INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO

Análisis de datos experimentales

Departamento de ingeniería química y bioquímica

Alumna: Diana Ramirez Gamboa

13041336 3w

Maestra: Gandarilla Castruita Luisa Eugenia

Resumen de la unidad 1 - Modelos Analíticos de Fenómenos Aleatorios.

Normal

T

Beta

Exponencial

Ji cuadrado

Gamma

F

Uniforme

Multinomial

Multihiper-geométrica

de poisson

Binomial

Hipergeométrica

Unidad 1-Modelos Analíticos deFenómenos Aleatorios.

Distribución de probabilidad para variables continúas

Variables aleatorias discretas

Variables aleatorias continuas

Distribuciones de probabilidad para variables

discretas

Funciones de Distribución

Variable

Variable aleatoria

Caso discretoCaso continuo

Unidad 1-Modelos Analíticos de Fenómenos Aleatorios.

1. Variables aleatorias discretas:Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas, las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las continuas aparecen cuando se mide.Una variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos observado el valor X = a.Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:

o La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores

son números reales.o Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para

los que X = a tiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.

Consideramos una variable aleatoria discreta X que puede tomar los valores x1, ..., xk con probabilidades P(x1), ..., P(xk).La media o esperanza de X se define como:

2. Variables aleatorias continuas:Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.A diferencia de las variables discretas, las variables continuas, como su nombre lo indica, sólo se pueden agrupar en forma arbitraria en categorías, porque por su naturaleza pueden tomar cualquier valor a lo largo de un continuo (o de una escala numérica continua).

3. Funciones de Distribución:Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En la continua, llamada función de Variable aleatoria y función de distribución 27 densidades, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como:

F(x) o FxPara estudiar la función de distribución distinguiremos entre el caso discreto y el caso continuo:

Caso discreto

Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la función de distribución:

La función de distribución para una variable discreta siempre verifica las siguientes propiedades:

Caso continuo

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), se define la función de distribución, F(x), como:

La función de distribución para una variable continua siempre verifica las siguientes propiedades:

Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las probabilidades correspondientes a los valores Xi de la variable X.

4. Distribuciones de probabilidad para variables discretas:Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma como posibles valores X1,X2,.....Xn, se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi) que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde pi= P(X=xi), tal que la suma de todas las probabilidades es igual a la unidad. Definición: Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus posibilidades representadas por la función de masa p (xi) la esperanza se calcula con una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad, o La esperanza también se suele simbolizar con Las esperanzas para se llaman momentos de orden. Más importantes son los momentos centrados.Propiedades La esperanza es un operador lineal, ya que: Combinando estas propiedades, podemos ver que donde e son variables aleatorias y dos constantes cualesquiera.

Uniforme discretaEn teoría de la probabilidad, la distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad.

Propiedades:

Si la distribución asume los valores reales , su función de probabilidad es

Y su función de distribución la función escalonada

Su media estadística es

y su varianza

Probabilidad binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de

éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de

ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es,

sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y

al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se

repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de

éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

Probabilidad hipergeometricaEn teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (0 \le x \le d) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.Propiedades:

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de

razonamientos combinatorios y es igual a

donde   es el tamaño de población,   es el tamaño de la muestra extraída,   es el número de elementos en

la población original que pertenecen a la categoría deseada y   es el número de elementos en la muestra que

pertenecen a dicha categoría. La notación   hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de

combinaciones posibles al seleccionar   elementos de un total  .

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

Probabilidad poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Propiedades:

La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es

Donde:

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento

suceda precisamente k veces).

λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno

durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y

estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,

usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.

e es la base de los logaritmos naturales 

5. Distribución de probabilidad para variables continúas:Si la variable aleatoria es continua, hay infinitos valores posibles de la variable y entra cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer en el caso de las variables discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y cómo cambia esa probabilidad acumulada en cada punto (densidad de probabilidad). Por tanto, cuando la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad. Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica:

Distribución F

Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua.

También se le conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-

Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

Donde:

U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y

U1 y U2 son estadísticamente independientes.

La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente

en el análisis de varianza. Véase el test F.

Distribución ji cuadrada

En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrado o chi cuadrado (χ²) es una distribución

de probabilidad continua con un parámetro   que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde   son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable

aleatoria   tenga esta distribución se representa habitualmente así:  .

Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a

una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en

fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado

parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función

gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y

psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son

desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo

normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas

independientes.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la

explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y

sociología sea conocido como método correlacionar.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de

los métodos de estimación más simples y antiguos.

Distribución T

En probabilidad y estadística, la distribución t es una distribución de probabilidad que surge del problema de

estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es

pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias

entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las

medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser

estimada a partir de los datos de una muestra.

Bibliografía de páginas web

http://148.204.211.134/polilibros../portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad %202/2.1.htm

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/horra/Estadistica-Apuntes/Probabilidad-Muestreo.pdf http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t9.htm http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema2.pdf https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/7942/Distribuciones%20de%20Probabilidad%20para

%20V%20A%20discretas.pdf?sequence=3 http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_continua http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad