Sesion 08 - Ec. de Continuidad - Ec. Bernoulli

8/16/2019 Sesion 08 - Ec. de Continuidad - Ec. Bernoulli

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FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVÍL

CURSO: MECANICA DE FLUIDOS

SESION 08: EC CONTINIUDAD EC BERNOULLI

AUTOR: Ing JORGE RONDO VASQUEZ

TRUJILLO - PERÙ


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VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos

permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuación de

continuidad . Consideremos un sistema físico conteniendo una determinadacantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente, como se muestra

a través del tubo para un flujo permanente, unidimensional y compresible.

Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la sección es A1 y la densidad ρ1,

mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2

y la densidad es ρ2

.

El volumen de control está representado por las letras I y R, en tanto que lasuperficie de control coincide con las paredes del tubo


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VII. ECUACI N DECONTINUIDAD.

De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuestopor el fluido dentro del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dt

el sistema se mueve corriente abajo, de tal forma que según el

principio de conservación de masa del sistema se tiene que

Es decir:

Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en

puntos del espacio no son funciones del tiempo, de tal forma que

Masa del fluido en las

zonas I y R en un en untiempo t tiempo t dt

masa del fluido en las

zonas O y R

I R O Rt t dt m m m m

R Rt t dt m m


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VII. ECUACIÓN DECONTINUIDAD.

Por lo tanto

Estos dos términos se expresan

fácilmente en función de otras

variables como la densidad, el área

de la sección y el desplazamiento

de la masa del fluido, es decir

Es a la cantidad que se

le conoce como Régimen deflujo de masa y constituye la

llamada ecuación de la

continuidad, la misma que

expresa: en un flujo

permanente, el régimen de

flujo de masa que pasa a

través de todas las

secciones de un tubo de

corriente, es constante.

I Ot t dt m m

1 1 1 2 2 2 A dS A dS 1 1 1 2 2 2( / ) ( / ) A dS dt A dS dt

1 1 1 2 2 2 A v A v

,m Av

0

m Av Cte

o

d Av


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VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. Por otro lado si se multiplica a la

ecuación de continuidad por la

aceleración de la gravedad localg se obtiene el flujo ponderal (G )

Para el caso en el cual el fluido

es incompresible la densidad así

como el peso específico se

mantiene constante. Entonces laecuación de la continuidad se

expresa en la forma

A la cantidad Q se le llama

Caudal o gasto o régimen de flujo

volumétrico o volumen porunidad de tiempo que pasa a

través de un área del tubo de

flujo, cuyas unidades son m3 /s.

Para flujos bidimensionales el

régimen de flujo se expresa por

unidad de distancia perpendicular

normal al plano del flujo, la

ecuación de continuidad, seescribe

G mg Av

Q Av Cte

Ghv

b


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.EULER.

Otra de las ecuaciones que describen el movimiento de fluidos es la

ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación de la energía.

La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de

Newton al movimiento de las partículas de un fluido


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VIII. Ecuación de Euler Fuerzas debido a la presión

Fuerzas debido al peso

Aplicación de la segunda ley de Newton

1 2; F ( ) F pdA p dp dA

dW g dA dS sen

1 2

.

t t

t

F m a

F F dW Sen dm a

dv p dA p dp dA g dA dS Sen dA dS

dt

dp g dA dSSen dA v dv


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VIII. Ecuación de Euler• Teniendo en cuenta que dz = dS sen , la ecuación anterior se escribe

• Para fluidos incompresibles

• O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme

dp g dz v dv 2

02

dp v

d dz g

2

0

2

p vd z

g


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XI. Ecuación de Bernoulli Es una ecuación fundamental de la mecánica de los fluidos ideales y

constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Seconsidera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética

debida al movimiento, la energía debida a la presión y la energía potencialgravitatoria debida a la elevación. Se obtiene integrando la ecuación deEuler, esto es

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p v z z

g g

2

2

p v z H Cte

g


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VIII. LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. • La ecuación de Bernoulli, se aplica a todos los puntos de la línea de

corriente y provee una relación útil entre la presión p, la magnitud de la

velocidad v y la altura z sobre el plano de referencia. A la cantidad H se

le denomina carga total. La ecuación de Bernoulli, revela además que

las cantidades p/ γ, v 2 /2g y z son distancias verticales. El experimento

de Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v 2 /2g ), la

carga de presión ( p/ γ) así como la carga de altura z siempre permanececonstante.


