Задача1 :

Дадено:

За модела на Кейнс :

Където:- потребителски разходи за време t

- доход за време t - инвестиции за време t - смущение за време t

Oпределете:а)Видовете променливи. б)Идентифицирайте всяко от уравненията на моделав)Приведената (редуцирана) форма на модела.

Решение:

За разширения модел на Кейнс за дохода:

Където: - разход - доход - инвестиции - данъци - държавни разходи - смущения ( i = 1,2,3 )

а) Видове променливи

Ендогенни: , , и Екзогенни: ,

б) Идентифициране на уравненията на модела

Сума на екзогенните променливи в модела к=2

За първото уравнение:

k =1g = 22-1 2-11=1

=>уравнението може да се построи

За второто уравнение

к = 1g = 12-1 1-11>0

=> уравнението може да се построи

За третото уравнение:

k = 0g=22-0 1-12>1

=>уравнението може да се построи

в) Приведена форма на модела:

Задача 2 :

Дадено:

Данни за произведената продукция в млн. лв. За периода 1990-1997 г., посочени в таблицата:

Година y1990 19.41991 211992 241993 271994 301995 311996 331997 34

С помощта на Excel :

a) Постройте линеен модел на тренда и филтрирайте данните

б) Прогнозирайте за 5 години

Решение:

а) Модел: y = 17.45+2.216667*t

б) Прогнозиране:

Задача 3 :

Дадено :

Разполагаме с данните, посочени в таблицата:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1045 62 65 55 70 51 80

38 42 52 60 63 50 68 38 82 63

С програмата Excel :

Година y t1990 19.4 1 19.666671991 21 2 21.883331992 24 3 24.11993 27 4 26.316671994 30 5 28.533341995 31 6 30.751996 33 7 32.966671997 34 8 35.18334

2.216667 17.450.140059 0.7072610.976607 0.907683250.4848 6206.3717 4.943333

Модел: y' = 17.45+2.216667*t

Година y' t1998 37.4 91999 39.61667 102000 41.83334 112001 44.05 122002 46.26667 13

а) постройте линеен регресионен модел

б) определете коефициента на корелацияв) направете проверка на статистическата значимост на коефициента при нива на съгласие г) направете проверка на статистическата значимост на коефициента на корелация (теснота) при ниво на съгласие д) оценете уравнението на регресияе) направете проверка за хетероскедастичност при ново на съгласие по метода на множителя на Лагранжж) направете проверка за наличие на автокорелация по теста на Дърбин и Уотсън при нива на съгласие

Решение:

а) построяване на линеен модел

N y x ŷ y-ŷ 1 38 40.4 35.48399 2.516008 6,3303 -17.6 289 1632.162 42 45 40.67086 1.329145 1.76662 -13.6 184.96 20253 52 50 46.30875 5.69125 32.3903 -3.6 12.96 25004 60 62 59.8397 0.160302 0.02569 4.4 19.36 38445 63 65 63.22244 -0.22244 0.04947 7.4 54.76 42256 50 55 51.94665 -1.94665 3.7894 -5.6 31.36 30257 68 70 68.86033 -0.86033 0.74016 12.4 153.76 49008 38 51 47.43633 -9.43633 89.0443 -17.6 309.76 26019 82 80 80.13612 1.86388 3.474 26.4 696.96 6400

10 63 64 62.09486 0.905144 0.9052 7.4 54.76 4096Сума 556 582.4 556 132.1851 1807.64 35248.16

1.127579 -10.07020.114098 6.7740010.924289 4.15977397.66522 8

1689.97 138.4297

Модел : ŷ= -10.0702+1.127579*x

= = 55.6

Модел : ŷ= -10.0702+1.127579*x

б) Пресмятаме коефициентът на корелация:

Пресмятаме стандартната грешка:

Sy=132.1851

10

Sy=3.63573

Пресмятаме общата дисперсия:

y2

1807.64

10 y2

180.764

Пресмятаме коефициентът на корелация:

r=

1 sy2

y2

=

1 3.635732

180.764

r= 0.962743 ,което показва, че зависимосттае много голяма

в) Проверка на статистическа зависимост на на коефициента при нива на съгласие

н0 : регресионният коефициент е статистически незначим

н1: регресионният коефициент е статистически значим

Пресмятаме стандартното отклонение за реда х

при n-2=10-2=8=0.05 , се определя tтеор= 1.860 , от Приложение 2 (в учебника)

От това, чеtемп= te= 10.1133 > tтеор=1.860следва да се отхвърли н0, т.е статистическият регресионен коефициент може да се третира като статистически значим.

