บทท 3จานวนจรง

( 14 ชวโมง )

ในบทเรยนนมงใหผเรยนมความรเกยวกบจานวนจรงเพมขนจากชวงชนท 3 โดยจะใหเหนวา เซตของจานวนจรงประกอบดวยจานวนชนดตางๆ สมบตของจานวนจรงเกยวกบการบวกและการคณ การเทากนและการไมเทากนของจานวนจรง การแกสมการและอสมการตวแปรเดยวดกรไมเกนสอง และคาสมบรณ โดยมงใหผเรยนมผลการเรยนร ดงน

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. แสดงความสมพนธของจานวนตาง ๆ ในระบบจานวนจรงได2. เขาใจความหมายและหาผลลพธทเกดจาก การบวก การลบ การคณ การหารจานวนจรง3. เขาใจสมบตของจานวนจรงทเกยวกบการบวก การคณ การเทากนและการไมเทากน และนาไป

ใชได4. แกสมการและอสมการตวแปรเดยวดกรไมเกนสองได5. มความคดรวบยอดเกยวกบคาสมบรณของจานวนจรงและหาคาสมบรณของจานวนจรงได

ผลการเรยนรดงกลาวเปนผลการเรยนรทสอดคลองกบมาตรฐานการเรยนรชวงชนทางดานความร ในการเรยนการสอนทกครงผสอนตองคานงถงมาตรฐานการเรยนรทางดานทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรทจาเปนและสอดแทรกกจกรรม ปญหา หรอคาถามทเสรมสรางทกษะกระบวนการเหลานนดวย นอกจากนนควรปลกฝงใหผเรยนทางานอยางเปนระบบ มระเบยบวนย รอบคอบ มความรบผดชอบ มวจารณญาณและมความเชอมนในตนเอง

53

ขอเสนอแนะ

1. การสอนบทนนอกจากจะใหผเรยนไดเหนวา จานวนชนดใดอยในเซตใดแลว ควรจะชแจงให ผ เรยนเหนวา จานวนแตละจานวนอาจเขยนใหอยในรปทแตกตางกนไดหลายรปแบบ เชน 4 อาจเขยนอยในรป

28 หรอ 16 หรอ ⏐- 4⏐ หรอ 2)4(− เปนตน

2. จานวนทเขยนในรป ba เมอ a, b เปนจานวนเตม ตวสวนคอ b จะเปนศนยไมไดเพราะถาตว

สวนเปนศนยจะเปนการหารดวยศนยซงในระบบจานวนจรงกาหนดใหตวหารตองไมเปนศนย ถาใหตวหารเปนศนย จะเกดขอขดแยงดงตวอยางตอไปน

ให a และ b เปนจานวนเตมทไมเทากบศนย และ a = bจาก a = b ab = b2 (คณดวยจานวนทเทากน)

ab – a2 = b2 – a2 (หกออกดวยจานวนทเทากน) a(b – a) = (b + a)(b – a) (สมบตการแจกแจง)

a = b + a (หารดวย b – a ทงสองขาง) a = a + a (a = b) a = 2a 1 = 2 (สมบตการตดออกสาหรบการคณ)จะเหนวา การทผลลพธออกมาเชนนเนองจาก การนา b – a ซงเทากบ 0 หารทงสองขาง

ของสมการ

3. จานวนอตรรกยะจานวนหนงทผเรยนมกจะตอบวา เปนจานวนตรรกยะคอ π เนองจากการคานวณในชวงชนตน ๆ มกจะใหผเรยนแทนคา π ดวย

722 จงทาใหผเรยนสวนมากเขาใจผด

ไปวา π = 722 ดงนน ผเรยนจงสรปวา π เปนจานวนตรรกยะ ซงไมถกตอง ในบทนม

จดประสงคจะใหผเรยนสามารถจาแนกชนดของจานวนไดอยางถกตอง ดงนน ผสอนจะตองใหผเรยนระมดระวงและชใหเหนวา คาทใชในการคานวณไมวาจะเปน

722 หรอ 3.1416 กตาม

ลวนเปนคาประมาณของ π ดวยเหตผลในทานองเดยวกนน ผเรยนจะเหนวาแมจะใช 1.414 แทน 2 ในการคานวณ แตแทจรงแลว 2 เปนจานวนอตรรกยะ

54

4. เรองการแยกตวประกอบของพหนามและการแกสมการกาลงสองตวแปรเดยว เปนเนอหาสาระทจดไวใหเปนพนฐานสาหรบผเรยนทเรยนคณตศาสตร เฉพาะรายวชาพนฐานในชวงชนท 3 ผเรยนทเรยนรายวชาคณตศาสตรเพมเตมในชวงชนท 3 มาแลว อาจจะไดเรยนเนอหานแลว ดงนนผสอนในเนอหาสาระนควรพจารณาผเรยนวามพนฐานความรของเนอหาสาระนมากนอยเพยงใด ถาผเรยนไดเรยนเนอหาสาระนแลว ผสอนอาจจะเพยงทบทวนใหผเรยนหรอปรบบทเรยน ใหมความเหมาะสมกบผเรยน

5. ผเรยนบางคนอาจจะสบสนกบเรองคาสมบรณของจานวนจรง a ใด ๆ ทอธบายไววาเมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ a เมอ a เปนจานวนจรงบวกหรอศนย⏐a⏐ =

- a เมอ a เปนจานวนจรงลบผเรยนควรเขาใจวา ⏐a⏐ มคาเปนจานวนบวกหรอศนยเสมอ กลาวคอ

เมอ a เปนจานวนบวก เชน 5.25 จะได ⏐5.25⏐ = 5.25เมอ a เปนศนย จะได ⏐0⏐ = 0เมอ a เปนจานวนลบ เชน - 8 จะได ⏐- 8⏐ = – (-8) = 8

ผสอนควรใหผเรยนมความเขาใจวา เมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ ⏐a⏐ ตองไมเปนจานวนลบ

6. เรองคาสมบรณของจานวนจรง การใหความหมายของคาสมบรณของจานวนจรงใด ๆ ดวยระยะของจดทแทนจานวนจรงนนอยหางจากจดทแทน ศนย บนเสนจานวน จะทาใหผเรยนเขาใจความหมายของอสมการ ⏐x⏐ < a และ ⏐x⏐ > a ดขน กลาวคอ

จานวนจรง x ททาใหอสมการ ⏐x⏐ < a เปนจรง ไดแก จานวนจรงทกจานวนทมระยะหางจาก 0 บนเสนจานวนนอยกวา a ซงแสดงไดดงน

นนคอ x แทนจานวนจรงทกจานวนทอยระหวาง -a และ a หรอ เขยนไดเปน - a < x < a

จานวนจรง x ททาใหอสมการ ⏐x⏐ > a เปนจรง ไดแก จานวนจรงทกจานวนทมระยะหางจาก 0 บนเสนจานวนมากกวา a ซงแสดงไดดงน

นนคอ x แทนจานวนจรงทกจานวนทมากกวา a และนอยกวา - a หรอ เขยนไดเปน x > a และ x < - a

-a 0 a

-a 0 a

55

ปญหา ก. ข.4ab 400

400 ab4

ใหจานวนทอยใน แทนคาตอบของปญหา ก. และ ข.ถาคาตอบทงสองมคาเทากนจงหาวา a และ b แทนเลขโดดใด และคาตอบทเทากนนนคอจานวนใด

กจกรรมเสนอแนะ

กจกรรมท 1 และ 2 ทเสนอไวตอไปนผสอนอาจใชเปนกจกรรมเสรมสรางทกษะกระบวนการแกปญหา การใหเหตผล และการสอสาร สาหรบกจกรรมท 3 ผสอนสามารถใชเปนกจกรรมประกอบการเรยนการสอน เพอใหผเรยนมความเขาใจเกยวกบการคณดวยจานวนทนอยกวาศนย ของอสมการไดดยงขน ทงนผสอนสามารถปรบกจกรรมทเสนอไวไดตามความเหมาะสมของผเรยน

กจกรรมท 1

จากปญหาขางตน ผสอนอาจใชคาถามตอไปนเพอชวยแนะนาใหผเรยนหาคาตอบไดดวยตนเองดงน

1. ใชความรพนฐานเกยวกบการลบ 1) พจารณาจากสงทโจทยกาหนดใหใน ข. เลขโดดในหลกหนวยของผลลพธควรเปนจานวนใด

4 0 0 a b 4 ?

