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场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 1 1

场论与复变函数

通信工程学院

场论与复变函数教学团队

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 2

第六章共形映射 Conformal mapping

第六章共形映射

本章从几何映射角度考察复变函数的性

质。在介绍共形映射概念的基础上，重点掌握分式线性映射和几种初等解析函数的映射性质。

第一节共形映射的概念

第二节分式线性映射

第三节唯一决定分式线性映射的条件

第四节几个初等解析函数构成的映射

第一节共形映射的概念

在几何意义下，复变函数将z平面中的曲线或者区域

映射到w平面中的曲线或者区域。转动角和伸缩率是两个重要

的概念。共形映射是一种具有保角性和伸缩率不变性的映射

。解析函数在导数不为0的点处都是共形映射。

一、共形映射的概念

1.映射

函数w=f(z)在几何上可以看做把z平面上的一个点集G变换到w

平面的一个点集G*。

(w) v y

w=f(z)

z平面内的一条有向连续曲线C可用参数方程

z=z(t), a t b

表示, 其正向取为t增大时点z移动的方向。

通过C上两点P0=z(t0)与P= z(t0+Dt)的做一条割线P0P，其正向对

应于t增大的方向：

z(t0) P0

z(t0+Dt) C

当点P沿C无限趋向于点P0, 割线P0P的极限位置是C上P0处的切

线。向量

与割线P0P的方向相同，与曲线C相切于点z0=z(t0)，称为曲线C

在点P0=z(t0)处的切向量.

z '(t0) C

根据切向量的定义，可得：

1) Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;

2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角，就是它

们交点处两条切线正向间的夹角。

2.解析函数导数的几何意义

设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0. 又设

C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线, 其参数方程是:

z=z(t), atb,

它的正向相应于参数t增大的方向, 且z0=z(t0), z ’(t0)0, a<t0<b.

则映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点w0=f(z0)的一条有向光

滑曲线G, 其参数方程是

w=f[z(t)], atb

正向相应于参数t增大的方向.

根据复合函数求导法, 有： w ‘(t0)=f ’(z0)z ‘(t0)0

因此, 在上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向的

夹角是： Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0)

z P Ds

(w) v y

或者有

Arg f ‘(z0) =Arg w ’(t0)-Arg z ‘(t0) (6.1.1)

如果将z0点处的切线正向与w0点处的切线正向之间的夹角理解

为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角, 则(6.1.1)式表明:

1)导数f ’(z0)0的辐角Arg f ‘(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处

的转动角;

2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关，所以这种

映射具有转动角的不变性.

映射具有这样的性质：通过z0点的任意一条曲线, 映射到w平面后

在w0点（ z0点的像）处都转动了同一个角度Arg f '(z0).

v (z) (w)

相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小和方向上都等同

于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角, 所以这种映射具有

保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性。

v (z) (w)

|f ‘(z0)|称为曲线C在z0的伸缩率.

z P Ds

(z) (w)

另由：

得： (6.1.2)

(6.1.2)表明: |f ‘(z)|是经过映射w=f(z)后通过z0点的任意曲线C

在z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及方向无关。所以当f ’(z0)0

时，映射w=f(z)在 z0点具有伸缩率不变性.

定理一

设函数w=f(z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且f ‘(z0)0, 则映

射w=f(z)在z0具有两个性质:

1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两

曲线间的夹角在大小和方向上保持不变；

2)伸缩率不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为

|f ’(z0)|，而与其形状和方向无关.

3. 共形映射的概念

定义设映射w=f(z)在z0的邻域内是一一对应的, 且Arg f ‘(z0)表

示这个映射在z0的转动角, |f ’(z0)|表示在z0的伸缩率, 在z0具有

保角性和伸缩率不变性, 则称映射w=f(z)在z0是共形的, 或称

w=f(z)在z0是共形映射. 如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共

形的, 就称w=f(z)是区域D内的共形映射.

定理二如果函数w=f(z)在z0解析, 且f ‘(z0)0, 则映射w=f(z)在z0

是共形的。如果解析函数w=f(z)在D内处处有f ’(z)0, 则映射

w=f(z)是D内的共形映射。

定理二的几何意义：在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一个以w0为其一个顶点的三角形, 这两个三角形对应边长之比为|f '(z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形相似.

v (z) (w)

伸缩率，由此看出映射也将很小

的圆 , 近似地映射成圆。

第二节分式线性映射

分式线性映射是一种常用的映

射，它可以看成由3种基本映射符合而成，在映射过程中具有

保角性、保圆性（直线可以看成半径为无穷大的圆）和保对

称性，是一种重要的映射关系。

可以看出：分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射。

1.定义

形式为

的映射称为分式线性映射。

对其求导：

可以看出，当时，导数不为0，是共形映射.

并且，求反函数：

w ad bccz d

（6.2.1）

两个分式线性映射的复合, 仍是一个分式线性映射。例如则其中：

分式线性映射可以分解为一些简单映射的复合,

由此可见, 一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊

映射复合而成:

下面就这三种基本映射进行讨论。为了方便, 将w平面看成

是与z平面重合的.

i) w=z+b. 这是一个平移映射. 因为复数相加可以化为向量相

加, z沿向量b的方向平移一段距离|b|后, 就得到w。平移映射

是共形映射。

(z)=(w)

2.三种基本映射

ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射. 设a=leia

将z先转一个角度a, 再将|z|伸长(或缩短)l倍后, 就得到w。

旋转与伸缩映射是共形映射。

(z)=(w)

OPOP'=r2,

因为DOP'T相似于DOPT. 因此,

OP':OT=OT:OP, 即OPOP'=OT2=r2.

圆周的对称点

P与P'关于圆周C互为对称点

1)iii w

z1) ; 2)

1 1 1i

要从z得到的映像，

应首先做出点z关于圆周

的对称点，然后

再做出点关于实轴的对

称点，即得。

由于

因此，当时函数是解析函数，并且是

共形映射。

在扩充复平面上，当时，；当时，

。规定任何穿过点的两条曲线的夹角，

等于w在无穷远点处的两条像曲线的夹角，即函数在

0点具有保角性。

0z w z

w 0 0z

3.分式线性映射的性质

定理三分式线性映射在扩充复平面上是一一的，且具有保角性。

定理四分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周，且具有保圆性。

映射w=az和w=b+z都具有将圆周映射成圆周的特性。下面证

明映射也具有此性质。 1

（6.2.2）

（6.2.3）

由（6.2.2）和（6.2.3）可知，映射将圆方程 1

a(x2+y2)+bx+cy+d=0

变换为方程

d(u2+v2)+bu-cv+a=0

（6.2.4）

（6.2.5）

比较方程（6.2.4）和（6.2.5）两式，可知：变换后的方程仍

为圆周（将直线看作半径为无穷大的圆周）。在上两式中，根据系数a,b,c,d的取值不同，映射可分为四种

情况。

判别映射后的图形是圆还是直线

实际应用中，直线包含无穷远点，圆周不包含无穷远点。因

此，根据保圆性, 在分式线性映射下, 如果给定的圆周或直线

上没有点映射成无穷远点, 则它就映射成半径为有限的圆周;

如果有一个点映射成无穷远点, 它就映射成直线。

定理五设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点, 则在分式线性映

射下, 它们的象点w1与w2也是关于C的象曲线G的一对对称点，

即具有保对称性。

第三节唯一决定分式线性映射的条件

分式线性映射中含有四个常数

a,b,c,d. 但是, 如果用这四个数中的一个去除分子和分母, 就

可将分式中的四个常数化为三个常数。所以, 上式中实际上

只有三个独立的常数。因此, 只需给定三个条件, 就能决定

一个分式线性映射。利用分式线性映射可以将上半平面映射

到单位圆内部。

定理六在z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3, 在w平面上也

任意给定三个相异的点w1,w2,w3, 则存在唯一的分式线性映射, 将

zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).

证明设，将zk(k=1,2,3)依次映射到

wk(k=1,2,3)，

( 0)az b

w ad bccz d

( 1,2,3)kk

az bw k

( )( ), ( 1,2)

( )( )

z z ad bcw w k

cz d cz d

( )( ), ( 1,2)

( )( )

z z ad bcw w k

cz d cz d

由此得：（6.3.1）

这就是所求的分式线性映射.

唯一性：如果有另外一个分式线性映射, 也把z平面上三个

相异点z1,z2,z3依次映射成w平面上的三个相异点w1,w2,w3,

则重复上面的步骤, 消去常数后, 最后得到的仍然是(6.3.1)

式. 所以(6.3.1)式是由三对相异的对应点唯一确定的分式线

性映射.

3 2 3 21 1

2 3 1 2 3 1

w w z zw w z z

w w w w z z z z

- -- -

- - - -

在给定两个圆周C与C’, 在圆周上分别取定三个点, 必能找

到一个分式线性映射将C映射成C’ . 但是这个映射会将C内

部映射到哪里呢?

区域映射判别：圆周C的内部要么映射到圆周C’的内部，

要么映射到C’的外部。如果在C内部任取一点z0, 而点z0的

象在C‘的内部, 则C的内部就映射成C’的内部; 如果z0的象

在C‘的外部, 则C的内部就映射成C’的外部.

或者在C上取定三点z1,z2,z3, 它们在C‘的象分别为w1,w2,w3.

如果C依z1z2z3的绕向与C’依w1w2w3的绕向相同,

则C的内部就映射成C‘的内部, 否则映射成C’的外部。

对于在z平面内两圆周（圆弧）所包围区域的映射情况，讨论如下：

1)当两圆周上都没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成新的两圆弧所围成的区域; 2)当某一圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域; 3)当两圆周的一个交点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.

例1 中心在 z=1与 z-1, 半径为 2 的二圆弧所围区域, 在映射 iz

下映射成什么区域?

映射的角形区如下图所示：

解所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交。由所给映射可知，交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于π/2.

1 2 1,

2 1 (1 2) (1 2)

2 1 2 2

- - - -

取与正实轴的交点对应点是

此点在第三象限的分角线上，因此可得C1的映像C1’。再由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2’。

例2 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.

O 1 -1 x

O 1 -1 u

(z) (w)

必映成的性质知映射具有保对称点不变

所以根据分式线性的一对对称点于圆周

是与之对应的关与轴的一对对称点

是关于实与而实轴要映射成单位圆

解法一将上半平面看成半径为无穷大的圆域, 实轴就是圆域的边

界圆周. 因为分式线性映射具有保圆性, 因此它必能将上半平面

Im(z)>0映射成单位圆|w|<1. 由于上半平面总有一点z= 要映成单

位圆周|w|=1的圆心w=0,从而所求的分式线性映射具有下列形式:

其中k为常数.

因为，而实轴上的点z对应着上的点，

这时，所以，即，这里是任意实数.

因此所求分式线性映射的一般形式为

| | | |z

| | 1w

-| | 1k eik

e ,(Im( ) 0)i zw

- （6.3.2）

反之, 形如上式的分式线性映射必将上半平面Im(z)>0映射成单

位圆|w|<1. 因为当z取实数时

| | e | e | 1i iz zw

即把实轴映射成|w|=1. 又因为上半平面中的z= 映射成w=0,

所以(6.3.2)必将Im(z)>0映射成|w|<1.

也可以在x轴与单位圆周|w|=1上取三对对应点来求解。

解法二在x轴上任意取定三点:z1-1, z2=0, z3=1使它们对应

于|w|=1上三点:w1=1, w2=i, w3-1, 则因z1z2z3跟

w1w2w3的绕向相同, 由(6.3.1)式求得分式线性映射为

1 1 1 1 0

1 1 0 1 1

- - - -

-化简后得

(6.3.3)

注意: 如果选取其他三对不同点,必然也能得出满足要求的映

射, 但可能不同于(6.3.3)的分式线性映射的形式。把上半平

面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的, 而是有无穷多

个。这从(6.3.2)中的可以任意取实数值即可看出. (6.3.3)就

是取l=i，-p/2而得到的. 如果以l=i, =0代入(6.3.2), 则可

得 z i

这也是一个把上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1, 且将点z=i映

射成圆心w=0的映射.

(6.3.4)

例3 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1且满足w(2i)=0,

arg w‘(2i)=0的分式线性映射.

解由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射

成单位圆周的圆心w=0。所以由(6.3.2)得 2

i z iw e

4( ) e

i iw z

对上式求导得

，可得 (2 )4

i iw i e

arg (2 ) 0,2 2

w ip p

- 辐角主值为

将带入得到分式线性映射： 2

z iw i

例4 求将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.

1| | 1

( 0 ) , , 0,

这时与点对称于单位圆周的点应该被映射成平面

上的无穷远点即与对称的点。因此当时而

当时。满足这些条件的分式线性映射具有如下的

形式:

解设z平面上单位圆|z|<1内部的一点a映射成w平面上的单位

圆|w|<1的中心w=0.

'1 1 1

z z zw k k k

a a aa

'k ka -其中

由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,

所以当|z|=1,|w|=1. 将点z=1代入上式, 得

1| ' | | | 1

|1 | |1 |

- -又因

所以，其中j为任意实数.

| ' | 1 ik k e j ，即

因此, 将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射的

一般表示式是

e . (| | 1)1

- (6.3.5)

e 1 e| | e e 1

1 e ee

i ii i

反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1.

这是因为圆周|z|=1上的点z=ei (为实数)映射成圆周|w|=1上

的点:

同时单位圆|z|<1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆

|z|<1映射成单位圆|w|<1.

1 1 11 11 42 2 22e , e e

1 2 311 12 2

- -- - -

例5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0, w'(1/2)>0的分式线性

映射.

解由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|<1的中心. 所以由

(6.3.5)得

1 1 1arg , 0 , arg 0, 0

故由于为正实数从而即

所以所求映射为

1(2 ) 2e

w i z i

综上可得，

求导得

例6 求将Im(z)>0映射成|w-2i|<2且满足条件w(2i)=2i，

arg w‘(2i)-p/2的一个分式线性映射.

解容易看出, 映射z=(w-2i)/2将|w-2i|<2映射成|z|<1。

将上半平面映射到单位圆|z|<1，且满足z(2i)=0的映射为 2

arg (2 ) arg(2e ) arg(4 ) arg (2 ) ,2 2

2 2 22(1 ) .

iw i i w i

w i z i zw i

z i z i

。由于已知

从而得。于是所求映射为

22(1 )

w=2(i+z)

第四节几个初等函数所构成的映射

幂函数和指数函数是两种重要的映射。幂函数可以

把角形区域进行缩放，而指数函数可以把带状区域映射成角

形区域。结合分式线性映射，可以将一些复杂的区域映射到

半平面或者单位圆内部。

1. 幂函数 w=zn(n2为自然数)

在z平面内处处可导, 它的导数是

因而当z0时,

所以, 在z平面内除去原点外, 由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成了原来的n倍。

(z) (w)

p 上岸

下岸

例1 求把角形域0<arg z<p/4映射成单位圆|w|<1的一个映射.

解 z=z4将所给角形域0<arg z<p/4映射成上半平面Im(z)>0.

又从上节的例2知, 映射将上半平面映射成单位圆

因此所求映射为。 4

| | 1w

例2 求把下图中由圆弧C1与C2所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0<arg w<j0+a的一个映射.

i z iw e

解先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=,

并使月牙域映射成角形域0<argz<a;

再把这角形域通过映射转过一角度j0, 即得题设要求

的角形域.

第一步中，将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具

有以下形式的分式线性函数:

其中k为待定的复常数.

11 . 1,

, 0 arg .

iC z k ik k i

z ii C

z i z iw e i e

z i z i

此映射把上的点映射成取使

这样映射就把映射成平面上的正实轴

根据保角性它把所给的月牙域映射成角形域

再对该角形域旋转，可得所求的映射为

例3 求把具有割痕Re(z)=a>0, 0Im(z)h的上半平面（ Im(z) >0）

映射成上半平面的一个映射.

C(a+ih)

B D a O u

a-h a a+h

C(a+ih)

a-h a a+h

O B h2

z1=z-a

z2=z12

z3=z2+h2

4 3z z

w=z4+a

2 2( )w z a h a -

解解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧

和x轴之间的夹角展平。由于映射w=z2能将顶点在原点处的

角度增大到两倍，所以利用这个映射可以达到将割痕展平的

目的。

第一步，把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a.

第二步，应用映射z2=z12, 便得到一个具有割痕-h2Re(z2)<+,

Im(z2)=0的z2平面.

第三步，把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到

去掉了正实轴的z3平面.

第四步，通过映射得到平面中的上半平面；

第五步，把平面向右平移，即通过映射，得到

平面中的上半平面。

综上所述：所求的从平面到平面的映射为：

4 3z z 4z

4z a4w z a

2 2( )w z a h a -

2. 指数函数 w=ez

由于在z平面内 w‘=(ez)’=ez0，所以w=ez所构成的映射是一个

全平面上的共形映射。

设z=x+iy, w=reij, 则 r = ex, j = y,

由此可知:

1）z平面上的直线x=常数, 被映射成w平面上的圆周r=常数;

2）直线y=常数, 被映射成射线j=常数.

3）带形域0<Im(z)<a映射成角形域0<arg w<a. 特别是带形域

0<Im(z)<2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0<arg w<2p.它们间的

点是一一对应的.

arg w=a

由指数函数w=ez所构成的映射的特点是: 把水平的带形域

0<Im(z)<aap映射成角形域0<argw<a. 因此, 如果要把带

形域映射成角形域, 常常利用指数函数.

Im( ) 0 | | 1.

映射将平面的上半平面映射成单位圆

因此所求的映射为

例4 求把带形域0<Im(z)<p映射成单位圆|w|<1的一个映射.

解由刚才的讨论知, 映射z=ez将所给的带形域映射成z平面的

上半平面Im(z)>0. 而根据(6.3.4)又知:

例5 求把带形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0的一个映射.

解带形域a<Re(z)<b经过映射

b az -

b aw ez -

后可映射成带形域0<Im(z)<p. 再用映射w=ez, 就可把带形域

0<Im(z)<p映射成上半平面Im(w)>0. 因此所求映射为

b az -

b aw ez -

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