Teori Antrian

http://openstat.wordpress.com Teori Antrian : Intro p : 1

PendahuluanTeori Antrian

[email protected]

[email protected]

Last update : 14 November 2009 | version 1.0


Tujuan

● Tujuan : Meneliti kegiatan dan fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi acak dari suatu sistem antrian yang terjadi

● Tinjauan pengukuran logis :– Berapa lama pelanggan harus menunggu sebelum akhirnya

mendapatkan pelayanan– Berapa persenkah dari waktu yang disediakan untuk

memberikan pelayanan suatu fasilitas pelayanan dalam kondisi menganggur/iddle

● Elemen dasar : Pelanggan dan Pelayan● Waktu pelayanan harus dapat dihitung, kemudian waktu

pelanggan datang dan waktu pelayanan dapat dinyatakan dalam distribusi probabilitas


Garis tunggu atau antrian

Fasilitas pelayanan

Struktur Sistem Antrian

1

2

3

n

Sistem antrian

Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian

Pelanggan keluar dari sistem


Kejadian Antrian

● Kendaraan yang menunggu jalan di trafic light● Pembeli yang antri di kasir supermarket● Pasien yang sedang menunggu di periksa di klinik● Program komputer yang menunggu di proses oleh processor● Tumpukan surat yang harus diketik oleh seorang sekretaris● dll


Faktor Sistem Antrian

● Distribusi Kedatangan● Distribusi Waktu Pelayanan● Fasilitas Pelayanan● Disiplin Pelayanan● Ukuran dalam antrian● Sumber pemanggilan


Faktor Sistem Antrian (2)

● Distribusi Kedatangan– Kedatangan secara individu (single arrivals)– Kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals)

● Distribusi waktu pelayanan– Pelayanan secara individual (single services)– Pelayanan secara kelompok (bulk services)

● Fasilitas Pelayanan– Bentuk series dalam satu garis lurus atau garis melingkar– Bentuk paralel dalam beberapa garis lurus yang sejajar– Bentuk jaringan/network station yang dapat di desain secara

series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun atau secara paralel dengan stasiun yang berbeda-beda


Proses Antrian

● Masukan (Input) :– Pola kedatangan yang dapat dinyatakan dalam distribusi

peluang seperti poisson dan eksponensial– Pola kedatangan yang tidak dapat dinyatakan dalam

distribusi peluang● Keluaran (Output) :

– Setelah mendapatkan pelayanan dengan baik, pelanggan akan segera meninggalkan fasilitas pelayanan

– Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi peluang eksponensial negatif dan poisson



Notasi Dalam Sistem Antrian● n = jumlah pelanggan dalam sistem● Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem● λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan

waktu● μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan

waktu● Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem● P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan● L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam

sistem● Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam

sistem● W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam

sistem● Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama

menunggu dalam antrian● 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan● 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan● S = jumlah fasilitas pelayanan


Single Channel Model (M/M/1)

● M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson

● M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson

● 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu saluran


Asumsi M/M/1

● Populasi input tidak terbatas● Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti

distribusi Poisson● Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS● Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal● Distribusi pelayanan mengikuti distribusi Poisson (λ <

μ)● Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas● Tidak ada penolakan maupun pengingkaran


Contoh SoalUD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah:

1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan

dalam sistem3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu

dalam antrian4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan

selama dalam sistem (menunggu pelayanan)5) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan

untuk menunggu dalam antrian


Jawaban Soal

Diketahui: λ = 20, μ = 25

p = λ / μ = 20/25 = 0.80Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari waktunya (1-p) untuk istirahat

L = λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atauL = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem


Lq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan

W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit

Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit


Pelayanan Tunggal (Single Server)

(M / M / 1) ; ( GD / ∞ /∞ )

Unlimited Queue

First Come First Serve

Distribusi PoissonFor Arrival

Distribusi Poisson/ExpoFor Service Single Server

● Asumsi : Tidak ada hubungan/ketergantungan antara proses kedatangan dengan proses layanan

● Notasi : λ rasio kedatangan (banyak antrian / waktu); µ rasio layanan (banyak yang sedang antri / waktu ); ρ utilisasi sistem : λ / µ = Pr

< 1


Pr : Prob. Sistem dalam keadaan sibuk (ρ)Po : Prob. Sistem dalam keadaan idle (Po = 1-Pr)Pn : Prob ada n pelanggan dalam sistemLs : Jumlah yang diharapkan berada di dalam sistem (queue &serve) = /−

Lq : Jumlah yang diharapkan dalam antrian = 2/ −

Ws : Expected time dalam sistem = 1/−

Wq : Expected time dalam queue = /−

Wn : Expected time dalam queue untuk non empty queue =1/−

Ln : Expected number dalam queue = /−

Notasi


Latihan Soal

● Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun waktu 3 menit dengan variasi mengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponential sebesar 5 menit

– Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ?– Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani

pesawat-2 tersebut ?– Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam

sistem ?


