probabilità che dipendono da altre – Le informazioni

𝑝("70 da 40") = 𝟖𝟗.𝟖𝟕𝟗𝟗𝟖.𝟗𝟏𝟖≈ 0,909

già incontrate nelle attività precedenti, ora approfondiamo (secondo biennio)


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⊂ - si ha {40-enni} I

𝑝ሺ"70 da 40"ሻ> 𝑝ሺ"70"ሻ ≈ 0,899 Vale

Perché le due probabilità sono diverse?

𝑝ሺ 70 𝑑𝑎 40ሻ= 𝑝ሺ70ሻ𝑝(40) e 0 < 𝑝ሺ40ሻ< 1

età n. viventi maschi n. viventi femmine

0 100.000 100.000

40 97.921 98.918

70 81.482 89.879

In “70 da 40” usiamo informazioni in più probabilità condizionata


Più precisamente- casi favorevoli: {70-enni} - casi possibili di “70 da 40”: {40-enni} di “70”: insieme I

{40-enni}

{70-enni}

I


Un’altra giustificazione

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𝑝ሺ𝑀ሻ= 32.7001.000.000 = 0,0327 invece

Su una popolazione di 1.000.000 individui, 32.700 hanno una certa malattia; di questi ultimi, 22.300 sono fumatori. I fumatori costituiscono il 20% della popolazione. Qual è la probabilità di avere tale malattia per un fumatore?


𝑝𝐹(𝑀) = 𝟐𝟐.𝟑𝟎𝟎𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎≈ 𝟎,𝟏𝟏

Insieme dei nuovi “casi possibili”? Insieme dei “casi favorevoli”?

FM ∩ F

Fumatori


F = {fumatori}M = {ammalati}

U = {individui pop.}

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Calcola la probabilità che in un lancio di due dadi, uno bianco e l’altro giallo, escano due “6” a) senza informazioni aggiuntiveb) sapendo che è uscito almeno un “6”c) sapendo che l’esito del dado giallo è “6”

Le nuove informazioni modificano l’insieme dei “casi possibili”.

Due dadi


una rappresentazione grafica della questionele risposte: a) 1/36 b) 1/11 c) 1/6

proporre però anche contesti ricchi

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Probabilità che dipendono da altre – Le attenzioni

Ok ricorrere all’intuizione, ma attenzione:

- dipendenza non è sempre “influenza” tra eventistatistica sulle case inglesi dopo la seconda guerra mondiale

- indipendenza non è sempre intuitivaesempio del lancio di un dado

Se vi sono dubbi si può ricorrere alla condizione formale di indipendenza degli eventi A, B:𝑝ሺ𝐴∩𝐵ሻ= 𝑝(𝐴) ∙𝑝(𝐵)


alcune precisazioni … per le classi che possono apprezzarle

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Dati due eventi A e B tali che p(B)≠0, diciamo probabilità condizionata di A dato B, la probabilità che si verifichi l’evento A qualora si sappia che si è verificato B.

Probabilità che dipendono da altre – Il punto

Insieme dei nuovi “casi possibili” = B Insieme dei “casi favorevoli” = A ∩ B

UBA

U

A∩B

pBሺAሻ= p(A∩B)p(B) Si ha

dove le probabilità p sono valutate rispetto all’insieme U in cui si considerano contenuti A, B.


𝑝𝐵ሺ𝐴ሻ. E la indichiamo con

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• Si è verificato B; qual è la nuova probabilità di A? Con lo schema classicoUBA

U𝐩𝐁ሺ𝐀ሻ= misura (𝐀∩𝐁)misura (𝐁)

entrambe le misure sono effettuate rispetto allo stesso insieme U

Probabilità che dipendono da altre – Il punto

misura ሺ𝐀∩𝐁ሻ= 𝐩(𝐀∩𝐁) misura ሺ𝐁ሻ= 𝐩(𝐁)

• Ma nella interpretazione geometrica della probabilità, la probabilità di un insieme è una sua misura. Pertanto

Una giustificazione della formula pBሺAሻ= p(A∩B)p(B) (*)


Riferimento per la formula (*) e attività che la preparano o consolidano

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Probabilità che dipendono da altre – Il docente

Quanto appena proposto sulla probabilità condizionata è rivolto agli studenti di scuola secondaria.


- a partire dalla definizione (*) si dimostra che nell’approccio classico la probabilità condizionata è la probabilità dell’evento sapendo che …(slide 15)

ll docente dovrebbe tenere presente che - la formula (*) è la definizione di probabilità condizionata

nell’ambito della teoria assiomatica

A | B non è un evento

- questo ultimo risultato è il significato di probabilità condizionata nell’approccio classico

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Probabilità che dipendono da altre – Uno dei pb iniziali

Il test “Elisa”, relativo all’HIV, può fornire esiti errati. Precisamente vi è una probabilità del 99,9% che il test dia esiti positivi nei soggetti che effettivamente hanno contratto l’HIV (sensibilità del test) ed una probabilità del 99,9% che il test risulti negativo nei soggetti che non hanno l’HIV (specificità del test). Consideriamo ora una certa popolazione. Assumiamo che lo 0,3% della quantità di individui di tale popolazione abbia l’HIV (prevalenza della malattia).Il test, applicato ad un individuo scelto a caso in tale popolazione, ha dato esito positivo. Qual è la probabilità che tale individuo sia in realtà sano, cioè non abbia l’HIV?