г) Проверка на статистическата зависимост на коефициента на корелация(теснота) при ниво на съгласие

н0 : регресионният коефициент е статистически незначим

н1: регресионният коефициент е статистически значим

Емпиричната характеристика на критерия е :

При r= 0.962743 =>

От приложение 2 при n-2 = 8 степени на свобода и ниво на съгласие , определяме

От това, че

следва да се отхвърли н0, т.е. коефициентът на корелация е статистически значим.

д) Оценка на уравнението на регресия

Определяме квадратичната грешка Se по формулата:

Където n - броят на наблюденията; k - броят на независимите променливи; n-k-1 – броят на степените на свобода

при n=10; к =1 намираме Se

е) Проверка за хетероскедастичност при ново на съгласие по метода на множителя на Лагранж

н0 : не съществува значима хетероскедастичност

н1: съществува значима хетероскедастичност

Построяваме спомагателна регресия

ŷ= -10.0702+1.127579*x

Ще се провери наличността на хетероскедастичност при степени на свобода v = 8 и ниво на доверие

Построяваме таблица с програмата Excel:

N y x ŷ1 38 40.4 35.48399 2.5160084 40.0726 1585366.9222 42 45 40.67086 1.329145 3.1209 2736109.183 52 50 46.30875 5.69125 1049.133 4598881.654 60 62 59.8397 0.1603 0.00066 12822054.845 63 65 63.22244 -0.22244 0.002448 15976623.96 50 55 51.94665 -1.946645 3.7894 7281656.397 68 70 68.86033 -0.86033 0.5478 22484146.098 38 51 47.43633 -9.436329 7928.891 5063424.359 82 80 80.13612 1.86388 12.069 41239486.06

10 63 64 62.09486 0.905144 0.67122 14866974.92Сума 556 582.4 556 9038.298028 128654724.3

Построяваме модела на спомагателната регресия:

-1266.831583 14010472.57

1647.711868 4167433.3270.068805867 12308384.020.591119417 8

89552414667862.20 1.21197E+15

Модел :

С коефициент на детерминация = 0.0688 и степен на свобода v = 8.

За теоритичната зависимост и нива на доверие и степен на свобода v = 8 от таблицата за разпределение намираме

От това, че <

Следва да се отхвърли н1 и приеме н0 - няма наличие на статистическа значима хетероскедастичност

ж) Проверка за наличие на автокорелация по теста на Дърбин и Уотсън при нива на съгласие Проверката се прави с d-тестът по формулата:

където

н0 : не съществува автокорелация между остатъчните елементи

н1: съществува автокорелация

N y x ŷ * - 1 38 40.4 35.48399 2.516008 0 6.330298 02 42 45 40.67086 1.329145 2.516008 1.766626 3.34414 -1.18686 1.4086453 52 50 46.30875 5.69125 1.329145 32.39033 7.564496 4.362105 19.027964 60 62 59.8397 0.160302 5.69125 0.025697 0.912319 -5.53095 30.591395 63 65 63.22244 -0.22244 0.160302 0.049477 -0.03566 -0.38274 0.1464886 50 55 51.94665 -1.94665 -0.22244 3.789427 0.433002 -1.72421 2.97297 68 70 68.86033 -0.86033 -1.94665 0.740168 1.674757 1.086315 1.180088 38 51 47.43633 -9.43633 -0.86033 89.0443 8.118357 -8.576 73.547769 82 80 80.13612 1.86388 -9.43633 3.474049 -17.5882 11.30021 127.6947

10 63 64 62.09486 0.905144 1.86388 0.819286 1.52705 -0.95874 0.919175Сума 556 582.4 556 0.00 -0.90515 138.4297 5.95028 -1.61 257.4891

При ниво на доверие и брой на случайте n = 10 и брой на независимите променливи k = 1 (от Приложение 8 ), границите на теоритичната зависимост са

= 0.879 , = 1.32и от > > => няма автокорелация(н0 се приема)

Задача 4

Дадено:

Поизводствената функция

Определете:а) уравненията на и ;

б) графиките на и с програмата Excel;в) границите на фактора и екстремалния обем на продукцията

Решение:

а) уравненията на и

За средната производителност намираме:

За граничната производителност намираме:

За еластичността намираме:

б) Построяване на графиките на и

в) Определяне на границите

От направените в Excel изчисления

Следователно в точка x=6.2 имаме max

Задача 5:

Дадено:

Производствената функция относно фактора (разход на труд) и (основни фондове и капитали) .