Kronologis Simulasi Antrian


Tab A. 8.1 Waktu Antar Kedatangan (menit)

Customer Antar Kedatangan Jam Waktu Kedatangan

1 0 0

2 2 2

3 4 6

4 1 7

5 2 9

6 6 15


Tabel A. 8.2 Waktu Service (menit)

Customer Waktu Pelayanan

1 2

2 1

3 3

4 2

5 1

6 4


Tabel A.8.3 Hasil Simulasi

Nomor Customer

Waktu Kedatangan

(Jam)

Awal Pelayanan

(Jam)

Waktu Pelayanan

(durasi)

Akhir Pelayanan (Jam)

1 0 0 2 2

2 2 2 1 3

3 6 6 3 9

4 7 9 2 11

5 9 11 1 12

6 15 15 4 19


Tabel A.8.4 Kronologis Urutan Kejadian

Tipe Kejadian Nomor Pelanggan Waktu (Jam)

Kedatangan 1 0

Keberangkatan 1 2

Kedatangan 2 2

Keberangkatan 2 3

Kedatangan 3 6

Kedatangan 4 7

Keberangkatan 3 9

Kedatangan 5 9

Keberangkatan 4 11

Keberangkatan 5 12

Kedatangan 6 15

Keberangkatan 6 19


Contoh 1. Antrian

• Perusahaan A sedang mencoba menentukan rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika customer rata-rata menunggu lebih dari 10 menit maka pihak perusahaan akan menambah kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat pada tabel A.8.5 dan tabel A.8.6 Kasir buka jam 9 pagi.


Tabel 8.6 Waktu Kedatangan

Waktu Antar Kedatangan

Probability(Frequensi)

0 0.10

1 0.35

2 0.25

3 0.15

4 0.10

5 0.05


Tabel 8.5 Waktu Pelayanan

Waktu Pelayanan Probabilitas Frequensi

0 0.00

1 0.25

2 0.20

3 0.40

4 0.15


Tabel A.8.7 Interval Bilangan Acak

Kedatangan Pelayanan

Antar Kedatangan

Kumulatif Probablitas

Interval Bilangan Acak

Waktu Pelayanan

Kumulatif Probablitas

Interval Bilangan Acak

0 0.10 1 - 10 0 0.00 -

1 0.45 11 - 45 1 0.25 1 - 25

2 0.70 46 - 70 2 0.45 26 - 45

3 0.85 71 - 85 3 0.85 46 - 85

4 0.95 86 - 95 4 1.00 86 - 99

5 1.00 99


Bilangan acak untuk service dan kedatangan

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pely 52 37 82 69 98 96 33 50 88 90 50 27 45 81 66

Dtg 50 28 68 36 90 62 27 50 18 36 61 21 46 01 14


Pertanyaan

● Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ?● Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ?


Penyelesaian :Tabel A. 8.8 Antar Kedatangan dan Waktu

Pelayanan No. Cust Bil Acak Kedatangan Antar Kedatangan Bil Acak Service Waktu Service

1 50 2 52 3

2 28 1 37 2

3 68 2 82 3

4 36 1 69 3

5 90 4 98 4

6 62 2 96 4

7 27 1 33 2

8 50 2 50 3

9 18 1 88 4

10 36 1 90 4

11 61 2 50 3

12 21 1 27 2

13 46 2 45 2

14 01 0 81 3

15 14 1 66 3


Tabel A. 8.9 Perhitungan AntrianNo. Cust

Antar Kedatangan

Waktu Ke- datangan

Waktu Service

Awal Service

Akhir Service

Waktu Tunggu

Waktu dlm sistem

Waktu Idle

1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2

2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0

3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0

4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0

5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0

6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0

7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0

8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0

9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0

10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0

11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0

12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0

13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0

14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0

15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 124 0

45 162 188 2


Perhitungan

Rata-rata waktu menunggu :

162 / 15 = 10,7 menit

Maka perlu menambah kasir

Customer yang dapat bonus :

no: 10, 11 , 12 , 13 , 14 dan 15


Rangkuman

● Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik, yaitu : kedatangan , antrian dan pelayanan

● Mensimulasikan sistem antrian dengan metode Monte Carlo

Documents

Teori Antrian