미분계수viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/교과서별/고_미적분과 통계 기본(이강섭)/2-1... · 익힘책37쪽 익힘책38쪽 익힘책39쪽 높이가123m인점프대에서뛰어내린사람의x초후의높이를ym라

대부분의 무인 과속 단속

카메라는자동차가카메

라 앞을 지나가는 순간의 속도

를측정하기때문에카메라앞

에서만 속도를 줄이는 일명

‘캥거루식 과속’에는 속수무

책이었다.

이에 경찰청은 특정 구간에

서평균속도를측정하는구간

과속단속시스템을도입하였

다. 이와같이과속단속에도

수학적개념이활용된다.

카메라앞‘반짝감속’안통

한다

일정구간평균속도로과속단

속y 영동고속국도첫시행

앞으로무인단속카메라앞에서만잠

시속도를늦췄다가곧바로과속했다

가는‘속도위반’에걸릴수있다.

경찰청은26일부터영동고속국도하

행선강릉방면둔내터널(3.3`km, 편

도2차로)입구와끝지점에‘구간과속

단속카메라’가설치돼운영된다고밝

혔다. 구간단속이란도로의두지점에

각각무인카메라를설치, 두지점사

이의구간을지나는차량의주행거리

대비주행시간을재서평균속도를산

출해과속차량을적발하는방식이다.

구간단속카메라는강릉방면둔내터

널전200`m지점과, 터널을통과한

후3.9`km지난지점에설치됐다. 총

단속구간은7.4`km. 이렇게되면,

시작과끝지점에서는100`km/h(제

한속도)로달렸더라도중간에서이보

다과속하면평균속도가100`km/h

를초과해범칙금을부과받는다. 이

구간을평균100`km/h로지나가면

약4분26초가걸리는데, 이보다빨

리통과하면속도위반에걸리는셈이

다.

전어느과속단속카메라에도

찍히지않았습니다.

두지점을통과한시간으로평균속도를계산하여

과속차량을적발했습니다.

44 Ⅱ.다항함수의미분법

다 가 서 기 / 과속 단속 카메라

학습목표1•미분계수의뜻을알고, 그값을구할수있다.

•미분계수의기하학적의미를이해한다.

•미분가능성과연속성의관계를이해한다.

미분계수1

미분계수와도함수

1.미분계수와도함수 45

탐 구 하 기 / 평균속도

평균변화율01

오른쪽 그림과 같이 두 지점 A, B에 각각 과속

단속카메라가설치되어있는도로가있다. 두지

점A, B사이의거리가 9 km이고, 어떤차량이

A, B를통과한시각이각각 13시 5분과 13시 10

분이다. 이때, 두지점 A, B 사이에서이차량

의평균속도가시속몇 km인지구하여보자.

A

B

1차 측정

2차 측정

9`km

알 아 보 기 / 함수 y=f(x)에서 x값의변화에대한함숫값 y의변화를알아보자.

오른쪽그림과같이함수 y=f(x)에서

x의값이 a에서 b까지변할때, 함숫값 y

는 f(a)에서 f(b)까지변한다.

이때, x값의 변화량 b-a를 x의 증분,

이에 대한 y값의 변화량 f(b)-f(a)를

y의증분이라하고, 기호로각각DDxx,, DDyy

와같이나타낸다.

일반적으로함수 y=f(x)에서 x의증분Dx에대한 y의증분Dy의비율

= =

를 x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 함수 y=f(x)의 평균변화율이라고

한다.

이상을정리하면다음과같다.

f(a+Dx)-f(a)Dx

f(b)-f(a)b-a

DyDx

D는 영어 difference의 첫

글자인 D에 해당하는 그리

스문자이며‘델타(delta)’

라고읽는다.

x의값이 a에서 b까지변할

때의함수 f(x)의평균변화

율은 두 점 P(a, f(a)),

Q(b, f(b))를 잇는 직선

PQ의기울기를나타낸다.

O x

y

a b

f{a}

f{b}

y=f{x}

f{b}-f{a}

b-a

함수 y=f(x)에서 x의값이 a에서 b까지변할때의평균변화율은

= = (단, Dx=b-a)f(a+Dx)-f(a)

Dxf(b)-f(a)

b-aDyDx

평균변화율


1

함 께 하 기 /

함수 f(x)=x¤ -3x에서 x의값이다음과같이변할때의평균변화율을

구하여라.

