.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตนเอกสารประกอบการสอนรายวชาPHYS 4102 กลศาสตรขนสง

จกรกฤษ แกวนคม

สาขาวชาฟสกส คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลยมหาวทยาลยราชภฏเชยงใหม

August 31, 2014

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 1 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Outline

1 Introduction

2 Frame of reference

3 Newton’s first law implies defines an inertial frame of reference

4 Infinitesimal displacement vector, velocity, and acceleration

5 Forces and Newton’s second law

6 Classical mechanics

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 2 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1. Introductionหวใจสาคญของวชากลศาสตรไมใชอะไรอนใดนอกจากการศกษาการเคลอนทของวตถ (object) หรออนภาค (particle) ผานกฎทางฟสกสตางๆ ในการศกษาการเคลอนทของวตถนน เราจะขาดไมไดเลยซงวธการบอกตาแหนงของวตถ ณ เวลาใดๆ ซงเปนพนฐานสาคญในการหยงรปรมาณอนๆ เชน ความเรว หรอ ความเรงตวอยางเชน ตาแหนงของวตถใน 2 มต บอกไดโดยใชเวกเตอรทเรยกวา position vector:

r(t) = x(t)i + y(t)j

introduction = บทนา

mechanics = กลศาสตร

object = วตถ, กรรม

particle = อนภาค, ฝ น

position = ตาแหนง

basis = ฐานหลก

vector = เวกเตอร

x

y

r(t)

x(t)

y(t)

ij

position vector

Figure 1:

โดยท i และ j คอ basis vector ในแนวแกน xและ y ตามลาดบ ตวแปร x(t) และ y(t) นนไมใชอะไรอนใด ทวา เปนตวบงบอกถงตาแหนงของวตถในแตละแนวแกน ซงทงคนนเปนฟงกชนของเวลา ดวยเหตทวาวตถมการเคลอนทตาแหนงของมนจงเปลยนไปตามเวลา

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 3 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2. Frame of reference

ทาไมเราตองมกรอบอางอง???

EarthSun

Moon

Figure 2: ระบบดวงอาทตย โลก และดวงจนทร

Figure 3: การเคลอนทของดวงจนทรเมอใชดวงอาทตยเปนจดอางอง

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 4 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ในความเปนจรงแลวเราอยในโลกของสามมต ดงนน position vectorทบอกตาแหนงของวตถทเคลอนทใน 3 มต จงมแกนพกด z เพมมาอก 1 แกน เพอความสมบรณในการบอกตาแหนง:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1)

โดยท k คอ basis vector ประจาแนวแกน z

dimension = มต

coordinate = พกด

motion = การเคลอนท

frame = กรอบ

reference = อางอง

เราสงเกตเหนไดวา ในการบอกตาแหนงของวตถนน เราขาดไมไดเลยซง กรอบอางอง (frame of reference) มนจาเปนตองถกใชเพออางเปนจดกาเนดของ position vectorในการอธบายพฤตกรรมของวตถ ไมวาจะเปนระบบแบบใดกตาม

Note! เราสามารถทจะเลอกใชพกดอะไรกไดบนกรอบอางอง ไมจาเปนตองเปนพกดคารทเซยน (x, y, z) เสมอไป

x

y

z

r(t)

x(t)

y(t)

z(t)i jk

Figure 4:

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 5 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

3. Newton’s first law defines an inertial frame of referenceนวตนไดสรางกฎขอทหนงขนมา เพอสถาปนากรอบอางองทกฎขออนๆสามารถใชไดในกรอบอางองน กฎการเคลอนทขอทหนงของนวตนนนไดสนนษฐานถงการมอยของกรอบอางองทเรยกวา กรอบอางองเฉอย (inertial frame of reference) อยางนอยหนงกรอบในจกรวาลนทสมพทธกบการเคลอนทของอนภาคทมอตราเรวคงตวและ ไมไดอยภายใตอทธพลของแรงใดๆ กฎขอนมกถกเรยกวากฎของความเฉอย (law of inertia)ผลพวงจากกฎขอทหนงของนวตน