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IX. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 1. La ecuación de la hidrostática.

Para determinar la ecuación

hidrostática se aplica la ecuaciónde Bernoulli entre los puntos 1 y 2de la

Como el depósito está abiertosobre la superficie libre del fluido

actúa la presión atmosférica p0 . Así mismo, debido a que el fluidoestá en reposo, v1 y v2 son nulas,

con lo que la ecuación anterior se

escribe

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p v

z z g g

011 2

1 0 2 1

1 0

0 0

.

p p z z

p p z z

p p h


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APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 2. Teorema de Torricelli.

Permite determinar la velocidad

de salida de un fluido a través deuna boquilla. Se aplica laconservación de masa

La ecuación de Bernoulli nos da

Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto

es la presión atmosférica p0, laecuación anterior se escribe.

2 2

1 1 2 21 2

2 2

p v p v z z

g g

1 1 2 2 A v A v

2 2

0 01 2

1 2

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1

2 2

2

2

p pv v

z z g g

v v g z z

v v gh


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APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 2. Teorema de Torricelli..

De las ecuaciones anteriores se

tiene

En general el área de la tobera

A2 es mucho menor que el áreade la sección transversal deldepósito A1, de tal forma que

Esta ecuación indica que la

velocidad de descarga es igual a

la velocidad que alcanzaría una

partícula cayendo libremente sin

fricción desde el punto 1 hasta el

punto 2. En otras palabras la

energía potencial de la superficie

libre se convierte en energíacinética del chorro.

2

2 22

1

2 2

1 2

1 2

2 1 /

Av gh

A

ghv A A

2

2v gh

APLICACIONES DE LA ECUACION DE


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APLICACIONES DE LA ECUACION DEBERNOULLI.

2. Efecto Venturi Supongamos que tenemos un flujo

en el cual no existen diferenciassignificativas de energía potencialdel fluido en movimiento. Entoncesen la ecuación de Bernoulli se puedeconsiderar que z1 = z2 = 0, con lo quese tiene

De donde

En esta expresión, si v1 es mayor que v2,entonces también lo es

En consecuencia,

es negativo, lo que a su vez, es

posible solo si p2 es mayor que p1.En términos más simples, donde lavelocidad sea mayor, la presión esmenor.

A este fenómeno se le conocecomo efecto Venturi.

Este efecto se aprecia con gran

facilidad al soplar entre dos hojas

de papel separadas unos cuantos

centímetros. La velocidad del aire

entre las hojas será mayor que en

las caras externas y por tanto la

presión en las caras externas será

mayor, uniéndolas.

2 2

1 1 2 2

2 2

p v p v

g g

2 21 2 2 11

2 p p v v

2 2

2 1v v

1 2( ) p p


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Efecto venturi El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una

hoja dispuesta horizontalmente, levantándola; a su vez, este ejemplo

explica el porqué los techos arrancados de las casas con puertas yventanas bien cerradas en un día de viento de gran intensidad.

Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera

que se roto traslade como se observa en la Figura que representa una

mirada desde arriba.


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Algunas explicaciones a partir delefecto Venturi•

En una carretera, si dos vehículospasan cerca, en el espacio entre

ellos el aire se mueve a gran

velocidad respecto a los vehículos,

por lo tanto en esa zona disminuye la

presión del aire y con ello se justifica

que los vehículos se atraen entre sí.

Esto es más manifiesto si uno de los

vehículos es mucho más pequeño

que el otro.

•P

PinteriorVelocidad

del aire

•Se tiene

•P > Pinterior

•por lo tanto el vehículo más

pequeño es atraído hacia el

más grande.


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Tubo Venturi• Este medidor mostrado en la figura consiste en un tubo con un

estrechamiento en forma gradual y un aumento tambiéngradual practicado con la finalidad de evitar la formación de

remolinos de tal manera que no se produzca remolinos

quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario

(permanente).


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Tubo Venturi Para determinar el caudal en

primer lugar se determina la

velocidad de flujo del fluido, paraello se aplica la ecuación de

continuidad entre los punto 1 y 2

Por otro lado aplicando laecuación de Bernoulli entre los

puntos 1 y 2 se tiene

• Observando la figura se ve que

z1 y z2 se encuentran en un

mismo nivel horizontal por loque

• Combinando las ecuaciones 1 y 2

1 1 2 2

2

2 2

1

A v A v

Av v

A

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p v p v

z z g g

2 2

1 1 2 2

2 2

p v p v

g g

2 12 1 1 22 g

v v p p

1 22 2

2

1

2

1

g p pv

A

A


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Tubo Venturi La diferencia de presiones se

determina a partir de las

lecturas de los piezometros, esdecir

Entonces la velocidad se

expresa en la forma

Entonces el caudal Q o régimen

de flujo volumétrico se expresa

en la forma

1 0 1 p p h

2 0 2 p p h 1 2 p p h

2 2

2

1

2

1

ghv

A

A

1 1 2 2

1 2 2 21 2

2

Q A v A v

ghQ A A

A A

T b d V t i


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Tubo de Venturi


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Tubo de Venturi


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Tubo de pitot• Este dispositivo se utiliza para

medir la velocidad del flujo de

un gas, consiste en un tubomanométrico abierto e que va

conectado a una tubería que

lleva un fluido como se muestra

en la Figura

• La diferencia de presiones se

determina del manómetros

2 12 ( ) g p pv

2 1 Hg p p h 2 Hg g h

v

2 2

1 1 2 21 2

2 2 p v p v z z

g g

2

1 2 0

0 02 2

p pv

g g


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•Tubo de pitot

•http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Staudruck-Differenz-Messeinrichtung-prinzipiell-bewegt.gif


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Tubo de Pitot


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•Sifones

Sif


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•Sifones 2 2

0 0 0 C C C

1 1P gy v P gy v

2 2

2 2

atm atm C C

1 1P g 0 0 P gy v

2 2

C Cv 2gy


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PARA DESARROLLAR EN CASA EJEMPLO 01

Un tanque cilíndrico contiene aire, aceite y agua. El aire

se mantiene a una presión manométrica p = 5 lb/pulg2

.¿Cuál es la velocidad del agua que sale si se ignora la

fricción y la energía cinética del fluido por encima de la

elevación A? El chorro de agua que sale tiene un

diámetro d = 1 pie.


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EJEMPLO 02Un tanque grande contiene aire comprimido, gasolina con

una densidad relativa de 0,68, aceite liviano con unadensidad relativa de 0,80 y agua. La presión manométrica

del aire es p = 150 kPa. Si no se tiene en cuenta la

fricción. ¿Cuál es el régimen de flujo de masa m


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EJEMPLO 03 A través de la tubería mostrada en la figura

fluyen trescientos litros por segundo de unlíquido con peso específico de 8 kN/m3.

Determine la lectura del manómetro en U si la

densidad del mercurio es 13600 kg/m3.


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EJEMPLO 04Calcular el caudal ideal a través del sistema

de tuberías mostradas en la figura.


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EJEMPLO 05 A través de la tubería mostrada fluye gasolina

cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a)La lecturas de los medidores de presión; (b) El

régimen de flujo de masa.


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EJEMPLO 06 A través del tubo vertical circula agua en forma

permanente z luego entra en la región anular entre lasplacas circulares mostradas. Luego se mueve

radialmente, saliendo como una lamina libre. Si no se

tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el caudal de agua a

través de la tubería si la presión manométrica en el punto

A es 69 kPa?.


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EJEMPLO 07Para un régimen de flujo de aire de 2 m3/s de aire cuyo

peso especifico es 12 N/m3

. ¿Cuál es la mayor área A2 que hará que se aspire agua por la abertura del

piezómetro?. Desprecie los efectos de compresibilidad.


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EJEMPLO 08 A través de la tubería mostrada en la figura

fluye agua. Determine el régimen de flujovolumétrico


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EJEMPLO 09Los dos fluidos de a figura se encuentran a 20°C. Si la

velocidad del agua en la posición 1 es v 1 = 1,7 pies/s y sedesprecian las pérdidas. ¿Cuál es la lectura h del

manómetro?. Considere que el peso específico del agua

es 62,4 lb/pie3 y la densidad relativa del mercurio es 13,6.


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EJEMPLO 10 A través del sistema de tuberías fluye agua.

Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lecturadel medidor de presión p(kPa).


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EJEMPLO 11En esta tubería fluye agua a razón de tres

décimos de metro cúbico por segundo. Calcularla lectura del manómetro, (a) usando el diagrama

como se muestra, (b) cuando el tubo del pitot

está en la sec. 2 y la conexión de presión estática

está en la sección 1.


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