è opportuno aver prima affrontato i problemi test clinici “diretti” (slide 36 e 37 dell’incontro 3)

Ancora test clinici


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Attenzione all’evento“sapendo che l’individuo non è malato, il test ha avuto esito positivo”


• Modellizziamo il problema

99,9%di M

99,9%di M

c

0,3%dei casi iniziali

Mc

M

T - T+

• E’ richiesta la probabilità dell’evento “l’individuo non è malato, sapendo che il test ha avuto esito positivo”, ossia

𝑝𝑀𝑐(𝑇+)


MC M

T - T+T -T+

0,003

0,9990,999

- la sua probabilità si denota con- l’insieme dei casi possibili è rappresentato sulla tabella dalla prima riga

𝒑𝑻+ሺ𝑴𝑪ሻ ≠ 𝑝𝑀𝑐(𝑇+)

- si ha

𝒑𝑻+(𝑴𝑪)

cella: evento intersezionecammino: evento intersezione

prob. condizionata

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• Interpretiamo il risultato- : si controlla l’esito con il test Western Blot

- è trascurabile (da calcolo analogo); questo è importante?𝑝𝑇−ሺ𝑀ሻ 𝑝𝑇+ሺ𝑀𝐶ሻ≈ 25%


• Risolviamo il problema

risoluzione completa e osservazioni


http://alpha.science.unitn.it/~bonaccor/blog_post-2.html

http://alpha.science.unitn.it/~bonaccor/blog_post-2.html


• Esploriamo la situazione

- Il test ha sensibilità e specificità “alte”. Perchè allora non è “bassa” la probabilità che il test positivo sia errato (è circa il 25%)?

- Come varia la probabilità richiesta al variare dei valori in ipotesi? proviamo

La malattia ha bassa prevalenza, pertanto ci sono “molti” sani ;la probabilità di falso è “bassa” ma è applicata a “molti”: quindi ci possono essere “non pochi” falsi.


Un esempio numerico. Popolazione di 1.000.000 di individui:a) 997.000 sani; tra essi i test positivi “sono” lo 0,1%, ossia 997 falsib) 3.000 malati; tra essi i test positivi “sono” il 99,9%, ossia 2997 veriCosì, tra i test positivi, i falsi non sono pochi rispetto ai veri.

L’attività sviluppa le abilità di previsione e controllo dei risultati del problema.

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Perché preferire l’approccio mediante modelli grafici?


𝑝 ሺ𝑀𝑐| 𝑇+ሻ= 𝒑(𝑴𝒄) ∙𝒑(𝑻+|𝑴𝒄)𝒑ሺ𝑴𝒄ሻ∙𝒑ሺ𝑻+aA𝑴𝒄ሻ+ 𝒑ሺ𝑴ሻ∙𝒑ሺ𝑻+aA𝑴ሻ = 0,997∙0,001 0,997∙0,001+ 0,003∙0,999

• E se applicassimo direttamente la formula di Bayes?

- per comprendere il significato del procedimento risolutivo- per controllarlo

- per poter ricostruire il procedimento a lungo termine

- l’espressione è uguale a quella ottenuta con il procedimento grafico- anzi, per ricavare la formula basta ripercorrerlo:

- dà la probabilità (a posteriori) delle “cause” … note quelle degli “effetti” - la formula compare nelle Indicazioni nazionali

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Probabilità che dipendono da altre – Letture e attività letture dal primo incontro

𝑝𝑇+ሺ𝑀ሻ= 𝑝ሺ𝑀∩𝑇+ሻ𝑝ሺ𝑇+ሻ = 0,1 ∙0,50,9 ∙0,01 + 0,1 ∙0,5 ≈ 𝟎,𝟖𝟒𝟕

Pb analogo all’ultimo sui test clinici. Ora M = “l’individuo è dopato”. Un modello che mostra le informazioni fornite:

Qual è la probabilità che l’atleta positivo al test sia effettivamente dopato?Assumi che la probabilità di risultare positivo per il non dopato sia dell’1%, quelladi essere positivo per il dopato sia del 50%, e che i dopati siano il 10% degli atleti.

• Test antidoping (primo incontro slide 9 – Medici_tedeschi.pdf)


Il procedimento è analogo:

Eventualmente prima risolvere il problema su 1.000 atleti, usando le frequenze …

MC M

T - T+T -T+

0,10

0,500.01

Probabilità che dipendono da altre – Letture e attività

• Filtri anti-spam (primo incontro slide 13 – Antispam.pdf)

a) Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è uccisa da luib) Studi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è uccisa da lui

• Processo ad O.J. Simpson ( primo incontro slide 12 – Uomini_picchiano_donne.pdf)

- Rappresenta con diagrammi di Venn le due situazioni ora descritte.- Esprimi ciascuna situazione mediante la probabilità condizionata.- Quale tra le 2 valutazioni di probabilità ti sembra adeguata? Perché?

𝑝𝑩(𝑪)= 0,04%


B

CD

𝒑𝑫ሺ𝑪ሻ= 𝟗𝟎% D ={picchiate compagno e uccise}

b)

C

Ba)

B ={picchiate compagno}C ={uccise da compagno}

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