วตถใดๆกตามจะรกษาสภาพนงและจะยงคงอยในสภาพนนตอไป นอกจากวาจะมแรงภายนอกมากระทาวตถทกาลงเคลอนทจะไมเปลยนแปลงความเรวของมนนอกจากวาจะมแรงภายนอกมากระทา

Note! บนกรอบอางองทไมเฉอยนน กฎของนวตนจะไม เปนจรงอกตอไป

inertia = เฉอย

Figure 5: หนาแรกของ Principia ของนวตน ตพมพครงแรกเมอป 1687 ทมา:http://en.wikipedia.org/wiki/Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 6 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

4. Infinitesimal displacement vector, velocity, and acceleration

เมอวตถหรออนภาคใดๆมการเคลอนท กจะทาใหตาแหนงของมน, x(t), y(t) และ z(t) มการเปลยนแปลงตามเวลา ตามแตสถานการณวาวตถนนๆเคลอนทไปในแนวแกนใด หรอกลาวไดวา position vector r(t) มการเปลยนแปลง ดงนนแคลคลสจงเปนเครองมอทสาคญในการอธบายเสนทางการเคลอนทของวตถ

infinitesimal = นอยยง

path = เสนทาง

distance = ระยะทาง

displacement = ระยะกระจด

velocity = ความเรว

acceleration = ความเรง

การเปลยนตาแหนงนอยๆของวตถ dr จงอยในรป

dr = dx i + dy j + dz k (2)

เราอาจเรยก dr วา “infinitesimal displacementvector” ซงแสดงถงการเปลยนตาแหนงวตถไปตามเสนทางใดๆ

x

y

z

r(t2)

r(t1)

dr

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 7 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ความเรว (velocity) ในการเคลอนทของวตถหาไดจากอนพนธอนดบหนงของ position vector เทยบเวลาคอ

v ≡ drdt

= dx

dti + dy

dtj + dz

dtk (3)

หรอเขยนในรปทนยมใชกนทวไป คอ

v ≡ r = xi + yj + zk (4)

สญลกษณ ≡ หมายถง “นยาม”

สญลกษณ � (ดอท) หมายถงd�dt

สญลกษณ � (ดบเบลดอท) หมายถงd2�dt2

derivative = อนพนธ

speed = อตราเรว

โดยท x, y และ z คอ อตราเรว (speed) ในแนวแกน x, y และ z ตามลาดบ อกปรมาณทเกยวของคอ ความเรง (acceleration) หาไดจากอนพนธอนดบสองของ position vector คอ

a ≡ d2rdt2 = r = xi + yj + zk (5)

โดยท x, y และ z กคอความเรงในแนวแกน x, y และ z ตามลาดบ นนเอง [Note! i, j และ kเปน basis vector ทไมมการเปลยนแปลง ไมวาวตถจะเคลอนทอยางไร ดงนนอนพนธของพวกมนจงเปนศนย]

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 8 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยางระยะทาง ณ เวลาใดๆ ของวตถทกาลงตกในแนวดง(ไมคดแรงตานอากาศ) ในแนวแกน y คอ

y(t) = y0 + v0t − 12

gt2

เมอ y0 คอตาแหนงเรมตนของการตก และ v0 คออตราเรวเรมตนของวตถ จงหาอตราเรว และความเรงของวตถ ณ เวลา t ใดๆ

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 9 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยางตาแหนง ณ เวลาใดๆของมวล m ทตดปลายสปรงเบา ทกาลงเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (simple harmonicmotion) ในแนวแกน x เปนดงนคอ

x(t) = A cos(ωt)

เมอ A คอ แอมพลจด (amplitude) ของการสน, ω คอความถธรรมชาต (natural frequency) ของการสน นยามจาก