ข. 4 0 0

a b 4 6 10 – 4 = 6

56

ข. 4 0 0

a 6 4 3 6

ควรเทากบ 3 เพราะ 9 – 6 = 3

2) จากคาตอบในขอ 1) สามารถหาคาตอบอนไดอกหรอไมจากคาตอบในขอ 1) พจารณาโจทย ก. จะได b - 0 ควรมคาเทากบ 6 นนคอb แทน 6

3) จากโจทย ข. ขางตนเลขโดดในหลกสบของ ข. ควรเปนจานวนใด

4) จากคาตอบขางตน a ควรมคาเทาใด และสามารถหาคาตอบอนไดอกหรอไมจากคาตอบในขอ 3) พจารณาโจทย ก. จะได a – 0 ควรมคาเทากบ 3 นนคอa แทน 3

ก.4 a b4 0 0

6ดงนน ก. ข. 4 a b 4 0 0 4 0 0 a 6 4

6 6

57

2. ใชความรเรองคาประจาหลก และความรทางพชคณต

สาหรบคาถามทกลาวมาในกจกรรมท 1 ผเรยนบางคนอาจจะใชความรเรองคาประจาหลกและตวแปรมาชวยในการหาคาตอบไดดงนจาก ก. 4ab – 400 และ ข. 400 – ab4 จะไดวา

4ab – 400 = (400 + 10a + b) – 400 หรอ 10a + b (1)และ 400 – ab4 = 400 – (100a + 10b + 4) หรอ 396 – 100a – 10b (2)

เนองจากโจทยกาหนดใหผลตางของ (1) และ (2) เทากนจะไดวา 10a + b = 396 – 100a – 10b

110a + 11b = 39610a + b = 36

โดยอาศยความรเรองคาประจาหลก จะไดวา a = 3 และ b = 6 จงจะทาให 10a + b = 36

นอกจากวธการทไดนาเสนอ อาจจะมผเรยนบางคนหรอบางกลมใชวธการอนนอกจากนกได ซงผสอนควรใหโอกาสผเรยนไดนาเสนอวธการหาคาตอบทแตกตางกนใหเพอนไดรบทราบดวย เพอเปนการฝกทกษะกระบวนการทางดานการสอสารใหแกผเรยน

4 3 6 4 0 0 4 0 0 3 6 4 3 6 3 6

คาตอบ 4 3 6 4 0 0 4 0 0 3 6 4 3 6 3 6

สรปไดวา a = 3, b = 6 และคาตอบทเทากนคอ 36

0

a

ก. ข.a

58

กจกรรมท 2

1. เนอหา จานวนจรงและสมบตของจานวนจรง a × 0 = 0

2. เนอหา สมบตของจานวนจรง

ให x = yบวกทงสองขางของสมการดวย – yจะได x – y = 0 (1)คณทงสองขางของสมการ (1) ดวย 2จะได 2x – 2y = 0 (2)และ x – y = 2x – 2y ((1) = (2))

(x – y) = 2(x – y)หารทงสองขางของสมการดวย (x – y)จะได 1 = 2

คาตอบ ขอ 1 คาตอบคอ 0 เนองจาก 1 ≤ n ≤ 26 ดงนน n จะตองมคาเทากบคาใดคาหนงทเปนจานวนเตมตงแต 1 ถง 26 เชนถาให n = 1 จะได(1 – 1)(1 – 2)(1 – 3) ... (1 – 26) = 0

คาตอบขอ 2 จากโจทยขางตน เนองจาก x = yดงนน x – y จงมคาเทากบศนย ทาใหไมสามารถนา x – yซงมคาเทากบศนยไปหารทงสองขางของสมการ (x – y) = 2(x – y) ได

หมายเหต ในระบบจานวน เราไมใชศนยเปนตวหารเชน ให 10 × 0 = 100 × 0ถาหารทงสองขางของสมการดวย 0 จะไดวา 10 = 100 ซงไมเปนจรง

ให n เปนจานวนนบ โดยท 1 ≤ n ≤ 26และ a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26จงหาผลคณ (n – a)(n – b)(n – c) ... (n – z)

เพราะเหตใดคาตอบจงเปนเชนน

59

กจกรรมท 3ในการแกอสมการโดยใชสมบตของการคณดวยจานวนทเทากนและไมเปนศนยจะเปนไป

ตามสมบต ดงน เมอ a , b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ

จะเหนวา เครองหมายแสดงการไมเทากนจะเปลยนจาก < เปน > ซงผเรยนบางคนอาจจะนกภาพไมออกวาเหตใดจงเปนเชนนน เพอใหผเรยนมความเขาใจเรองการเปลยนเครองหมายจาก < เปน > เมอคณดวยจานวนทนอยกวาศนยงายขน ผสอนอาจใชเสนจานวนมาชวยอธบาย ไดดงน

กาหนดให a < b เมอ a และ b เปนจานวนจรงใด ๆ และให c = –1

1) ถา a < b และ a, b > 0

จากแผนภาพ จะเหนวา เมอ a < b จะไดวา – a > – b

ตวอยางเชน 2 < 3 จะไดวา –2 > –3

ผสอนใหผเรยนยกตวอยางจานวน a และ b ทมากกวาศนยหลาย ๆ ตวอยางและใชแผนภาพของเสนจานวนหาคาของ – a และ – b เพอหาวา – a > – b จรงหรอไม

0 a b

-b -a 0 a b

ถา a < b และ c < 0 แลว ca > cb

60

2) ถา a < b และ a < 0 แต b > 0

จากแผนภาพ จะเหนวา – a > – bตวอยางเชน – 1 < 3 จะไดวา 1 > – 3

ผสอนใหผเรยนยกตวอยางจานวน a ทนอยกวาศนย และ b ทมากกวาศนยหลาย ๆ ตวอยางและใชแผนภาพของเสนจานวนหาคาของ – a และ – b เพอหาวา – a > – b จรงหรอไม

3) ถา a < b และ a, b < 0

จากแผนภาพ จะเหนวา – a > – bตวอยางเชน – 3 < – 1 จะไดวา 3 > 1

ผสอนใหผเรยนยกตวอยางจานวน a และ b ทนอยกวาศนยหลาย ๆ ตวอยาง และใชแผนภาพของเสนจานวนหาคาของ – a และ – b เพอหาวา – a > – b จรงหรอไม

เมอผเรยนทาความเขาใจกบตวอยางทกลาวมาขางตนและพบวา ตวอยางทยกมาเปนจรงทงสามกรณ ผสอนจงคอยสรปสมบตการคณทงสองขางของอสมการดวยจานวนทเทากนทเปนจานวนจรงลบดงน

-b a 0 -a b

a 0 b

a b 0 -b -a

a b 0

61

ให a และ b เปนจานวนจรงถา a < b และ c < 0 แลว ac > bcถา a > b และ c < 0 แลว ac < bcกจกรรมทกลาวมาคงจะชวยทาใหผเรยนเขาใจสมบตของการคณดวยจานวนทเทากน

ทไมเปนศนยในอสมการไดชดเจนขน และสามารถนาสมบตดงกลาวไปใชไดอยางถกตอง

แบบทดสอบประจาบท

แบบทดสอบทนาเสนอตอไปนเปนตวอยางแบบทดสอบแสดงวธทา ซงจะใชประเมนผลดานเนอหาวชาของผเรยนเมอเรยนจบในเนอหาเรอง จานวนจรง ผสอนสามารถเลอกและปรบแบบทดสอบใหเหมาะสมกบผเรยนแตละกลม

ตวอยางแบบทดสอบ

1. จงยกตวอยาง 1) จานวนตรรกยะทไมเปนจานวนเตม 2) จานวนจรงทไมเปนจานวนตรรกยะ

2. จงพจารณาวาจานวนตอไปน จานวนใดเปนจานวนตรรกยะ จานวนใดเปนจานวนอตรรกยะ4 , 31 ,

2π , 0.75, 0, 1.3333 … , –5.50

3. จงหาคาตอบของสมการตอไปน1) x2 + 6x – 16 = 02) x2 + 4x – 8 = 0

4. จงหาคาตอบของอสมการตอไปน1) –5x – 20 ≥ 02) (x – 1)(x + 3) < 03) x2 – 4 ≤ 0

5. จงหาคาของ x เมอกาหนดให 1) 2x(x + 1) = – ( x + 1) 2) –2x ≤ 1

62

6. จงหาคาของ1) –⏐–1⏐ + ⏐11⏐ 2)

1212−

7. จงแสดงคาของ x บนเสนจานวน เมอ1) ⏐x⏐ > 12) ⏐x – 1 ⏐ = 0

8. โรงงานอตสาหกรรมผลตสนคาสงออกแหงหนงเกบสนคาทผลตไดไวทโกดงของโรงงานกอนสงออกไปขาย โดยโรงงานจะผลตสนคาไดไมเกนวนละ n ชน ในเดอนพฤศจกายน โกดงเกบสนคาทผลตไดมากทสดจานวน 27,000 ชน อยากทราบวา โรงงานแหงนผลตสนคาไดวนละไมเกนกชน

เฉลยตวอยางแบบทดสอบ

1. 1)29 , 3.5 ,

32− , 93.1 &

2) π , 2 , 5.121121112...

