DEMOSTRACION MATEMATICA

ALVARO ANDRES YUCUMA OVIEDOUSCO

Demostración Matemática. Es una cadena finita de proposiciones verdaderas, que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas. El punto de partida de esta cadena son proposiciones cuya verdad es conocida. El punto final de la cadena es el teorema a demostrar. Cada miembro de la cadena se obtiene del anterior mediante reglas de inferencia lógica.

USOS

En la demostración de teoremas matemáticos aparece la regla de inferencia lógica de la forma proposicional A resulta la forma proposicional B, si y solo si cada interpretación de las variables que satisfacen a A, satisface también a B y para ello se utiliza el siguiente teorema de la lógica matemática: De A resulta B si y solo si la implicación es válida.

CLASES DE DEMOSTRACIONES

• Demostraciones directas• Demostraciones indirectas.• Demostraciones por inducción completa

El Método Directo

Consiste en partir de las premisas (datos) del teorema y aplicando las reglas de la lógica y la teoría desarrollada, obtener o llegar a la tesis (conclusión) del teorema después de un número finito de pasos.

El Método Indirecto

Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera.

Como se puede observar para demostrar un teorema se hace necesario identificar las premisas y la tesis del teorema; luego si se quiere demostrar una proposición si es posible, ya que no siempre se puede, expresar esta en la forma de una implicación, lo que permitirá de una manera más fácil obtener las premisas y la tesis de la proposición a demostrar.

Demostraciones por Inducción Completa

Es un método especial de demostración matemática que permite, a base de observaciones particulares, juzgar de las regularidades generales correspondientes.

La Inducción (o sea, la sugerencia de una idea o una hipótesis) sin dudas desempeña en las matemáticas un papel importante, pero puramente heurístico: permite adivinar cuál debe ser, según todas las apariencias, la solución. Pero las proposiciones matemáticas se demuestran siempre deductivamente. Ningún resultado matemático puede considerarse justo, válido, si no ha sido deducido de las proposiciones de partida.