5. KONSEP PROBABILITAS

Yosritzal, MT. Bayu Martanto Adji, MT.

Diktat Statistik dan Probabilitas

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik

Universitas Andalas

Konsep Probabilitas Page 1 of 17

V. KONSEP PROBABILITAS

5.1 PERANAN TEORI PROBABILITAS Dalam pengembangan desain teknik, pengambilan keputusan kerap kali diperlukan tanpa memandang kelengkapan atau mutu informasi; dengan demikian suatu keputusan biasanya dirumuskan pada keadaan yang tidak pasti, dalam pengertian bahwa konsekuensi suatu keputusan tidak dapat ditentukan dengan keyakinan sempurna. Kadang-kadang keputusan diambil berdasarkan suatu lingkungan lain yang mirip atau (bahkan yang berbeda) atau berdasarkan suatu model dengan derajat ketidaksempurnaan yang berbeda-beda. Pengaruh ketidakpastian ini pada perancangan tentunya penting; namun kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian pengaruh-pengaruhnya pada perilaku (performance) dan perencanaan suatu sistem harus melibatkan konsep dan metode probabilitas (kemungkinan). 5.1.1 KETIDAKPASTIAN DALAM INFORMASI SEHARI-HARI 5.1.1.1 Ketidak pastian berkaitan dengan keacakan Banyak fenomena atau proses yang berhubungan dengan insinyur bersifat acak (random); yaitu hasil yang sebenarnya tidak bisa diramalkan (dalam tingkat tertentu). Fenomena ini ditandai dengan hasil yang berbeda antara satu percobaan dengan percobaan yang lain walaupoun dilakukan pada kondisi lingkungan yang sama. Gambar 5.1 dan 5.2 dibawah ini menjelaskan contoh keacakan tersebut.

Gambar 5.1 Diagram frekuensi umur lelah dari aluminium 75S-T.




Universitas Andalas


Gambar 5.2 Histogram modulus elastisitas kayu 2,6.

Hal tersebut menunjukkan bahwa keadaan ilmiah dari kebanyakan informasi rekayasa mengandung variabilitas yang cukup besar. 5.1.1.2 Ketidakpastian yang menyangkut pemodelan dan penaksiran

yang tidak sempurna Ketidakpastian rekayasa tidak terbatas pada variabilitas dalam variabel-variabel dasar. Pertama, nilai taksiran dari sutau variabel (seperti misalnya nilai rata-rata) yang berdasarkan data pengamatan tidak akan bebas dari galat (kesalahan)/error (apalagi kalau data terbatas). Dalam kenyataannya, pada beberapa kasus, taksiran yang demikian boleh jadi tidak lebih baik daripada educated guess yang didasarkan terutama pada pertimbangan para insinyur. Kedua, model-model matematis atau simulasi (misalnya rumus, persamaan, algoritma, program simulasi komputer), dan bahkan model-model laboratorium, yang sering digunakan dalam analisis rekayasa dan untuk mengembangkan disain merupakan representasi yang diidealisir dari kenyataan; dalam berbagai macam tingkatan, model-model demikian merupakan representasi yang kurang sempurna dari keadaan yang sebenarnya. Dengan demikian peramalan yang dilakukan dengan menggunakan model-model ini tentunya juga mempunyai ketidakpastian yang tidak diketahui.




Universitas Andalas


5.1.2 DESAIN DAN PENGAMBILAN KEPUTUSAN DIBAWAH KETIDAK PASTIAN

Kalau tidak ada informasi dari pengamatan tunggal yang representatif dan evaluasi berdasarkan model tidak sempurna, barangkali kita perlu mengasumsikan secara konsisten kondisi-kondisi paling buruk (misalnya menentukan banjir tertinggi yang mungkin, umur terendah dari kelelahan bahan dsb.) dan atas dasar ini mengembangkan desain yang cocok; namun desain yang dihasilkan boleh jadi akan terlalu mahal sebagai akibat konservatisme yang menumpuk. Sebaliknya model yang murah boleh jadi tidak cukup menjamin tingkat prestasi, penampilan dan keamanan yang diinginkan. Oleh karena itu, keputusan hendaknya berdasarkan perimbangan antara biaya dan keuntungan (mencakup faktor tangible dan intangible). Penyelesaian yang diinginkan adalah yang paling optimal (biaya minimum dan/atau keuntungan maksimum). Contoh: 1. Desain perkerasan lapangan terbang

