หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวด กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. ๒๕๖๐)

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑

ผเรยบเรยง

ผตรวจ

บรรณาธการ

คณตศาสตร๓ชนมธยมศกษาปท เลม ๑

อาจารยวฒนา นธศดลก

อาจารยเจรญ ราคาแกว

ดร.กตตปกรณ อมเถอน

อาจารยวฒชย ภด

อาจารยปาณตา อาจวงษ

ผชวยศาสตราจารย ดร.วรยทธ นลสระค

ค�ำน�ำ หนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3 เลม 1 น เปนหนงสอท

จดทำาขนตามตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร(ฉบบปรบปรง

พ.ศ. 2560) ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โดยเนอหา

ในหนงสอเรยนคณตศาสตรเลมน มทงหมด 5 หนวยการเรยนร ไดแก พนทผวและปรมาตร

ระบบสมการการแยกตวประกอบของพหนามสมการกำาลงสองตวแปรเดยวและฟงกชนกำาลงสอง

เนอหาในแตละหนวยการเรยนรประกอบดวย เนอหาความคดรวบยอดตวอยาง เกรดความร

และแบบฝกหด ทมความเหมาะสมและเขาใจงาย เพอทจะมงสงเสรมพฒนาความรความเขาใจ

ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรการใหเหตผลการแกปญหาสงเสรมการเรยนรดวยวธการ

ทหลากหลายและพฒนาคณภาพของผเรยนตามศกยภาพ เพอใหครและนกเรยนสามารถนำาไปใช

ประกอบการเรยนการสอนตอไป

ผเขยนหวงเปนอยางยงวาหนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 3

เลม 1 น จะเปนประโยชนตอการจดกจกรรมการเรยนการสอนสงเสรมพฒนานกเรยนใหรก

และมความสขในการเรยนรคณตศาสตร และเปนพนฐานสำาคญในการเรยนรคณตศาสตรชนสง

ตอไปไดเปนอยางด

อาจารยวฒนานธศดลก

อาจารยเจรญ ราคาแกว

สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)

สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)

๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศร แขวงถนนนครไชยศร เขตดสต กรงเทพฯ ๑๐๓๐๐

โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อตโนมต ๑๕ สาย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙

แฟกซ : ทกหมายเลข, แฟกซอตโนมต : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖

สงวนลขสทธ

สำานกพมพ บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว.) จำากด

พ.ศ. ๒๕๖๓

พมพครงท ๑ จำานวน ๒๐,๐๐๐ เลม

website : www.iadth.com

หนาหนา

หนวยการเรยนรท 4 สมการกำาลงสองตวแปรเดยว 104

1. การแกสมการกำาลงสองตวแปรเดยวโดยวธแยกตวประกอบ 106

2. การแกสมการกำาลงสองตวแปรเดยวโดยวธทำาเปนกำาลงสองสมบรณ 115

3. การแกสมการกำาลงสองตวแปรเดยวโดยใชสตร 123

4. โจทยปญหาเกยวกบการแกสมการกำาลงสองตวแปรเดยว 129

หนวยการเรยนรท 5 ฟงกชนกำาลงสอง 134

1. ฟงกชนกำาลงสอง 136

2. กราฟของฟงกชนกำาลงสอง 140

3. จดตำาสดหรอสงสด 160

4. โจทยปญหาของฟงกชนกำาลงสอง 164

บรรณานกรม 168

สารบญหนวยการเรยนรท 1 พนทผวและปรมาตร 6

1. ทบทวนรปเรขาคณตสามมต 8

2. พนทผวและปรมาตรของพระมด 10

3. พนทผวและปรมาตรของกรวย 22

4. พนทผวและปรมาตรของทรงกลม 31

หนวยการเรยนรท 2 ระบบสมการ 36

1. ทบทวนสมการเชงเสนสองตวแปร 38

2. ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 48

3. โจทยปญหาระบบสมการเชงเสนสองตวแปร 70

หนวยการเรยนรท 3 การแยกตวประกอบของพหนาม 80

1. ทบทวนการแยกตวประกอบของพหนาม 82

2. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสอง 85

7

ตวชวด

1. ประยกตใชความรเรองพนทผวของพระมดกรวยและทรงกลมในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง

(ค2.1ม.3/1)

2. ประยกตใชความรเรองปรมาตรของพระมดกรวยและทรงกลมในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง

(ค2.1ม.3/2)

หนวยการเรยนรท

1 พนทผวและปรมาตร

แผนผงสาระการเรยนร

ปรมาตรของพระมด

พนทผวของกรวยพนทผวของทรงกลม

พนทผวของพระมด

ปรมาตรของกรวยปรมาตรของทรงกลม

พนทผวและ

ปรมาตร

1.ทบทวนรปเรขาคณตสามมต

2.พนทผวและปรมาตรของพระมด

3.พนทผวและปรมาตรของกรวย4.พนทผวและปรมาตรของทรงกลม

ลกบาสเกตบอลลกหนงมเสนผานศนยกลาง24เซนตเมตรลกบาสเกตบอลลกนมพนทผว

กตารางเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈3.14)

ลกบาสเกตบอลมรศม = 242 = 12 เซนตเมตร

พนทผวของทรงกลม = 4πr2

≈ 4×3.14×122

= 4×3.14×144

= 1,808.64 ตารางเซนตเมตร

ดงนน ลกบาสเกตบอลลกนมพนทผวประมาณ 1,808.64ตารางเซนตเมตร

การหาพนทผวของทรงกลม

วธทำา

เสนผานศนยกลางของวงกลมใหญของทรงกลม

ผวโคง จดศนยกลาง

98

1. ทบทวนรปเรขาคณตสามมต

รปเรขาคณตสามมตคอรปเรขาคณตทมลกษณะสำาคญไดแกความกวางความยาวและความสง

หรอความลกเชนปรซมทรงกระบอกพระมดกรวยทรงกลม

ปรซม (prism)คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานทงสองเปนรปหลายเหลยมทเทากนทกประการ

ฐานทงสองอยบนระนาบทขนานกน ในกรณทเปนปรซมตรงผวขางของปรซมแตละรปเปน

รปสเหลยมมมฉากในกรณทเปนปรซมเอยงผวขางของปรซมเปนรปสเหลยมดานขนานการเรยกชอปรซม

จะเรยกตามลกษณะของฐาน

ทรงกระบอก (cylinder)คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานทงสองเปนวงกลมทเทากนทกประการ

และอยบนระนาบทขนานกนเมอตดทรงสามมตนดวยระนาบทขนานกบฐานแลวจะไดรอยตดเปนวงกลม

ทเทากนทกประการกบฐาน

กรวย(cone)คอรปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนวงกลมมยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกน

กบฐานและเสนทตอระหวางจดยอดกบจดใดๆบนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง

ทรงกลม(sphere)คอ รปทรงเรขาคณตสามมตทมผวโคงเรยบและจดทกจดบนผวโคงอยหาง

จากจดคงทจดหนงเปนระยะเทากน

นกเรยนจะพบเหนรปเรขาคณตสามมตชนดตางๆ ในชวตประจำาวนเชนตเยนทอนำาทมหนาตดเปน

วงกลม ลกฟตบอล ลกตมกรวยจราจรและมสงประดษฐอกมากมายลวนเกยวกบรปเรขาคณตสามมต

ทงสนนกเรยนจะไดศกษาการหาพนทผวและปรมาตรของพระมดกรวยและทรงกลมดงตอไปน

พระมด (pyramid) คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปหลายเหลยมใดๆ มยอดแหลม

ซงไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐานหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทจดยอดของพระมด

และการเรยกชอพระมดเรยกตามลกษณะของฐานของพระมด

ปรซมสเหลยม

ดานขาง

ฐานความสง

ฐาน

ปรซมหาเหลยม

ฐานความสงดานขาง

ฐาน

ระยะเทากนหรอรศม

จดคงทหรอจดศนยกลาง

ผวโคง

พระมดฐานสเหลยม

จดยอด

สนสวนขาง

ความสงตรงความสงเอยง

ฐาน

ฐานจดยอด

ความสงเอยง

ความสงตรง

จดยอดฐาน

ฐาน

แกนความสง

ฐาน

ฐาน

ความสง

แกน

ฐาน

พระมดฐานหาเหลยม

จดยอด

สนสวนขางความสงตรง

ความสงเอยง

ฐาน

ปรซมสามเหลยม

ฐาน

ความสงดานขาง

ฐาน

ฐาน

ดานขาง

ความสง

ฐาน

ปรซมหกเหลยม

ขอสงเกต

พระมดทไดรบการยกยองวาเปนสงมหศจรรยของโลก ไดแกพระมดเมองกซา ซงเปนทบรรจ พระบรมศพของกษตรยคออปส หรอคฟ ซงพระองคเปนผสรางขนเองเมอกอนครสตกาล ถอเปน พระมดทยงใหญทสดในโลก ตงอย ทกลางทะเลทราย ใชหนทรายตดเปนแทง หนกประมาณ กอนละ 2 ตนครง โดยการนำาเอามาซอนกนเปนชนขนไป เชอกนวา พระมดองคน จะทนแดดทนฝน อยไดอกนานกวา5,000ปและเปนสงมหศจรรยของยคโบราณสงเดยวเทานนทมอายยนยาวมาจนถงปจจบน

พระมดเปนรปเรขาคณตสามมต มทงพระมดตรงและพระมดเอยง มฐานเปนรปหลายเหลยมใดๆมยอดแหลมซงไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐานหนาทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดของพระมดเพอใหนกเรยนมความเขาใจ ในการนำาไปใชในการแกปญหาศกษาสวนประกอบตางๆดงน

• การเรยกชอพระมดจะเรยกชอตามฐาน• ฐานของพระมดมฐานเดยวเปนรปหลายเหลยมใดๆมยอดปลายแหลม• หนาทกหนาของพระมดเปนรปสามเหลยม มจำานวนเทากบจำานวนเหลยมของฐาน• สวนสงของพระมดตรงใดๆจะตงฉากกบฐานทจด ซงอยหางจากจดยอดของรปหลายเหลยมทเปนฐานเปนระยะทางเทากน• พระมดตรงทมฐานเปนรปหลายเหลยมดานเทามมเทา จะมสงเอยงทกเสนยาวเทากนและมสนสวนขางยาวเทากน

