Sistemas Newtonianos

Unidad 1 – Métodos Numéricos

Permite resolver, analizar y graficar diversos modelos físicos que muchas veces no tienen

resolución analítica simple, cálculos complejos.

Discretización temporal: se aprovecha la propiedad de que muchas de las magnitudes

físicas son funciones continuas del tiempo, por ejemplo, la posición. Luego:

Si se quiere representar una función en el intervalo , se discretiza el tiempo usando un

espaciado pequeño Luego

Luego en vez de buscar los infinitos valores reales que existen en un intervalo, se buscan

los valores de

Derivadas discretas: Se tiene que Luego para

Se puede demostrar que la derivada centrada es más precisa que las que la anteceden.

Método de Verlet: a partir de los dos primeros valores de la posición

(alternativamente, a partir de ) se puede obtener la posición en cualquier instante

Intersección con algún valor: se busca el intervalo en el que la función pasa de estar sobre

el valor deseado, para estar bajo tal valor (o viceversa). Luego:

Unidad 2 – Métodos Experimentales

La física se basa en el método científico: observaciones de un fenómeno natural, etapa de

razonamiento (se postulan hipótesis), experimentos para verificar predicciones. Luego es

lógica la importancia de las correctas mediciones de ciertas cantidades físicas importantes

en los sistemas newtonianos (fuerza, posición, tiempo).

Sensor de fuerzas (Strain gage): posee una pequeña lámina metálica que se deforma al

aplicar una fuerza (cambia de espesor), y con ello varía la resistencia. El sensor entrega un

voltaje proporcional al cambio de resistencia, espesor y, con ello, a la fuerza aplicada. La

salida de voltaje varía entre 0V y 5V y, dependiendo de las fuerzas que se quiera medir,

existen dos rangos de medición: La fórmula de transformación es la siguiente:

Tratamiento estadístico: en general, si se toma un buen número de medidas, los valores

suelen tener una forma analítica precisa formando una distribución Gaussiana (normal). La

que se representa por:

A mayor cantidad de datos, mejor estimación. En una distribución Gaussiana se tiene:

Errores de medición:

Sistemáticos: imperfección en el proceso de medición. Se dice que los errores van en una

dirección. Se minimizan con un análisis cuidadoso del sistema y métodos alternativos de

medición.

Aleatorios: fortuitos, intrínsecos al sistema. Se minimizan tomando muchas mediciones.

Van en ambas dirección y tienden a compensarse.

Tratamiento de errores:

Error absoluto: valor de la desviación estándar.

Error relativo: cuociente entre el error absoluto y el valor medio.

Sean dos cantidades representadas por Luego;

Tarjeta de adquisición de datos:

Velocidad máxima: 10.000 datos/segundo.

Hay ocho vías de señal análoga, se pueden usar de dos modos:

Simple: voltaje respecto a una referencia común, se pueden usar ocho independiente.

Diferencial: se mide diferencia de voltaje entre canales vecinos, se pueden usar cuatro pares

independientes.

Resolución: 12 bits.

Rango de entrada: entre

Rango de

Unidad 3 – Sistemas extendidos

La mecánica newtoniana de sistemas compuestos se basa en cuatro principios:

1. Si un cuerpo en reposo no interactúa con el entorno, seguirá en reposo.

2. El cambio de momentum es proporcional a la fuerza aplicada y la duración de la

aplicación.

3. Ley de acción y reacción.

4. Principio de Superposición: fuerzas aditivas en sentido vectorial.

Los criterios para definir un sistema obedecen a la simplicidad para responder ciertas

preguntas.

Tipos de sistemas:

1. Disgregados.

2. Líquidos (gran cohesión, gran movimiento molecular).

3. Elásticos (moléculas vecinas se mantienen en contacto, mas sus distancias varían).

4. Sólidos indeformables.

Masa y centro de masa: la masa es una cantidad aditiva, imaginamos un cuerpo dividido en

n celdas de determinada masa. Luego Si el sistema se distribuye de tal modo que

la celda está en la posición

Energía potencial gravitacional de un cuerpo: la energía potencial gravitacional de un cuerpo

se puede obtener a partir de la altura del centro de masa.

Centro de masa de centros de masas: si se tiene el centro de masa de un sistema A y de un

sistema B. El centro de masa del sistema total viene dado por:

Momentum de un sistema extendido:

El movimiento del centro de masa está determinado exclusivamente por las fuerzas

externas. Además Donde es la aceleración del centro de masa.

