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1

Ë«ππ” ( 1-8) 28/4/11, 4:32 PM1

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2

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ISBN 978-974-11-0278-5

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Ë« ” ( 1-8) 18/07/2016, 09:492

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3

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Ë« ” ( 1-8) 6/6/07, 4:42 PM3

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μ—«Õ¬ã“ß¿“

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4

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß 9

1.1 ∫∑π” 91.2 ¢âÕ·µ°µà“ß√–À«à“ßÕπÿ¿“§°—∫«—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß 101.3 ª√‘¡“≥ ‡°≈“√å·≈–ª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å 101.4 °Ææ◊Èπ∞“π 3 ¢âÕ¢Õßπ‘«µ—π 111.5 °Æ§«“¡‚πâ¡∂à«ß¢Õßπ‘«µ—π 121.6 √–∫∫Àπ૬∑“ß “°≈ 131.7 º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å·≈–º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å 16

1.7.1 º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å 17

1.7.2 º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å 18

1.8 ª√–‡¿∑¢Õß·√ß 191.8.1 °“√®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡°“√«‘‡§√“–Àå

°≈»“ µ√å¢Õß ∂‘µ¬»“ µ√å·≈–°≈»“ µ√å¢Õß«— ¥ÿ 19

1.8.2 °“√®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡®ÿ¥À√◊Õ

∫√‘‡«≥¢Õß·√ß°√–∑” 20

1.8.3 °“√®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡≈—°…≥–

¢Õß°“√°√–∑” 21

1.9 °“√·µ°·√ß·≈–°“√√«¡·√ß∫π√–π“∫ 211.10 ·√ß„πª√‘¿Ÿ¡‘ 28

1.10.1 °“√æ‘®“√≥“‚¥¬Õߧåª√–°Õ∫æ‘°—¥©“°¢Õß·√ß

„πª√‘¿Ÿ¡‘ 28

1.10.2 °“√æ‘®“√≥“®“°¢π“¥¢Õß·√ß·≈–®ÿ¥ Õß®ÿ¥∫π

·π«°√–∑”¢Õß·√ß 30

1.10.3 Õߧåª√–°Õ∫©“¬¢Õß·√ß∫π·°π„¥·°πÀπ÷Ëß

„πª√‘¿Ÿ¡‘ 31

1.11 ‚¡‡¡πµå¢Õß·√ß 351.11.1 ‚¡‡¡πµå¢Õß·√ß∫π√–π“∫ 35

Ë«ππ” ( 1-8) 8/8/05, 11:03 AM4

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

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5

1.11.2 ‚¡‡¡πµå¢Õß·√ß√Õ∫®ÿ¥„¥®ÿ¥Àπ÷Ëß„πª√‘¿Ÿ¡‘ 37

1.11.3 ‚¡‡¡πµå¢Õß·√ß√Õ∫·°π„¥·°πÀπ÷Ëß∑’˺à“π®ÿ¥ O

·≈–‰¡àµ—Èß©“°°—∫√–π“∫¢Õß vr ·≈–

vF 44

1.12 ∑ƒ…Æ’¢Õß«“√‘¬Õß 491.12.1 ”À√—∫√–∫∫·√ßÀ≈“¬·√ß∫π√–π“∫‡¥’¬«°—π 50

1.12.2 ”À√—∫√–∫∫·√ßÀ≈“¬·√ßæ∫°—π∑’Ë®ÿ¥®ÿ¥‡¥’¬«

§π≈–√–π“∫ 50

1.13 ‚¡‡¡πµå¢Õß·√ߧŸà§«∫ 511.13.1 ‚¡‡¡πµå¢Õß·√ߧŸà§«∫ (MC) 51

1.13.2 §ÿ≥ ¡∫—µ‘¢Õß‚¡‡¡πµå¢Õß·√ߧŸà§«∫ 52

1.14 º≈≈—æ∏å¢Õß√–∫∫·√ß 581.15 º≈≈—æ∏å¢Õß√–∫∫·√ß„π≈—°…≥–µà“ßÊ 60

·∫∫Ωñ°À—¥ 75

∫∑∑’Ë 2 ¡¥ÿ≈ 83

2.1 ∫∑π” 832.2 º—ß«—µ∂ÿÕ‘ √– 842.3 ·√ß„π√–∫∫°≈»“ µ√å 842.4 ‡ß◊ËÕπ‰¢¢Õß ¡¥ÿ≈„π√–∫∫ 2 ¡‘µ‘ 882.5 ‡ß◊ËÕπ‰¢¢Õß ¡¥ÿ≈„π√–∫∫ 3 ¡‘µ‘ 89

·∫∫Ωñ°À—¥ 102

∫∑∑’Ë 3 ‚§√ß √â“ß 108

3.1 ∫∑π” 1083.2 ‚§√ß∂—°√–π“∫ 108

3.2.1 À≈—°°“√«‘‡§√“–Àå·√ß 110

3.2.2 ª√–‡¿∑¢Õß‚§√ß∂—°√–π“∫ 111

3.3 «‘∏’§”π«≥À“·√ß 112

Ë«ππ” ( 1-8) 8/8/05, 11:03 AM5

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

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6

3.3.1 «‘∏’®ÿ¥µàÕ 112

3.3.2 «‘∏’¿“§µ—¥ 117

3.4 ‚§√ß°√Õ∫·≈–‡§√◊ËÕß¡◊Õ°≈ 1213.4.1 ‚§√ß°√Õ∫ 121

3.4.2 ‡§√◊ËÕß¡◊Õ°≈ 126

·∫∫Ωñ°À—¥ 129

∫∑∑’Ë 4 ·√ß°√–∑”‡ªìπ∫√‘‡«≥ 135

4.1 ∫∑π” 1354.2 ª√–‡¿∑¢Õß·√ß°√–∑”‡ªìπ∫√‘‡«≥ 1364.3 ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈·≈–®ÿ¥‡´π∑√Õ¬¥å 137

4.3.1 ®ÿ¥»Ÿπ¬å°≈“ß¡«≈ 137

4.3.2 ®ÿ¥‡´π∑√Õ¬¥å 140

4.4 √Ÿªº ¡ 1494.5 ∑ƒ…Æ’¢Õß·æªæ— 1544.6 §“π 156

4.6.1 ™π‘¥¢Õߧ“π 156

4.6.2 ™π‘¥¢Õß·√ß∑’Ë°√–∑”µàÕ§“π 157

4.6.3 º≈¢Õß·√ß¿“¬πÕ°∑’Ë¡’µàÕ§“π 157

4.6.4 °“√ÕÕ°·∫∫§“π 159

4.6.5 §«“¡ —¡æ—π∏å√–À«à“ß·√ß¿“¬πÕ° ·√߇©◊Õπ

·≈–‚¡‡¡πµå 163

4.7 “¬‡§‡∫‘≈ 1734.7.1 ™π‘¥¢Õß·√ß∑’Ë°√–∑”µàÕ “¬‡§‡∫‘≈ 174

4.7.2 §«“¡ —¡æ—π∏å‚¥¬∑—Ë«‰ª 174

4.7.3 “¬‡§‡∫‘≈ª√–‡¿∑æ“√“‚∫≈‘° 176

4.7.4 “¬‡§‡∫‘≈ª√–‡¿∑§“∑’π“√’ 182

·∫∫Ωñ°À—¥ 192

Ë«ππ” ( 1-8) 8/8/05, 11:03 AM6

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

7

∫∑∑’Ë 5 §«“¡‡ ’¬¥∑“π 204

5.1 ∫∑π” 2045.2 ™π‘¥¢Õߧ«“¡‡ ’¬¥∑“π 2055.3 °≈‰°§«“¡‡ ’¬¥∑“π·Àâß 2055.4 °“√«‘‡§√“–Àåªí≠À“§«“¡‡ ’¬¥∑“π·Àâß 2075.5 §«“¡‡ ’¬¥∑“π„π‡§√◊ËÕß®—°√°≈ 212

5.5.1 ≈‘Ë¡ 212

5.5.2 °√Ÿ 215

5.5.3 ‡®Õπ—≈·∫√‘Ëß 218

5.5.4 §«“¡‡ ’¬¥∑“π∫π·ºàπ®“π 221

5.5.5 “¬æ“π 223

·∫∫Ωñ°À—¥ 227

∫∑∑’Ë 6 ß“π‡ ¡◊Õπ 239

6.1 ∫∑π” 2396.2 ß“π 240

6.2.1 ß“π¢Õß·√ß 240

6.2.2 ß“π¢Õß‚¡‡¡πµå¢Õß·√ߧŸà§«∫ 242

6.3 ß“π‡ ¡◊Õπ 2436.4 ß“π‡ ¡◊Õπ„π ¿“«– ¡¥ÿ≈ 244

6.4.1 Õπÿ¿“§ 244

6.4.2 «—µ∂ÿ‡°√Áß 245

6.4.3 √–∫∫¢Õß«—µ∂ÿ‡°√Áß 246

6.5 √–¥—∫¢—È𧫓¡‡ √’ 2486.6 æ≈—ßß“π»—°¬å 254

6.6.1 æ≈—ßß“π»—°¬å¬◊¥À¬ÿàπ 254

6.6.2 æ≈—ßß“π»—°¬å‚πâ¡∂à«ß 256

6.7 ¡°“√¢Õßæ≈—ßß“π 2586.8 ‡ ∂’¬√¿“æ¢Õß ¿“«– ¡¥ÿ≈ 259

·∫∫Ωñ°À—¥ 265

Ë«ππ” ( 1-8) 8/8/05, 11:03 AM7

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

8

∫∑∑’Ë 7 ‚¡‡¡πµå§«“¡‡©◊ËÕ¬¢Õßæ◊Èπ∑’Ë 271

7.1 ∫∑π” 2717.2 ‚¡‡¡πµå§«“¡‡©◊ËÕ¬¢Õßæ◊Èπ∑’Ë 273

7.2.1 ‚¡‡¡πµå§«“¡‡©◊ËÕ¬√Õ∫·°π©“° 273

7.2.2 ‚¡‡¡πµå§«“¡‡©◊ËÕ¬‡™‘ߢ—È« 274

7.3 √—»¡’¢Õß°“√À¡ÿπ 2747.4 °“√¬â“¬·°π 2767.5 ‚¡‡¡πµå§«“¡‡©◊ËÕ¬¢Õßæ◊Èπ∑’Ë∑’Ë¡’√Ÿª√à“ߺ ¡ 277

·∫∫Ωñ°À—¥ 287

¿“§ºπ«° 291

∫√√≥“πÿ°√¡ 299

Ë«ππ” ( 1-8) 8/8/05, 11:03 AM8

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

9

∫∑∑’Ë 1À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–

√–∫∫·√ß

1.1 ∫∑π”