ในระดบมธยมศกษาตอนตนจะกลาวถงพระมดตรงเทานน

จดยอด

ความสงตรง

สนสวนขาง

ฐาน

ความสงเอยงหนา หนา ความสงเอยง

1110

2. พนทผวและปรมาตรของพระมด 2.1 พนทผวของพระมด

จากรปคลพระมดรปหลายเหลยมดานเทามมเทาไดวา ฐานของพระมดคอ รปหลายเหลยม

ทเปนฐานและหนาของพระมดเปนรปสามเหลยมหนาจว มจำานวนเทากบจำานวนเหลยมของฐานนน

ดงนน พนทผวทงหมดของพระมดประกอบดวยพนทฐานและพนทผวขาง และพนทผวขางของ

พระมดเทากบจำานวนหนาของพระมดหรอจำานวนเหลยมของฐานคณดวยพนทรปสามเหลยมหนาจว

ดงนน

รปคล

รปคล

รปคล

พระมดฐานสามเหลยมดานเทา

พระมดฐานสเหลยมจตรส

พระมดฐานหาเหลยมดานเทา

พนทผวขางของพระมด = 12 ×ความยาวของฐาน×ความสงเอยง

พนทผวทงหมดของพระมด = พนทฐาน+พนทผวขาง

ตวอยางท 1+ --

ตวอยางท 2+ --

1312

หาพนทผวขางของพระมดฐานรปหลายเหลยมดานเทามมเทาตอไปน

1)

2)

พนทผวขาง = จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยมหนาจว

= 4× 12 ×ความยาวของฐาน×ความสงเอยง

= 4× 12 ×6×10

= 120 ตารางเซนตเมตร

พนทผวขาง = จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยมหนาจว

= 5× 12×ความยาวของฐาน×ความสงเอยง

= 5× 12× 4 ×15

= 150 ตารางนว

การหาพนทฐานของพระมดควรศกษาสตรตอไปน

1. พนทของรปสามเหลยม = 12 ×ความยาวของฐาน×ความสง

2. พนทของรปสามเหลยมดานเทา = √34 ×(ความยาวของดาน)2

3. พนทของรปสเหลยมจตรส = (ความยาวของดาน)2

4. พนทของรปสเหลยมผนผา = ความกวาง×ความยาว

5. พนทของรปหกเหลยมดานเทามมเทา = 3√32 ×(ความยาวของดาน)2

หาพนทผวของพระมดฐานสเหลยมจตรสตอไปน

1)

พนทฐาน = (ความยาวของดาน)2

= 62

= 36 ตารางเซนตเมตร

พนทผวขาง = จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยมหนาจว

= 4× 12 ×ความยาวของฐาน×ความสงเอยง

= 4× 12 ×6×5

= 60 ตารางเซนตเมตร

ดงนน พนทผวของพระมด = พนทฐาน+พนทผวขาง

= 36+60

= 96 ตารางเซนตเมตร

หรอ พนทผวของพระมด = พนทฐาน+พนทผวขาง

= (ความยาวของดาน)2+(จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยม)

= 62+(4 ×12 ×6×5) = 36+60

= 96 ตารางเซนตเมตร

2)

พนทฐาน = (ความยาวของดาน)2

= 102

= 100 ตารางนว

จากรปยงไมทราบความสงของรปสามเหลยมหรอความสงเอยงของพระมดนกเรยนสามารถ

ใชทฤษฎบทพทาโกรสในการหาความสงเอยงไดดงน

10ซม.

6ซม.

5ซม.

6ซม.

6ซม.

12นว

10นว

15นว

4นว

ตวอยางท 4+ --

ตวอยางท 5+ --ตวอยางท 3

+ --

1514

ใหความยาวของความสงเอยง x เซนตเมตร

จะไดวา

x2 = 152 -92 = 225-81 = 144

x = 12 ดงนนความยาวของความสงเอยงเทากบ12เซนตเมตร

จะไดพนทผวขาง = จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยมหนาจว

= 4×12 ×18×12

= 432 ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทผวขางของพระมดเทากบ432ตารางเซนตเมตร

จากทฤษฎบทพทาโกรสจะไดวา

x2 = 52+122

= 25 +144

= 169

x = 13

ดงนน ความสงของรปสามเหลยมคอ13นว

จะได พนทผวขาง = จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยมหนาจว

= 4×12 ×10×13

= 260 ตารางนว

พนทผวของพระมด = พนทฐาน+พนทผวขาง

= 100 +260

= 360 ตารางนว

15

9

x

เนองจาก พระมดฐานสามเหลยมดานเทายาวดานละ10เซนตเมตร

ฉะนน พนทฐานของพระมด = √34 ×(ความยาวของดาน)2

= √34 ×102

= 25√3 ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทฐานของพระมดเทากบ25√3ตารางเซนตเมตร

พนทผวของพระมด = พนทฐาน+พนทผวขาง

แทนคา 614 = 344+(5×12 ×ความยาวของดาน×12) = 344+(ความยาวของดาน×30)

ความยาวดาน = 614-34430

ความยาวดาน = 27030

ความยาวดาน = 9 เซนตเมตร

ดงนนฐานของพระมดมความยาวดานละ9เซนตเมตร

12นว

5นว

x

15ซม.x

18ซม.

12ซม.

344ตร.ซม.

พระมดฐานสเหลยมจตรสซงมฐานยาวดานละ18เซนตเมตรสนยาว15เซนตเมตร

หาความสงเอยงและพนทผวขางของพระมด

วธทำา

พระมดฐานหาเหลยมดานเทามพนทผวทงหมด614ตารางเซนตเมตรฐานของพระมดมพนท 344ตารางเซนตเมตรพระมดมความสงเอยง12เซนตเมตรฐานของพระมดมความยาว ดานละกเซนตเมตร

วธทำา

พระมดฐานสามเหลยมดานเทาซงมฐานยาวดานละ10เซนตเมตรพนทฐานของพระมดเปนเทาไร

วธทำา

10ซม.