(1) -2에서 3까지 (2) a에서 a+Dx까지

｜풀이｜

(1) = = =--22

(2) = =

(2) =22aa--33++DDxx

{(a+Dx)¤ -3(a+Dx)}-(a¤ -3a)Dx

f(a+Dx)-f(a)Dx

DyDx

(3¤ -3¥3)-{(-2)¤ -3¥(-2)}5

f(3)-f(-2)3-(-2)

DyDx

익힘책 37쪽 익힘책 38쪽 익힘책 39쪽

｜풀이｜

(1) = = =--2255

(2) = =

(2) =--1100aa--55DDxx

{-5(a+Dx)¤ +123}-(-5a¤ +123)Dx

f(a+Dx)-f(a)Dx

DyDx

(-5¥4¤ +123)-(-5¥1¤ +123)3

f(4)-f(1)4-1

DyDx

다음 함수에서 x의 값이 [ ] 안과 같이 변할 때의 평균변화율을 구하

여라.

(1) f(x)=-5x [1에서 3까지]

(2) f(x)=x‹ +5 [a에서 a+Dx까지]

스 스 로 하 기 /

1


높이가 123 m인 점프대에서 뛰어내린 사람의 x초 후의 높이를 ym라

고 하면 y=-5x¤ +123의 관계식이 성립한다. x의 값이 다음과 같이

변할때, 높이의평균변화율을구하여라.

(1) 1에서 4까지 (2) a에서 a+Dx까지

2

리듬체조선수가던진곤봉의 x초후의높이를 ym라고하면, x와 y

사이에는 y=-5x¤ +10x+1.7의관계식이성립한다. 곤봉을던진후

1초에서 2초까지높이의평균변화율을구하여라.

2

시간이 변함에 따라 높이

가 점점 낮아지므로 높이

의 평균변화율은 음수값을

가진다.

함수 y=f(x)에대하여 x의값이 a에서 a+Dx까지변할때의평균변

화율

=

에서Dx가 0에한없이가까워질때의극한값

= yy`㉠㉠

가존재하면함수 y=f(x)는 x=a에서미분가능하다고한다.

이때, 위의 극한값 ㉠을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 순간변화율또는미분계수라하고, 기호로 f'(a)와같이나타낸다.


f(a+Dx)-f(a)Dxlim

Dx⁄0

DyDxlim

Dx ⁄0

f(a+Dx)-f(a)Dx

DyDx


탐 구 하 기 / 운동 에너지

미분계수02

질량이 1 kg인물체가초속 xm로운

동할때의운동에너지를 f(x)라고하

면 f(x)=;2!;x¤이다. 다음물음에답

하여보자.

1.두점A{1, ;2!;}, P{a, ;2!;a¤ }을지

나는직선의기울기m(a)를구하여라.

2.극한값 m(x)를구하여라.limx⁄1

알 아 보 기 / 미분계수에대하여알아보자.

O x

y

a

y=f{x}

ûy

f{a+ûx}

a+ûx

f{a} ûx

미분계수 f '(a)는‘f prime

a’라고읽는다.

O 1 x

yf{x}= x@2

1-

P{a, `a@}

1-2

1-2

A{1, `}1-2

운동 에너지란 운동하

는 물체가 가지는 에너

지로,물체의 질량을 m,

속도를 v라고하면물체

의운동에너지는

;2!;mv¤이다.

함수 f(x)의 x=a에서의미분계수는

f'(a)= =f(a+Dx)-f(a)

DxlimDx ⁄0

DyDxlim

Dx ⁄0

미분계수

f'(a)

=

=f(b)-f(a)

b-alimb⁄a

f(a+h)-f(a)h

limh⁄0


다음함수의 [ ]안에주어진값에서의미분계수를구하여라.

(1) f(x)=50 [x=1] (2) f(x)=-5x+10 [x=-3]

(3) f(x)=;2!;x¤ +x [x=0] (4) f(x)=x‹ -1 [x=2]


1


함수 f(x)=x‹ 의 x=a에서의미분계수 f'(a)를구하여라.2

특히함수 f(x)가어떤구간에속하는모든 x의값에서미분가능할때,

함수 f(x)는그구간에서미분가능하다고한다.

또함수 f(x)가정의역에속하는모든 x의값에서미분가능할때, 함수

f(x)는미분가능한함수라고한다.

1

함 께 하 기 /

함수 f(x)가다음과같을때, x=1에서의미분계수 f'(1)을구하여라.

(1) f(x)=2x-1 (2) f(x)=x¤

｜풀이｜

(1) f'(1)=

(1) f'(1)=

(1) f'(1)=

(1) f'(1)=22

(2) f'(1)=

(1) f'(1)=

(1) f'(1)=

(1) f'(1)= (2+Dx)

(1) f'(1)=22

limDx⁄0

2Dx+(Dx)¤Dxlim

Dx⁄0

(1+Dx)¤ -1¤Dxlim

Dx⁄0

f(1+Dx)-f(1)Dxlim

Dx⁄0

2DxDxlim

Dx⁄0

{2(1+Dx)-1}-(2¥1-1)Dxlim

Dx⁄0

f(1+Dx)-f(1)Dxlim

Dx⁄0



알 아 보 기 / 미분계수와접선의기울기의관계를알아보자.

함수 y=f(x)의그래프위의두점

A(a, f(a)), B(b, f(b))에 대하여 평균

변화율

=

는직선AB의기울기를뜻한다.

여기서 b가 a에한없이가까워지면점 B는

곡선을따라점A에한없이가까워진다.

역으로 점 B가 곡선을 따라 점 A에 한없

이 가까워지면 b는 a에 한없이 가까워짐을

알수있다.

이때, 직선AB는점A를지나는일정한직선AT에한없이가까워진다.

이 직선 AT를 곡선 y=f(x) 위의 점 A에서의 접선이라 하고, 점 A는

접점이라고한다.

따라서함수 y=f(x)의 x=a에서의미분계수

f'(a)=

는곡선 y=f(x) 위의점A(a, f(a))에서의접선의기울기를나타낸다.

f(a+Dx)-f(a)Dxlim

Dx⁄0

f(b)-f(a)b-a

DyDx

x

y y=f{x}

f{a}

f{b}B

A T

A

a bO

탐 구 하 기 / 이차함수의 접선

미분계수의기하학적의미03

곡선y=x¤ 위의세점A(2, 4), B(1, 1),

C{;2!;, ;4!;}과원점O에대하여다음물음에

답하여보자.

1.세직선OA, OB, OC를그려라.

2.점D의좌표를D(h, h¤ )이라고하면

h의값이한없이 0에가까워질때, 직선 OD는어떤직선에한없이가

까워지는지말하여라.

O-1-2 21

1

2

3

4

x

y y=x@



곡선 y=x¤ +4x+1 위의 점 P(a, a¤ +4a+1)에서의 접선의 기울기

f'(a)가다음과같을때, 점 P의좌표를구하여라.

(1) f'(a)=6 (2) f'(a)=-2

2

곡선 y=-x¤ +x-2에 대하여 다음 점에서의 접선의 기울기를 구하

여라.

(1) (1, -2) (2) (0, -2) (3) (-1, -4)


1


함수 y=f(x)의 x=a에서의 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의

점 (a, f(a))에서의접선의기울기이다.

미분계수와접선의기울기

1

함 께 하 기 /

곡선 y=x¤ -3x+5 위의점 (1, 3)에서의접선의기울기를구하여라.

｜풀이｜

f(x)=x¤ -3x+5로놓으면구하는접선의기울기,즉 x=1에서의미분계수

f '(1)은다음과같다.

f'(1)=

f'(1)=

f'(1)=

f'(1)= (-1+Dx)

f'(1)=--11

limDx⁄0

-Dx+(Dx)¤Dxlim

Dx⁄0

{(1+Dx)¤ -3(1+Dx)+5}-(1¤ -3¥1+5)Dxlim

Dx⁄0

f(1+Dx)-f(1)Dxlim

Dx⁄0



공학 도구수학적개념을공학도구를이용하여이해하고탐구해보세요.*

기하작도용컴퓨터프로그램을이용하여직선의기울기의변화를쉽게관찰할수있다. 이프로

그램은 http://z-u-l.de에서내려받을수있다.