ºŸâ∑’Ë π„®®–‡√’¬π “¬Õ“™’æ∑“ߥâ“π«‘»«°√√¡®–µâÕß¡’æ◊Èπ∞“π∑“ß«‘»«°√√¡ ‚¥¬‡©æ“–

«‘™“°≈»“ µ√å (mechanics) «‘™“°≈»“ µ√åπ’ȇªìπ·¢πß«‘™“∑“ßøî ‘° å´÷Ëß»÷°…“ ¿“æÀ¬ÿ¥π‘ËßÀ√◊Õ

‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß«—µ∂ÿ‡¡◊ËÕÕ¬Ÿà¿“¬„µâ°“√°√–∑”¢Õß·√ß „π∑’Ëπ’È·∫àßÕÕ°‡ªìπ

1) «‘™“°≈»“ µ√å¢Õß«—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß (rigid body)

2) «‘™“°≈»“ µ√å¢Õß«—µ∂ÿ∑’Ë¡’°“√º‘¥√Ÿª (deformable body) ·≈–

3) «‘™“°≈»“ µ√å¢Õ߉À≈ (fluid mechanics)

”À√—∫«‘™“°≈»“ µ√å¢Õß«—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß ®”·π°ÕÕ°‡ªìπ 2 ·¢πß«‘™“¥—ßπ’È

1) «‘™“ ∂‘µ¬»“ µ√å (statics) ‡ªìπ·¢πß«‘™“∑“ß°≈»“ µ√å∑’Ë«‘‡§√“–Àå·√ß·≈–·°âªí≠À“

¢Õß√–∫∫·√ß∑’Ë°√–∑”µàÕ«—µ∂ÿÀπ÷ËßÊ¿“¬„µâ¿“«– ¡¥ÿ≈

2) «‘™“æ≈»“ µ√å (dynamics) ‡ªìπ·¢πß«‘™“∑“ß°≈»“ µ√å∑’Ë»÷°…“°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß

«—µ∂ÿÀπ÷ËßÊ¿“¬„µâ°“√°√–∑”¢Õß·√ß ´÷Ëß “¡“√∂®”·π°ÕÕ°‡ªìπ‡π◊ÈÕÀ“«‘™“¥—ßπ’È

2.1) ®≈π»“ µ√å (kinematics) ‡πâπ»÷°…“‡°’ˬ«°—∫§«“¡ —¡æ—π∏å¢Õß s, v ·≈– a

°—∫‡«≈“ t ‚¥¬‰¡à§”π÷ß∂÷ß·√ß°√–∑”

2.2) ®≈πæ≈»“ µ√å (kinetics) ‡πâπ»÷°…“‡°’ˬ«°—∫ ¡°“√°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë®“° ¡°“√

æ◊Èπ∞“π SF = ma ‚¥¬§”π÷ß∂÷ß·√ß°√–∑”

statics .1( 9-82) 5/6/07, 3:12 PM9

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß10

1.2 ¢âÕ·µ°µà“ß√–À«à“ßÕπÿ¿“§°—∫«—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß

Õπÿ¿“§ §◊Õ«—µ∂ÿ∑’Ë¢π“¥‰¡à¡’º≈µàÕ°“√«‘‡§√“–Àåµ”·ÀπàßÀ√◊Õ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë „π¿“…“∑“ß

§≥‘µ»“ µ√å‡√’¬°Õπÿ¿“§«à“ ®ÿ¥¡«≈ (point mass) Õπÿ¿“§®–¡’¡«≈‡∑à“π—Èπ∑’ˇªìπ§ÿ≥ ¡∫—µ‘µâ“π ¿“æ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë

«—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß §◊Õ«—µ∂ÿ∑’ˉ¡à¡’°“√º‘¥√Ÿª‡¡◊ËÕ§‘¥ —¡æ—∑∏å°—π√–À«à“ß√–¬–À√◊Õ¥â“πµàÕ¥â“π

√Ÿª√à“ߢÕß«—µ∂ÿ¡’º≈µàÕ°“√«‘‡§√“–Àåµ”·ÀπàßÀ√◊Õ°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë «—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß®–¡’¡«≈‡ªìπ§ÿ≥ ¡∫—µ‘

„™âµâ“π°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë·∫∫‡≈◊ËÕπµ”·Àπàß ·≈–‚¡‡¡πµå¢Õߧ«“¡‡©◊ËÕ¬ (moment of inertia) ‡ªìπ

§ÿ≥ ¡∫—µ‘„™âµâ“π°“√‡§≈◊ËÕπ∑’Ë·∫∫À¡ÿπ

1.3 ª√‘¡“≥ ‡°≈“√å·≈–ª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å

ª√‘¡“≥ ‡°≈“√å À¡“¬∂÷ߪ√‘¡“≥∑’Ë∫àß∫Õ°„Àâ∑√“∫·µà¢π“¥¢Õߪ√‘¡“≥π—Èπ‡æ’¬ßÕ¬à“߇¥’¬«

‡™àπ ¡«≈ Õÿ≥À¿Ÿ¡‘ ª√‘¡“µ√ æ≈—ßß“π Õ—µ√“‡√Á« ‡ªìπµâπ

ª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å À¡“¬∂÷ߪ√‘¡“≥∑’Ë∫àß∫Õ°„Àâ∑√“∫∑—Èß¢π“¥·≈–∑‘»∑“ß ‡™à𠧫“¡‡√Á«

§«“¡‡√àß ‚¡‡¡πµå πÈ”Àπ—° ‚¡‡¡πµ—¡ ·√ß ‡ªìπµâπ

ª√‘¡“≥Àπ÷ËßÊ®–‡ªìπª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√剥âµâÕß· ¥ß§ÿ≥ ¡∫—µ‘¢Õ߇«°‡µÕ√å§√∫ ¡∫Ÿ√≥å