Energía cinética por rotación en torno a ejes fijos: consideramos un sólido rotando con

velocidad angular en torno a un eje fijo. Luego: ·I·

Donde I representa el momento angular (grado de porfía de los sólidos ante variaciones de

su movimiento angular). Se tiene que:

Unidad 4A – Estática

Conocimiento empírico, posee dos restricciones fundamentales:

1. Para que el centro de masa no se mueva (o permanezca con velocidad constante) la suma

de las fuerzas externas debe ser nula.

2. Para que un objeto no rote se exige que el torque neto sea nulo.

Torque: fuerza de palanca asociado a una fuerza. Se define el torque de una fuerza

aplicada en un punto P (donde representa el vector que une el eje de rotación con P) como

= , luego = . Los torques que inducen giros en el sentido anti-horario se

consideran positivos, y los que inducen giros en el sentido horario se consideran negativos.

Torque debido a la gravedad:

Para que un sistema esté en equilibrio estático, se requiere:

1.

2.

Unidad 4B – Energía cinética de rotación

Conservación de la energía para una partícula:

Para el caso en el que el trabajo sólo depende de la posición inicial y final (fuerzas

conservativas, la trayectoria no es relevante). Se tiene:

Para el caso general (actúan fuerzas no conservativas):

Las fuerzas internas no realizan trabajo.

Si se cambia el sistema de referencias de un cuerpo rígido, la posición del centro de masa

varía con respecto al origen, no así con respecto al cuerpo mismo.

Teorema de Steiner o de los ejes paralelos: si se conoce el momento de inercia con respecto

a determinado eje, este teorema permite calcular el momento de inercia con respecto a

cualquier eje paralelo al inicial. Si M es la masa del cuerpo y R el desplazamiento del eje, se

tiene:

Unidad 4C - Torque y momento angular

Momento angular de un sólido rígido: si se tiene un sistema de partículas de masas ,

posiciones y velocidades El momento angular del sistema corresponde a la suma de los

momentos angulares de cada una de las partículas.

Se tiene un sólido rígido que gira en torno a un punto fijo O y se descompone el sólido en N

partículas individuales y luego se hace tender N hacia infinito. Si la distancia de cada

partícula al punto fijo es constante , la velocidad angular , se tiene que la rapidez de cada

punto viene dada por . Luego:

Ecuación de torque para un sólido rígido:

Las fuerzas internas de un sistema no ejercen torque sobre sí mismo.

Unidad 4D – Movimiento de rodadura

Los movimientos de rodadura sin resbalamiento implican que los puntos que se encuentran

en contacto de la rueda y el plano están en reposo instantáneo.

Matemáticamente se tiene que

Rotaciones en torno a un eje fijo: la ecuación de torque puede aplicarse con respecto a cualquier

eje de rotación, para rodaduras puede ser razonable utilizarla con respecto al punto de

contacto rueda-plano. Luego:

Consideraciones geométricas y ecuaciones cinemáticas:

Energía en rodadura perfecta: se la rueda evoluciona desde una configuración A hasta una

configuración B.

En general se trabaja con fuerzas conservativas, para tales casos se igualan las energías

cinéticas y gravitatorias. Pero, a diferencia de las situaciones tradicionales, se utiliza

en lugar de

Unidad 5A – Oscilaciones

Movimiento circunferencial uniforme: se caracteriza por tener un radio R constante y

rapidez uniforme. Es natural emplear coordenadas polares para definir la posición, la cual

queda completamente definida por Por otro lado, como la tasa de cambio

del ángulo es constante, se tiene:

Donde R representa la amplitud del movimiento, se denomina fase y el ángulo inicial

lo llamaremos constante de fase. El movimiento es periódico con

Para este caso representa la velocidad angular, donde .

Movimiento armónico simple: corresponden a movimientos que están definidos por la

ecuación: (movimiento elástico definido por la Ley de Hooke , por

ejemplo) Si definimos esa constante como , se tiene que las soluciones de la ecuación de

movimiento de ese sistema son:

De donde definimos:

Ejemplos de movimiento armónico simple (M.A.S.):

Resorte ideal: se tiene un resorte ideal de constante elástica k, atado a una masa m (Origen

del sistema situado en el punto de equilibrio del resorte en cuestión):

Luego es independiente de las condiciones iniciales, luego el periodo de cualquier

oscilación de una determinada masa en este resorte será el mismo.

Péndulo simple: cuerpo puntual de masa colgando de un hilo ideal indeformable sin

masa, formando un ángulo con la vertical. Luego:

Entonces para ángulos pequeños podemos asumir un movimiento armónico simple:

Péndulo físico: péndulo real que no puede ser aproximado como una masa puntual. Posee

una masa M y una distancia d entre el eje de rotación y el centro de gravedad, I es el

momento de inercia con respecto al punto de apoyo. Luego la ecuación diferencial queda

definida por: Finalmente:

Unidad 5B - Amortiguamiento

En general, se puede representar la fuerza que ejerce un fluido sobre un objeto en

movimiento como Esta función depende del régimen de velocidades, densidad del

fluido, propiedades termodinámicas, geometría del cuerpo. Existen dos situaciones en los

que la función toma valores bastante particulares:

1. Movimientos lentos, fuerzas viscosas:

2. Movimientos rápidos, fuerzas turbulentas:

Frenado de una esfera (sin gravedad): consideramos una esfera de masa m rodeada de aire,

en ausencia de gravedad donde suponemos una fuerza de amortiguamiento del tipo

viscoso, con En t=0, su velocidad es . Luego se tiene que:

Las soluciones de la ecuación diferencial son:

Luego si t tiende a infinito, la esfera no avanzará más de .

Caída vertical por gravedad donde actúa roce viscoso:

Fuerzas de arrastre:

Fuerza de Stokes: se considera una esfera inmersa en un fluido viscoso que fluye

lentamente, la fuerza que ejerce el fluido sobre la esfera queda definida por:

Fuerza de Rayleigh:

Caída vertical por gravedad donde actúa roce turbulento:

Se considera un roce turbulento definido por y el objeto que cae de masa m.

Oscilaciones amortiguadas (roce viscoso): movimientos oscilatorios definidos por

ecuaciones del tipo Las soluciones de esa ecuación diferencial son:

Para el caso particular de un resorte de constante elástica k atado a una masa m, en

presencia de roce viscoso Se tiene: y .

Corresponden a movimientos oscilatorios en los que la amplitud va decreciendo

continuamente hasta estabilizarse en el punto de equilibrio.

Péndulo formado por un globo (roce viscoso): se considera un globo de masa m atado a una

cuerda ideal de longitud L formando un ángulo con la vertical, el roce viscoso es de la

forma , se puede suponer que corresponde a una oscilación amortiguada para

ángulos pequeños. Las ecuaciones son las siguientes:

Luego, la posición queda definida por:

Unidad 5C – Oscilaciones forzadas

Corresponde a un sistema oscilatorio que posee forzaje con una dependencia explícita en el

tiempo, si este forzaje tiene una frecuencia particular el movimiento oscilatorio será

amplificado. Tal frecuencia es denominada frecuencia natural de vibración o frecuencia de

resonancia.

Análisis matemático: se considera un sistema oscilante con roce viscoso de la forma

, con una fuerza de forzaje . Luego la ecuación de fuerzas es la

siguiente: . Cuya solución es la siguiente:

El primer término corresponde a un transiente, luego de un tiempo decae a cero y el

movimiento sólo depende del segundo término. Luego es la diferencia de fase entre la

solución estacionaria y el forzaje. Para ciertos valores de se producen los valores máximos

en estas ecuaciones y la amplitud aumenta considerablemente.

Unidad 6A – Ondas mecánicas: modos propagativos

Se manifiestan sobre cuerpos continuos que pueden ser deformados punto a punto, existen

varias manifestaciones de este tipo de ondas.

Oscilación colectiva: todo el cuerpo oscila colectivamente con amplitud dependiente de la

posición.

Propagación de pulsos: perturbación localizada que se propaga casi sin deformación.

Arreglo de varillas: se considera un sistema compuesto de un hilo que posee una gran

cantidad de varillas soldadas transversalmente por el centro de estas últimas, la masa de

cada varilla es m, el largo L y el momento de inercia I. Ahora bien, si se gira una varilla

ejercerá un torque sobre las varillas vecinas, se puede probar que el torque sobre la varilla

viene dado por Donde es una constante que depende de las

propiedades del hilo y corresponde al ángulo que forma la varilla con respecto a la

posición de equilibrio. Luego:

Se realiza el paso inverso de la discretización donde es la distancia entre varillas. Luego:

Cuerda: se considera una cuerda de masa m y largo L sometida a una tensión T. La cuerda

es levemente extensible y puede deformarse verticalmente. De manera análoga

al caso, si definimos la deformación vertical de la cuerda en el punto x en el instante t,

obtenemos:

Soluciones de D’Alembert: se tiene que las siguientes ecuaciones son solución de la

ecuación de ondas:

Unidad 6B – Ondas estacionarias

Todos los medios poseen algún grado de flexibilidad en cuanto pueden experimentar

pequeñas deformaciones longitudinales (a lo largo del cuerpo) o transversales (normales al

cuerpo).