Dalam desain perkerasan, variabel putusan utama adalah tebal sistem perkerasan. Umumnya umur guna perkerasan tergantung pada tebalnya. Semakin tebal, semakin panjang umurnya. Tentu saja, untuk bahan dan mutu yang sama, biaya juga sebanding dengan tebal sistem perkerasan. Dengan demikian dapat dipertimbangkan atas perimbangan antara biaya awal yang tinggi dan perawatan rendah atau biaya awal rendah dengan perawatan tinggi. Untuk itu diperlukan hubungan antara umur-guna dan tebal perkerasan. Namun umur perkerasan tidak hanya tergantung pada tebal lapisan, tetapi juga variabel drainase, kadar lembab, rentang suhu, kerapatan dan tingkat pemadatan lapisan dasar. Karena faktor ini bersifat acak, maka umur perkerasan tidak dapat ditaksir dengan pasti, sehingg perlu pertimbangan probabilitas.

2. Desain hidrologi Andai perlindungan terhadap suatu areal pertanian yang luas terhadap banjir memerlukan sutau gorong-gorong. Ukuran gorong-gorong ini tergantung kepada tinggi aliran arus sungai yang merupakan fungsi intensitas curah hujan dalam area




Universitas Andalas


tangkapan. Bila dibuat sangat besar, bahaya banjir tidak timbul namun bahkan pada saat hujan paling besarpun gorong-gorong hanya terisi sebagian dari kapasitasnya dan biayanya besar; sebaliknya dengan gorong-gorong kecil, biaya rendah, namun ancaman banjir selalu datang setiap hujan lebat. Keputusan yang akan diambil memerlukan pertimbangan probabilitas, dengan alasan: intensitas curah hujan tahunan sangat bervariasi taksiran arus sungai boleh jadi tidak dapat diramalkan dengan

pasti. Dengan demikian, ukuran gorong-gorong dapat ditentukan berdasarkan probabilitas banjir dalam suatu periode tertentu (misal 10 tahun).

3. Desain struktur Misal struktur menara lepas pantai yang kadang-kadang dibebani oleh gaya-gaya dari topan. Pengaruh maksimum dari topan adalah acak dan kejadian topan dalam daerah pantai tertentu juga tidak dapat diramalkan. Oleh karena itu tingkat keamanan dari struktur yang akan dibangun harus menggunakan probabilitas.

4. Manajemen konstruksi Waktu pelaksanaan proyek tidak dapat diramalkan dengan pasti karena tergantung pada tenaga kerja, bahan, alat dan produktifitasnya dan cuaca. Kalau dalam pelelangan proyek penawaran dibuat berdasarkan waktu pesimis, maka biaya akan sangat besar sehingga mengurangi peluang memenangkan proyek. Sebaliknya dengan waktu optimis, biaya rendah, walaupun menang belum tentu akan untung.

5.1.3 PENGENDALIAN DAN STANDARDISASI Untuk menjamin mutu atau penampilan minimum dari sitem atau produksi rekayasa, diperlukan pengawasan dan standardisasi pelolosan (diterima atau ditolaknya produksi). Tentu saja standard yang terlalu ketat akan menaikkan biaya produksi yang tidak perlu, sebaliknya standard yang terlalu lunak menyebabkan mutu produksi




