ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 1

DEMOSTRACIN:

Sea un elemento cualquiera representado en la figura adjunta con sus 6 grados

de libertad y sus respectivas caractersticas del material dado procederemos a

hallar cada una de las columnas pertenecientes a la matriz general de un anlisis

de segundo orden con el efecto P-Delta.

COEFICIENTES DE LA COLUMNA 1

La columna 1 de la matriz de rigidez, ser el conjunto de fuerzas que equilibran

el sistema en donde existe un desplazamiento ui=1 y el resto de

desplazamientos ser igual a cero.

Convencin de signos:

Entonces con la ecuacin de desplazamientos

Pero

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 2

Por lo tanto:

Entonces:

Y

Por lo tanto:

{

}

COEFICIENTES DE LA COLUMNA 2:

La columna 2 de la matriz de rigidez, ser el conjunto de fuerzas que equilibran

el sistema en donde existe un desplazamiento Vi=1 y el resto igual a cero, en

este caso especial tendremos en cuenta tambin los momentos generados por el

desplazamiento unitario.

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 3

Convencin de signos:

Ecuacin diferencial de la elstica:

Considerando solo deformacin por flexin, pero en este caso se tiene en cuenta

el desplazamiento.

( )

Despejando EI:

( )

Llamando:

Remplazando

queda:

( )

(Ecuacin diferencial no homognea de 2do orden)

Resolviendo la ecuacin diferencial no homognea de segundo orden resulta:

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 4

( )

( )

Que ser la ecuacin general de las deformaciones generadas por los

desplazamientos unitarios.

Derivando la ecuacin (I) queda

( )

( )

Que es la ecuacin general de las deformaciones angulares producidas por los

desplazamientos planteados.

Ahora nuestras incgnitas sern: , , y

Planteando las condiciones de borde para las ecuaciones (I) y (II):

( ) ( ) ( ) (c)

( ) ( ) ( ) 0 (d)

Desarrollando:

Condicin (a):

Condicin (b):

Remplazando

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 5

( )

Condicin (c):

Condicin (d):

Remplazando:

y

( )

( ) ( )

(2) en (1):

[

( )]

*

( )+

[

( )]

*

( )

( ) +

Como:

Entonces multiplicando los dos miembros por L queda:

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 6

Llamando:

entonces y simplificando resulta

Ahora utilizando esta expresin para poder simplificar la ecuacin previa,

resultar:

*

( )

( ) +

*

( ) ( )+

*

( )

( ) +

*

( )+

[

( )]

(

)

(

)

Pero:

y despejando Ni resulta

remplazando este trmino

en la ecuacin previa resulta:

(

)

*

(

)+ (3)

Llamando:

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 7

Estas dos expresiones son presentadas por comodidad para poder simplificar las

ecuaciones propuestas y de esa manera reducir los trminos presentes en estos.

Continuando con la ecuacin (3) y ahora sumando y restndole resulta:

*

(

)+

*

(

)+

Se presenta el trmino

el cual por comodidad lo hemos

nombrado S entonces:

*

(

( )

( )

( ) )+

*

(

( )

( )

)+

Se presenta el trmino

( ) el cual por comodidad lo hemos

nombrado C. Tambin notamos que se presenta S entonces:

[

( )]

[

( )]

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 8

Llamado:

( )

Ahora (3) en (2):

( )

*

(

)+

Remplazando ya demostrado anteriormente:

*(

)(

)+

* (

)(

( )

)+

Simplificando:

*(

)+

*

(

( ))+

Haciendo un artfico el cual consta en aumentar y reducir

resulta:

*

( ( ) ( )

( ))+

*

(

( )

( )

( ))+

*

(

( )

( )

( )

( ))+

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 9

*

(

( )

( )

)+

Como

entonces:

*

(

( )

( )

)+

De la ecuacin (3) sabemos que ( ) ( )

( ) entonces:

*

( ( )

)+

Llamando

* ( )

+

Por equilibrio de fuerzas:

Calculo de : ( )

Reemplazando los valores de hallados anteriormente resulta:

*

( ( )

)+

[

( )]

[ ( )]

*

+

[ ( )]

[ ( )]

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 10

[

( )]

Como:

( )

Calculo de

Si

Por lo tanto la matriz de la columna 2 queda como sigue:

{

}

COEFICIENTES DE LA COLUMNA 3

La columna 3 de la matriz de rigidez, ser el conjunto de fuerzas que equilibran

el sistema en donde existe un desplazamiento (giro) y el resto igual a

cero.

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 11

Ecuacin diferencial de la elstica:

De la figura se obtienen los siguientes momentos:

Despejando EI:

Llamando

entonces:

Resulta una Ecuacin diferencial no homognea de 2do orden y la solucin es:

( )

.. (I)

Que ser la ecuacin general de los desplazamientos en la direccin (y) y

derivando resulta:

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 12

( )

.. (II)

Que es la ecuacin general de los giros en el plano x-y. Ahora las condiciones de

borde resultantes de las ecuaciones (I) y (II) sern:

( ) ..(a) ( ) (c)

( ) . (b) ( ) .... (d)

Desarrollando:

Condicin (a):

Condicin (b):

Remplazando

:

.. (1)

Condicin (c):

. (2)

Condicin (d):

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 13

Despejando C1

. (3)

(3) en (1)

(

)

Simplificando :

( ) (

)

(

( )) .. (4)

Ahora (3) en (2):

(

)

. (5)

Reemplazando (4) en (5):

(

( ))

*( )

( )

+

Pero

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 14

Multiplicando a ambos miembros por

y llamando

entonces . Remplazando el valor de KL por en la ecuacin

anterior, resulta:

*( )

( )

+

* ( )

+

[

]

[

]

[

]

Como

y despejando

Remplazando en la ecuacin precedente resulta:

[

]

[

]

*

(

)+

*

(

)+ .. (6)

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 15

*

( )+;

Donde

( )

Ahora (6) en (4):

*

(

)(

( ))+

Remplazando :

*(

)(

( ))+

[ (

) (

( ))]

[ (

) (

( ))]

*(

)+

*

(

)+(7)

Como:

*

+;

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 16

Llamando:

Por lo tanto:

Por equilibrio de fuerzas:

. (8)

Reemplazando (6) y (7) en (8):

*

(

)+

*

(

)+

*(

)+

*(

( )

)

( )

( )+

*

(

( )

)

( )

( )+

Dos damos cuenta que aparecen los trminos S y C, de esta manera se puede

simplificar an ms la expresin, quedando como sigue:

*

+;

Llamado

Por lo tanto:

Por equilibrio de fuerzas verticales:

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 17

Calculo de

Si

Quedando la columna nmero 3 de la siguiente forma:

{

}

De forma similar se encontraran las otras 3 columnas de la matriz de rigidez para

la viga tanto en eje global como en eje local que coinciden:

[

]

EFECTO P-DELTA EN PORTICOS

II - 18

Para encontrar la matriz de rigidez general de los elementos considerando el

efecto P-delta, es como sigue:

En donde:

[

]

[

]

Para el desarrollo de un elemento cualquiera con efecto p-delta

Por lo tanto la ecuacin general del efecto P-Delta queda como:

ING. RONALD SANTANA TAPIA

II - 19

( )

[

EA

LCX

2+ 1

12EI

L3

CY2

(EA

L- 1

12EI

L3

)CXCY EA

LCY

2+ 1

12EI

L3

CX2

R O

- 26EI

L2CY 2

6EI

L2CX 3

4EI

L

- (EA

LCX

2+ 1

12EI

L3

CY2) (

EA

L- 1

12EI

L3

)CXCY 26EI

L2

CY

(EA

L+ 1

12EI

L3

)CXCY

- 26EI

L2

CY

(EA

LCX

2+ 1

12EI

L3

CY2)

26EI

L2

CX

26EI

L2

CX

42EI

L

EA

LCX

2+ 1

12EI

L3

CY2

(EA

L+ 1

12EI

L3

)CXCY

26EI

L2

CY

EA

LCY

2+ 1

12EI

L3

CX2

- 26EI

L2

CX

34EI

L ]

( )

EFECTO P-DELTA EN ARMADURAS

II - 20

Para un anlisis de 2do orden:

* ( )

+

[ ( )]

Adems:

( )

Donde:

N: fuerza axial del elemento.

Criterio de convergencia:

|

|

e

e

A continuacin presentaremos un ejemplo el cual vamos a resolver en forma

lineal y en forma no lineal, para de esta manera comparar los resultados y ver las

diferencias que tiene la no linealidad con respecto a la linealidad.