Определете:а) Еластичностите относно факторите и ;б) Средните производителности;в) Граничните производителности;г) При какви начални стойности на факторите може да започне производство;д) Определете минималния (максималния) обем на производството.

Решение:

а) еластичноста

б) Средна производителност отностно фактора x :

Отностно y:

в) Граничните производителни относно факторите x и y

г)

Решаваме системата:

| x=3<=> | y=2 | x>0

| y>0

При стойности на разхода на труда 3 единици и основни фондове и капитали – 2 единици, може да бъде стартирано производството. Критична точка М (3, 2).

д) Определяне на минималния обем на производството:

z”xx = 36xy2 – 12x2y2 – 6xy3

z”yy = 12x3 – 2x4 -6x3yz”xy = 36x2y – 8x3y – 9x2y2

В горните равенства заместваме x=3 и y=2 и получаваме:

z”xx = A = - 144z”yy = B = - 162z”xy = C = - 108

∆ = АC – B2

∆ = 11664 >0 => zmin(3,2) = 120, т.е. 120 единицие минималният обем на производството в критичната точка М (3,2).

Задача 6:

Дадено:

Функцията на производствените разходи на дадена фирма има вида , а цената на единичния продукт се определя от

.

Определете:а) има ли монопол фирмата на пазара;б) дохода и границите на обема и цената ;в) еластичността г) при какъв обем на имаме максимална печалба;д) при какво количество на обема , цената е равна на граничните разходи ;е) уравненията и начертайте графиките на и ;

ж) критичната (равновесна) точка

C = q3 - 6q2 +18q +32p = 38,4 – 6q

Решение:

а) Определяне на това, дали фирмата е монополлист на пазара:

Общият доход е:

R = pq = 38,4q – 6q2

Граничният доход е:

MR = dR/dq = 38,4 – 12q

От равенството на граничните доходи и разходи MR = МС =>

38,4 – 12q = 3q2 – 12q +18

q= ± 2,607 => p= 38.4-6*2.6= 22.8

Еластичност спрямо p:

Определяме индекса на Ленар:

L = 0,675, което всъщност представлява 67,5% влияние на пазара, т.е. има силна монополна власт.

б) Доходът R и границите на обема q и цената р:

R = pq = 38,4q – 6q2

38,4 – 6q > 0

q(38.4-6q)>0

q>0 , q < 6,4=> q ε (0;6.4) ; p ε (0;38.4)

в) еластичността

г) при какъв обем q имаме max печалба

π = R – C

π’’ = -6q = -15.6

π’’ < 0 => при обем произвеждана продукция q = 2,6 имаме максимална стойност на печалбата.

д) Определяне на обема произвеждана продукция q, при който цената р е равна на маргиналните разходи МС:

p = MC

38,4 – 6q = 3q2 – 12q +18

3q2 – 6q – 20,4 = 0

q = 3,79При обем произвеждана продукция q = 3,79 единици, цената р е равна на граничните разходи МС

е) уравнения и графики на AC, MC, FC и AVC:

ж) Крирична равновесна точка – B. E. P. :

МС’ = 0

6q – 12 = 0 => q = 2

МС’’ = 6 > 0

С(2) = 52 –> В.Е.Р. (q = 2 , С = 52).

При ниво на разходите 52 единици и и количество произведена продукция 2 единици наблюдаваме т.нар. В.Е.Р. (Break Event Point)

Задача 7 :

Дадено:

Функцията на производствените разходи на дадена фирма има вида , а

функцията на търсенето е от вида .

Определете:

а) има ли фирмата монополна власт на пазара;б) при каква цена и обем , печалбата е максимална;в) определете горната и долна граница на точката на равновесие ;г) при какъв обем , доходът е максимален;д) при какъв обем на цената е равна на граничните разходи .

Решение:

а) има ли монополна власт

има монополна власт

б) при каква цена p и обем q, печалбата е max

p=?q=?

в) определяне на долната и горната граници

г) max печалба при q=?

=> при q =20.1 има max печалба

д) при какъв обем на цената е равна на граничните разходи

P = MC121.2-3q = 30q = 30.4

Задача 8

Дадено:

Фондовете (капиталите), инвестирани в производството са подчинени на разностното (диференчно) уравнение от вида . Определете при

начални условия

Решение: