Probabilidades

Las preguntas más importantes de la vida son, para la myor parte, realmente solo problemas de probabilidad.

Pierre Simon Laplace

La estadística demuestra que el matrimonio es la causa determinante del divorcio

Groucho Marx

Conceptos básicosFactorial.- n! = n x (n-1) x … x 2 x , con 0!=1Variación.- Se denomina variación a cada uno

de los arreglos ordenados de k elementos, tomados de otro de n elementos (k≤n), de manera que estos arreglos difieren en algún elemento o en el orden de colocación

Combinación.- Se denomina combinación a cada uno de los subconjuntos de k elementos, tomados de otro de n elementos (k≤n), sin tener en cuenta el orden de los mismos de manera que no pueden haber dos combinaciones con los mismos elementos

Permutación (sin repetición).- Una permutación de n elementos es cada una de las variaciones de los n elementos distintos

P n = n!

Parejas. Con los m elementos de A y los n elementos de B es posible formar mxn parejas

(aj,bk) que contengan un elemento de cada conjunto

Arreglos múltiples.- Consideremos los conjuntos A = {a1, a2,…., an} de m elementos, B= {b1, b2,…., bn} de n elementos hasta G={g1, g2,…., gn} de s elementos . Con ellos es posible formar m x n x …….x s arreglos {a1, b2,…., gn} que contiene un elemento de cada conjunto

Permutación (con repetición).- Una permutación con repetición, de k elementos obtenidos a partir de un conjunto de n elementos, es un arreglo de k elementos ordenados en el que los elementos pueden repetirse arbitrariamente.

Evento.- Se llama evento notado como ω a cualquiera de los resultados posibles de un experimento u otra situación que involucre incertidumbre

Espacio muestral.- La colección de todos los eventos elementales, notado por Ω, se denomina espacio muestral:

Ω={ω/ ω es evento elemental}

Notación

Interpretación en la teoría de cojuntos

Interpretación en la teoría de probabilidades

ω Elemento o punto Evento o suceso

Ω Conjunto de puntos Espacio muestral (suceso seguro)

Ø Conjunto vacío Evento imposible

A U B Unión de conjuntos Por lo menos uno de los eventos Ao B ocurre

A B Intersección de conjuntos Ambos eventos A y B ocurren

A \ B Diferencia de conjuntos A ocurre y B no ocurre

AC = Ω \ A

Conjunto complementario No ocurre A

A B = Ø Conjuntos disjuntos A y B se excluyen mutuamente

A B A es subconjunto de B Si A ocurre, también B

Dos eventos son igualmente probables si Pr (A) = Pr (B)

El evento A es más probable que B si Pr (A) > Pr (B).

Evento cierto.- Es el que siempre aparece en la realización de un experiemento, su probabilidad es igual a 1.

Evento imposible.- Es aquel que jamás puede ocurrir, su probabilidad es igual a 0.

Cálculo de ProbabilidadesEspacio muestral finitoPr (A) = Casos favorables de A Casos posibles = Card (A) = k Card (Ω) NEspacios muestrales infinitos numerablesEspacios muestrales continuosPr (A) = Área de A Área de Ω

Independencia y CondicionalidadIndependencia.- Dos eventos A y B se llaman

independientes si la probabilidad de que ambos ocurran es igual al producto de las probabilidades de los dos eventos individuales

Condicionalidad.- Consideremos un espacio muestral Ω y un evento B que pertenece a Ω tal que Pr (B) ≠ 0. La probabilidad condicional de que un evento A ocurra, en el supuesto que B ha ocurrido, se representa por Pr(A|B) (que se lee << probabilidad de A, dado B>>), se define como:

Pr (A|B) = Pr (A B) Pr(B)

Teorema de Bayes

Supongamos que el evento A puede ocurrir a condición de que aparezca uno de los eventos B1, B2, …., Bn. Si A ya ocurrió la probabilidad condicional del evento Bk es igual a

B1 B12B3

A