1단계 함수아이콘 을선택한후‘이름’에‘f’, ‘y좌표를나타내

1단계 는 식’에‘1/3≠x^3’을 입력하고, 녹색을 선택한 후‘확인’

을클릭하면 ｜그림1｜과같은그래프가그려진다.

2단계 직선아이콘 을선택한후화면의빈곳과곡선위의임의의

2단계 위치를순서대로클릭하면두점을지나는직선이작도된다.

3단계 빈 곳에 작도된 점에 마우스 포인터를 올려놓은 후 마우스 오

른쪽버튼을클릭하면점편집창이열린다. 점편집창의‘이

름’에‘P’, ‘x좌표’에‘1’, ‘y좌표’에‘f(1)’을입력하고개

3단계 체의이름보이기아이콘 을선택한후‘확인’을클릭한다.

3단계 같은방법으로점 P가아닌곡선위에있는점의이름을‘Q’로

입력하면 ｜그림2｜와같은그래프가그려진다.

4단계 계산식아이콘 을선택한후화면의빈곳을클릭하면식편

3단계 집 창이 열린다. ‘설명’에‘직선 PQ의 기울기’, ‘계산식’에

‘(y(P)-y(Q))/(x(P)-x(Q))’를입력하고‘확인’을클

릭하면｜그림3｜과같이직선PQ의기울기가화면에나타난다.

5단계 마우스를이용하여점Q를이동해본다.

이와같이점Q를점 P를향하여가까이움직이며직선 PQ의기울기의변화를관찰할수있다.

기하작도용컴퓨터프로그램을이용한실험관찰

｜그림1｜

｜그림2｜

｜그림3｜


미분가능성과연속성04알 아 보 기 / 미분가능성과연속성의관계를알아보자.

세함수 f(x)=x¤ +1, g(x)=2|x|, h(x)=[ 의그래프는

다음과같다.

｜그림1｜의함수 f(x)=x¤ +1은 x=0에서연속이다. 또

=0이므로함수 f(x)는 x=0에서미분가능하다.

｜그림2｜의함수 g(x)=2|x|는 x=0에서연속이다. 그러나

=-2+2=

이므로함수 g(x)는 x=0에서미분가능하지않다.

또한｜그림3｜의함수 h(x)=[ 은 x=0에서불연속이다. 또

=

=

= {Dx- }

이므로함수 h(x)는 x=0에서미분가능하지않다.

일반적으로함수의미분가능성과연속성사이의관계는다음과같다.

｜참고｜ 함수 y=f(x)가 x=a에서불연속이면 f'(a)는존재하지않는다.

1Dxlim

Dx ⁄0

(Dx)¤ -1Dxlim

Dx ⁄0

(0+Dx)¤ -1Dxlim

Dx ⁄0

h(0+Dx)-h(0)Dxlim

Dx ⁄0

x¤ (x+0)

1¤ (x=0)

g(0+Dx)-g(0)Dxlim

Dx ⁄+0

g(0+Dx)-g(0)Dxlim

Dx ⁄-0

f(0+Dx)-f(0)Dxlim

Dx ⁄0

｜그림3｜｜그림2｜｜그림1｜

O1

x

y y=h{x}y=g{x}

O x

yy=f{x}

O x

y

1

x¤ (x+0)

1‹ (x=0)

함수 y=f(x)가 x=a에서 미분가능하면 y=f(x)는 x=a에서 연

속이다. 그러나그역은일반적으로성립하지않는다.

미분가능성과연속성함수

연속인 함수 미분가능한 함수

오른쪽 표는 2006년 11월 1일부터

적용된 규격 우편 요금을 나타낸 것

이다.이때,다음물음에답하여라.

(1) 중량을 x g, 우편 요금을 y원이

라고 할 때, x와 y사이의 관계

를그래프로나타내어라. (단, 0<x…50)

(2) 불연속인점의 x의값을모두구하여라.

(3) 미분가능하지않은점의 x의값을모두구하여라.

함수 f(x)=2|x-1|은 x=1에서 연속이지만 미분가능하지 않음을

보여라.


