..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcije.......ININJERSKA MATEMATIKA IGranina vrednost i neprekidnost funkcijedr piro Gopevisgopcevic@yahoo.com.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcije...1Granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija...2Neprekidnost funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu...3Odreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Sadraj...1Granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija...2Neprekidnost funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu...3Odreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Okolina realnog brojaOkolina realnog broja

je svaki (proizvoljno mali) otvoreniinterval koji sadri broj 0Za broj se kae da se nalazi u blizini broja 0 ako pripadaintervalu (0 , 0 + ) za proizvoljno malo (pozitivan broj)Interval (0 , 0 + ) se naziva i okolina broja

.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Okolina realnog brojaAko (0 , 0 + ) , tj ako je 0 zadovoljava relaciju

0 < < 0 + < 0 < +| 0| < onda se kae da taka na brojnoj pravoj, korespodentna broju ,nalazi u okolini take 0 odnosno da se broj nalazi uokolini broja

..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0.Primer........Intuitivno, pojam "pribliavanja" nam je jasan: na primer, student sesvakoga radnog dana pribliava fakultetu..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0.Primer........Broju 0 = 1 na brojnoj pravoj moemo se pribliavati tako daredom "stanemo" na brojeve: 0, 9; 0, 99; 0, 9999; 0, 99999; itd.(ovo je slino "hodanju" prema jedinici)Broju 0 = 1 na brojnoj pravoj moemo se pribliavati"skakuui" oko take 1 "stajui" na brojeve: 0, 9; 1, 09; 0, 99;1, 009; 0, 999; 1, 0009, itd..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0U razmatranju vrednosti funkcije u taki 0, mi se taki 0 moemopribliavati"Hodajui" po brojnoj pravoj prema taki 0,"Skakuui" oko take 0 tako da smo joj sve blie..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0.Primer........Poto funkcija() = 2 1 1 = + 1, 1nije denisana u taki 0 = 1, ta se deava sa vrednostima funkcijekada se pribliavamo taki 0 = 1.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0Moe se uoiti da emo se u svakome od ovih pribliavanja pribliiti

0 proizvoljno blizu , ali nikada neemo doi tano u 0..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Bliske takeBliske su one take koje su "blizu" na brojnoj pravojProblemi (naizgled) poinju kada se "bliskost" razmatra ukontekstu razmatranja: funkcije, vrednosti funkcije i grafafunkcije.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Bliske take.Primer........ je neka realna funkcija realne promenjive i (0) = 0. Oko take

0 odredili smo neku okolinu (0 , 0 + ). Odgovorite:Koja se okolina od 0 preslikava u interval (0 , 0 + )?Moraju li take ije su vrednosti funkcije bliske 0 biti bliske 0?.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivOpis: oblasti denisanosti funkcije, monotonosti, ogranienosti,periodinosti, nula taaka, moe da bude nedovoljan za opisgrafa.Graninu vrednost funkcije koristiemo na dva naina:da bismo razmatranjem formule kojom je funkcija zadata doznalineke od informacija znaajnih za izgled grafa te funkcijeda bismo ponaanje neke funkcije lake opisali rijeima.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivDa bismo intuitivno "osetili" pojam limesa, razmotrimo ponaanjesledeih funkcijaZa opis graka moe se koristiti izraz: "kada se pribliava takitoj-i-toj, vrednosti funkcije se pribliavaju vrednosti toj-i-toj".Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivDa bismo intuitivno "osetili" pojam limesa, razmotrimo ponaanjesledeih funkcijaZa opis graka moe se koristiti izraz: "kada se pribliava takitoj-i-toj, vrednosti funkcije neogranieno rastu" itd..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivDa bismo intuitivno "osetili" pojam limesa, razmotrimo ponaanjesledeih funkcijaZa opis graka moe se koristiti izraz: "vrednosti funkcije na levojstrani koordinatnog sistema tee prema..." itd..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Vrednost funkcije za = 0Uoimo funkciju () () .Neka je 0 vrednost argumenta funkcije .Ako je za 0 funkcija denisana, onda (0) predstavljavrednost funkcije za = 0 (odnosno vrednost funkcije u taki

0)Ako za 0 funkcija nije denisana, onda simbol (0) ne moeda doe u obzir kao u prvom sluaju jer je tada vrednost funkcijeili neodreena ili uopte ne postoji ili ne postoji bar u skupurealnih brojeva.