‚¥¬µâÕߪ√–°Õ∫¥â«¬

1) ¢π“¥¢Õ߇«°‡µÕ√å ÷Ëß· ¥ß¥â«¬¢π“¥§«“¡¬“«¢Õ߇ âπµ√ß

2) ∑‘»∑“ߢÕ߇«°‡µÕ√å ÷Ëß· ¥ß¥â«¬À—«≈Ÿ°»√

3) ·π«°√–∑”¢Õ߇«°‡µÕ√å ´÷Ëß· ¥ß¥â«¬¡ÿ¡«—¥‡∑’¬∫°—∫·°πÕâ“ßÕ‘ß

4) µ”·ÀπàßÀ√◊Õ®ÿ¥°√–∑”¢Õ߇«°‡µÕ√å

®“°§ÿ≥ ¡∫—µ‘¥—ß°≈à“«®– “¡“√∂®”·π°ª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√åÕÕ°‡ªìπ

1) ‡«°‡µÕ√åµ√÷ß (fixed vector) ‡ªìπ‡«°‡µÕ√å∑’Ë¡’µ”·Àπàß°√–∑”∑’Ë®ÿ¥„¥®ÿ¥Àπ÷ËßÕ¬à“ß

·πàπÕπ‡æ’¬ß®ÿ¥‡¥’¬«∫π«—µ∂ÿÀπ÷ËßÊ ∂â“·∑π¥â«¬‡«°‡µÕ√å„À¡à∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—π ∑‘»∑“߇¥’¬«°—π ·≈–

·π«°√–∑”¢π“π°—π‰«â∑’˵”·Àπàß„À¡à∫π«—µ∂ÿ‡¥‘¡®–∑”„Àâº≈Õ—π‡°‘¥®“°‡«°‡µÕ√åπ—Èπ‡ª≈’ˬπ·ª≈߉ª

‡™àπ ·√ß°√–∑” P ∑’Ë®ÿ¥ A ¥—ß√Ÿª∑’Ë 1.1

·√ßµ÷ß P „π‡§‡∫‘≈(°)

q

(¢)

qA

P A

√Ÿª∑’Ë 1.1 ‡«°‡µÕ√åµ√÷ß

statics ∫.1( 9-82) 5/6/07, 10:58 AM10

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

11

2) ‡«°‡µÕ√å‡≈◊ËÕπ∑’ˉ¥â (sliding vector) ‡ªìπ‡«°‡µÕ√å∑’Ë¡’·π«°√–∑”·π«‡¥’¬«µ≈Õ¥

‰¡à‡ª≈’ˬπ·ª≈ß ‡«°‡µÕ√åπ’È “¡“√∂·∑π¥â«¬‡«°‡µÕ√å∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—π·≈–∑‘»∑“߇¥’¬«°—π ÷Ëß°√–∑”

∑’˵”·Àπàß„À¡à‚¥¬¬—ߧßÕ¬Ÿà„π·π«°√–∑”‡¥‘¡π—È𠇙àπ ·√ß°√–∑” P ∫π«—µ∂ÿ·¢Á߇°√Áß ¥—ß√Ÿª∑’Ë 1.2

°“√‡ª≈’Ë¬πµ”·Àπàß°√–∑”¢Õß·√ß P ®“°®ÿ¥ A ‡ªìπ®ÿ¥ B ®–„Àâº≈°√–∑”µàÕ«—µ∂ÿ‡™àπ‡¥‘¡ (RO

·≈– RC ‡∑à“°—π∑—Èß Õß°√≥’)

B A

RO RC

∫B A

FBD 2

B A

O C

(°) (¢) (§)

∫

P P P

FBD 1

RO RC

P

√Ÿª∑’Ë 1.2 ‡«°‡µÕ√å‡≈◊ËÕπ∑’ˉ¥â

3) ‡«°‡µÕ√åÕ‘ √– (free vector) ‡ªìπ‡«°‡µÕ√å∑’ˉ¡à¡’µ”·Àπàß°√–∑”Õ¬à“ß·πàπÕ𠇫°‡µÕ√å

„π≈—°…≥–π’È “¡“√∂· ¥ß¥â«¬‡«°‡µÕ√å „¥Ê∑’Ë¡’¢π“¥‡∑à“°—π·≈–∑‘»∑“߇¥’¬«°—π ÷Ëß°√–∑”∑’˵”·Àπàß

„¥°Á‰¥âÀ√◊Õ·π«°√–∑”„¥°Á‰¥â ·≈–‰¡à®”‡ªìπµâÕßÕ¬Ÿà∫π·π«°√–∑”‡¥‘¡ ‡™àπ ‚¡‡¡πµå·√ߧŸà§«∫

¥—ß√Ÿª∑’Ë 1.3

dF

(°)

∫ ∫

(¢) (§)

O-F

A O

M C M C

(M = Fd)C (M = Fd)C

√Ÿª∑’Ë 1.3 ‡«°‡µÕ√åÕ‘ √–

1.4 °Ææ◊Èπ∞“π 3 ¢âÕ¢Õßπ‘«µ—π

°Ææ◊Èπ∞“π¢Õßπ‘«µ—π∑’Ë„™â«‘‡§√“–Àå ¿“æÀ¬ÿ¥π‘ËßÀ√◊Õ‡§≈◊ËÕπ∑’Ë¢Õß«—µ∂ÿ„¥Ê ·∫àßÕÕ°‡ªìπ