2.จานวนจรง จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

4

31

2π

0.750

1.3333...– 5.50

--

-

----

3. 1) x2 + 6x – 16 = 0(x + 8)(x – 2) = 0

x = – 8, 2

63

2) x2 + 4x – 8 = 0(x2 + 4x) – 8 = 0(x2 + 4x + 4) – 8 – 4 = 0(x + 2)2 – 12 = 0(x + 2)2 = 12(x + 2) = 12±

x = – 2 12± หรอ 322 ±−

หมายเหต ผเรยนอาจใชวธการอนเชนใชสตรเพอหาคา x กได

โดยการใชสตร x = a2

ac4bb 2 −±− = )1(2

)8)(1(444 2 −−±−

= 2

484 ±− = 2

316)4( ×±−

= 322 ±−

4. จงหาคาตอบของอสมการตอไปน1) –5x – 20 ≥ 0

–5x – 20 + 20 ≥ 0 + 20–5x ≥ 20

5x5

− ≥520

– x ≥ 4 x ≤ – 4

2) (x – 1)(x + 3) < 0พจารณาตวอยางคา x ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1) และ (1, ∞) ในตารางตอไปน

ชวง x (x – 1)(x + 3)(– ∞, – 3)

(– 3, 1)(1, ∞)

– 505

(– 6)(– 2) = 12(– 1)(3) = – 3(4)(8) = 32

มคาเปนบวกมคาเปนลบมคาเปนบวก

เมอกาหนดคา x เพมขนอกหลาย ๆ จานวน จะพบวาคาของ x ททาให (x – 1)(x + 3) < 0 คอ x ทอยในชวง (– 3, 1)

–3 1

64

3) x2 – 4 ≤ 0(x – 2)(x + 2) ≤ 0พจารณาตวอยางของ x ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) และ x = ± 2ในตารางตอไปน

ชวง x (x – 2)(x + 2)(– ∞, – 2)

(– 2, 2)(2, ∞)

– 5 0 5 2– 2

(– 7)(– 3) = 21 (– 2)(2) = – 4 (3)(7) = 21 (0)(4) = 0 (– 4)(0) = 0

มคาเปนบวกมคาเปนลบมคาเปนบวกมคาเปนศนยมคาเปนศนย

เมอกาหนดคา x เพมขนอกหลายๆ จานวน จะพบวาคาของ x ททาให x2 – 4 ≤ 0 คอ x ทอยในชวง [– 2, 2]

5. 1) 2x(x + 1) = – ( x + 1) 2x2 + 2x = – x – 1

2x2 + 3x + 1 = 0 (2x + 1)(x + 1) = 0

จะได x =21

− หรอ – 1

2) –2x ≤ 1

2x2

− ≤21 หารดวย 2 ทงสองขางของสมการ

–x ≤21

x ≥ –21 คณดวย – 1 ทงสองขางของสมการ

6. จงหาคาของ1) –⏐– 1⏐ + ⏐11⏐ = – 1 + 11 = 102)

1212−

= 1212 = 1

–2 2

65

7. จงแสดงคาของ x บนเสนจานวน เมอ

1) ⏐x⏐ > 1

2) ⏐ x – 1 ⏐ = 0

8. โรงงานจะผลตสนคาไดไมเกนวนละ n ชน และในเดอนพฤศจกายนโกดงเกบสนคาทผลตไดมากทสดจานวน 27,000 ชน จะหาวา โรงงานควรจะผลตสนคาวนละไมเกนกชนไดดงนเนองจากเดอนพฤศจกายน ม 30 วนดงนนในเดอนพฤศจกายนโรงงานแหงนนผลตสนคาไดไมเกน 30n ชนแตโกดงเกบสนคาทผลตไดมากสด จานวน 27,000 ชนจะไดวา 30n ≤ 27,000

30n30 ≤

30000,27

n ≤ 900ดงนน โรงงานควรจะผลตสนคาไมเกนวนละ 900 ชน

เฉลยแบบฝกหดแบบฝกหด 3.1

1. 1) – 9 จานวนเตม, จานวนตรรกยะ

27

− จานวนตรรกยะ 5 จานวนนบ, จานวนเตม, จานวนตรรกยะ

32 จานวนตรรกยะ

2 จานวนอตรรกยะ 0 จานวนเตม, จานวนตรรกยะ 1 จานวนนบ, จานวนเตม, จานวนตรรกยะ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

66 2) 5 จานวนอตรรกยะ – 7 จานวนเตม, จานวนตรรกยะ

37

− จานวนตรรกยะ 3.12 จานวนตรรกยะ

45 จานวนตรรกยะ

3) 2.01 จานวนตรรกยะ 0.666... จานวนตรรกยะ – 13 จานวนเตม, จานวนตรรกยะ 0.010110111... จานวนอตรรกยะ

4) 2.3030030003... จานวนอตรรกยะ 0.7575 จานวนตรรกยะ – 4.63 จานวนตรรกยะ 10 จานวนอตรรกยะ 5) – π จานวนอตรรกยะ

31

− จานวนตรรกยะ

36 จานวนนบ, จานวนเตม, จานวนตรรกยะ

22 จานวนอตรรกยะ

– 7.5 จานวนตรรกยะ

6) 25 จานวนนบ, จานวนเตม, จานวนตรรกยะ – 17 จานวนเตม, จานวนตรรกยะ

512

− จานวนตรรกยะ 9 จานวนเตม, จานวนนบ, จานวนตรรกยะ 3.12 จานวนตรรกยะ π

21 จานวนอตรรกยะ

67

2. 1) จรง 2) จรง 3) เทจ 4) จรง 5) จรง 6) เทจ 7) จรง 8) เทจ

3. 1) 8 เปนจานวนเตมทมากทสดทนอยกวา 9 2) ไมมจานวนตรรกยะทมากทสดทนอยกวา 9 3) 2 เปนจานวนเตมทนอยทสดทมากกวา 1 4) ไมมจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 1

แบบฝกหด 3.21. 1) การสลบทการคณ 2) การแจกแจง 3) การเปลยนหมการบวก 4) การสลบทการคณ 5) การสลบทการบวก 6) การสลบทการคณ 7) ปดของการบวก 8) ปดของการบวก 9) อนเวอรสของการบวก 10) เอกลกษณการคณ

2. 1) ไมเปนจรงตามสมบตของจานวนจรง 2) ไมเปนจรงตามสมบตของจานวนจรง 3) ไมเปนจรงตามสมบตของจานวนจรง 4) เปนจรงตามสมบตการแจกแจง 5) เปนจรงตามสมบตการแจกแจง

68

3. เซตของจานวนนบ มสมบตขอ 1) และขอ 3)เซตของจานวนเตมลบ มสมบตขอ 1)เซตของจานวนเตม มสมบตขอ 1), 2) และขอ 3)เซตของจานวนตรรกยะ มสมบตขอ 1), 2), และขอ 3)

แบบฝกหด 3.3.11. 1) (x + 1)(x – 1) = x2 + (–x) + x + (–1)

= x2 – 1

2) (x + 3)(x – 3) = x2 + (–3x) + 3x+ (–9)= x2 – 9

3) (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 + (–6x) + (6x) + (–9)= 4x2 – 9