ตวอยางท 6+ -- ตวอยางท 1

+ --

ตวอยางท 2+ --

1716

2.2 ปรมาตรของพระมด นกเรยนปฏบตกจกรรมดงน

ปรซม พระมด

เตรยมปรซมและพระมดทมฐานและความสงเทากน

นำาพระมดไปตวงทรายจนเตมแลวเทใสปรซมพบวาตองตวงทรายใสพระมดจนเตมถงสามครง

จงจะเททรายใสปรซมเตมพอด แสดงวา ปรมาตรของพระมดเปน 1 ใน 3 ของปรมาตรปรซม จากท

นกเรยนเคยศกษามาแลววา

ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน×ความสง

ดงนน ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

ความสงหมายถงความสงตรงของพระมด

ตวอยางเชน

ขอสงเกต

ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

= 13 ×(ความยาวของดาน)2 ×ความสง

= 13 ×102 ×15

= 500ลกบาศกเซนตเมตร

หาปรมาตรของพระมดฐานสเหลยมจตรสซงมฐานยาวดานละ8เซนตเมตร และสงตรง12เซนตเมตร

ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

= 13 ×(ความยาวของดาน)2×ความสง

= 13 ×82×12

= 256 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนนปรมาตรของพระมดฐานสเหลยมจตรสเทากบ256ลกบาศกเซนตเมตร

พระมดฐานสเหลยมผนผากวาง9นวยาว10นวและสงตรง15นว

พระมดมปรมาตรกลกบาศกนว

วธทำา

ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

= 13 ×(ความกวาง×ความยาว) ×ความสง

= 13 ×(9×10)×15

= 450 ลกบาศกนว

ดงนนพระมดมปรมาตร450ลกบาศกนว

ตองการทาสพระมดดานขางใหมโดยทพระมดฐานสเหลยมจตรสมความยาวฐานดานละ5เมตร

ความสงเอยง10เมตรตองใชสกถงถาส1ถงทาไดพนท8ตารางเมตร

วธทำา พนทผวขาง = จำานวนหนา×พนทรปสามเหลยม

= 4×12 ×5×10

= 100 ตารางเมตร

ตองการทาสผวดานขางโดยส1ถงทาไดพนท8ตารางเมตร

ดงนนตองใชสทงหมด 100ö8=12.5ถง

วธทำา

15ซม.

10ซม.

10ซม.

12ซม.

8ซม.8ซม.

15นว

10นว

9นว

ตวอยางท 4+ --

ตวอยางท 3+ --

ตวอยางท 5+ --

ตวอยางท 6+ --

1918

หาปรมาตรของพระมดฐานสามเหลยมดานเทาซงมฐานยาวดานละ10นวและสง18นว

ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

= 13 ×( √34 ×(ความยาวของดาน)2 ) ×ความสง

= 13 ×( √34 ×102×18)

= 1 × √3 ×100 ×183× 4

= 150√3 ลกบาศกนว

ดงนนปรมาตรของพระมดเทากบ150√3ลกบาศกนว

พระมดฐานหกเหลยมดานเทามมเทามปรมาตรเทากบ1,800√3 ลกบาศกเซนตเมตร

ความสงของพระมด9เซนตเมตรหาความยาวรอบฐาน

ใหฐานของพระมดยาวดานละxเซนตเมตร

ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

1,800√3 = 13 ×( 3√32 ×x2) ×9

x2 = (1,800√3 )(2)9√3

x2 = 400

x = 20

ฐานของพระมดยาวดานละ20เซนตเมตร

ดงนนความยาวรอบฐานของพระมด6×20=120เซนตเมตร

10นว

วธทำา

พระมดฐานสเหลยมจตรสมปรมาตร256ลกบาศกเซนตเมตรมฐานยาวดานละ8เซนตเมตร

หาความสงของพระมด

วธทำา ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

ปรมาตรของพระมด = 13 ×(ความยาวของดาน)2×ความสง

256 = 13 ×82×ความสง

ความสง = 256×364

ความสง = 12 เซนตเมตร

ดงนนความสงของพระมดเทากบ12เซนตเมตร

วธทำา

พระมดฐานสเหลยมจตรสซงวดโดยรอบฐานยาว56เซนตเมตรและความสงเอยง 25เซนตเมตรพระมดมปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร

วธทำา เนองจากโจทยไมทราบพนทฐานและความสงตรงดงนนตองหาความยาวของฐาน

และความสงตรงดงตอไปน

ความยาวรอบฐานยาว56เซนตเมตรจะไดวาพระมดมความยาวของฐาน

ดานละ564 =14เซนตเมตรและหาความสงตรงโดยใชทฤษฎบทพทาโกรสดงน

ให x เปนความสงของพระมด

x2 = 252- 72

= 625- 49

= 576

x = 24

จะไดวา พระมดสง24เซนตเมตรและมความยาวของฐาน14เซนตเมตร

ปรมาตรของพระมด = 13 ×พนทฐาน×ความสง

= 13 ×(ความยาวของดาน)2×ความสง

= 13 ×142×24

= 1,568ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนนพระมดมปรมาตร1,568ลกบาศกเซนตเมตร

25ซม.24ซม.

14ซม.

25ซม.

7ซม.

x

18นว

9ซม.

ปรมาตร1,800√3ลบ.ซม.