3 ¢âÕ¥—ßπ’È

1.4 °Ææ◊Èπ∞“π 3 ¢âÕ¢Õßπ‘«µ—π

statics .1( 9-82) 6/6/07, 3:35 PM11

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß12

°Æ¢âÕ∑’ËÀπ÷Ëß

°Æ¢âÕ∑’ËÀπ÷Ëß°≈à“««à“ ∂â“·√ß≈—æ∏å∑’Ë°√–∑”µàÕÕπÿ¿“§‡ªìπ»Ÿπ¬å Õπÿ¿“§π—Èπ®–À¬ÿ¥π‘ËßÀ√◊Õ‡§≈◊ËÕπ∑’˥⫬§«“¡‡√Á«§ß∑’ˉª„π·π«‡ âπµ√ßµ≈Õ¥‰ª

°Æ¢âÕ∑’Ë Õß

°Æ¢âÕ∑’Ë Õß°≈à“««à“ ∂â“¡’·√ß≈—æ∏å‰¡à‡ªìπ»Ÿπ¬å¡“°√–∑”µàÕÕπÿ¿“§ Õπÿ¿“§®–‡§≈◊ËÕπ∑’ˉª¥â«¬§«“¡‡√àß„π∑‘»‡¥’¬«°—∫·√ß≈—æ∏åπ—Èπ ¢π“¥¢Õߧ«“¡‡√àßπ—Èπ‡ªìπªØ‘¿“§‚¥¬µ√ß°—∫¢π“¥¢Õß·√ß ·≈–º°º—π°—∫¡«≈ ÷Ë߇ªìπ‰ªµ“¡ ¡°“√

F = ma ...... (1.1)

°Æ¢âÕ∑’Ë “¡

°Æ¢âÕ∑’Ë “¡°≈à“««à“ ‡¡◊ËÕ¡’·√ß°‘√‘¬“¬àÕ¡µâÕ߇°‘¥·√ߪؑ°‘√‘¬“ ‚¥¬·√ߪؑ°‘√‘¬“π’È®–¡’¢π“¥‡∑à“°—π °√–∑”∫π·π«‡¥’¬«°—π ·≈–¡’∑‘»µ√ß°—π¢â“¡°—∫·√ß°‘√‘¬“ ‚¥¬·√ߪؑ°‘√‘¬“‡°‘¥¢÷Èπ√–À«à“ß«—µ∂ÿ∑’Ë —¡º— °—πÀ√◊Õ‰¡à°Á‰¥â

1.5 °Æ§«“¡‚πâ¡∂à«ß¢Õßπ‘«µ—π

°Æ§«“¡‚πâ¡∂à«ß°≈à“««à“ „π π“¡§«“¡‚πâ¡∂à«ß√–À«à“ßÕπÿ¿“§ 2 Õπÿ¿“§ ®–‡°‘¥·√ߥ÷ߥŸ¥°—π√–À«à“ßÕπÿ¿“§∑—Èß Õßπ—Èπ´÷Ëß¡’¢π“¥‡∑à“°—π·≈–∑‘»µ√ß°—π¢â“¡ ¥—ß√Ÿª∑’Ë 1.4 ·≈–

¢π“¥¢Õß·√ߥ÷ߥŸ¥π’ȧ”π«≥‰¥â®“°

F =

GMm

r2

...... (1.2)

-F

m

F

M

r

√Ÿª∑’Ë 1.4 ·√ߥ÷ߥŸ¥√–À«à“ßÕπÿ¿“§¡«≈ M ·≈–¡«≈ m

statics .1( 9-82) 6/6/07, 3:35 PM12

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

13

‚¥¬∑’Ë M ·≈– m §◊Õ¡«≈¢Õß·µà≈–Õπÿ¿“§

r §◊Õ√–¬–Àà“ß√–À«à“ßÕπÿ¿“§∑—Èß Õß

G §◊Õ§à“§ß∑’Ë¢Õߧ«“¡‚πâ¡∂à«ß

·√ߥ÷ߥŸ¥√–À«à“ßÕπÿ¿“§®—¥‡ªìπÕ’°√Ÿª·∫∫Àπ÷ËߢÕß·√ߪؑ°‘√‘¬“µ“¡°Æ¢âÕ∑’Ë “¡¢Õßπ‘«µ—π

æ‘®“√≥“·√ߥ÷ߥŸ¥∑’Ë°√–∑”µàÕ«—µ∂ÿÀ√◊ÕÕπÿ¿“§∫√‘‡«≥º‘«‚≈° æ∫«à“·√ߥ÷ߥŸ¥√–À«à“ß

Õπÿ¿“§π—Èπ°—∫‚≈°°Á§◊ÕπÈ”Àπ—° (W) ¢ÕßÕπÿ¿“§π—Èπ °”Àπ¥„Àâ M §◊Õ¡«≈¢Õß‚≈° m §◊Õ¡«≈¢Õß

Õπÿ¿“§ ·≈– r ª√–¡“≥‡∑à“°—∫√—»¡’¢Õß‚≈° (R) ®“° ¡¥ÿ≈¢Õß·√ß°√–∑”µàÕÕπÿ¿“§π—Èπ§◊Õ

mg =

GMm

R2

Ô g =

GM

R2...... (1.3)

·≈–πÈ”Àπ—°¢ÕßÕπÿ¿“§§”π«≥‰¥â®“°

W = mg ...... (1.4)

‡π◊ËÕß®“°‚≈°¡’ —≥∞“π‰¡à„™à∑√ß°≈¡Õ¬à“ß·∑â®√‘ß ¥—ßπ—Èπ√—»¡’ R ®÷߉¡à§ß∑’Ë·≈–¢÷ÈπÕ¬Ÿà°—∫