4) (5x + 4)(5x – 4) = 25x2 + (–20x) + 20x + (–16)= 25x2 – 16

5) (3x + 1)(3x – 1) = 9x2 + (–3x) + 3x + (–1)= 9x2 – 1

6) (x – 5)(x – 5) = x2 + (–5x) + (–5x) + 25= x2 – 10x + 25

7) (5x – 4)(5x – 4) = 25x2 + (–20x) + (–20x) + 16= 25x2 – 40x + 16

8) (3x – 1)(3x – 1) = 9x2 + (–3x) + (–3x) + 1= 9x2 – 6x + 1

9) (2x + 1)(3x + 2) = 6x2 + 4x + 3x + 2= 6x2 + 7x + 2

10) (4x + 2)(x + 4) = 4x2 + 16x + 2x + 8= 4x2 + 18x + 8

69

2. 1) x2 – 25x = x(x – 25) 2) x3 – 4x2 = x2(x – 4) 3) x4 – 4x = x(x3 – 4) 4) 15x2 – 25x = 5x(3x – 5) 5) 81x2 – x = x(81x – 1) 6) 7x2 + 49x = 7x(x + 7) 7) 88x3 + 8x2 = 8x2(11x + 1) 8) 13x4 + x2 = x2(13x2 + 1) 9) 5x3 + 15x2 = 5x2(x + 3) 10) 100x4 + 10x3 = 10x3(10x + 1) 11) x2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4) 12) x2 + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5)

= (x + 5)2

13) x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)= (x + 3)2

14) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)= (x + 2)2

15) x2 + 8x – 20 = (x – 2)(x + 10) 16) x2 – 10x + 25 = (x – 5)(x – 5)

= (x – 5)2

17) x2 – 14x + 49 = (x – 7)(x – 7)= (x – 7)2

18) x2 + 6x – 16 = (x – 2)(x + 8) 19) x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) 20) x2 + x – 30 = (x – 5)(x + 6) 21) x2 + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10) 22) x2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7) 23) x2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7) 24) x2 – 5x – 50 = (x + 5)(x – 10) 25) x2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

70

26) x2 – 10x – 11 = (x + 1)(x – 11) 27) x2 + 14x + 13 = (x + 1)(x + 13) 28) 3x2 + 10x + 3 = (3x + 1)(x + 3) 29) 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) 30) 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1) 31) 8x2 – 2x – 3 = (4x – 3)(2x + 1) 32) 25x2 + 15x + 2 = (5x + 2)(5x + 1) 33) 4x2 + 5x – 9 = (4x + 9)(x – 1) 34) 3x2 + 4x – 15 = (3x – 5)(x + 3) 35) 4x2 – 1 = (2x)2 – 12

= (2x – 1)(2x + 1) 36) 25x2 – 1 = (5x)2 – 12

= (5x – 1)(5x + 1) 37) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22

= (3x – 2)(3x + 2) 38) x4 – x2 = x2(x2 – 1)

= x2(x – 1)(x + 1) 39) x3 – 25x = x(x2 – 25)

= x(x – 5)(x + 5) 40) x4 – 4x2 = x2(x2 – 4)

= x2(x – 2)(x + 2)

3. 1) x2 + 4x – 32 = (x2 + 4x + 4) – 32 – 4= (x + 2)2 – 36= ((x + 2) – 6)((x + 2) + 6)= (x – 4)(x + 8)

2) x2 – 2x – 3 = (x2 – 2x + 1) – 3 – 1= (x – 1)2 – 4= ((x – 1) – 2)((x – 1) + 2)= (x – 3)(x + 1)

3) x2 – 4x + 2 = (x2 – 4x + 4) + 2 – 4= (x – 2)2 – 2

71

= [(x – 2) – 2 ][(x – 2) + 2 ]= [(x – (2 + 2 )][x – (2 – 2 )]

4) x2 + 8x – 5 = (x2 + 8x + 16) – 5 – 16= (x + 4)2 – 21= [(x + 4) – 12 ][(x + 4) + 21 ]= [x + (4 – 21 )][x + (4 + 21 )]

5) x2 + 6x + 2 = (x2 + 6x + 9) + 2 – 9= (x + 3)2 – 7= [(x + 3) – 7 ][(x + 3) + 7 ]= [x + (3 – 7 )][x + (3 + 7 )]

6) x2 + 8x + 14 = (x2 + 8x + 16) + 14 – 16= (x + 4)2 – 2= [(x + 4) – 2 ][(x + 4) + 2 ]= [x + (4 – 2 )][x + (4 + 2 )]

7) x2 – 10x + 7 = (x2 – 10x + 25) – 25 + 7= (x – 5)2 – 18= [(x – 5) – 18 ][(x – 5) + 18 )= [x – (5 + 18 )][x – (5 – 18 )]

8) x2 + 7x + 11 = (x2 + 7x + 4

49 ) – 114

49+

=45)

27x( 2 −+

= [(x + 27 ) –

25 ][(x +

27 ) +

25 ]

= [x + (2

57− )][x + )]2

57( +

9) x2 – 2x = (x2 – 2x + 1) – 1= (x – 1)2 – 1= [(x – 1) – 1][(x – 1) + 1]= [x – (1 + 1)][(x – (1 – 1)]= (x – 2)(x)

10) x2 + 4x = (x2 + 4x + 4) – 4= (x + 2)2 – 4= [(x + 2) – 2][(x + 2) + 2]

72 = [x + (2 – 2)][x + (2 + 2)] = (x)(x + 4) 11) –2x2 – 8x + 8 = –2(x2 + 4x – 4) = –2[(x2 + 4x + 4) – 4 – 4] = –2(x + 2)2 + 16 = –2[(x + 2)2 – 8] = –2[((x + 2) – 8 )((x + 2) + 8 )] = –2[(x + (2 – 8 ))(x + (2 + 8 ))] 12) 8 + 4x – x2 = –(x2 – 4x – 8) = –[(x2 – 4x + 4) – 8 – 4] = – [(x – 2)2 – 12] = –[((x – 2) – 12 )((x – 2 )+ 12 )] = –[(x – (2 + 12 ))(x +(– 2 + 12 )] 13) –3x2 + 6x + 4 = –3(x2 – 2x) + 4 = –3[(x2 – 2x + 1) – 1] + 4 = –3[(x – 1)2 – 1] + 4 = –3(x – 1)2 + 7 = –3[(x – 1)2 –

37 ]

= )]37)1x)((

37)1x[((3 +−−−−

= ))]371(x))(

371(x[(3 −−+−−

14) 4x2 – 4x – 9 = 4(x2 – x) – 9 = 9]

41)

41xx[(4 2 −−+−

= 9]41)

21x[(4 2 −−−

= 91)21x(4 2 −−−

= 10)21x(4 2 −−

= ]4

10)21x[(4 2 −−

= )]210)

21x)((

210)

21x[((4 +−−−

= ))]2101(x))(

2101(x[(4 −−+−

73

15) –3x2 + 6x + 2 = –3(x2 – 2x) + 2= –3[(x2 – 2x + 1) – 1] + 2= –3[(x – 1)2 – 1] + 2= –3(x – 1)2 + 3 + 2= –3(x – 1)2 + 5= –3[(x – 1)2 –

35 ]

= –3[((x – 1) – 35 )((x – 1) +

35 )]

= –3[(x – (1 +35 ))(x – (1 –

35 ))]

16) –2x2 + 2x + 1 = –2(x2 – x) + 1= 1]

41)

41xx[(2 2 +−+−−

= 1]41)

21x[(2 2 +−−−

= 121)

21x(2 2 ++−−

=23)

21x(2 2 +−−

= –2[(x – 21 )2 –

43 ]

= –2[((x – 21 ) –

23 )((x –

21 )+

23 )]

= –2[(x – 2

)31( + )(x – 2

)31( − )]

แบบฝกหด 3.3.21. 1) x2 + 7x + 10 = 0 จะได (x + 2)(x + 5) = 0, x = – 2, – 5 2) x2 + 8x + 12 = 0 จะได (x + 2)(x + 6) = 0, x = – 2, – 6 3) x2 – 3x – 18 = 0 จะได (x + 3)(x – 6) = 0, x = – 3, 6 4) x2 – 6x – 16 = 0 จะได (x + 2)(x – 8) = 0, x = – 2, 8 5) x2 + 5x – 24 = 0 จะได (x + 8)(x – 3) = 0, x = – 8, 3 6) x2 + x – 30 = 0 จะได (x + 6)(x – 5) = 0, x = – 6, 5 7) x2 – 14x + 48 = 0 จะได (x – 8)(x – 6) = 0, x = 8, 6 8) 21 – 10x + x2 = 0 จะได (7 – x)(3 – x) = 0, x = 7, 3 9) 2 + x – x2 = 0 จะได (1 + x)(2 – x) = 0, x = – 1, 2

74

10) 2x2 + 7x + 3 = 0 จะได (2x + 1)(x + 3) = 0, x = –21 , – 3

11) 3x2 + 7x + 2 = 0 จะได (3x + 1)(x + 2) = 0, x = – 31 , – 2

12) 5x2 + 13x + 6 = 0 จะได (5x + 3)(x + 2) = 0, x = – 53 , – 2

13) 7x2 + 3x – 4 = 0 จะได (7x – 4)(x + 1) = 0, x = 74 , – 1

14) 9x2 + 12x + 4 = 0 จะได (3x + 2)(3x + 2) = 0, x = 32

−

15) 4x2 + 8x + 3 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 1) = 0, x = 23

− , 21

−

16) 4x2 + 16x + 15 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 5) = 0, x = 23

− , 25

−

17) x2 – 9 = 0 จะได (x + 3)(x – 3) = 0, x = – 3, 3 18) 25 – x2 = 0 จะได (5 + x)(5 – x) = 0, x = – 5, 5 19) 9x2 – 16 = 0 จะได (3x + 4)(3x – 4) = 0, x =

34

− , 34

20) 36x2 – 25 = 0 จะได (6x + 5)(6x – 5) = 0, x = 65

− , 65

2. 1) x2 + 8x + 6 = 0 [x2 + 2(4)x] + 6 = 0 [x2 + 2(4)x + 42] + 6 – 42 = 0 (x + 4)2 – 10 = 0 (x + 4)2 = 10 x + 4 = 10±

x = 104 ±−

2) x2 + 10x + 3 = 0 [x2 + 2(5)x] + 3 = 0 [x2 + 2(5)x + 52] + 3 – 52 = 0 (x + 5)2 – 22 = 0 (x + 5)2 = 22 x + 5 = 22±

x = 225 ±−

75

3) x2 + 4x + 2 = 0 [x2 + 2(2)x] + 2 = 0

[x2 + 2(2)x + 22] + 2 – 22 = 0 (x + 2)2 – 2 = 0 (x + 2)2 = 2

x + 2 = 2±

x = 22 ±−

4) x2 + 6x + 3 = 0 [x2 + 2(3)x] + 3 = 0 [x2 + 2(3)x + 32] + 3 – 32 = 0 (x + 3)2 – 6 = 0 (x + 3)2 = 6 x + 3 = 6±

x = 63 ±−

5) x2 + 8x – 1 = 0 [x2 + 2(4)x] – 1 = 0 [x2 + 2(4)x + 42] – 1 – 42 = 0 (x + 4)2 – 17 = 0 (x + 4)2 = 17 x + 4 = 17±

x = – 4 17±

6) x2 – 4x – 2 = 0 [x2 – 2(2)x] – 2 = 0 [x2 – 2(2)x + 22] – 2 – 22 = 0 (x – 2)2 – 6 = 0 (x – 2)2 = 6 x – 2 = 6±

x = 62 ±

76 7) x2 – 6x + 4 = 0 [x2 – 2(3)x] + 4 = 0 [x2 – 2(3)x + 32] + 4 – 32 = 0 (x – 3)2 – 5 = 0 (x – 3)2 = 5 x – 3 = 5± x = 53 ± 8) x2 – 10x – 2 = 0 [x2 – 2(5)x] – 2 = 0 [x2 – 2(5)x + 52] – 2 – 52 = 0 (x – 5)2 – 27 = 0 (x – 5)2 = 27 x – 5 = 27± x – 5 = 33± x = 335 ± 9) x2 + 5x + 1 = 0 1x

252x 2 +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

22

2

251

25x

252x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

421

25x

2

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + = 0

2

25x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + =

421

25x + =

421

±

x = 421

25±−

x = 221

25±−

x = 2

215 ±−

77

10) x2 + 3x + 2 = 0 2x

232x 2 +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

22

2

232

23x

232x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

41

23x

2

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

2

23x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ =

41

23x+ =

41

±

x =41

23±−

x = 2

13 ±− , x = – 1, – 2

3. 1) x2 – 4x – 21 = 0 a = 1, b = – 4, c = – 21

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)1(2

)21)(1(4)4()4( 2 −−−±−−

=2104 ±

= 7, – 3

2) จาก x2 = 4x จะได x2 – 4x = 0 ดงนน a = 1, b = – 4, c = 0

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)1(2

)0)(1(4)4()4( 2 −−±−−

=2

44 ±

= 4, 0

78

3) จาก x2 – 2x = 6 จะได x2 – 2x – 6 = 0 ดงนน a = 1, b = – 2, c = – 6

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)1(2

)6)(1(4)2()2( 2 −−−±−−

=)1(2

2442 +±

=2

282 ±

=2

722 ± = 71±

4) 3x2 + 2x – 3 = 0 a = 3, b = 2, c = – 3

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)3(2

)3)(3(422 2 −−±−

=)3(2

3642 +±−

=)3(2402 ±−

=)3(2

1022 ±− =3

101±−

5) จาก 2x2 + 4x = 1 จะได 2x2 + 4x – 1 = 0 ดงนน a = 2, b = 4, c = – 1

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)2(2

)1)(2(444 2 −−±−

=)2(2

8164 +±−

=)2(2244 ±−

=)2(2

624 ±− =2

62 ±−

79

6) จาก 2x2 = x + 2 จะได 2x2 – x – 2 = 0 ดงนน a = 2, b = – 1, c = – 2

x =a2

ac4bb 2 −±− =)2(2

)2)(2(4)1()1( 2 −−−±−−

=)2(2

1611 +±

=4

171±

4. 1) x2 + (x + 3)2 = (x + 7)2

x2 + (x2 + 6x + 9) = x2 + 14x + 49 2x2 + 6x + 9 = x2 + 14x + 49 x2 – 8x – 40 = 0

หาคาตอบของสมการโดยใชสตรไดดงน

x =)a(2

ac4bb 2 −±− และ a = 1, b = – 8, c = – 40

=)1(2

)40)(1(4)8()8( 2 −−−±−−

=2

160648 +±

=2

2248 ±

=2

1448 ±

= 1424 ±

เนองจากความยาวดานของรปสามเหลยมจะตองเปนบวกเสมอ ดงนน x = 1424 +

จะได AB = 1424 +

BC = 31424 ++ = 1427 +

AC = 71424 ++ = 14211+

2) x2 + (x + 2)2 = (x + 6)2

x2 + x2 + 4x + 4 = x2 + 12x + 36 x2 – 8x – 32 = 0

A

B Cx + 3

x + 7x

A

B Cx + 2

x + 6x

80

หาคาตอบของสมการโดยใชสตรไดดงน

x =)a(2

ac4bb 2 −±− และ a = 1, b = – 8, c = – 32

=)1(2

)32)(1(4)8()8( 2 −−−±−−

=2

128648 +±

=21928 ±

=2

388 ±

= 344 ±

เนองจากความยาวดานของรปสามเหลยมจะตองเปนจานวนบวกเสมอดงนน x = 344 +

จะได AB = 344 +

BC = 2344 ++ = 346 +

AC = 6344 ++ = 3410 +

3) x2 + (2x + 3)2 = (3x + 1)2

x2 + 4x2 + 12x + 9 = 9x2 + 6x + 1 5x2 + 12x +9 = 9x2 + 6x + 1 4x2 – 6x – 8 = 0

หาคาตอบของสมการโดยใชสตร ไดดงน

x =a2

ac4bb 2 −±− และ a = 4, b = – 6, c = – 8

=)4(2

)8)(4(4)6()6( 2 −−−±−−

=)4(2

128366 +±

=)4(2

1646 ±

x

A

B C2x + 3

3x + 1

81

= )4(24126 ±

=4

413 ±

เนองจากความยาวดานของรปสามเหลยมจะตองเปนจานวนบวกเสมอดงนน x =

4413 +

จะได AB =4

413 +

BC = 34

4132 +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ + =2

)419( +

AC = 14

4133 +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ + =4

)41313( +

5.

ถากลองกระดาษในรปขางบน มความจ 320 ลกบาศกเซนตเมตรจะหาวา กลองใบนซงมฐานเปนรปสเหลยมจตรส จะมความกวางเทาใดไดดงนปรมาตรของกลอง = 5⋅x⋅x หรอ 5x2

5x2 = 320 x2 =

5320 หรอ 64

จะได x = ± 8เนองจากความกวางของกลองตองเปนจานวนจรงบวกดงนน ฐานของกลองจะมความกวางเทากบ 8 เซนตเมตร

5 xx

82

6.