2120

1. จากรปทกำาหนดตอบคำาถามตอไปน

(1) ความยาวของฐานเปนเทาไร

(2) ความสงตรงเปนเทาไร

(3) ความสงเอยงเปนเทาไร

(4) ความยาวรอบฐานเปนเทาไร

(1) ความยาวของฐานเปนเทาไร

(2) ความสงตรงเปนเทาไร

(3) ความสงเอยงเปนเทาไร

(4) ความยาวรอบฐานเปนเทาไร

(1) ความยาวของฐานเปนเทาไร

(2) ความสงตรงเปนเทาไร

(3) ความสงเอยงเปนเทาไร

(4) ความยาวรอบฐานเปนเทาไร

1)

2)

3) แบบฝกหดท 1

2. แสดงวธทำา

พระมดฐานสามเหลยมดานเทา

13ซม.12ซม.

พระมดฐานสเหลยมจตรส

1) พระมดฐานสเหลยมจตรสซงมฐานยาวดานละ40เซนตเมตรและมสนยาว29เซนตเมตร

พระมดนมความสงกเซนตเมตร

2) พระมดฐานสเหลยมจตรสมพนทผวทงหมดไมรวมฐาน 1,500ตารางนว ฐานพระมดยาว

ดานละ30นวพระมดนมความสงเอยงกนว

3) พระมดฐานสเหลยมจตรสมพนทผวทงหมด304ตารางนวฐานพระมดยาวดานละ8นว

พระมดนมความสงเอยงกนว

4) หาพนทฐานของพระมดฐานสามเหลยมดานเทาซงมฐานยาวดานละ8เซนตเมตร

5) หาพนทฐานและพนทผวขางของประตมากรรมรปพระมดฐานสเหลยมจตรสซงมฐานยาว

ดานละ10เมตรความสงเอยง14เมตร

6) พระมดฐานสเหลยมจตรสซงมฐานยาวดานละ10เซนตเมตรความสง12เซนตเมตร

พระมดนมพนทฐานและพนทผวขางกตารางเซนตเมตร

7) พระมดฐานสเหลยมจตรสซงมฐานยาวดานละ32เมตรความสง12เมตร

หาพนทผวของพระมด

8) พนทผวขางของพระมดฐานสเหลยมจตรสเปน644ตารางเซนตเมตรความสงเอยง

23เซนตเมตรหาความยาวรอบฐานและพนทฐานของพระมด

9) พระมดฐานหาเหลยมดานเทามมเทาซงมฐานยาวดานละ14นวและสนของพระมดยาว

25นวหาพนทผวขางของพระมด

10) พระมดฐานสเหลยมจตรสมความยาวรอบฐาน60นวความสงเอยง16นวถาลดความยาว

ของฐานและความสงเอยงลงดานละ1นวพนทผวเมอลดความยาวลงเปนกตารางนว

15ซม.

10ซม.

4ซม.

6ซม.

พระมดฐานสเหลยมจตรส

2322

3. แสดงวธทำา

1) พระมดฐานสเหลยมจตรสมพนทฐาน180ตารางนวสง10นวพระมดนมปรมาตร

กลกบาศกนว

2) พระมดฐานสามเหลยมดานเทามพนท1,440ตารางเซนตเมตรความสง20เซนตเมตร

พระมดนมปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร

3) พระมดฐานสเหลยมจตรสมความยาวรอบฐาน60เมตรพระมดสง6เมตรพระมดน

มปรมาตรกลกบาศกเมตร

4) พระมดฐานสเหลยมจตรสมความสง9เมตรและมปรมาตร1,323ลกบาศกเมตรพระมดน

มความยาวรอบฐานกเมตร

5) ชางออกแบบเทปนหลอพระมดทรงตนฐานสเหลยมผนผามความกวาง6เมตรความยาว

10เมตรและความสง5เมตรชางตองใชปนคดเปนปรมาตรกลกบาศกเมตร

6) พระมดฐานหกเหลยมดานเทามปรมาตร4,500√3 ลกบาศกเซนตเมตรความสง27เซนตเมตร

ความยาวรอบฐานของพระมดเปนกเซนตเมตร

7) พระมดฐานสเหลยมจตรสมปรมาตร320ลกบาศกเซนตเมตรซงมฐานยาว8เซนตเมตร

พระมดนมความสงเอยงกเซนตเมตร

3. พนทผวและปรมาตรของกรวย

กรวยคอรปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนวงกลมมยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน

และเสนทตอระหวางจดยอดกบจดใดๆบนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง

3.1 พนทผวของกรวย รปคลของกรวยประกอบดวยวงกลมซงเปนฐานของกรวยจำานวน1รปและสวนของวงกลม

จำานวน1รปดงน

จดยอด

ความสงเอยง

แกน

ความสงตรง

ฐาน

พนทผวกรวย สวนของฐาน

พนทฐานเปนวงกลม

=πr2

ในระดบมธยมศกษาตอนตนจะกลาวถงกรวยตรงเทานน

เมอนำากรวยตดตามแนวสงเอยง()และคลออกจะไดดงรป

A

O

B

2πr

r

จากรปกรวยมความสงเอยงยาว รศมของฐานยาวrและความยาวเสนรอบวง(ฐาน)