Universitas Andalas


akan rendah. Contoh: Untuk memastikan mutu bahan beton dalam konstruksi beton bertulang maka Peraturan Bangunan dari American Concrete Institute (ACI 318-71) mensyaratkan berikut ini: Tingkat kekuatan dari beton dianggap memadai bila rata-rata dari semua himpunan tiga hasil percobaan kekuatan yang berturutan sama atau melampaui fc yang disyaratkan dan tidak ada hasil percobaan individual yang jatuh dibawah fc yang disyaratkan lebih dari 500 lb/in2. masing-masing hasil percobaan merupakan rata-rata dari dua silinder yang berasal dari contoh yang sama dan berumur 28 hari atau umur yang lebih muda yang ditetapkan. Sedangkan Peraturan Beton Indonesia 1971 mengisyaratkan: Kekuatan karakteristik beton dianggap terpenuhi bila dari pengujian 20 benda uji pada umur 28 hari, hanya boleh ada satu yang kurang dari kekuatan yang disyaratkan.(yakni dengan probabilitas 95%). 5.2 KONSEP-KONSEP DASAR PROBABILITAS 5.2.1 PERISTIWA DAN PROBABILITAS Berbicara tentang probabilitas, kita menunjuk pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa-peristiwa lainnya dengan lebih dari satu kemungkinan. Probabilitas dipandang sebagai ukuran numerik dari kecendrungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lainnya. Dengan demikian persyaratan utama dalam perumusan masalah probabilistik adalah mengidentifikasi himpunan semua kemungkinan (ruang kemungkinan/ possibility space). Contoh: Seorang kontraktor sedang merencanakan pembelian peralatan, termasuk buldoser yang diperlukan untuk proyek baru didaerah terpencil. Misalkan bahwa dari pengalamannya yang terdahulu, dia menaksir bahwa kemungkinan setiap buldoser dapat bertahan paling




Universitas Andalas


tidak 6 bulan tanpa kerusakan adalah 50%. Jika dia membeli 3 buldoser, berapakah probabilitas bahwa hanya akan ada 1 buldoser yang masih bisa dioperasikan dalam jangka 6 bulan? Pertama kita lihat: Pada akhir 6 bulan, jumlah buldoser yang masih bisa dioperasikan bisa 0, 1, 2, atau 3; dengan demikian himpunan ini membentuk ruang kemungkinan dri jumlah buldoser yang masih bisa dioperasikan setelah 6 bulan. Jika G = Good dan B = Bad, maka status yang mungkin dari ketiga buldoser adalah: GGG semua dalam keadaan baik GGB buldoser 1 dan 2 baik, dan ketiga buruk GBB BBB BGG BBG GBG BGB Jadi ada 8 kemungkinan. Karena tiap buldoser punya kemungkinan yang sama untuk Baik atau Buruk, maka 8 kemungkinan ini juga punya peluang yang sama untuk terjadi. Kejadian ini mutually exclusive (yang terjadi hanya salah satu dari 8). Kejadian hanya satu yang bisa dioperasikan adalah GBB, BGB, atau BBG. Jadi probabilitas kejadian dalam ruang kemungkinan adalah 3/8. Dari contoh diatas dapat diamati ciri-ciri khusus masalah probabilistik sebagai berikut:

1. setiap masalah didefinisikan dengan mangcu pada ruang kemungkinan tertentu (yang mengandung lebih dri satu kemungkinan), dan peristiwa-peristiwa dibentuk oleh satu atau lebih hasil yang mungkin didalam ruang kemungkinan ini.

2. probabilitas satu peristiwa bergantung pada kemungkinan dari hasil-hasil individual dalam suatu ruang kemungkinan dan dapat




Universitas Andalas


diturunkan dari probabilitas hasil-hasil dasar ini.

5.2.2 ELEMEN TEORI HIMPUNAN 5.2.2.1 Definisi Ruang sampel = gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah probabilitas Titik sampel = setiap kemungkinan secara individual Peristiwa (event) = sub himpunan dari ruang sampel Ruang Sampel Diskrit = Titik-titik sampelnya merupakan satuan yang diskrit (terpisah) Ruang sampel Menerus = ruang sampel dibentuk oleh titik-titik sampel yang menerus Ruang sampel berhingga = terdiri dari titik-titik sampel yang jumlahnya terhingga. Ruang sampel tak berhingga = titik-titik sampel yang jumlahnya tak terhingga namun bisa dihitung. Contoh ruang sampel:

1. Dalam suatu tender, pemenang merupakan salah satu dari perusahaan yang memasukkan penawaran. Semua yang mungkin memenangkan proyek adalah ruang sampelnya. Tiap perusahaan adalah titik sampelnya.

2. Jumlah mobil yang menunggu belok kanan, bisa 0, 1, 2, 3, 4, ... 3. Lokasi kecelakaan pada sebuah jembatan.

Peristiwa khusus 1. Peristiwa mustahil ( ) = peristiwa yang tidak mempunyai titik

sampel. 2. Peristiwa tertentu ( S ) = peristiwa yang mengandung semua titik

sampel dalam ruang sampel (ia merupakan ruang sampel itu sendiri)

3. Peristiwa komplementer ( ) = semua peristiwa dalam ruang sampel S selain E.




Universitas Andalas


Diagram Venn = persegi empat yang memuat ruang sampel dan peristiwa-peristiwa didalamnya.

E

Gambar 5.3 Diagram Venn

A B

A B

C

a b Gambar 5.4 Diagram venn dengan beberapa peristiwa. (a) Dua peristiwa A dan B. (b) Tiga peristiwa A, B dan C. 5.2.2.2 Kombinasi beberapa peristiwa Contoh peristiwa kombinasi : Peristiwa paling sedikit ada dua buldoser yang masih beroperasi setelah 6 bulan (kombinasi dari 2 buldoser atau 3 buldoser yang masih beroperasi). 1. Peristiwa gabungan E1 dan E2 (E1E2) berarti terjadinya peristiwa

E1 atau E2 atau kedua-duanya. (Dalam teori himpunan, kata atau berarti termasuk (inklusif) yang berarti dan/atau).

Contoh: - Dalam pengadaan bahan konstruksi, jika E1 menyatakan

peristiwa kekurangan beton dan E2 peristiwa kekurangan baja, maka E1E2 merupakan peristiwa kekurangan beton atau baja, atau kedua-duanya.

- Dalam pipa sepanjang 20 km, jika E1 menyatakan kebocoran antara km 0 15 dan E2 menyatakan kebocoran antara km 10 20, maka E1E2 berarti kebocoran dimana saja sepanjang seluruh pipa yang 20 km tersebut.

- Dalam penyediaan angkutan antara dua kota bisa melalui udara, jalan raya dan kereta api. Jika ketersediaan masing-masingnya dinyatakan dengan A, H dan R, maka tersedianya alat angkuta




Universitas Andalas


antara kedua kota dinyatakan sebagai AH R yang berarti paling tidak salah satunya tersedia.

2. Peristiwa Perpotongan E1 dan E2 (E1 E2 atau cukup dengan E1E2 saja) merupakan suatu peristiwa terjadinya E1 dan E2 secara bersamaan (E1E2 adalah subhimpunan semua titik sampel yang dimiliki oleh E1 dan E2 secara bersama-sama).

Contoh: - Kasus beton dan baja tadi, E1E2 berarti peristiwa kekurangan

beton dan baja. - Kasus pipa, E1E2 berarti peristiwa kebocoran dalam km 10 15

sepanjang pipa. - Kasus angkutan, AHR berarti tersedianya semua moda

angkutan antara kedua kota. 3. Peristiwa saling eksklusif adalah peristiwa dimana terjadinya satu

peristiwa tidak memungkinkan terjadinya peristiwa yang lain. Dalam diagram venn, kedua peristiwa tidak saling berimpitan (tidak tumpang tindih).

4. Peristiwa bersatu sempurna adalah dua atau lebih peristiwa jika digabung membentuk ruang sampel.

Contoh: Dua perusahaan a dan b melakukan penawaran tender untuk memenangkjan suatu proyek. A adalah peristiwa a memenangkan tender, dan B peristiwa b memenangkan tender. Gambarkan diagram venn untuk ruang-ruang sampel berikut:

(1) Perusahaan a memasukkan penawaran tender untuk suatu proyek dan Perusahaan b memasukkan penawaran untuk proyek lainnya.

(2) Perusahaan a dan b memasukkan penawaran tender untuk proyek yang sama dan terdapat lebih dari dua penawar untuk proyek tersebut.

(3) Perusahaan a dan b hanya merupakan dua perusahaan yang bersaing untuk proyek yang sama.




Universitas Andalas


Jawab: (1) Karena perusahaan a dan b masing-masing dapat

memenangkan proyek itu, atau salah satu diantaranya memenangkan proyek maka diagram venn adalah seperti pada gambar 5.5. Daerah yang tumpang tindih menyatakan kedua perusahaan a dan b memenangkan proyek tersebut. Dalam hal ini A dan B tidak saling eksklusif.

(2) Perusahaan a, b atau perusahaan lain mungkin memenangkan proyek tersebut. Jika a menang maka b atau perusahaan lain pasti tidak menang. Dengan kata lain peristiwa A mencegah terjadinya peristiwa B dan sebaliknya. Dalam diagram venn tidak ada daerah yang tumpang tindih seperti pada gambar 5.6.

(3) Dalam ruang sampel hanya ada dua peristiwa yaitu A dan B yang saling eksklusif. Diagram venn seperti pada gambar 5.7.

A B

Gambar 5.5 Peristiwa tidak saling eksklusif

A B

Gambar 5.6 Peristiwa saling eksklusif

A B

Gambar 5.7 Peristiwa bersatu sempurna

5.2.2.3 Aturan operasional Operasi himpunan sebagai berikut: gabungan (union)




Universitas Andalas


perpotongan (intersection) anggota dari, atau terkandung dalam mengandung (contains) komplemen dari E Kesamaan himpunan Dua himpunan adalah sama jika dan hanya jika keduanya mengandung titik-titik sampel yang sama. A = A A = A A = A A A = A A S = S A S = A Himpunan komplementer E = S E = (E ) = E Aturan Komutatif A B = B A AB = BA Aturan Asosiasi (A B) C = A (B C) (AB)C = A(BC) Aturan Distributif (A B)C = AC BC (AB) C = (A C)(B C)

Aturan menyiratkan = + dan = X sehingga aturan aljabar konvensional juga berlaku terhadapnya. Selain itu ada aturan yang




Universitas Andalas


tidak ada padanannya dalam aljabar bilangan yaitu: A A = A A A = A (A C)(B C) = AB AC CB CC = (AB) C Dalam aljabar (a + c)(b + c) = ab + ac + cb + c2 ab + c Aturan de Morgan

2121 EEEE =

Komplemen dari gabungan dan perpotongan adalah sama dengan perpotongan dan gabungan dari komplemen masing-masing.

CABAC)B(ABCABCA ===

C)B(ACB)(AB)C(A ==

313213132131321 EEEEEEEEEE)EE)(EE(E ==

Contoh: Suatu rantai terdiri dari dua mata, seperti dalam Gambar 5.8. Jelaslah bahwa rantai akan putus jika salah satu dari mata rantai tersebut rontok; sehingga jika E1 = rontoknya mata rantai 1 dan E2 = rontoknya mata rantai 2 maka: Putusnya rantai = E1E2 Tidak putusnya rantai = 21 EE =12

mata rantai 1 mata rantai 2

Gambar 5.8 Dua mata rantai

Contoh: Pemasukan air untuk kota Cindar Bumi datang dari dua sumber A dan B. Air dialirkan melalui pipa yang terdiri dari cabang 1, 2 dan 3 seperti pada Gambar 2.7. Misalkan tiap pipa mampu menyediakan air untuk kota Cindar Bumi tersebut. Nyatakanlah E1 = rusaknya cabang 1




Universitas Andalas


E2 = rusaknya cabang 2 E3 = rusaknya cabang 3

cabang 3

cabang 2cabang 1

Kota

Gambar 2.7 Sistem pengadaan air Maka kekurangan air dalam kota Cindar Bumi diakibatkan oleh E1E2E3, sehingga dengan aturan de Morgan, tiadanya kekurangan berarti:

321321 E)EE(EEE = dimana (12) berarti tersedianya air pada pertemuan dan 3 berarti tidak rusaknya cabang 3. 5.3 MATEMATIKA ILMU PROBABILITAS 5.3.1 Aksioma dasar dari probabilitas; aturan tambahan Probabilitas atau peluang adalah suatu ukuran yang tidak negatif yang diasosiasikan dengan setiap peristiwa. Aksioma dasar dalam probabilitas adalah:

1. Untuk setiap peristiwa E dalam ruang sampel S terdapat peluang P(E) 0

2. Probabilitas dari peristiwa tertentu S adalah P(S) = 1,0 3. Peluang dua peristiwa yang saling eksklusif P(E1 E2) = P(E1) +

P(E2) Probabilitas suatu peristiwa pada hakikatnya merupakan ukuran relatif terhadap peristiwa lainnya dalam ruang sampel yang sama. Probabilitas suatu peristiwa adalah 0 P(E)1,0. Probabilitas suatu peristiwa diperoleh melalui pengamatan berulang-ulang kali. Jika suatu peristiwa E1 terjadi n1 kali diantara n pengulangan suatu eksperimen, dan suatu peristiwa yang lain E2