(1) (2)

กลองในรปท (1) ทาจากกระดาษในรปท (2) ซงมพนทเทากบ x2 + 4ax กาหนดให

a x2 + 4ax

41 20

1 165

21 80

หาคาของ x ไดดงน1) จาก a =

41 จะได x2 + 4ax = x2 + x

และ x2 + x = 20x2 + x – 20 = 0(x + 5)(x – 4) = 0 x = 4, – 5

เนองจากความกวางของกลองจะตองเปนจานวนจรงบวกดงนน x = 4 เซนตเมตร

2) a = 1 จะได x2 + 4ax = x2 + 4xและ x2 + 4x = 165

x2 + 4x – 165 = 0(x + 15)(x – 11) = 0

x = 11, – 15เนองจากความกวางของกลองจะตองเปนจานวนจรงบวกดงนน x = 11 เซนตเมตร

a

xx

ax

ax

ax

ax

x2

83

3) a = 21 จะได x2 + 4ax = x2 + 2x

และ x2 + 2x = 80x2 + 2x – 80 = 0(x + 10)(x – 8) = 0 x = 8, – 10

เนองจากความกวางของกลองจะตองเปนจานวนจรงบวกดงนน x = 8 เซนตเมตร

7. ถาความสง (h) ของลกเทนนส เมอวดจากพนขณะทนกกฬาตลกขนไปนาน t วนาทหาไดจากสตร h = 1 + 15t – 5t2

จะหาวา นานเทาใดหลงจากทนกกฬาตลกเทนนส แลวลกเทนนสอยสงจากพนดน 10 เมตรจาก h = 10จะได 1 + 15t – 5t2 = 10

5t2 – 15t + 9 = 0

จาก t =a2

ac4bb 2 −±− และ a = 5, b = – 15, c = 9

t =)5(2

)9)(5)(4()15()15( 2 −−±−−

=10

4515 ±

=10

5315 ±

≈10

7.615 ±

≈ 0.83 หรอ 2.17 วนาท

เขยนภาพแทนการตลกเทนนสของนกกฬาไดดงน

0 t1 t2

h

84

นอกจากการหาคาของ t โดยใชสตรแลว อาจจะใชวธการประมาณคาของ 1 + 5t – 15t2

ทมคาใกล 10 มากทสด โดยใชเครองคดเลขไดดงตวอยางตอไปนt (วนาท) 1 + 15t – 5t2 (เมตร)

10.90.80.850.84*0.830.82

1110.459.8

10.1310.07

*10.00559.938

จากตารางพบวา คาประมาณของ t ทเทากบ 0.83 วนาท เปนคาททาให 1+ 5t – 5t2 มคาใกล 10 เมตร มากทสด

8. ตนทนในการผลตสนคาบรษทแหงหนงเทากบ1 600x – 5x2 เมอ x แทนราคาตนทนสนคาตอหนวย และถาตนทนสนคาตอหนวยสงกวา 50 บาท ถาตองการกาไรชนละ 25% โดยมตนทนในการผลตเทากบ 16,000 บาท จะหาวาตองขายสนคาในราคาชนละเทาใดไดดงนให 600x – 5x2 = 16,000

5x2 – 600x + 16,000 = 0x2 – 120x + 3,200 = 0

จาก x = a2

ac4bb 2 −±− และ a = 1, b = – 120, c = 3,200

จะได x = )1(2

)200,3)(1(4)120()120( 2 −−±−−

= 2

800,12400,14120 −±

= 2

600,1120 ± = 2

40120 ±

จะได x = 80 หรอ 40จากโจทย ราคาสนคาตอหนวยตองสงกวา 50 บาทดงนน ราคาสนคาตอหนวย จะตองเทากบ 80 บาท

ตองการกาไร 25% จะหาไดจาก 1002580× หรอ 20 บาท

นนคอ จะตองขายสนคาชนละ 80 + 20 หรอ 100 บาท

85

9. ถาผลคณของจานวนถดไปทเปนจานวนคทเปนบวกสองจานวนมคาเทากบ 35จะหาจานวนทงสองไดโดยให x เปนจานวนคจานวนแรกให x + 2 เปนจานวนคทเปนบวกทเปนจานวนถดไปจะได x(x + 2) = 35

x2 + 2x – 35 = 0(x + 7)(x – 5) = 0

x = – 7, 5เนองจากโจทยกาหนดจานวนคเปนจานวนบวก ดงนน x จะตองเทากบ 5สรปวา จานวนแรก คอ 5 และจานวนทสองคอ 7ตรวจสอบคาตอบ 5 × 7 = 35

10. 1) ถา x2 + 10x + c = 0 และ c < 0ให c = –24จะได x2 + 10x – 24 = 0

(x + 12)(x – 2) = 0และ x = –12 หรอ 2 เปนคาตอบทเปนจานวนจรง 2 คาตอบ

2) ถา x2 + 10x + c = 0 และ c > 0ให c = 9จะได x2 + 10x + 9 = 0 (x + 9)(x + 1) = 0และ x = –9 หรอ –1 เปนคาตอบทเปนจานวนจรง 2 คาตอบ

3) ถา x2 + bx + 9 = 0 และ b > 6ให b = 10จะได x2 + 10x + 9 = 0

(x + 9)(x + 1) = 0และ x = –9 หรอ –1 เปนคาตอบทเปนจานวนจรง 2 คาตอบ

86 11. ถาระยะเบรกของรถคนหนงแทนดวยสตร d =

20ss

2

+ เมตร เมอ d คอ ระยะเบรก และ s คออตราเรวของรถมหนวยเปนกโลเมตร / ชวโมง หาระยะเบรกของรถคนนเมอรถคนนวงดวยอตราเรวตางกน ไดดงน 1) s = 40 กโลเมตร / ชวโมง d =

20)40(40

2

+ = 40 + 80 เมตร = 120 เมตร 2) s = 100 กโลเมตร / ชวโมง d =

20)100(100

2

+ = 100 + 500 เมตร = 600 เมตร 12.

หยด x

35 ซม.

x ถาตดปายรปแปดเหลยมจากแผนโลหะรปสเหลยมจตรสใหไดปายรปแปดเหลยมทแตละ

ดานยาว 35 ซม. จะหาวา ดานของรปสเหลยมจตรสควรจะยาวดานละเทาใด จงจะไดปายตามขนาดทเขยนไวในรปไดดงน

หาความยาวของ x โดยใชรปสามเหลยมมมฉาก

35

x จาก x2 + x2 = 352 x 2x2 = 352

x2 = 2

352

จะได x = 2

35 หรอ 2

235

จะไดวา รปสเหลยมจตรสควรจะมความยาวดานละ 2x + 35 หรอ 352

2352 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ซงมคาประมาณ 84.50 ซม.

87

แบบฝกหด 3.4.11. 1) n < 5 จะได n = 0 , 1, – 2 2) n > – 4 จะได n = 6, – 1, 0 3) n < 0 จะได n = – 2, – 5 4) n ≤ 0 จะได n = 0, – 4, – 1 5) n ≤ 2 จะได n = – 2, 2, 0 6) – 1 < n ≤ 3 จะได n = 2, 3, 0 7) – 10 < n < 4 จะได n = – 1, 0 8) 0 ≤ n ≤ 5 จะได n = 1, 0, 5

2. 1) x + 2 > 2x + 2 – 2 > 2 – 2

x > 0เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x > 0}

2) x – 4 ≤ 2x – 4 + 4 ≤ 2 + 4

x ≤ 6เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x ≤ 6}

3) 3 + y < 73 + y – 3 < 7 – 3

y < 4เซตคาตอบของอสมการคอ {y⏐y < 4}

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

88

4) y – 2 ≥ –1y – 2 + 2 ≥ –1 + 2

y ≥ 1เซตคาตอบของอสมการคอ {y⏐y ≥ 1}

5) x + 3 < 2x + 3 – 3 < 2 – 3

x < –1เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x < –1}

6) x – 9 ≤ 0x – 9 + 9 ≤ 0 + 9

x ≤ 9เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x ≤ 9}

7) 2x ≥ 4 )

21(4)

21(x2 ≥

x ≥ 2เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x ≥ 2}

8) 3x31

≥

33)3(x31

×≥

x ≥ 9เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x ≥ 9}

-2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

6 7 8 9 10 11 12

-2 -1 0 1 2 3 4

6 7 8 9 10 11 12

89

9) 12x

−≤

)2(1)2(2x

−≤

x ≤ –2เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x ≤ –2}

10) 10 ≤ 5x)

51(x5)

51(10 ≤

2 ≤ xเซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x ≥ 2}

11) 07x

>

)7(0)7(7x

>

x > 0เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x > 0}

12) 04x<

)4(0)4(4x

<

x < 0เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐x < 0}

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

90

13)211x ≤−

x – 1 + 1 ≤ 121+

23x ≤

เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐23x ≤ }

14) 5x + 1 ≤ 45x + 1 – 1 ≤ 4 – 1

5x ≤ 3 )