ω ≡√

k

m, k คอ คานจสปรง

จงหาอตราเรว และความเรงของมวล m ณ เวลา t ใดๆ

frequency = ความถ

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 10 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5. Forces and Newton’s second law

เราไดทราบแลววา ถาเราทราบตาแหนงของวตถ ณ เวลาใดๆ กจะทาใหเราทราบพฤตกรรมของวตถนนๆ คาถามคอ เราจะทราบตาแหนงของวตถไดอยางไร? คาตอบของคาถามนไดถกซอนไวในกฎขอหนง ซงเปนกฎททรงพลงอยางมากททาใหเราเขาใจพฤตกรรมของวตถหรออนภาคในวชากลศาสตรนวตน นนคอกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน (Newton’s second law ofmotion):

F = ma (6)

เมอ F คอแรงลพธ ทกระทากบมวล m ซงทาใหมวล m เกดความเรง a แรง F น ขนอยกบระบบทพจารณา ซงกญแจสาคญคอเราตองวเคราะหใหไดวา มแรงอะไรทกระทากบมวลm บาง และมนกจะนาไปสขนตอนการหาสมการการเคลอนทตอไป

Figure 6: Sir Isaac Newton(1642-1727)

force = แรง

mass = มวล

law = กฎ

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 11 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยาง: การเคลอนทในแนวเสนตรงนาแขงกอนหนงกาลงไถลไปบนพนทไมมแรงเสยดทานดวยอตราเรว v0 จงหาสมการการเคลอนท(equation of motion) และผลเฉลยของมน ของกอนนาแขงน

Note! สมการการเคลอนทคอสมการทอธบายการเคลอนทของระบบนนๆ มกอยในรปสมการเชงอนพนธ ทมตวแปรเวลาเปนตวแปรอสระ

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 12 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยาง: การเคลอนทแบบ projectile

ตวอยางนเปนการประยกตใชกฎของนวตนอยางงาย พจารณาวตถมวล m ถกขวางไปกลางอากาศ (ไมคดแรงตานอากาศ)ในขณะทลอยอยกลางอากาศ จะมแรงทกระทากบวตถคอ แรงดงดดของโลก:

F = mg = −mgjx

y

ij

F = mg

จากกฎของนวตน F = ma เมอแทนแรง F ⇒ −mgj และเปลยน a ⇒ xi + yj จะได

−mgj = m(xi + yj

)จะไดสมการการเคลอนท (equation of motion) สองสมการคอ

x = 0, และ y = −g

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 13 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยาง: การเคลอนทแบบ projectile (ตอ)

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 14 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยาง: มวลตดปลายสปรงเบาจงหาสมการการเคลอนทของมวล m ซงตดกบปลายสปรงเบาทมคานจ k กาลงสนใน 1 มตพรอมทงหาผลเฉลยของสมการการเคลอนทนน

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 15 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ตวอยาง: มวลตดปลายสปรงเบา (ตอ)

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 16 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

6. Classical mechanics

กลศาสตรคลาสสก หรอ classical mechanics เปนวชาทอธบายการเคลอนทของวตถในระดบมหภาค (macroscopic object) เชน การเคลอนทแบบ projectile, การเคลอนทของเครองจกรตางๆ ยงรวมไปถงการเคลอนทของวตถทางดาราศาสตรตางๆดวย นอกจากนกลศาสตรคลาสสกยงอธบายการเคลอนท ไมใชแคของแขงอยางเดยว แตยงรวมไปถงของเหลวและแกสอกดวย

Formulations ของ กลศาสตรคลาสสก

1. กลศาสตรนวตน (Newtonian mechanics)2. กลศาสตรลากรานจ (Lagrangian mechanics)3. กลศาสตรแฮมลตน (Hamiltonian mechanics)

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 17 / 18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ขอบเขตของกลศาสตรคลาสสก

ทมา: http://en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics

จกรกฤษ แกวนคม (Physics CMRU) บทท 1 แนวคดโดยยอของกลศาสตรนวตน August 31, 2014 18 / 18