Universitas Andalas


terjadi n2 kali (E1 dan E2 adalah saling eksklusif), maka E1 dan E2 akan terjadi (n1 + n2) kali. Sehingga atas dasar frekuensi relatif diperoleh:

nn

nn

nnn)EP(E 212121 +=

+=

= P(E1) + P(E2) E)P(P(E)E)P(E += dan karena SEE = maka:

1,0P(S)E)P(E ==

dengan demikian maka:

P(E)1E)P( =

Jika E1 dan E2 tidak saling eksklusif maka:

)EP(E-)P(E)P(E)EP(E 212121 += Contoh: Suatu perusahaan kontraktor memulai dua proyek baru pekerjaan 1 dan pekerjaan 2. waktu penyelesaian untuk masing-masing pekerjaan memiliki beberapa ketidakpastian: dalam satu tahun, masing-masing pekerjaan bisa pasti selesai (A), mungkin selesai (B), dan pasti tidak selesai (C). Nyatakanlah ruang sampel untuk status penyelesaian pekerjaan 1 dan 2 setelah satu tahun. Jika setiap kemungkinan untuk kedua pekerjaan tersebut memiliki peluang yang sama untuk terjadi pada akhir dari satu tahun, berapakah probabilitas bahwa tepat satu pekerjaan selesai dalam satu tahun? Jawab: Ruang sampel diperlihatkan dalam Gambar 2.7 dibawah ini.

AA BA CA AB BB CB AC BC CC

Gambar 2.7 Ruang sampel Karena peristiwa dari persis satu pekerjaan diselesaikan mengandung titik sampel AB, AC, BA, dan CA, maka probabilitasnya adalah 4 x 1/9 = 4/9.




Universitas Andalas


Jika E1 menyatakan penyelesaian secara lengkap pekerjaan 1 dan E2 penyelesaian secara lengkap pekerjaan 2 maka: E1{AA, AB, AC} E2{AA, BA, CA} Jika titik-titik sampel punya peluang yang sama untuk terjadi maka: P(E1) = 3/9, P(E2) = 3/9 dan P(E1E2) = 3/9 + 3/9 1/9 = 5/9, yang dapat dibuktikan karena (E1E2)={AA, AB, AC, BA, CA} 5.3.2 Probabilitas bersyarat; aturan perkalian Probabilitas suatu peristiwa dapat tergantung atas terjadinya (atau tidak terjadinya) peristiwa lainnya dinamakan probabilitas bersyarat.

)P(E)EP(E)EEP(

2

2121 =

Contoh: Tinjaulah kembali masalah tiga buldoser sebelumnya. Misal F = peristiwa buldoser pertama masih beroperasi setelah 6 bulan, dan E = 2 buldoser masih beroperasi setelah 6 bulan. Jika titik sampel semuanya mempunyai kecendrungan sama untuk terjadi maka dengan melihat diagram venn pada Gambar 2.8 probabilitas bersyarat E jika diketahui F adalah:

42F)EP( 1 =

GGG GGB GBB BBB

GGBGGB

GGBGGB

Gambar 2.8 Ruang sampel

Contoh: Untuk tujuan disain jalur belok kanan (untuk lalulintas arah timur, dilakukan 60 pengamatan acak jumlah mobil yang menunggu




Universitas Andalas


kesempatan belok kanan pada persimpangan. Hasilnya sebagai berikut:

Jumlah mobil

Jumlah pengamatan

Frekuensi relatif

0 4 4/60 1 16 16/60 2 20 20/60 3 14 14/60 4 3 3/60 5 2 2/60 6 1 1/60 7 0 0 8 0 0 . . .

Jika E1 = lebih dari 2 mobil menunggu belok kanan dan E2 = 2 sampai 4 mobil menunggu belok kanan, tentukan P(E1), P(E2), P(E1E2) dan P(E1E2). Catatan: anggaplah frekuensi relatif sebagai probabilitas dari jumlah mobil yang menunggu belok kanan. Karena mobil yang menunggu belok kanan merupakan peristiwa saling eksklusif, maka:

6020

601

602

603

6014)( 1 =+++=EP

Sementara

6037

603

6014

6020)( 2 =++=EP




Universitas Andalas


Documents

5. KONSEP PROBABILITAS