51(3)

51(x5 ≤

x ≤53

เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐53x ≤ }

15) –3 + 3x ≤ 2–3 + 3x + 3 ≤ 2 + 3

3x ≤ 5x ≤

35

เซตคาตอบของอสมการคอ {x⏐ x ≤ 35 }

แบบฝกหด 3.4.21. –3x ≥ 9

)31(9)

31(x3 −≤−−

x ≤ –3

0 1 2 323

0 1 2 353

0 1 2 335

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

91

2. 23x

≤−

)3(2)3)(3x( −≥−−

x ≥ –6

3. 16x

<−

)6(1)6)(6x( −>−−

x > –6

4. – 4x ≤ 20)

41(20)

41)(x4( −≥−−

x ≥ –5

5. 18 + 6x > 018 + 6x – 18 > 0 – 18

6x > –18

6x6 >

618−

x > –3

6. 05x

≥−

)5(0)5)(5x( −≤−−

x ≤ 0

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

92 7. –3x ≥ 12 )

31(12)

31(x3 −≤−−

x ≤ – 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 8. 1

7x

<−

)7(1)7(7x

−>−− x > –7 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 9. –3x – 21 ≥ 0 –3x – 21 + 21 ≥ 0 + 21 –3x ≥ 21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

31x3 ≤ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3121

x ≤ –7 10. 01

2x

>−−

10112x

+>+−−

12x

>−

)2(1)2)(2x( −<−−

x < –2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

93

แบบฝกหด 3.4.3

1. 1) 4x + 2 > x + 74x + 2 – x > x + 7 – x

3x + 2 > 73x + 2 – 2 > 7 – 2

3x > 5 )

31(x3 > )

31(5

x >35

2) 2x – 1 < x + 92x – 1 – x < x + 9 – x

x – 1 < 9x – 1 + 1 < 9 + 1

x < 10

3) 8x – 5 ≥ 3x + 158x – 5 – 3x ≥ 3x + 15 – 3x

5x – 5 ≥ 155x – 5 + 5 ≥ 15 + 5

5x ≥ 20 )

51(x5 ≥ )

51(20

x ≥ 4

4) 3x – 2 ≤ x3x – 2 – x ≤ x – x

2x – 2 ≤ 02x – 2 + 2 ≤ 0 + 2

2x ≤ 2 )

21(x2 ≤ )

21(2

x ≤ 1

6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 0 1 2 3 4

0 1 2 33

5

94

5) 8 – 3x > x 8 – 3x + 3x > x + 3x

8 > 4x )

41(x4)

41(8 >

2 > x หรอ x < 2

6) 5 – 3m ≤ 6 – 4m5 – 3m + 4m ≤ 6 – 4m + 4m

5 + m ≤ 65 + m – 5 ≤ 6 – 5

m ≤ 1

7) 6 – 3m ≥ 3m6 – 3m + 3m ≥ 3m + 3m

6 ≥ 6m )

61(6 ≥ )

61)(m6(

1 ≥ m m ≤ 1

8) 3m < m – 23m – m < m – 2 – m

2m < –2 )

21(m2 < )

21(2−

m < –1

9) 4(m – 3) ≤ 3(m – 2)4m – 12 ≤ 3m – 6

4m – 12 – 3m ≤ 3m – 6 – 3mm – 12 ≤ – 6

m – 12 + 12 ≤ – 6 + 12m ≤ 6

-2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

3 4 5 6 7 8 9

95

10) m + 2 < 6(2 + m)m + 2 < 12 + 6mm + 2 – m < 12 + 6m – m

2 < 12 + 5m2 – 12 < 12 + 5m – 12

–10 < 5m )

51(10− < 5m )

51(

–2 < m หรอ m > –2

11) x2 < 9 x2 – 9 < 0 (x – 3)(x + 3) < 0

พจารณาคาของ (x – 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 3), (3, ∞) โดยเลอกคา xทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 3)(x + 3) คาของ (x – 3)(x + 3)(– ∞, – 3) – 5 (– 8)(– 2) = 16 มคาเปนบวก

(– 3, 3) 0 (– 3)(3) = – 9 มคาเปนลบ(3, ∞) 5 (2)(8) = 16 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x – 3)(x + 3) มคาเปนลบ หรอนอยกวาศนย เมอ x อยในชวง (–3, 3) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

12) x2 > 4 x2 > 4 x2 – 4 > 0 (x – 2)(x + 2) > 0

พจารณาคาของ (x – 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) โดยเลอกคา xทอยในชวงดงกลาวดงน

-4 -3 -2 -1 0 1 2

(x – 3)(x + 3) < 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

96

ชวง x (x – 2)(x + 2) คาของ (x – 2)(x + 2) (– ∞, – 2) –3 (– 5)(– 1) = 5 มคาเปนบวก

(– 2, 2) 0 (– 2)(2) = – 4 มคาเปนลบ (2, ∞) 3 (1)(5) = 5 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x – 2)(x + 2) มคาเปนบวก หรอมากกวาศนย เมอ x อยในชวง (– ∞, – 2) ∪ (2, ∞) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน (x – 2)(x + 2) > 0 (x – 2)(x + 2) > 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 13) x2 + 2x > 3 x2 + 2x – 3 > 0 (x – 1)(x + 3) > 0 พจารณาคาของ (x – 1)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1), (1, ∞) โดยเลอกคา x ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 1)(x + 3) คาของ (x – 1)(x + 3) (– ∞, – 3) – 5 (– 6)(– 2) = 12 มคาเปนบวก

(– 3, 1) 0 (– 1)(3) = –3 มคาเปนลบ (1, ∞) 5 (4)(8) = 32 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x – 1)(x + 3) มคาเปนบวก หรอมากกวาศนย เมอ x อยในชวง (– ∞, – 3) ∪ (1, ∞) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

(x – 1)(x + 3) > 0 (x – 1)(x + 3) > 0

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

97

14) x2 – 4x < 5 x2 – 4x – 5 < 0 (x – 5)(x + 1) < 0 พจารณาคาของ (x – 5)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 5), (5, ∞) โดยเลอกคา x

ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 5)(x + 1) คาของ (x – 5)(x + 1)(– ∞, – 1) – 2 (– 7)(– 1) = 7 มคาเปนบวก

(– 1, 5) 0 (– 5)(1) = – 5 มคาเปนลบ(5, ∞) 15 (10)(16) = 160 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x – 5)(x + 1) มคาเปนลบ หรอนอยกวาศนย เมอ x อยในชวง (– 1, 5) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

15) (x – 1)(x + 1) > 0 พจารณาคาของ (x – 1)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 1), (1, ∞) โดยเลอกคา x

ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 1)(x + 1) คาของ (x – 1)(x + 1)(– ∞, – 1) – 2 (– 3)(– 1) = 3 มคาเปนบวก

(– 1, 1) 0 (– 1)(1) = – 1 มคาเปนลบ(1, ∞) 2 (1)(3) = 3 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x – 1)(x + 1) มคาเปนบวก หรอมากกวาศนย เมอ x อยในชวง (– ∞, – 1) ∪ (1, ∞)

เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

(x – 5)(x + 1) < 0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(x – 1)(x + 1) > 0 (x – 1)(x + 1) > 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

98

16) x2 – 6x + 9 < 0 (x – 3)(x – 3) < 0

พจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลอกคา x ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3)(– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มคาเปนบวก(3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x – 3)(x – 3) ≥ 0 เสมอ จงไมมคา x ททาให (x – 3)2 มคาเปนลบ หรอนอยกวาศนย แสดงวา ไมมจานวนจรงใดททาให (x – 3)2 < 0

17) x2 + 6x + 9 < 0 (x + 3)(x + 3) < 0

พจารณาคาของ (x + 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, ∞) โดยเลอกคา x ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x + 3)(x + 3) คาของ (x + 3)(x + 3)(– ∞, – 3) –5 (– 2)(– 2) = 4 มคาเปนบวก(– 3, ∞) 0 (3)(3) = 9 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา คาของ (x + 3)(x + 3) ≥ 0 เสมอ เมอ x อย ในชวง (– ∞, – 3] ∪ [– 3, ∞) หรอ (– ∞, ∞) จงไมมคา x ททาให (x + 3)(x + 3) มคาเปนลบ หรอนอยกวาศนย

(x – 3)2 ≥ 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2 + 6x + 9 ≥ 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

