TEOREMA MARKOV DAN CHEBYSHEV · 2018. 6. 13. · melalui probabilitas biasa, bandingkan hasil perhitungan ini ... Contoh : Bagian pengendalian kualitas produksi, ingin mengetahui

Sabtu, 25 Sabtu, 25 Nopember 2006Nopember 2006

[MA 2513] PROBSTAT[MA 2513] PROBSTAT 11

TEOREMA MARKOV DAN CHEBYSHEVTEOREMA MARKOV DAN CHEBYSHEV

Variansi dari variabel random mengendalikan penyebarandistribusinya disekitar mean. Variansi kecil menunjukan besardeviasi disekitar mean adalah mustahil.

Variansi yang tepat mengenai ungkapan diatas, disebutpertaksamaan MARKOV dan pertaksamaan CHEBYSHEV.

Pertaksamaan ini, sangat baik sekali manfaatnya; karena tidak memerlukan bantuan distribusi peluang. Yang diperlukan hanya μ dan σ2



TEOREMA PERTAKSAMAAN MARKOVTEOREMA PERTAKSAMAAN MARKOV

Jika X adalah variabel random yang hanyamengambil nilai-nilai yang non-negatif, maka untuka > 0, a ∈ R berlaku :

BuktiBukti, , didi bahasbahas dikelasdikelas

( )( )

E XP X a

a≥ ≤



TEOREMA PERTAKSAMAAN CHEBYSHEVTEOREMA PERTAKSAMAAN CHEBYSHEV

JIKA X ADALAH VARIABEL RANDOM DENGAN MEAN μ DAN VARIANSI σ2, MAKA UNTUK SUATU NILAI k >0; k ∈ R, BERLAKU :

BuktiBukti, , didi bahasbahas didi lembarlembar berikutnyaberikutnya

{ }2

2P X kkσμ− ≥ =



BENTUK EKUIVALENSIBENTUK EKUIVALENSI

Bentuk ekuivalensi dari pertidaksamaan Chebyshev, Sebagaiberikut :

JIKA variabel random X mempunyai mean μ dan variansi σ2 , makauntuk suatu konstanta c dan k berlaku :

2

1. ( )a P X k

kμ σ− ≥ ≤

2

1. ( ) 1b P X k

kμ σ− < ≥ −

2

2. ( )c P X cc

σμ− ≥ ≤



MARKOV INEQUALITYMARKOV INEQUALITY

JikaJika X pa/X pa/rvrv yang yang hanyahanya mengambilmengambil nilainilai--nilainilai non non negatifnegatif, , makamakauntukuntuk a > 0 , a a > 0 , a ∈ ∈ RR

0

( )E X x f x d x∞

= ∫

( ) ( )E XP X aa

≥ ≤BUKTI :

0

( ) ( )a

a

x f x dx x f x dx∞

= +∫ ∫( )

a

x f x dx∞

≥ ∫



( )a

a f x dx∞

≥ =∫

( )( )a

a f x dx a P X a∞

= ≥∫JADI : ( ) ( )E xP X a

a≥ ≤

MARKOV INEQUALITYMARKOV INEQUALITY



CHEBYSHEVCHEBYSHEV’’ S INEQUALITYS INEQUALITY

JikaJika X pa/X pa/rvrv dengandengan mean (mean (rataanrataan) ) μμ dandan variance variance ((variansi/ragamvariansi/ragam) ) σσ2, 2, makamaka untukuntuk suatusuatu nilainilai k > 0 ; k k > 0 ; k ∈∈ RRberlakuberlaku : :

{ }2

2P X kkσμ− ≥ ≤

Bukti : Karena (X - μμ )2 adalah pa/vr yang non negatif makapertidaksamaan MARKOV dapat dipakai yaitu denganmengambil nilai a = k2



INGAT :

( ) ( )E XP X aa

≥ ≤

( ){ } ( )2

2 22

E XP X k

k

μμ

⎡ ⎤−⎣ ⎦− ≥ ≤

CHEBYSHEVCHEBYSHEV’’ S INEQUALITYS INEQUALITY



( )2 2X k X kμ μ− ≥ <====> − ≥

( ) 2

1P X kk

μ σ− ≥ ≤

TEOREMA CHEBYSHEVTEOREMA CHEBYSHEV

( )2

2P X kkσμ− ≥ ≤

JADI :JADI :

SelanjutnyaSelanjutnya apabilaapabila kk digantidiganti dengandengan kkσσ, , makamaka ::



TEOREMA CHEBYSHEVTEOREMA CHEBYSHEV

VR X mempunyai mean : μX

variansi :

Untuk suatu konstanta c dan k berlaku :

2Xσ

( ) 2

1x XP X k

kμ σ− ≥ ≤

atau

atau( ) 2

11X XP X kk

μ σ− < ≥ −

( )2

2X

XP X cc

σμ− ≥ ≤

.

.

.

KETIGA BENTUK DIATAS EKUIVALEN



SOAL SOAL -- SOALSOAL1.1. DenganDengan menggunakanmenggunakan CHEBYSHEVCHEBYSHEV--INEQINEQ

CarilahCarilah Lower Bound Lower Bound padapada ::

( )4 20P X− < <dimanadimana vrvr X X mempunyaimempunyai : Mean : Mean μμ = 8 = 8 dandan VarVar X= 9X= 9SolusiSolusi : :

2.2. DiberikanDiberikan VRD X VRD X dengandengan pmfpmf : :

1/81/86/86/81/81/8p(x)p(x)1100--11xx

( )p x



DenganDengan menggunakanmenggunakan CHEBYSHEVCHEBYSHEV--INEQINEQ

CarilahCarilah Upper Bound, Upper Bound, untukuntuk k = 2. k = 2. SelanjutnyaSelanjutnya hitunghitungmelaluimelalui probabilitasprobabilitas biasabiasa, , bandingkanbandingkan hasilhasil perhitunganperhitungan iniinidengandengan CHEBYSHEVCHEBYSHEV--INEQINEQ

SolusiSolusi ::

( ) 2

1P X kk

μ σ− ≥ ≤

SOAL SOAL -- SOALSOAL



DiberikanDiberikan VR X VR X dengandengan pdfpdf sebagaisebagai berikutberikut ::

SOAL SOAL untukuntuk dikerjakandikerjakan sendirisendiri

12 3

... 3 3( )

0... 3 3X

xf x

x atau x

⎧ < <⎪=⎨≤− ≥⎪⎩

PertanyaanPertanyaan ::

BandingkanBandingkan perhitunganperhitungan diatasdiatas (Exact (Exact ProbProb) ) dengandenganUpper Bound yang Upper Bound yang diperolehdiperoleh dengandengan CHECHE--INEQINEQ

( ) ( )32 ?; 2P X P X≥ ≥

SOLUSISOLUSI



AndaikanAndaikan VR X VR X hanyahanya mengambilmengambil hargaharga x = 1 x = 1 dandan x = x = --1 1 masingmasing--masingmasing dengandengan peluangpeluang = 0.5.= 0.5.TentukanTentukan Lower Bound Lower Bound padapada ::

( )1 1P X− < < MelaluiMelalui CHECHE--INEQINEQ

BandingkanBandingkan dengandengan EXACT/ACTUAL PROBABILITYEXACT/ACTUAL PROBABILITY

SolusiSolusi ::

SOAL SOAL untukuntuk dikerjakandikerjakan sendirisendiri



SoalSoal--soalsoal

1.1. DiberikanDiberikan pmfpmf daridari variabelvariabel random X random X sebagaisebagai berikutberikut : :

TentukanTentukan k k sehinggasehingga memenuhimemenuhi sifatsifat daridari pmfpmf !!

2.2. AndaikanAndaikan W W suatusuatu variabelvariabel random random dengandengan pmfpmf

PertanyaanPertanyaan : a. : a. TentukanTentukan nilainilai kkb. b. TentukanTentukan pmfpmf daridari X = 2W + 1X = 2W + 1

kk22

3k3k22kk00p(x)p(x)331100xx

6k6k11

3k3k3k3kP(W=w) = P(W=w) = p(wp(w))00--11ww



3.3. AndaikanAndaikan X X suatusuatu variablvariabl random random dengandengan fungsifungsi distribusidistribusi, , sebagaisebagai berikutberikut ::

00 untukuntuk x < 4x < 40,10,1 untukuntuk 4 4 ≤≤ x < 5x < 50,40,4 untukuntuk 5 5 ≤≤ x < 6x < 60,70,7 untukuntuk 6 6 ≤≤ x < 8x < 80,90,9 untukuntuk 8 8 ≤≤ x < 9x < 911 untukuntuk x x ≥≥ 99

PertanyaanPertanyaan ::a. a. SketsSkets grafikgrafik F(xF(x))b. b. TentukanTentukan pmfpmf daridari XX

berikutberikut grafiknyagrafiknya

SoalSoal--soalsoal

F(x) =

c. Dengan menggunakan fungsi distribusi; tentukan : P ( X ≤ 6,5 ), P( X > 8,1)

P ( 5 < X 8 ), P (5 ≤ X < 8)



4.4. VR X VR X berdistribusiberdistribusi Binomial Binomial dengandengan E(X) = 6 E(X) = 6 dandan VarVar X = X = 2,4 2,4 TentukanTentukan ::a. P ( X > 4 )a. P ( X > 4 ) b. P ( 1 < X < 7 )b. P ( 1 < X < 7 )

5.5. PDF PDF daridari suatusuatu VR X VR X diketahuidiketahui sebagaisebagai berikutberikut ::

JikaJika E (X) = 0,6, E (X) = 0,6, tentukantentukan nilainilai a a dandan bb

SoalSoal--soalsoal

⎩⎨⎧ ≤≤+

=lainnyaxuntuk

xbxaxfX 0

10;)(

2



6.6. Box Box berisiberisi 24 24 DiaodeDiaode, 6 , 6 diantaranyadiantaranya rusak/cacatrusak/cacat. . JikaJika X VR X VR yang yang menyatakanmenyatakan banyaknyabanyaknya Diode yang Diode yang cacatcacat dalamdalam sampelsampelsebanyaksebanyak 5.5.PertanyaanPertanyaan ::a. a. TentukanTentukan pmfpmf daridari XXb. b. TentukanTentukan peluangpeluang paling paling sedikitsedikit duadua diode yang diode yang cacatcacatc. c. TentukanTentukan mean mean dandan standard standard deviasinyadeviasinya

ContohContoh ::BagianBagian pengendalianpengendalian kualitaskualitas produksiproduksi, , inginingin mengetahuimengetahuikualitasnyakualitasnya dengandengan mengambilmengambil sampelsampel sebanyaksebanyak enamenam items. items. JikaJika diketahuidiketahui bahwabahwa proporsiproporsi peluangpeluang items yang items yang cacatcacatadalahadalah 0,200,20

SoalSoal--soalsoal



BeberapaBeberapa peluangpeluang daridari sampelsampel yang yang diambildiambil tersebuttersebutberisi/memuatberisi/memuat ::a. a. TidakTidak adaada yang yang cacatcacatb. b. SatuSatu item yang item yang cacatcacatc. c. DuaDua item yang item yang cacatcacatd. d. EmpatEmpat items yang items yang cacatcacatf. f. LebihLebih daridari tigatiga items yang items yang cacatcacat

x = 0, 1, 2, . . . nx = 0, 1, 2, . . . nΣΣ = 1 = 1 –– pp

n = 6n = 6 SelanjutynaSelanjutyna :: a. p (0)a. p (0)p = 0,20p = 0,20 b. p (1) b. p (1)

c. p (2)c. p (2)

ContohContoh ::

xnxpxn

xp −∑⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→ )( diatas Data



Box Box berisiberisi 24 diode 24 diode memuatmemuat 6 diode yang 6 diode yang cacatcacat. . JikaJika X X menyatakanmenyatakan banyaknyabanyaknya diode yang diode yang cacatcacat dalamdalam sampelsampel yang yang berjumlahberjumlah 5.5.a. a. TentukanTentukan pmfpmf daridari daridari XXb. b. TentukanTentukan paling paling sedikitsedikit duadua yang yang cacatcacat; ; sertaserta

ApabilaApabila : (i). WR: (i). WR (ii) WOR(ii) WORPembahasanPembahasan ::(i) WR (i) WR →→ X ~ BIN (n, p) X ~ BIN (n, p)

ContohContoh ::

2dan XX σμ

5;41

24624 ==== npN

( ) ( ) 5...2,1,0;5

)( 543

41 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= − x

xxp xx

X



( ) ( )

...9375,0

9375,0)75,0()25,1(

25,1.5)(3672,06328,01)25,0,5;1(1)25,0,5;1(1

1212

241

)1(

==

====

=====−=

−=−=

−=<−=≥

X

X

X

npqXVar

npXE

FB

FXPXP

σ

σ

μ



A telephone exchange receives calls at random with an A telephone exchange receives calls at random with an avarageavarage of 2 of 2 incoming calls incoming calls perminuteperminute..What is the probability that :What is the probability that :a. No calls arrive in a 1 minute interval ?a. No calls arrive in a 1 minute interval ?b. More than 2 calls arrive interval b. More than 2 calls arrive interval c. Less than 3 calls arrive in a 5 minute intervalc. Less than 3 calls arrive in a 5 minute intervald. More than 8 calls arrive in a 5 minute interval?d. More than 8 calls arrive in a 5 minute interval?e. e. BetweennBetweenn 3 and 8 calls inclusive arrive in a 5 minute 3 and 8 calls inclusive arrive in a 5 minute intervalinterval

Solution : Solution : λλ = 2 calls/minute= 2 calls/minute

( ) ,...2,1,0;!

)( ====−−

xx

exXPxpxλλ

NoNo calls calls →→ x = 0x = 0 1353,0!2)0( 2

02

≈== −−

eo

ep SisanyaSisanya dibahasdibahasdikelasdikelas



ContohContoh ::

),,(~: nDNHYPXJika: ( )X

Dmaka E X nN

μ = =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

112

NnN

ND

NDnXVar Xσ

npmakapNDApabila X == μ:,:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=1

2

NnNnpqXσ

),(~: pnBINXJika2: ,X Xmaka np npqμ σ= =

finite population correction



xnx qppn

nN

xnDN

xD

im −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

l

),( pnBIN=pNDDN

→

∞→∞→

λ→

→

∞→

NDn

Nn

DNn

0

,,

!xe xλλ−

Documents

TEOREMA MARKOV DAN CHEBYSHEV · 2018. 6. 13. · melalui probabilitas biasa, bandingkan hasil perhitungan ini ... Contoh : Bagian pengendalian kualitas produksi, ingin mengetahui