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复习 : 初中锐角的三角函数是如何定义的？

, , cota b a b

sinA cosA tanA Ac c b a

，

在 Rt△ABC 中，设 A 对边为 a ， B 对边为 b ，C 对边为 c ，锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切依次为 :

A

B

C

a

b

c

1. 任意角三角函数的定义 :

设 α 是任意角， p （ x ， y ）是角 α 终边上任意一点（除端点外）， PO=r （ r ＞ 0 ），则角 α 的六个三角函数是：

P(x,y)

x

y

O

正弦： sinα=y/r余弦： cosα=x/r正切： tanα=y/x余切： cotα=x/y正割： secα=r/x余割： cscα=r/y

α 的终边

P 点的位置对这些比值有影响吗？

？？？

注意：

(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题时，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合 .

(2) α 是任意角，射线 OP 是角 α 的终边， α 的各三角函数值（或是否有意义）与 ox 转了几圈，按什么方向旋转到 OP 的位置无关 .

(3)sinα 是个整体符号，不能认为是“ sin” 与“ α” 的积 . 其余五个符号也是这样 .

(4) 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别 :

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“ r” 同为正值 . 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，

任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的 , 它也适合锐角三角函数的定义 .

实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程 .

2. 三角函数的定义域 通过对三角函数定义的讨论，推导出任意角三角函数的定义域。

定义域R

三角函数sinα=y/r

cosα=x/r

tanα=y/x

cotα=x/y

R

{ | , }2

k k Z

{ | , }k k Z secα=r/x { | , }

2k k Z

cscα=r/y { | , }k k Z

例 1 ：已知角 α 的终边经过点 p （ 2 ， -3 ），求 α 的六个三角函数值；

例 2 ：求下列各角的六个三角函数值： （ 1 ） 0 （ 2 ） （ 3 ）

2

3

例题分析 :

练习 1 ：已知角 α 的终边经过点 p （ 2t ， -3t ）

（ t ＜ 0 ），求 α 的六个三角函数值；

练习 2: 已知角 α 的终边与函数 的图象重合，求 α 的六个三角函数值。

xy2

3

课堂练习 :

3. 三角函数值在各个象限内的符号

x

y

o

sinα

x

y

o

cosα

x

y

o

cotα

x

y

o

tanα

+

+

+

+

+

+

+

+

– –

–

–

–

–

–

–

)6

17tan( cos 250

例 3: 判断下列三角函数值的符号。

cot(-672。

) cos4

sin( )4

例 4: 求证： 是第三象限角的充分必要条件是

sin 0

tan 0

（ 1 ）

（ 2 ）

课堂练习 :P67

1.1. 若点若点 PP （－（－ 3,y3,y ）是角）是角 αα 终边上一点，且终边上一点，且 sin sin αα ＝ ，则＝ ，则 yy 的值是的值是 。。

2

3

2.2. 已知角已知角 θθ 的终边上一点的终边上一点 PP （（ x,x, －－ 22 ）（）（ x≠0x≠0 ），）， 且且 cos cos θθ ＝ 求＝ 求 cos cos θθ 和和 tan tan θθ 的值。的值。

3

x

补充练习

3.3. 已知角已知角 αα 的终边上一点的终边上一点 PP 与与 AA （（ aa ，， bb ）关于）关于 xx 轴轴 对称（对称（ a≠0a≠0 且且 b≠0)b≠0) ，角，角 ββ 的终边上的点的终边上的点 QQ 与与 AA

关于直线关于直线 yy ＝＝ xx 对称，对称，

求求 sin sin αα sec sec ββ ＋＋ tan tan αα cot cot ββ ＋＋ sec sec αα csc csc ββ 的值。的值。

4.cos 4.cos αα ＜＜ 00 是是 αα 是第二象限的（ ）是第二象限的（ ） A.A. 充分不必要条件充分不必要条件 B.B. 必要不充分条件必要不充分条件 C.C. 充要条件充要条件 D.D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件

5.5. 函数函数

的值域是（ ）的值域是（ ） A. {-2,4} B. {-2,0,4}A. {-2,4} B. {-2,0,4}

C. {-2,0,2,4} D. {-4,-2,0,4}C. {-2,0,2,4} D. {-4,-2,0,4}

cos cotsin tan

sin cos tan cot

x xx xy

x x x x

6.6. 若若 sin sin θθ ＜＜ 00 且且 tan tan θθ ＞＞ 0,0, 则则 θθ 是（ 是（ ） ） A.A. 第一象限角第一象限角 B.B. 第二象限角第二象限角 C.C. 第三象限角第三象限角 D.D. 第四象限角第四象限角

7.7. 已知角已知角 θθ 的终边在直线的终边在直线 yy ＝－＝－ 3x3x 上，上，

求求 10sin 10sin θθ ＋＋ 3sec 3sec θθ 的值。的值。

小结

• 利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角 α 顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．

• 象限角的三角函数值的符号．