99 18) x2 + 4x + 4 ≥ 0 (x + 2)(x + 2) ≥ 0 พจารณาคาของ (x + 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2], [– 2, ∞) โดยเลอกคา x ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x + 2)(x + 2) คาของ (x + 2)(x + 2) (– ∞, – 2] – 5 (– 3)(– 3) = 9 มคาเปนบวก [– 2, ∞) 0 (2)(2) = 4 มคาเปนบวก

เมอเลอกคา x อนเพมเตมจะพบวา (x + 2)(x + 2) มคามากกวาหรอเทากบศนย เมอ x เปนจานวนจรง หรอ เมอ x อยในชวง (– ∞, –2 ] ∪ [–2 , ∞) หรอ (– ∞, ∞) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

x2 + 4x + 4 ≥ 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 19) (x – 3)2 > 0 (x – 3)(x – 3) > 0 พจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลอกคา x ทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3) (– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มคาเปนบวก (3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มคาเปนบวก

เมอเลอก x คาอนเพมเตมจะพบวา (x – 3)(x – 3) มคาเปนบวกหรอมากกวาศนย เมอ x เปนจานวนจรง ทไมเทากบ 3 หรอ เมอ x อยในชวง (– ∞, 3) ∪ (3, ∞) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

(x – 3)2 > 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(x – 3)2 = 0

100

20) x2 – 9x – 10 < 0 (x – 10)(x + 1) < 0

พจารณาคาของ (x – 10)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 10), (10, ∞) โดยเลอกคา xทอยในชวงดงกลาวดงน

ชวง x (x – 10)(x + 1) คาของ (x – 10)(x + 1)(– ∞, – 1) – 2 (– 12)(– 1) = 12 มคาเปนบวก(– 1, 10) 0 (– 10)(1) = – 10 มคาเปนลบ(10, ∞) 11 (1)(12) = 12 มคาเปนบวก

เมอเลอก x คาอนเพมเตมจะพบวา (x – 10)(x + 1) มคาเปนลบหรอนอยกวาศนย เมอ x อยในชวง (–1, 10) เขยนแสดงคาตอบโดยใชเสนจานวนไดดงน

2. ลฟทของททางานแหงหนงสามารถจคนได n คน โดยทนาหนกเฉลยของแตละคนเทากบ 80 กโลกรม ถาลฟทตวนบรรทกนาหนกไดมากทสด 1,650 กโลกรม ให n แทนจานวนคนทอยในลฟท จะได 80 n ≤ 1650

)801(n80 ≤ )

801(1650

n ≤ 8520

สรปไดวา ลฟทตวนบรรจคนไดไมเกน 20 คน

3. ทจอดรถของศนยการคาแหงหนงมพนทไมเกน 8,000 ตารางเมตร และจะตองแบงเปนทางเดน ของรถ 950 ตารางเมตร กาหนดใหพนทสาหรบจอดรถ 1 คน เทากบ 20 ตารางเมตร จะหาจานวนรถทลกคานามาจอดในทจอดรถไดมากทสดไดดงน ให x เปนจานวนรถทนามาจอดในบรเวณทจอดรถ จะได 20x < 8,000 – 950

20x < 7,050

x2 – 9x – 10 < 0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

101

)201(x20 < )

201(050,7

x < 21352

สรปไดวา ลกคานารถมาจอดไดมากทสด 352 คน

4. บรษท ก คดคาเชารถวนละ 1,800 บาท โดยไมคดคาใชจายอนอก บรษท ข คดคาเชารถวนละ 1,000 บาท และคดคาเชาเพมจากจานวนกโลเมตรทนารถไปใช อกกโลเมตรละ 2 บาท

1) ใหจานวนระยะทางทรถวงแทนดวย x จะได 1000 + 2x ≤ 1800

2x ≤ 800 x ≤ 400 สรปวา ถาเชารถจากบรษท ข โดยจายคาเชา 1,800 บาท/วน จะใชวงไดมากทสด 400 กโลเมตร

2) ถาตองการใชรถวนละประมาณ 600 กโลเมตร ถาเชารถจากบรษท ก จะตองจายคาเชารถ 1,800 บาท ถาเชารถจากบรษท ข จะตองจายคาเชารถ 1,000 + 2(600) หรอ 2,200 บาท ดงนน ถาตองการใชรถวนละประมาณ 600 กโลเมตร ควรเชารถจากบรษท ก

จงจะประหยดคาเชารถ

5. แมคาขายไกยางตวละ 80 บาท โดยมคาใชจายทเปนคาเชารานวนละ 100 บาท และคาใชจายอน รวมทงคาไกสดคดเปนตนทนแลวตวละ 60 บาท ให x แทนจานวนไก (ตว) ทขายไดในหนงวน ขายไกยาง 1 ตว ตองการกาไร 80 – 60 = 20 บาท

20x – 100 ≥ 500 20x ≥ 600

x ≥ 30 ดงนน ถาตองการกาไรจากการขายไกยางวนละไมตากวา 500 บาท ตองขายไกยางใหได มากกวาวนละ 30 ตว

102

แบบฝกหด 3.51. จงหาคาของ

1) ⏐8⏐ +⏐3⏐ = 8 + 3 = 11 10) ⏐0⏐ = 02) ⏐9⏐ – ⏐2⏐ = 9 – 2 = 7 11) ⏐3 – π⏐ = – (3 – π) = π – 33) ⏐– 8⏐+ ⏐2⏐ = 8 + 2 = 10 12) ⏐4 – π⏐ = 4 – π4) ⏐– 12⏐+ ⏐–6⏐ = 12 + 6 = 18 13)

55

−− =

55− = – 1

5) ⏐– 6⏐–⏐6⏐ = 6 – 6 = 0 14) –3 – ⏐–3⏐ = – 3 – 3 = – 66) ⏐– 13⏐–⏐– 5⏐ = 13 – 5 = 8 15) –3 ⏐3⏐ = – 3(3) = – 97) ⏐4 + 9⏐ = 13 16) ⏐–1⏐–⏐–2⏐ = 1 – 2 = – 18) ⏐10 – 10⏐ = 0 17) –⏐16.25⏐+ 20 = –16.25 + 20 = 3.759) ⏐– 10⏐ = 10 18) 2⏐33⏐ = 2(33) = 66

2. กาหนดให x = ⏐– 2⏐ และ y = ⏐5⏐ 1) x – 2 = ⏐– 2⏐– 2 = 2 – 2 = 02) y – 5 = ⏐5⏐– 5 = 5 – 5 = 03) 2x = 2⏐– 2⏐ = 2(2) = 44) y2 = (⏐5⏐)2 = 52 = 255) x + y = ⏐– 2⏐+ ⏐5⏐ = 2 + 5 = 76) x – y = ⏐– 2⏐– ⏐5⏐ = 2 – 5 = – 37) xy = ⏐– 2⏐⏐5⏐ = 2(5) = 108)

yx =

52− =

52

3. 1) ⏐–3⏐ > –⏐–3⏐ 2) ⏐– 4⏐ = ⏐4⏐ 3) –5 = –⏐5⏐ 4) –⏐4⏐ < ⏐4⏐ 5) –⏐–6⏐ < ⏐–6⏐ 6) –⏐–2⏐ = –2

4. 1) ⏐x⏐ = 7 ∴ x = –7, 7

2) ⏐x⏐ > 7 ∴ x < –7 , x > 7

-14 -7 0 7 14

-14 -7 0 7 14

103

3) ⏐x⏐ ≥ 7 ∴ x ≤ – 7 , x ≥ 7

-14 -7 0 7 14

-14 -7 0 7 14

4) ⏐x⏐ > 0 ∴ x < 0 , x > 0

5) ⏐x⏐ ≤ 4 ∴ – 4 ≤ x ≤ 4 -8 -4 0 4 8

-8 -4 0 4 8

6) ⏐x⏐ < 4 ∴ – 4 < x < 4 5. กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงทไมเทากบศนย 1) ⏐x⏐ = – x เปนเทจ เพราะมคา x บางคา เชน x = 1, ⏐1⏐ = 1 แต – x = – 1 และ –1 ≠ 1 2) –⏐x⏐ < x เปนเทจ เพราะมคา x บางคา เชน x = –2 , –⏐–2⏐ = –2 แต –2 < –2 3) ⏐x⏐ > x เปนเทจ เพราะม x = 2, ⏐2⏐ = 2 แต 2 > 2 4) ⏐x⏐ < x เปนเทจ เพราะม x = –1, ⏐–1⏐= 1 แต 1 < –1