Ondas armónicas: se considera una cuerda que en t=0 se ha deformado en forma sinusoidal

tal que Los nodos corresponden a los puntos tales que

Además representa la longitud de onda. Para t>0 se tiene (caso general):

Ondas largas: número de onda pequeño, periodo largo y baja frecuencia.

Ondas cortas: número de onda grande, período corto y alta frecuencia.

Ondas en cuerdas con un borde en x=0 y extremo fijo: se considera un pulso u onda que se

acerca desde la izquierda hacia un punto de empotramiento y en t=0 alcanza el punto x=0.

Luego La perturbación se refleja en x=0 invirtiendo su forma y

manteniendo todos los demás parámetros. Entonces la ecuación para cualquier t es la

siguiente: .

Ondas en cuerdas con un borde en x=0 y extremo móvil: nuevamente la perturbación

viajera se refleja en x=0, pero esta vez retrocede manteniendo su forma completamente. Se

puede demostrar que

Ondas estacionarias: corresponden a ondas que se generan en cuerdas finitas empotradas

en uno de sus extremos. Son de la forma:

Donde la amplitud de la onda estacionaria en los antinodos es el doble de la original.

El número de onda, la longitud de onda, la frecuencia angular y el período se mantienen

invariantes con respecto a las ondas originales.

Modos normales en una cuerda finita (cuerda de largo L):

Ambos extremos fijos:

Un extremo fijo y uno libre:

Ambos extremos libres:

Unidad 7A – Presión colisional

Cuando una partícula con cierto momentum rebota en una superficie, esta experimenta un

cambio de momentum. Si se tiene una lluvia de partículas que inciden con un ángulo

respecto a la vertical sobre una superficie plana, la fuerza colisional queda definida por:

Presión colisional:

Fuerza colisional de un chorro de partículas que cae por gravedad:

Sea h la altura desde la cual se deja caer el chorro de partículas, por conservación de la

energía se tiene que Luego .

Fuerza media: se considera una fuerza variable en el tiempo, se discretiza el intervalo de

acción de la fuerza y se obtienen N valores de la fuerza en instantes uniformemente

espaciados. Definimos la fuerza media por:

Impulso: se define como:

Rebotes en una placa inclinada: se considera el sistema de la imagen:

Si el chorro de partículas es lanzado desde una altura h. Se tiene:

Unidad 7B – Hidrostática y Principio de Arquímedes

El análisis mecánico de los fluidos se puede dividir en:

Hidrostática: estática de fluidos.

Dinámica de fluidos: estudio de cómo las fuerzas actúan sobre un fluido en movimiento.

El hecho de que un fluido esté en reposo implica que al considerar cualquier volumen

pequeño del mismo, el promedio de las velocidades de todos los constituyentes

elementales es nulo, No quiere decir que las partículas estén quietas.

Presión: la fuerza que ejerce un fluido sobre la pared del recipiente que la contiene, dividido

por el área de esta, es una cantidad física llamada presión, es escalar y en un fluido

homogéneo es constante independiente del espacio. La presencia de esta implica que los

elementos constituyentes del fluido no se encuentran en reposo y poseen una rapidez

característica que se relaciona con la temperatura ( ).

Dependencia de P con la profundidad de un fluido: se considera un fluido dentro de un

recipiente, sea A un punto ubicado a una profundidad d dentro del fluido, sea B un punto

ubicado a una profundidad (d+h) dentro del fluido. Además sea la densidad del fluido.

Luego se tiene que:

Ley de Pascal: un cambio de presión aplicado a un fluido es transmitido a cada punto del

fluido y a las paredes del contenedor. Se aplica en las gatas hidráulicas, donde se emplea la

relación

Principio de Arquímedes: un objeto sumergido en un líquido siente una fuerza de empuje

igual al peso del fluido desplazado por el objeto que tiende a reducir el peso aparente.

Luego la ecuación de movimiento queda definida por:

Para el caso en que el objeto está sumergido parcialmente se tiene la relación: