5. Bentuk  Benda  Tiga  Dimensi    a. Kubus  

 Kubus  adalah  bagunan  yang  mempunyai  12  buah  rusuk  sama  panjang  dan  saling  tegak  lurus  sehingga  sisi  sisinya  yang  berjumlah  6  buah  berbentuk  bujursangkar    

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝐾𝑢𝑏𝑢𝑠 = 𝑎×𝑎×𝑎 = 𝑎!    

𝐿𝑢𝑎𝑠  𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛  𝐾𝑢𝑏𝑢𝑠 = 6×𝑎×𝑎 = 6𝑎!    

Gambar  61    

Diagonal  sisi  adalah  diagonal  yang  terdapat  pada  sisi  yang  sama    Sisi  sisi  kubus  berbentuk  bujursangkar  dan  sifat  sifat  bujursangkar  adalah    Diagonal  sama  panjang  sehingga  𝐶𝐹 = 𝐵𝐺    Diagonal  berpotongan  di  tengah  tengah  sehingga  𝑃𝐵 = 𝑃𝐺 = !"

!  

 Diagonal  saling  tegak  lurus  sehingga  𝐵𝐺 ⊥ 𝐶𝐹  dan  ∠𝑃 = 90!    Diagonal  membagi  sudut  sisi  sama  besar  sehingga  ∠𝐵𝐺𝐶 = ∠𝐵𝐺𝐹 = 45!    

 Gambar  62    Jika  panjang  rusuk  𝑎  maka  panjang  diagonal  sisi  adalah  

 

 Lihat  ∆𝐵𝐶𝐺  siku  siku  di  𝐶    𝐵𝐺! = 𝐵𝐶! + 𝐶𝐺!𝐵𝐺! = 𝑎! + 𝑎!𝐵𝐺! = 2𝑎!

𝐵𝐺 = ± 2𝑎!𝐵𝐺 = ±𝑎 2

   

 Karena  ukuran  panjang  selalu  positif  maka    

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙  𝑆𝑖𝑠𝑖 = 𝑎 2      Bidang  diagonal  adalah  bidang  yang  dibentuk  dari  dua  rusuk  yang  sejajar  tetapi  terletak  pada  sisi  yang  berbeda.  Pada  gambar  diatas  contoh  bidang  diagonal  𝐵𝐹𝐻𝐷    

 Diagonal  ruang  adalah  diagonal  pada  bidang  diagonal    

       Gambar  63         Gambar  64    Lihat  ∆𝐵𝐹𝐻  siku  siku  di  𝐹    𝐵𝐻! = 𝐵𝐹! + 𝐹𝐻!

𝐵𝐻! = 𝑎! + 𝑎 2!

𝐵𝐻! = 𝑎! + 2𝑎!𝐵𝐻! = 3𝑎!

𝐵𝐻 = ± 3𝑎!𝐵𝐻 = ±𝑎 3

   

 Karena  ukuran  panjang  selalu  positif  maka    

𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙  𝑅𝑢𝑎𝑛𝑔 = 𝑎 3        

 

 Garis  lain  pada  diagonal  ruang    Diagonal  ruang  𝐴𝐶𝐺𝐸    Lihat  ∆𝐴𝐸𝐺  siku  siku  di  𝐸     dan     ∆𝑃𝐴𝐸  siku  siku  di  𝐴    tan∠𝐴𝐺𝐸 = !"

!"

= !! !

= !!× !

!

= !!

tan∠𝐴𝐺𝐸 = !!

       

tan∠𝐴𝐸𝑃 = !"!"

=!"!!"

=! !!!

tan∠𝐴𝐸𝑃 = ! !!

 

 

       Gambar  65           Gambar  66    Berdasarkan  hasil  diatas  maka  ∠𝐴𝐺𝐸 = ∠𝐴𝐸𝑃 = 𝛼    Lihat  sudut  𝐸         Lihat  ∆𝐸𝑅𝐺      

∠𝐴𝐸𝑃 + ∠𝑅𝐸𝐺 = 90!𝛼 + ∠𝑅𝐸𝐺 = 90!∠𝑅𝐸𝐺 = 90! − 𝛼

     ∠𝑅𝐸𝐺 + ∠𝑅𝐺𝐸 + ∠𝐸𝑅𝐺 = 180!90! − 𝛼 + 𝛼 + ∠𝐸𝑅𝐺 = 180!90! + ∠𝐸𝑅𝐺 = 180!∠𝐸𝑅𝐺 = 90!

 

 Sehingga  garis  𝐸𝑃 ⊥ 𝐴𝐺  

 

       

b. Balok    Balok  sama  dengan  kubus  kecuali  minimal  ada  satu  pasang  sisi  yang  berbentuk  persegi  panjang  dan  pasangan  sisi  lain  berbentuk  bujursangkar    

 Gambar  67    

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝐵𝑎𝑙𝑜𝑘 = 𝑝×𝑙×𝑡    

𝐿𝑢𝑎𝑠  𝑃𝑒𝑟𝑚𝑢𝑘𝑎𝑎𝑛  𝐵𝑎𝑙𝑜𝑘 = 2 𝑝×𝑙 + 𝑝×𝑡 + 𝑙×𝑡      

c. Limas    Limas  adalah  bangunan  yang  sisi  tegaknya  berbentuk  segitiga  dan  sisi  alasnya  berbentuk  poligon  segi  𝑛    

 Gambar  68    

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝐿𝑖𝑚𝑎𝑠 =13×𝐿𝑢𝑎𝑠  𝐴𝑙𝑎𝑠×𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖  

 

 

 d. Prisma  

 Prisma  adalah  bangunan  yang  sisi  tegaknya  berbentuk  persegi  atau  persegi  panjang  dan  sisi  alasnya  berbentuk  poligon  segi  𝑛      

Gambar  69    

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝑃𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐿𝑢𝑎𝑠  𝐴𝑙𝑎𝑠×𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖    

e. Kerucut    Kerucut  adalah  bangunan  yang  sisi  alasnya  berbentuk  lingkaran  dan  tidak  mempunyai  sisi  tegak    

 Gambar  70    

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝐾𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 =13×𝐿𝑢𝑎𝑠  𝐴𝑙𝑎𝑠×𝑇𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