1



1

함 께 하 기 /

함수 f(x)=x-|x|에 대하여 x=0에서의 연속성과 미분가능성을 조

사하여라.

｜풀이｜

(x-|x|)= (x-|x|)=0이고, f(0)=0이므로함수

f(x)=x-|x|는 xx==00에에서서연연속속이이다다..

한편

= = =0 yy㉠㉡

= = =2 yy㉡㉡

㉠, ㉡에서 f'(0)= 이존재하지않는다.

따라서함수 f(x)=x-|x|는 xx==00에에서서미미분분가가능능하하지지않않다다..

f(0+Dx)-f(0)Dxlim

Dx ⁄0

2DxDxlim

Dx ⁄-0

Dx-|Dx|Dxlim

Dx⁄-0

{(0+Dx)-|0+Dx|}-(0-|0|)Dxlim

Dx⁄-0

0Dxlim

Dx⁄+0

Dx-|Dx|Dxlim

Dx⁄+0

{(0+Dx)-|0+Dx|}-(0-|0|)Dxlim

Dx⁄+0

limx⁄-0

limx⁄+0


2 중량 규격우편요금

5 g이하 220원

250원5 g초과 25 g이하

25 g초과 50 g이하 270원

Dx ⁄ +0이면 Dx>0

이므로　　|Dx|=Dx

Dx ⁄ -0이면 Dx<0

이므로　　|Dx|=-Dx


다 가 서 기 / 최대 이익과 미분

기업의목표는최소의비용으로최대의이익을내는데있다. 어떤상

품에대한수입과비용의함수가주어지면그것에따른이윤의함수

가정해지며, 기업은이것을이용하여최대이익을낼수있는가격과생산

량을정하게되는것이다.

이와같이수요, 공급, 이익이상호작용하며증가¥감소하는경제문제

를이해하는데에도도함수가이용된다.

PMP(portable multi-

media player)란음악및

동영상 재생, 디지털 카메

라 기능 등을 갖춘 휴대용

멀티미디어재생장치이다.

그러면이윤이최대가되는조건은어떻게결정하는거지?

PMP를사려고검색하는중이야. 그런데좀비싸다. 싸게팔면더많은

사람들이사게되어회사의이윤도많아질텐데.

뭘보고있니?

싸게많이판다고해서이윤이최대가되는건아니니까무작정많이만들어서싸게팔수는없지.

1

미분계수와도함수

이윤이최대가되는조건은미분을이용하여

결정할수있어.

도함수의정의와미분법학습목표2•도함수의뜻을이해한다.

•함수 y=x« (n은양의정수)의도함수를구할수있다.

•함수의실수배, 합, 차, 곱의미분법을알고, 다항함수의도함수를

구할수있다.


탐 구 하 기 / 축구공의 자취

도함수의뜻01

어떤 사람이 찬 공이 날아간 수평 거리를

x m라 하고 바닥에서 공까지의 높이를

f(x)m라고하면

f(x)=-x¤ +20x (0…x…20)

의관계식이성립한다. 이때, 함수 f(x)의 x=a에서의미분계수 f'(a)

를구하여라. (단, 0<a<20)

알 아 보 기 / 도함수의뜻을알아보자.

함수 f(x)=x¤ 은모든실수 a에대하여미분계수 f'(a)가존재한다.

이제 임의의 실수 a에 미분계수 f'(a)=2a를 대응시키는 새로운 함수

를생각할수있다.

이와 같이 미분가능한 함수 f(x)의 정의역에 속하는 모든 x에 대하여

미분계수 f '(x)를대응시키면새로운함수

f'(x)=

를얻는다.

이때, 이함수 f'(x)를 f(x)의도함수라하고, 기호로

ff¿''((xx)),, `yy¿'',, ` ,, ` ff((xx))

와같이나타낸다.

함수 f(x)의 도함수 f'(x)를 구하는 것을 함수 f(x)를 x에 대하여 미

분한다고하며, 그계산법을미분법이라고한다.


ddddxx

ddyyddxx

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx ⁄0

xx

f{x}

20`m

X Y

x

f`'

f`'{x}

도함수를 영어로 derived

function 또는 derivative

라고한다.