เทากบ2πr เมอคลกรวยออกจะไดรปสามเหลยมฐานโคงซงจะเปนสวนหนงของวงกลมทจดศนยกลาง

เปนจดยอดของกรวย

เมอ พนทวงกลมOเทากบπ2ความยาวเสนรอบวงกลมOเทากบ2π

พนทรปสามเหลยมฐานโคงOABคอพนทผวขางของกรวย

ความยาวสวนโคงABคอเสนรอบฐานของกรวย

เนองจากอตราสวนของพนทของวงกลมOกบพนทของรปสามเหลยมฐานโคงOAB

เทากบอตราสวนของความยาวเสนรอบวงกลมOกบความยาวสวนโคงAB

จะไดพนทวงกลมO

พนทของรปสามเหลยมฐานโคงOAB =

ความยาวของเสนรอบวงกลมO

ความยาวสวนโคงAB

π,2

พนทของรปสามเหลยมฐานโคงOAB = 2π,

2πr

π,2

พนทของรปสามเหลยมฐานโคงOAB = ,

r

พนทของรปสามเหลยมฐานโคง OAB = π,2r,

= πr,

ดงนน พนทของรปสามเหลยมฐานโคงOABหรอพนทผวขางของกรวยเทากบπr,

เพมความเขาใจ

นกเรยนสามารถศกษาเกยวกบ การสำารวจอตราสวนพนทวงกลมกบพนท รปสามเหลยมฐานโคง ผานไฟล .GSP เปดดวยโปรแกรมThe G eometer 's Sketchpad ไดจากhttp://bit.ly/2Qt1KDi

r

ตวอยางท 1+ --

ตวอยางท 2+ --

2524

ดงนน

พนทผวของกรวย = พนทฐาน+พนทผวขาง

พนทผวของกรวย = πr2 + πr

หรอ = πr (r+)

หาพนทผวของกรวยตอไปน(กำาหนดπ ≈227 )

พนทฐาน = πr2

≈ 227 ×72

= 154 ตารางเซนตเมตร

พนทผวขาง = πr ≈ 22

7 ×7×10 = 220 ตารางเซนตเมตร

พนทผวของกรวย = พนทฐาน+พนทผวขาง ≈ 154+220

= 374 ตารางเซนตเมตร

หรอพนทผวของกรวย = πr2 + πr

≈ (227 ×72)+(227 ×7 ×10) = 154+220 = 374 ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทผวของกรวยประมาณ374ตารางเซนตเมตร

จากรปหาความยาวของความสงเอยงโดยใชทฤษฎบทพทาโกรส

จะได 2 = 82+62

= 64 +36

= 100

= 10

พนทผวของกรวย = πr2 +πr

≈ (227 ×62)+(227 ×6 ×10) = 792+1,320

7

≈ 301.71 ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทผวของกรวยประมาณ301.71ตารางเซนตเมตร

กรวยสงกะสอนหนงมเสนผานศนยกลางของฐานยาว10เซนตเมตรและความสงเอยงยาว

12เซนตเมตรพนทผวของกรวยสงกะสประมาณกตารางเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈3.14)

วธทำา

ใหรศมของวงกลมยาว r เซนตเมตร

ดงนน r = 102 = 5 เซนตเมตร

พนทผวของกรวย = πr2+πr ≈ (3.14×52)+(3.14×5 ×12) = 78.5+188.4 = 266.9 ตารางเซนตเมตร

ดงนนพนทผวของกรวยสงกะสประมาณ266.9ตารางเซนตเมตร

10ซม.

7ซม.

8ซม.

12ซม.

1)

วธทำา

2)

วธทำา

12ซม.

10ซม.

ตวอยางท 3+ --

ตวอยางท 1+ --

2726

กรวยอนหนงมรศมของฐาน7นวและกรวยสง24นวพนทผวของกรวยประมาณกตารางนว

(กำาหนดπ ≈ 227 )

ใหความสงเอยงยาว นว

หาความยาวของความสงเอยงโดยใชทฤษฎบทพทาโกรส

จะได 2 = 72 + 242

= 49 + 576

= 625

= 25

พนทผวของกรวย = πr2 +πr

≈ (227 ×72)+(227 ×7 ×25) = 154 + 550 = 704 ตารางนว

ดงนนพนทผวของกรวยประมาณ704ตารางนว

3.2 ปรมาตรของกรวย นกเรยนปฏบตกจกรรมดงน

เตรยมทรงกระบอกและกรวยทมรศมและความสงเทากน

นำากรวยไปตวงทรายจนเตม แลวเทใสทรงกระบอกพบวา ตองตวงทรายใสกรวยจนเตม

ถงสามครงจงจะเททรายใสทรงกระบอกเตมพอดแสดงวาปรมาตรของกรวยเปน1ใน3ของปรมาตร

ทรงกระบอก

จะไดวา ปรมาตรของกรวย = 13 ของปรมาตรของทรงกระบอก

ดงนน V = 13πr2h

เมอ V แทนปรมาตรของกรวย

r แทนรศมของฐานของกรวย

h แทนความสงของกรวย

ทรงกระบอก กรวย

ความสงของกรวยเปน14เมตรเสนผานศนยกลางของฐานมความยาว6เมตร

กรวยนมปรมาตรกลกบาศกเมตรกำาหนด(กำาหนดπ ≈227 )

24นว

7นว

r

r

h

r

h วธทำา

วธทำา จากโจทยรศมของฐาน = 62 = 3 เมตร

ปรมาตรของกรวย = 13 πr2h

≈ 13 ×227 ×32 ×14

= 22×3×2 = 132 ลกบาศกเมตร

ดงนนกรวยมปรมาตรประมาณ132ลกบาศกเมตร

ตวอยางท 2+ --

ตวอยางท 3+ --

2928

กรวยไอศกรมอนหนงมความสงเอยงยาว15เซนตเมตรรศมของฐานมความยาว9เซนตเมตร

กรวยจไอศกรมไดกลกบาศกเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈3.14)

วธทำา ใหความสงของกรวย hเซนตเมตร

หาความสงของกรวยโดยใชทฤษฎบทพทาโกรส

h2 = 152 - 92

= 225- 81

= 144

h = 12

ปรมาตรของกรวย = 13 πr2h

≈ 13 ×3.14×92 ×12

= 3.14×27×12 = 1,017.36 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนนกรวยจไอศกรมไดประมาณ1,017.36ลกบาศกเซนตเมตร

กรวยมปรมาตร1,004.80ลกบาศกเซนตเมตรเสนผานศนยกลางของฐานมความยาว

16เซนตเมตรความสงของกรวยเปนกเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈3.14)

1. หาพนทผวและปรมาตรของกรวยตอไปน(กำาหนดπ ≈3.14)

2. แสดงวธทำา(กำาหนดπ ≈3.14)

3) 4)

1) 2)

20ซม.