0 ne mora da pripada domenu denisanosti funkcije..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Vrednost funkcije za = 0Kod razmatranja vrednosti funkcije s obzirom na vrednostiargumenta (argument pripada podruiju denisanosti funkcije)razlikujemo dva sluaja:kada se vrednosti argumenta pribliavaju nekom realnom("konanom") broju 0kada vrednosti argumenta neogranieno padaju ("tee prema"), odnosno neogranieno rastu ("tee prema +")(podruje denisanosti funkcije neogranieno odozdo, odnosnoneogranieno odozgo).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Vrednost funkcije za = 0Pritom razlikujemo dve vrste mogueg "ponaanja funkcije":vrednosti funkcije se pribliavaju nekom ("konanom")realnom brojuvrednosti funkcije neogranieno padaju ("tee prema "),odnosno neogranieno rastu ("tee prema +") Kombinacija prva dva sluaja i ove dve vrste daje nam ukupno etirirazliite mogunosti razmatranja ponaanja funkcije..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Vrednost funkcije za = 0Pitanje: Na kojim delovima podruja denisanosti funkcije je uoptezanimljivo ovako opisivati ponaanje funkcije?Ukoliko je podruje denisanosti neogranieno moramorazmotriti "ponaanje u beskonanosti"Unutar podruja denisanosti (pod uvjetom da je i okolina upodruju denisanosti), zanima nas ponaanje u okolini"zanimljivih" taaka, tj. taaka u kojima se s funkcijom dogaaneto "zanimljivo". To su najee rubovi podrujadenisanosti.Pri ovakvim opisivanjima ponaanja funkcije, u okolini nekih taakaili na nekim delovima podruja denisanosti, zapravo smo intuitivnoupotrebili limes..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanostilim0 () = ( > 0)( > 0)( )(0 < | 0| < |() | < )Drugim reima, ako se vrednosti argumenta pribliavaju dovoljnoblizu 0, funkcijske vrednosti se pribliavaju vrednosti ..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Granina vrednost ne zavisi od toga kako je funkcija denisana() = 2 1 1Funkcija nije denisana u = 1 ilim1() = 2 .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Granina vrednost ne zavisi od toga kako je funkcija denisana() = { 211 , 11 = 1(1) 2lim1() = 2 .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Granina vrednost ne zavisi od toga kako je funkcija denisana() = + 1lim1() = (1)lim1() = 2 .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Odrediti granine vrednosti za funkciju na graku u takama: 1, 2, 3.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Odrediti granine vrednosti za funkciju na graku u takama: 1, 2, 3Taka = 1: lim1(). Ne postoji. Ne postoji jedinstven broj kojidobijaju sve vrednosti funkcije kada 1.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Odrediti granine vrednosti za funkciju na graku u takama: 1, 2, 3Taka = 2:lim2() = 1.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u konanosti.Primer........Odrediti granine vrednosti za funkciju na graku u takama: 1, 2, 3Taka = 3:lim3() = 0.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Beskonaan limes u konanostilim0 () = + ( > 0)( > 0)( )(0 < | 0| < () > )Drugim reima, ako se vrednosti argumenta funkcije pribliavajudovoljno blizu 0, funkcijske vrednosti neogranieno rastu..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Beskonaan limes u konanostilim0 () = ( > 0)( > 0)( )(0 < | 0| < () < )Drugim reima, ako se vrednosti argumenta funkcije pribliavajudovoljno blizu 0, funkcijske vrednosti neogranieno opadaju..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u beskonanostilim+() = ( > 0)( )( > |() | < )Drugim reima, ako vrednosti argumenta neogranieno rastu,funkcijske vrednosti se pribliavaju ..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Konaan limes u beskonanostilim() = ( > 0)( )( < |() | < )Drugim reima, ako vrednosti argumenta neogranieno opadaju,funkcijske vrednosti se pribliavaju ..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Beskonaan limes u beskonanostiLimesi u pozitivnoj beskonanosti:lim+() = + ( > 0)( > 0)( )( > () > )lim+() = ( > 0)( > 0)( )( > () < )Limesi u negativnoj beskonanosti deniu se analogno..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limesi u pozitivnoj beskonanosti.Primer........(a) (b)(c) (d).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limesi u pozitivnoj beskonanosti.Primer........(a) (b)(c) (d)Slika a): Limesi u pozitivnoj beskonanosti nije denisan.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limesi u pozitivnoj beskonanosti.Primer........(a) (b)(c) (d)Slika b): Limesi u pozitivnoj beskonanosti ne postoji.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limesi u pozitivnoj beskonanosti.Primer........(a) (b)(c) (d)Slika c): Limesi u pozitivnoj beskonanosti je konaan .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limesi u pozitivnoj beskonanosti.Primer........(a) (b)(c) (d)Slika d): Limesi u pozitivnoj beskonanosti je .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limes funkcije u takiIako govorimo o "limesu funkcije u taki 0", mi razmatramoponaanje funkcije u proizvoljnoj blizini take 0", ali ne i usamoj taki 0"Kad razmatramo postojanje i vrednost limesa u nekoj taki 0,posve nam je nevano je li funkcija uopte denisana u 0 i akojest kolika joj je vrednost u 0 (tj. je li vrednost funkcije jednakavrednosti limesa ili ne)..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limes funkcije u taki.Napomena........Iz denicije limesa funkcije u taki 0 oito je da se funkcija morajednako ponaati na celoj okolini oko 0, tj. sa obe strane 0..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Limes funkcije u taki.Primer........Kao zgodan primer (i estu zabludu) zapamtite: funkcija () = 1/nema limes u nuli (jer se ne ponaa jednako u okolini nule)..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesiFunkcija se moe razliito ponaati kada se taki 0pribliavamo samo sa jedne strane (s lijeva ili s desna)Ako se taki 0, u kojoj traimo limes, pribliavamo samo sajedne strane (s lijeva ili s desna), onda dolazimo do pojmajednostranih limesa (limes s leva ili limes s desna).Uoimo da za koji tei s leva prema 0 vredi da je uvek netomanji od 0 (tj. = 0 "malo"), pa tu tenju oznaavamo sa 0.Uopte limes je bio denisan pomou okolina, a jednostranilimes e biti denisan pomou jednostranih okolina. U svemuostalom denicija je analogna..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Levi limeslim

() = ( > 0)( > 0)( )(0 < 0 < |() | < ).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Desni limeslim+

() = ( > 0)( > 0)( )(0 < 0 < |() | < ).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesiIskazane su denicije konanih jednostranih limesa ukonanoj taki 0Analogno mogu se denisati beskonani jednostrani limesi ukonanoj taki.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Primer........Za funkciju na slici odrediti jednostarne limese u takama: , , , , .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Primer........Za funkciju na slici odrediti jednostarne limese u takama: , , , , lim () = +, lim+ () = +,.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Primer........Za funkciju na slici odrediti jednostarne limese u takama: , , , , lim () = , lim+ () = +,.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Primer........Za funkciju na slici odrediti jednostarne limese u takama: , , , , lim () = 4, lim+ () = 4,.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Primer........Za funkciju na slici odrediti jednostarne limese u takama: , , , , lim () = 2, lim+ () = 3,.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Primer........Za funkciju na slici odrediti jednostarne limese u takama: , , , , lim () = 1, lim+ () = +,.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Jednostrani limesi.Veza: limesa u taki i jednostranih limesa........lim0 () = lim0 () = lim0+ () = lim0 () = lim0 () = lim0+ () = .Napomena........Funkcija u taki 0 ima limes ako i samo ako postoje levi i desni limesu 0 i jednaki su..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Svojstva limesa u konanoj taki 0Ako postoje lim0 () i lim0 (), onda vredi:lim0(() ()) = lim0 () lim0 ()lim0(() ()) = lim0 () lim0 ()lim0 ()() = lim0 ()lim0 (), lim0 () 0.Napomena........Gornja tvrenja su iskazana za limese u konanoj taki 0. Analognatvrenja vae i za limese u beskonanosti..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Sadraj...1Granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija...2Neprekidnost funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu...3Odreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Denicija........Neka je () realna funkcija realne varijable, te neka je

0 (). Kaemo da je funkcija neprekidna u taki 0 ako vredilim0 () = (0).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u takiVai i sledee tvrenjelim0 () = (0) lim0 (0) = (0) lim0+ (0) = (0).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti take u kojima funkcija ima prekidKriva koja predstavlja graf funkcije prekinuta u takama = , , , , , .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti take u kojima funkcija ima prekidPo deniciji, funkcija moe imati prekid samo tamo gdje jedenisana (tj. u takama koje su ukljuene u domen, tj. utakama u kojima postoji vrednost funkcije). U ostalim takamadomen ima prekid, a ne funkcija..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti take u kojima funkcija ima prekidOd navedenih taaka prekidi funkcije su samo u takama = , , , = i = je prekid domena.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti da li je funkcija neprekidna u takama: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti da li je funkcija neprekidna u takama: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4Taka = 0: lim0+ () = (0). Funkcija je neprekidna..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti da li je funkcija neprekidna u takama: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4Taka = 1: lim1 () = 0, lim1+ () = 1, lim1() ne postoji.Funkcija je prekidna..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti da li je funkcija neprekidna u takama: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4Taka = 2: lim2 () = 1, lim2+ () = 1, lim2() = 1. Funkcijaje prekidna ((2) 1).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti da li je funkcija neprekidna u takama: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4Taka = 3: lim3+ () = lim3 () = lim3() = (3) = 2.Funkcija je neprekidna.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije u taki.Primer........Odrediti da li je funkcija neprekidna u takama: = 0, = 1, = 2, = 3, = 4Taka = 4: lim4 () = 1. Funkcija je prekidna ((4) 1).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Vrste prekida funkcije u takiNeka funkcija ima prekid u taki 0 (). Taj prekid moe bitisledee vrste:...1Kaemo da funkcija ima uklonjivi prekid u taki 0 ako sujednostrani limesi u taki 0 konani i meusobno jednaki, alirazliiti od vrednosti funkcije, tj. ako vredilim0 () = lim+0 () = (0)...2Kaemo da funkcija ima prekid prve vrste u taki 0 (tzv."skok") ako su jednostrani limesi u taki 0 konani, alimeusobno razliiti....3Kaemo da funkcija ima prekid druge vrste u taki 0 ako sujedan (ili oba) jednostrana limesa u toki 0 beskonani ili nepostoje..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije.Denicija........Funkcija () je neprekidna na skupu () ako jeneprekidna u svakoj taki skupa .Kaemo da je neprekidna ako je neprekidna u svakoj taki domena..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije.Primer........Da li je funkcija = 1/ neprekidna?.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije.Primer........Da li je funkcija = 1/ neprekidna?() = (, 0) (0, +). Jeste neprekidna jer je neprekidna usvakoj taki svoga domenaIma taku prekida = 0 i tu nije denisana, ali = 0 ne pripadadomenu.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije.Primer........Da li je funkcija na slici neprekidna?.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Neprekidnost funkcije.Primer........Da li je funkcija na slici neprekidna?() = .(0) = 1, lim0 () = 0 i lim0+ () = 1,lim0() ne postoji te je funkcija prekidna u = 0..Napomena........Funkcija moe imati prekid samo u takama domena. Dakle, trebarazlikovati prekid domena od prekida funkcije..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Osnovna tvrenja.Tvrenja koja su od znaaja za proraun limesa........Neka su () i () funkcije neprekidne u taki 0. Tada su ifunkcije:() ()() ()()/() uz uslov (0) 0neprekidne u 0..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Osnovna tvrenja.Tvrenja koja su od znaaja za proraun limesa........Ako je funkcija () neprekidna u taki 0, a funkcija neprekidna u toki 0 = (0), onda je kompozicija neprekidna u taki 0..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Osnovna tvrenja.Tvrenja koja su od znaaja za proraun limesa........Ako je funkcija () monotona i neprekidna na proizvoljnomintervalu (, ), tada funkcija (), (, ), ima inverznufunkciju, koja je takoe monotona i neprekidna..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Osnovna tvrenja.Napomena........Na osnovu predhodnih tvrenja moe se ustanoviti da su sve osnovneelementarne funkcije neprekidne.Odavde sledi i da su elementarne funkcije neprekidne..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Osnovna tvrenjaPoto su: eksponencijalna, logaritamska i ostale funkcije neprekidne,a s obzirom na deniciju neprekidnosti, ispunjeno :lim0(()) = lim0 ()lim0 (())

= ( lim0 ())

lim0 () = lim0 ().Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Osnovna tvrenjaPoto su: eksponencijalna, logaritamska i ostale funkcije neprekidne,a s obzirom na deniciju neprekidnosti, ispunjeno :lim0(()()) = lim0 () lim0 (); lim0 () > 0 () > 0lim0(ln ()) = ln( lim0 ()).Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Bolcano Koijeve teoreme.Tvrenje 1........Neka je () neprekidna na zatvorenom intervalu [, ]. Neka () i() imaju suprotne znake. Tada postoji najmanje jedna realna nula [, ] funkcije () tj. () = 0..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Bolcano Koijeve teoreme.Tvrenje 2........Neka je () neprekidna na zatvorenom intervalu [, ]. Tada za bilokoju vrednost koja se nalazi izmeu () i () postoji najmanjejedna taka , < < tako da je () = ..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Vajetrasove teoreme.Tvrenje 1........Neka je () neprekidna na intervalu [, ], tada je ona na tomintervalu i ograniena, tj. postoje takve konstante i da je () .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Vajetrasove teoreme.Tvrenje 2........Ako je je () neprekidna na intervalu [, ], tada ona na tomintervalu dostie svoju najveu i najmanju vrednost..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu..Ekstremne vrednosti funkcije(a) Prekidna funkcija nazatvorenom intervalu(b) Nerekidna funkcija naotvorenom intervaluUoimo da: b) prekinuta funkcija na zatvorenom intervalu, te c)neprekidna funkcija na otvorenom intervalu, ne moraju postizatimaksimalnu i minimalnu vrednost..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Sadraj...1Granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija...2Neprekidnost funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu...3Odreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouObzirom da limesi mogu biti i beskonani, moe se dogoditi da jepotrebno izraunati npr. zbir limesa od kojih je jedan (ili oba) jednak+ ili .Potrebno je znati raunati sa beskonanou..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouSabiranje i oduzimanje: + = + + = + = + = ?.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouMnoenje: = > 0 < 0? = 0+ () = () = .Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouDelenje:

= 0 = ?

0 = > 0 < 0? = 0.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouStepenovanje:

+ = + > 10 0 < < 1? = 1

= > 00 < 0? = 000 = ?.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouPredhodna raunanja ne treba shvatiti kao raunanja sa brojevima,nego kao raunanja sa limesima..Primer........Oznaka "+ + " ne oznaava sabiranje u smislu sabiranja realnihbrojeva, nego skraeni zapis izjave:Neka su funkcije i takve da je lim0 () = +,lim0 () = + (pri emu je 0 realan broj ili jednak odbeskonanosti). Tada jelim0(() + ()) = +.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouPostoji sedam neodreenih oblika limesa: , 0, , 00, 1, 0, 00Vrednost limesa u ovim situacijama nije odreena (tj. uvek ista) izavisi od sluaja do sluaja..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanou.Primer........lim+ + 12 + 1 = [++] lim+ 1 + 1

2 + 1

= lim+(1 + 1

)lim+(2 + 1

) = 12.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanou.Primer........lim+(

2 + 1 ) = [+ ]= lim+ (

2 + 1 ) (

2 + 1 + )

2 + 1 + = lim+ (

2 + 1)2 2

2 + 1 + = lim+ 2 + 1 2

2 + 1 + = lim+1

2 + 1 + = 0 ..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanou.Primer........lim+ 22 + 3 + 1

3 + 2= lim+ 2

+ 3

2 + 1

31 + 2

2= 0.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanou.Primer........lim+ 23 + 3 + 1

2 + 2= lim+ 2 + 3

2 + 1

31

+ 2

2= +.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Raunanje sa beskonanouU predhodnim primerima smo imali posla sa kolinicima ilirazlikama istovrsnih funkcija (stepene) to nam je omoguavaloda traimo granine vrednosti primenom elementarnihtransformacija funkcije iju graninu vrednost traimo.Ako bi smo pokuali da naemo graninu vrednost oblika 0/0,pri emu u brojiocu i imeniocu nisu istovrsne funkcije, tada se tone moe uraditi elementarnim transformacijama date funkcije..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Neke poznate granine vrednostiNeke poznate granine vrednosti ( = )lim0 sin

= 1lim (1 +

)

=

lim0(1 + )1

= lim+(1

)

= 1

.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Neke poznate granine vrednosti.Primer........lim(1 + 3

)

= lim(1 + 3

)33= lim((1 + 3

)

3)3= 3.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Neke poznate granine vrednosti.Primer........lim(3

)

2 = lim((1 3

)

3)32= 32.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti..Neke poznate granine vrednosti.Primer........lim0 cot = lim0

cos sin = lim0 cos sin

= lim0cos lim0 sin

= 1.Gopevi Ininjerska matematika I