기호 는‘디와이디엑

스(dy dx)’라고읽는다.

dydx

미분을영어로

differential또는

differentiation이라고한다.

f'(x)= =f(x+Dx)-f(x)

DxlimDx⁄0

DyDxlim

Dx ⁄0

함수 yy==ff((xx))의도함수


다음함수의도함수를구하여라. (단, a, c는상수)

(1) f(x)=-1 (2) f(x)=c

(3) f(x)=2x+1 (4) f(x)=ax


1


직선 f(x)=c (c는 상수)

위의 임의의 점에서 접선의

기울기는항상 0이다.

1

함 께 하 기 /

다음함수의도함수를구하여라.

(1) f(x)=3 (2) f(x)=3x+2

｜풀이｜

(1) f'(x)=

(1) f'(x)= =00

(2) f'(x)=

(2) f'(x)=

(2) f'(x)= =333DxDxlim

Dx⁄0

{3(x+Dx)+2}-(3x+2)Dxlim

Dx⁄0

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx⁄0

3-3Dxlim

Dx⁄0

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx⁄0


｜풀이｜

f'(x)=

f'(x)=

f'(x)=

f'(x)= (2x+Dx+1)=22xx++11limDx ⁄0

2Dx¥x+(Dx)¤ +DxDxlim

Dx ⁄0

{(x+Dx)¤ +(x+Dx)+1}-(x¤ +x+1)Dxlim

Dx ⁄0

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx ⁄0

함수 f(x)=x¤ +x+1을미분하여라.2

다음함수를미분하여라.

(1) f(x)=(x-2)¤ +1 (2) f(x)=x‹2


미분법의공식(1)02알 아 보 기 / 함수의도함수를쉽게구할수있는공식을유도하여보자.

함수 f(x)=x« (n은자연수)의도함수를구하여보자.

Dy=f(x+Dx)-f(x)

Dy=(x+Dx)« -x«

Dy=Dx {(x+Dx)« —⁄ +(x+Dx)« —¤ x+y+(x+Dx)x« —¤ +x« —⁄ }

∴ f'(x)=

∴ f'(x)= {(x+Dx)« —⁄ +(x+Dx)« —¤ x+y+(x+Dx)x« —¤ +x« —⁄ }

∴ f'(x)=x« —⁄ +x« —⁄ +y+x« —⁄

∴ f'(x)=nx« —⁄

또상수함수 f(x)=c (c는상수)의도함수는

f'(x)=

f'(x)= =0


｜보기｜ (1) f(x)=x⁄ ‚ 의도함수는　　f'(x)=10x⁄ ‚ —⁄ =10x·

(2) f(x)=7의도함수는　　 f'(x)=0

c-cDxlim

Dx⁄0

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx⁄0

limDx⁄0

DyDxlim

Dx⁄0

자연수 r (1…r…n)에대하여

(x+Dx)« —® x® —⁄

=x« —® x® —⁄

=x« —⁄

limDx⁄0

a« -b«

=(a-b)(a« —⁄ +a« —¤ b+y+ab« —¤ +b« —⁄ )

(1) f(x)=x« (n은자연수)이면 f'(x)=nx« —⁄

(2) f(x)=c (c는상수)이면 f'(x)=0

ff((xx))==xx««`과상수함수의도함수

다음함수의도함수를구하여라.

(1) f(x)=;2“; (2) f(x)=x

(3) f(x)=xfi (4) f(x)=x¤ ‚ ‚ ·


1


( | | { | | 9

n개


탐 구 하 기 / 미분법

미분법의공식(2)03

두함수 f(x)=x¤ , g(x)=x에대하여도함수의정의를이용하여다음에

주어진두함수의도함수를각각구하고, 그결과를서로비교하여보자.

1. {2g(x)}', 2g '(x)

2. { f(x)+g(x)}', f'(x)+g '(x)

3. { f(x)g(x)}', f'(x)g'(x)

알 아 보 기 / 함수의실수배, 합, 차, 곱의도함수를구하여보자.

함수 y=f(x)가미분가능할때, 함수 y=cf(x) (c는상수)의도함수는

y'=

y'=c

y'=cf'(x)

∴ {cf(x)}'=cf'(x)

또 두 함수 f(x), g(x)가 각각 미분가능할 때, 함수 y=f(x)+g(x)의도함수는

y'=

y'=

y'=

y'= +

y'=f'(x)+g '(x)∴ { f(x)+g(x)}'=f'(x)+g'(x)

같은방법으로 y=f(x)-g(x)의도함수를구하면y'=f'(x)-g '(x)

이다.

g(x+Dx)-g(x)Dxlim

Dx⁄0

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx⁄0

{ f(x+Dx)-f(x)}+{g(x+Dx)-g(x)}Dxlim

Dx⁄0

{ f(x+Dx)+g(x+Dx)}-{ f(x)+g(x)}Dxlim

Dx⁄0

DyDxlim

Dx⁄0

f(x+Dx)-f(x)Dxlim

Dx ⁄0

cf(x+Dx)-cf(x)Dxlim

Dx⁄0


또 두 함수 f(x), g(x)가 각각 미분가능할 때, 함수 y=f(x)g(x)의도함수는

y'=

y'=

y'=

y'= ¥ g(x+Dx)

y'=+ f(x)¥

y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)∴ { f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g '(x)


｜보기｜ 함수 y=(2x+1)(x¤ +3)의도함수는

y'=(2x+1)'(x¤ +3)+(2x+1)(x¤ +3)'

y'=2(x¤ +3)+(2x+1)¥2x

y'=2x¤ +6+4x¤ +2x

y'=6x¤ +2x+6

{g(x+Dx)-g(x)}Dxlim

Dx⁄0limDx ⁄0

limDx ⁄0

{ f(x+Dx)-f(x)}Dxlim

Dx ⁄0

{ f(x+Dx)-f(x)}g(x+Dx)+f(x){g(x+Dx)-g(x)}Dxlim

Dx ⁄0

f(x+Dx)g(x+Dx)-f(x)g(x)Dxlim

Dx ⁄0

DyDxlim

Dx ⁄0

미분가능한두함수 f(x), g(x)에대하여

(1) y=cf(x)이면 y'=cf'(x) (단, c는상수)

(2) y=f(x)+g(x)이면 y'=f'(x)+g'(x)

(3) y=f(x)-g(x)이면 y'=f'(x)-g'(x)

(4) y=f(x)g(x)이면 y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

미분법의공식


(1) y=x⁄ ‚ -2xfi +3 (2) y=x¤ (3x+1)

(3) y=(2x-1)¤ (4) y=(3x› -1)(2x+3)


1



다음함수의 x=-2에서의미분계수를구하여라.

(1) f(x)=-x‹ +2x (2) f(x)=(1-x¤ )(1-x‹ )

1미분계수

다음곡선위에있는주어진점에서의접선의기울기를구하여라.

(1) y=-4x¤ +2x (0, 0) (2) y=3x¤ (x-1) (-1, -6)

2미분계수의기하학적 의미


(1) y=2x¤ -x+1 (2) y=(x-1)(x-2x¤ )

(3) y=(x¤ -2x)¤ (4) y=x(x+1)(2x+1)

3미분법

함수 f(x)=x‹ +ax¤ +b의그래프위의점 (1, 3)에서의접선의기울기

가 5일때, 두실수 a, b의값을각각구하여라.4미분계수의

기하학적 의미

중 단 원

확 인 하 기

_1. 미분계수와 도함수새로나온용어와기호

증분, 평균변화율, 미분가능, 순간변화율, 미분계수, 도함수,

Dx, Dy, f'(x), y', , f(x)ddx

dydx

이해

계산

계산

이해

2007년 1월 15일부터적용된전기

요금표에의하여주택용전기사용

량이 x kWh일때, 요금을 f(x)

원이라고 하면 y=f(x)의 그래프

는오른쪽그림과같다. 이때,

0<x<300에서 미분가능한 구간

을구하여라.

5전기 사용 요금

18320

35150

17710

63305880370O 100 200 300 x

yf{x}=168.3x-15340

f{x}=113.8x-5050

f{x}=55.1x+370

문제 해결

Documents

미분계수viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/교과서별/고_미적분과 통계 기본(이강섭)/2-1... · 익힘책37쪽 익힘책38쪽 익힘책39쪽 높이가123m인점프대에서뛰어내린사람의x초후의높이를ym라