26ซม.

ความยาวรอบฐาน62.8ซม.

1) กรวยอนหนงเสนผานศนยกลางของฐานมความยาว20เซนตเมตรและความสงเอยงยาว

15เซนตเมตรพนทผวขางของกรวยเปนกตารางเซนตเมตร

2) กรวยกระดาษอนหนงมความสงเอยงยาว13เซนตเมตรและสง12เซนตเมตร

พนทผวของกรวยกระดาษเปนกตารางเซนตเมตร

3) กรวยมความยาวรอบฐาน43.96เซนตเมตรและความสงเอยง12เซนตเมตร

กรวยนมพนทผวกตารางเซนตเมตร

4) กรวยอนหนงมพนทผว577.76ตารางนวและรศมของฐานยาว8นว

กรวยนมความสงเอยงยาวกนว

5) ทรงกรวยมพนทผว263.76ตารางนวเสนผานศนยกลางของฐานมความยาว12นว

กรวยมความสงกนว

แบบฝกหดท 2

9ซม.

15ซม.h6ซม.

16ซม.

24ซม.

วธทำา จากโจทย รศมของฐาน = 162

= 8เซนตเมตร

ปรมาตรของกรวย = 13 πr2h

1004.80 ≈ 13 ×3.14×82 ×h

h ≈ 1004.80×33.14×64

h = 15

ดงนนความสงของกรวยประมาณ15เซนตเมตร

4นว

6นว

ตวอยางท 1+ --

3130

3. แสดงวธทำา(กำาหนดπ ≈3.14)

1) กรวยกระดาษสำาหรบดมนำารศมปากกรวยยาว2เซนตเมตรความสง5เซนตเมตร

กรวยกระดาษจนำาไดกลกบาศกเซนตเมตร

2) กรวยมความสงเอยงยาว15เซนตเมตรรศมของฐานยาว9เซนตเมตรกรวยนมปรมาตร

กลกบาศกเซนตเมตร

3) กรวยกระดาษมพนทผว188.4ตารางเซนตเมตรรศมของฐานยาว5เซนตเมตร

กรวยกระดาษนมปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร

4) กระโจมรปกรวยมรศมยาว20เซนตเมตรความสง30เซนตเมตรกระโจมนจอากาศได

กลกบาศกเซนตเมตร

5) ชางตองการเหลกถวงนำาหนกรปกรวยเพอใชในงานกอสรางโดยเหลกถวงนำาหนก

มเสนผานศนยกลางยาว16เซนตเมตรความสงเอยง17เซนตเมตรเหลกถวงนำาหนกน

มปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร

6) กรวยอนหนงมรศมยาว5เซนตเมตรโดยความสงของกรวยมากกวารศม10เซนตเมตร

กรวยนมปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร

7) กรวยมความยาวรอบฐาน31.4นวความสง12นวกรวยนมปรมาตรกลกบาศกนว

8) กรวยมปรมาตร8,478ลกบาศกนวรศมของฐานยาว15นวกรวยนมพนทผวกตารางนว

9) กรวยมปรมาตร200.96ลกบาศกนวความสงเปน3เทาของรศมของฐาน

กรวยนมรศมของฐานกนว

4. พนทผวและปรมาตรของทรงกลม

ทรงกลมคอ รปเรขาคณตสามมตทมผวโคงเรยบ และจดทกจดบนผวโคงอยหางจากจดคงท

จดหนงเปนระยะทางเทากน

4.1 พนทผวของทรงกลม จะไดจากสตร

พนทผวของทรงกลม=4πr2

ลกโลกลกหนงมเสนผานศนยกลางยาว28เซนตเมตรลกโลกนมพนทผวกตารางเซนตเมตร

(กำาหนดπ ≈227 )

วธทำา จากโจทยรศมของฐาน = 282 = 14 เซนตเมตร

พนทผวของทรงกลม = 4πr2

≈ 4 ×227 ×142

= 4 ×22×2×14 = 2,464 ตารางเซนตเมตร

ดงนนลกโลกนมพนทผวประมาณ2,464ตารางเซนตเมตร

เสนผานศนยกลางของวงกลม

ผวโคงจดศนยกลาง

ตวอยางท 2+ --

ตวอยางท 1+ --

ตวอยางท 2+ --

3332

4.2 ปรมาตรของทรงกลม นกเรยนปฏบตกจกรรมดงน

แตงโมลกหนงเปนทรงกลมมพนทผวเทากบ2,816ตารางเซนตเมตรถาผาครงแตงโมลกน มเสนผานศนยกลางของวงกลมใหญกเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈227 )

วธทำา พนทผวของทรงกลม = 4πr2

2,816 ≈ 4 ×227 ×r2

r2 ≈ 2816×74 ×22

r2 = 224 r ≈ 14.97 r ≈ 15 จะไดรศมยาวประมาณ15เซนตเมตร ดงนนแตงโมมเสนผานศนยกลางยาวประมาณ30เซนตเมตร

เตรยมทรงกระบอกและทรงกลมทมรศมเทากนและความสงของทรงกระบอกเทากบสองเทาของรศมของทรงกลม นำาครงทรงกลมไปตวงทรายจนเตม แลวเทใสทรงกระบอก พบวา ตองตวงทรายใส ครงทรงกลมจนเตมถงสามครง จงจะเททรายใสทรงกระบอกเตมพอดแสดงวาปรมาตรของครงทรงกลม

เปน1ใน3ของปรมาตรทรงกระบอก

จะไดวา12ของปรมาตรของทรงกลม = 13ของปรมาตรของทรงกระบอก

ปรมาตรของทรงกลม = 23ของปรมาตรของทรงกระบอก

= 23 × πr2h

= 23 × πr2×2r

ดงนน ปรมาตรของทรงกลม = 43πr3

เมอrแทนรศมของทรงกลม

ลกฟตบอลพลาสตกมเสนผานศนยกลางยาว14เซนตเมตรปรมาตรของอากาศทบรรจ

ในลกฟตบอลเปนกลกบาศกเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈227 )

วธทำา ปรมาตรของทรงกลม = 43πr3

≈ 43 ×227 ×73

= 43 ×22×7×7

≈ 1,437.33 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนนปรมาตรอากาศทบรรจในลกฟตบอลประมาณ1,437.33ลกบาศกเซนตเมตร

ลกตมทรงกลมตนลกหนงมรศมยาว3นวถาตองการหลอลกตมขนาดเดยวกนจำานวน7ลก

ตองใชปนหลอทงหมดกลกบาศกนว(กำาหนดπ ≈227 )

วธทำา

ปรมาตรของทรงกลม = 43πr3

≈ 43 ×227 ×33

= 4 ×22×3×37

= 7927 ลกบาศกนว

ตองการหลอลกตมทงหมด7ลก

ดงนนตองใชปนหลอทงหมดประมาณ 7927 ×7=792ลกบาศกนว

3นวrh=2r

r

ตวอยางท 3+ --

ตวอยางท 4+ --

3534

ทรงกลมมปรมาตร38,808ลกบาศกเซนตเมตรทรงกลมนมพนทผวกตารางเซนตเมตร

(กำาหนดπ ≈ 227 )

วธทำา ปรมาตรของทรงกลม = 43πr3

38808 ≈ 43 ×227 ×r3

r3 ≈ 38808×3×74 ×22

r3 = 9261

r = 21

ทรงกลมนมรศม21เซนตเมตร

พนทผวของทรงกลม = 4πr2

≈ 4 ×227 ×212

= 4 ×22×3×21

= 5,544 ตารางเซนตเมตร

ดงนนทรงกลมนมพนทผวประมาณ5,544ตารางเซนตเมตร

ทรงกลมตนลกหนงมเสนรอบวงกลมใหญยาว176เซนตเมตรทรงกลมตนนมปรมาตร

กลกบาศกเซนตเมตร(กำาหนดπ ≈227 )

วธทำา เสนรอบวงกลม = 2πr 176 ≈ 2×227 ×r

r ≈ 176×72×22

r = 28

ทรงกลมตนมรศมยาว28เซนตเมตร

ปรมาตรของทรงกลม = 43πr3

≈ 43 ×227 ×283

= 4 ×22×28×28×283×7

≈ 91,989.33 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงนนทรงกลมตนนมปรมาตรประมาณ91,989.33ลกบาศกเซนตเมตร

1. หาพนทผวและปรมาตรของทรงกลมตอไปน(กำาหนดπ ≈227 )

2. แสดงวธทำา(กำาหนดπ ≈227 )

3) 4)

1) 2)

9นว

21ซม.

7นว

6ซม.

1) ทรงกลมตนลกหนงมเสนผานศนยกลางยาว12เซนตเมตรทรงกลมตนมพนทผวกตารางเซนตเมตร 2) ทรงกลมตนมความยาวรอบวง132เซนตเมตรทรงกลมตนมพนทผวกตารางเซนตเมตร 3) ลกฟตบอลพลาสตกมสสลบกน4สโดยแตละสมพนทเทาๆกนถาลกฟตบอลนมรศมยาว 5นวพนทผวแตละสเปนกตารางนว 4) ทรงกลมมพนทผว2,464ตารางเซนตเมตรทรงกลมนมรศมกเซนตเมตร 5) ทรงกลมสองทรงกลมมรศมยาว5และ8นวตามลำาดบทรงกลมทงสองมพนทผวตางกน กตารางนว 6) ทรงกลมตนลกหนงมเสนผานศนยกลาง16เซนตเมตรทรงกลมตนมปรมาตร กลกบาศกเซนตเมตร 7) ลกตมทรงกลมตนลกหนงมรศมยาว6เซนตเมตรลกตมมปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร 8) ลกเปตองลกหนงมรศมยาว9เซนตเมตรเมอหยอนลกเปตองลงในกระปองนำาทรงกระบอก ซงใสนำาเตมกระปองนำาทลนออกมามปรมาตรกลกบาศกเซนตเมตร 9) ทรงกลมตนลกหนงมพนทผว154ตารางนวทรงกลมตนมปรมาตรกลกบาศกนว 10) สมโอทรงกลมมเสนรอบวงภายนอกยาว65เซนตเมตรถาเปลอกสมโอหนา0.5เซนตเมตร ปรมาตรสวนของเนอสมโอเปนกลกบาศกเซนตเมตร

แบบฝกหดท 3