µ”·Àπàß∑’Ëæ‘®“√≥“ π—Ëπ§◊Õ §à“¢Õߧ«“¡‡√à߇π◊ËÕß®“°§«“¡‚πâ¡∂à«ß (g) ®÷߇ª≈’ˬπ·ª≈ßµ“¡µ”·Àπàß

¢ÕßÕπÿ¿“§∑’Ëæ‘®“√≥“ „π∑“ß«‘»«°√√¡®–„™â§à“ g ‡∑à“°—∫ 9.81 m/s2

1.6 √–∫∫Àπ૬∑“ß “°≈

Àπ૬ SI ‡ªìπ√–∫∫°“√«—¥ª√‘¡“≥µà“ßÊ·≈–„™â‡ªìπ√–∫∫¡“µ√∞“π√–À«à“ß™“µ‘ ‚¥¬‰¥â¡’

°“√ª√–™ÿ¡¢Õß CGPM (The General Conference of Weights and Measures) ¢ÕßÀπ૬ߓπ

∑’ˇ°’ˬ«¢âÕß„πªï æ.». 2503 ·≈–°”Àπ¥„Àâ„™âÀπ૬ SI „π°“√«—¥ª√‘¡“≥µà“ßÊ„π∑“ß«‘∑¬“»“ µ√å

·≈–‡∑§‚π‚≈¬’

Àπ૬ SI ª√–°Õ∫¥â«¬Àπ૬¡Ÿ≈∞“π (basic units) Àπ૬‡ √‘¡ (supplementary units)

Àπ૬Õπÿæ—∑∏å (derived units) ·≈–§”π”Àπâ“Àπ૬· ¥ßª√‘¡“≥¥â«¬µ—«‡≈¢´÷Ëß∫“ߧ√—È߇√’¬°«à“

§”Õÿª √√§ (prefixes)

1) Àπ૬¡Ÿ≈∞“π

Àπ૬¡Ÿ≈∞“π∑’Ë„™â‡ªìπÀ≈—°¢ÕßÀπ૬ SI ¡’ 7 Àπ૬ §◊Õ

1.6 √–∫∫Àπ૬∑“ß “°≈

statics ∫.1( 9-82) 5/6/07, 10:58 AM13

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß14

ª√‘¡“≥ Àπ૬ —≠≈—°…≥å

§«“¡¬“« ‡¡µ√ (metre) m

¡«≈ °‘‚≈°√—¡ (kilogram) kg

‡«≈“ «‘π“∑’ (second) s

°√–· ‰øøÑ“ ·Õ¡·ª√å (ampere) A

Õÿ≥À¿Ÿ¡‘Õÿ≥Àæ≈«—µ ‡§≈«‘π (kelvin) K

§«“¡‡¢â¡¢Õß°“√ àÕß «à“ß ·§π‡¥≈“ (candela) cd

ª√‘¡“≥¢Õß “√ ‚¡≈ (mole) mol

2) Àπ૬‡ √‘¡

Àπ૬‡ √‘¡¢Õß√–∫∫Àπ૬√–À«à“ß™“µ‘ ¡’Õ¬Ÿà 2 Àπ૬ §◊Õ

ª√‘¡“≥ Àπ૬ —≠≈—°…≥å

¡ÿ¡√–π“∫ ‡√‡¥’¬π (radian) rad

¡ÿ¡µ—π µ’‡√‡¥’¬π (steradian) sr

3) Àπ૬Õπÿæ—∑∏å

Àπ૬Õπÿæ—∑∏凪ìπÀπ૬´÷Ë߇°‘¥®“°°“√π”Àπ૬¡Ÿ≈∞“πÀ≈“¬Àπ૬¡“‡°’ˬ«‡π◊ËÕß°—π

‡™àπ Àπ૬¢Õߧ«“¡‡√Á«‡ªìπ‡¡µ√/ «‘π“∑’ ´÷Ëß¡’‡¡µ√·≈–«‘π“∑’‡ªìπÀπ૬¡Ÿ≈∞“π Àπ૬Õπÿæ—∑∏åπ’È

¡’™◊ËÕÀπ૬·≈– —≠≈—°…≥å´÷Ëßµ—Èߢ÷Èπµ“¡¢âÕ°”Àπ¥¢Õß CGPM ¥—ßπ’È

Àπ૬Õπÿæ—∑∏å∑’˪√“°ØÕ¬Ÿà„π‡∑Õ¡¢ÕßÀπ૬¡Ÿ≈∞“π‡¥‘¡ ‰¥â·°à

ª√‘¡“≥ Àπ૬ —≠≈—°…≥å

æ◊Èπ∑’Ë µ“√“߇¡µ√ m2

ª√‘¡“µ√ ≈Ÿ°∫“»°å‡¡µ√ m3

Õ—µ√“‡√Á«, §«“¡‡√Á« ‡¡µ√µàÕ«‘π“∑’ m/s

§«“¡‡√àß ‡¡µ√µàÕ«‘π“∑’¬°°”≈—ß Õß m/s2

§«“¡Àπ“·πàπ °‘‚≈°√—¡µàÕ≈Ÿ°∫“»°å‡¡µ√ kg/m3

ª√‘¡“µ√®”‡æ“– ≈Ÿ°∫“»°å‡¡µ√µàÕ°‘‚≈°√—¡ m3/kg

§«“¡Àπ“·πàπ°√–· ·Õ¡·ª√åµàÕµ“√“߇¡µ√ A/m2

(current density)

statics .1( 9-82) 6/6/07, 3:37 PM14

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

15

Àπ૬Õπÿæ—∑∏å∑’Ë¡’™◊ËÕÀπ૬·≈– —≠≈—°…≥å´÷Ëßµ—Èߢ÷Èπ‡ªìπ摇»… ‰¥â·°à

ª√‘¡“≥ Àπ૬ —≠≈—°…≥å‡∑’¬∫‡ªìπ

Àπ૬¡Ÿ≈∞“π

§«“¡∂’Ë ‡Œ‘√µ å (hertz) Hz 1/s

·√ß π‘«µ—π (newton) N m.kg/s2

æ≈—ßß“π, ß“π, §«“¡√âÕπ ®Ÿ≈ (joule) J À√◊Õ N.m m2.kg /s2

§«“¡¥—π, §«“¡‡§âπ æ“ §—≈ (pascal) Pa À√◊Õ N/m2 kg/(m.s2)

°”≈—ß «—µµå (watt) W À√◊Õ J/s m2.kg /s3

ª√–®ÿ‰øøÑ“ §Ÿ≈Õ¡∫å (coulomb) C s.A

»—°¬å‰øøÑ“, ·√߇§≈◊ËÕπ‰øøÑ“

§«“¡µà“ß»—°¬å‚«≈µå (volt) V À√◊Õ W/A m2.kg /(s3.A)

§«“¡®ÿ‰øøÑ“ ø“√—¥ (farad) F À√◊Õ C/V s4.A2/(m2.kg)

§«“¡µâ“π∑“π‰øøÑ“ ‚ÕÀå¡ (ohm) W À√◊Õ V/A m2.kg /(s3.A2)

§«“¡π”‰øøÑ“ ´’‡¡π å (siemens) S À√◊Õ A/V s3.A2/(m2.kg)

ø≈—°´å·¡à‡À≈Á° ‡«‡∫Õ√å (weber) Wb À√◊Õ V/s m2.kg /s2.A

§«“¡Àπ“·πàπø≈—°´å·¡à‡À≈Á° ‡∑ ≈“ (tesla) T À√◊Õ Wb/m2 kg/(s2.A)

§«“¡‡Àπ’ˬ«π”‰øøÑ“ ‡Œπ√’ (henry) H À√◊Õ Wb/A m2.kg /(s2.A2)

ø≈—°´å àÕß «à“ß ≈Ÿ‡¡π (lumen) lm cd.sr

§«“¡ «à“ß ≈—°´å (lux) lx cd.sr/m2

°—¡¡—πµ¿“æ¢Õß√—ß ’ ‡∫Á°‡§Õ‡√≈ bq

(becquerel)

Õÿ≥À¿Ÿ¡‘ Õß»“‡´≈‡ ’¬ ÌC

4) §”π”Àπâ“Àπ૬· ¥ßª√‘¡“≥¥â«¬µ—«‡≈¢À√◊Õ§”Õÿª √√§

∂⓪√“°Ø«à“§à“„πÀπ૬¡Ÿ≈∞“πÀ√◊ÕÀπ૬Õπÿæ—∑∏å¡’§à“¡“°À√◊ÕπâÕ¬‡°‘π‰ª ‡æ◊ËÕ§«“¡

–¥«°®–‡ª≈’ˬπ‡ªìπµ—«‡≈¢§Ÿ≥¥â«¬ ‘∫¬°°”≈—ß≈∫À√◊Õ∫«°·∑𠇙àπ 0.000005 A À√◊Õ 5 Ó 10-6 A

π—Ëπ§◊Õ “¡“√∂‡¢’¬π‡ªìπ 5 ıA À√◊Õ 6000000 V À√◊Õ 6 Ó 106 V À√◊Õ “¡“√∂‡¢’¬π‡ªìπ 6 MV

‡ªìπµâπ ı ·≈– M ‡√’¬°«à“ §”Õÿª √√§ ·≈–§”Õÿª √√§Õ◊ËπÊÕ’° ‰¥â·°à

1.6 √–∫∫Àπ૬∑“ß “°≈

statics .1( 9-82) 6/6/07, 3:37 PM15

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß16

µ—«§Ÿ≥§”Õÿª √√§

™◊ËÕ —≠≈—°…≥å

10-18 Õ—µ‚µ (atto) a

10-15 ‡ø¡‚µ (femto) f

10-12 æ‘‚° (pico) p

10-9 π“‚π (nano) n

10-6 ‰¡‚§√ (micro) ı

10-3 ¡‘≈≈‘ (milli) m

10-2 ‡´πµ‘ (centi) c

10-1 ‡¥´‘ (deci) d

10 ‡¥§“ (deca) da

102 ‡Œ°‚µ (hecto) h

103 °‘‚≈ (kilo) k

106 ‡¡°– (mega) M

109 ®‘°– (giga) G

1012 ‡∑√– (tera) T

1015 ྵР(peta) P

1018 ‡Õ°´– (exa) E

µ—«Õ¬à“߇™àπ 6 Ó 106 V = 6 MV (‡¡°–‚«≈µå)

3 Ó 10-3 A = 3 mA (¡‘≈≈‘·Õ¡·ª√å)

5 Ó 103 W = 5 kW (°‘‚≈«—µµå)

Õߧ尓√√–À«à“ߪ√–‡∑»«à“¥â«¬°“√¡“µ√∞“π (International Organization for

Standardization) À√◊Õ„™â™◊ËÕ¬àÕ«à“ ISO ‰¥â·π–π”„Àâ欓¬“¡„™âµ—«§Ÿ≥‡©æ“–∑’ˇªìπ‡∑à“¢Õß 103 ‰¥â·°à

G M k m ·≈– ı ‡ªìπµâπ

1.7 º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å·≈–º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å

º≈§Ÿ≥√–À«à“߇«°‡µÕ√å°—∫‡«°‡µÕ√å®–‡¢’¬πÕ¬Ÿà„π 2 √Ÿª·∫∫ §◊Õ

1) º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å (dot product, P . Q )

2) º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å (cross vector, P Ó Q )

statics ∫.1( 9-82) 5/6/07, 10:58 AM16

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

17

q

Q cos q

Q

(°)

P

q

(¢)

√–π“∫¢Õß P ·≈– Q P ¥ Q = C

Q

P

Q ¥ P = -C

√Ÿª∑’Ë 1.5 º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å·≈–º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å

1.7.1 º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å

º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å §◊Õº≈§Ÿ≥√–À«à“ß¢π“¥¢Õ߇«°‡µÕ√åÀπ÷Ëß°—∫¢π“¥¢ÕßÕ’°‡«°‡µÕ√å

Àπ÷Ëß´÷Ëß·µ°Õ¬Ÿà„π·π«°√–∑”¢Õ߇«°‡µÕ√åµ—«·√° ¥Ÿ√Ÿª∑’Ë 1.5 (°)

P . Q = PQ cos ˜ ...... (1.5)

§ÿ≥ ¡∫—µ‘¢Õߺ≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å

1) §ÿ≥ ¡∫—µ‘°“√ ≈—∫∑’ˉ¥â

∂â“ P = Pxi + Py j + Pz k

·≈– Q = Qxi + Qy j + Qz k

¥—ßπ—Èπ P ⁄ Q = Q ⁄ P = PxQx + PyQy + PzQz ...... (1.6)

·≈–°√≥’¢Õß

P ⁄ P = P P Px y z

2 2 2+ +

À√◊Õ Q ⁄ Q = Q Q Qx y z

2 2 2+ + ...... (1.7)

¡ÿ¡√–À«à“߇«°‡µÕ√å∑—Èß ÕßÀ“®“°

cos ˜ =

P Q P Q P Q

PQ

x x y y z z+ + ...... (1.8)

2) §ÿ≥ ¡∫—µ‘°“√°√–®“¬‡∑Õ¡

P ⁄ (Q + R) = P ⁄ Q + P ⁄ R ...... (1.9)

1.7 º≈§Ÿ≥ ‡°≈“√å·≈–º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM17

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß18

∂â“ P = Pxi + Py j + Pz k

Q = Qxi + Qy j + Qz k

·≈– R = Rxi + Ry j + Rz k ¥—ßπ—Èπ

P ⁄ (Q + R) = (PxQx + PyQy + PzQz) + (PxRx + PyRy + PzRz) ...... (1.10)

3) ”À√—∫‡«°‡µÕ√åÀπ÷ËßÀπ૬

i ⁄ i = j ⁄ j = k ⁄ k = 1

i ⁄ j = j ⁄ k = k ⁄ i = 0...... (1.11)

4) ∂â“ P . Q = 0 · ¥ß«à“ P = 0 ·≈– Q = 0 À√◊Õ P ·≈– Q ‡ªìπ‡«°‡µÕ√å

∑’˵—Èß©“° ÷Ëß°—π·≈–°—π

1.7.2 º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å

º≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å §◊Õº≈§Ÿ≥√–À«à“ß¢π“¥¢Õ߇«°‡µÕ√å 2 µ—«°—∫§à“‰´πå¢Õß¡ÿ¡

√–À«à“߇«°‡µÕ√å∑—Èß Õß ·π«°√–∑”¢Õߺ≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å∑’ˉ¥â¡’∑‘»µ—Èß©“°°—∫√–π“∫¢Õ߇«°‡µÕ√å∑—Èß Õß

´÷Ë߇ªìπ‰ªµ“¡°Æ °√Ÿ¡◊Õ¢«“ (Right hand rule)

C = P Ó Q

C = PQ sin ˜ (0 ∆ ˜ ∆ ˆ) ...... (1.12)

∑‘»¢Õß C „™â°Æ °√Ÿ¡◊Õ¢«“ ¥—ß√Ÿª∑’Ë 1.5 (¢)

§ÿ≥ ¡∫—µ‘¢Õߺ≈§Ÿ≥‡«°‡µÕ√å

1) ∂â“°”Àπ¥„Àâ P = Pxi + Py j + Pz k

·≈– Q = Qxi + Qy j + Qz k ¥—ßπ—Èπ

P Ó Q = (PyQz - PzQy) i + (PzQx - PxQz) j + (PxQy - PyQx) k ...... (1.13)

2) ‰¡à‡ªìπ‰ªµ“¡§ÿ≥ ¡∫—µ‘°“√ ≈—∫∑’Ë

P Ó Q = -Q Ó P ...... (1.14)

3) §ÿ≥ ¡∫—µ‘°“√°√–®“¬‡∑Õ¡

P Ó (Q + R) = (P Ó Q) + (P Ó R) ...... (1.15)

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM18

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

19

4) ‡¡◊ËÕµ—«§Ÿ≥‡ªìπª√‘¡“≥ ‡°≈“√å¢π“¥ m ‡∑à“ æ∫«à“

m(P Ó Q) = (mP) Ó Q = P Ó (mQ) ...... (1.16)

5) ”À√—∫‡«°‡µÕ√åÀπ÷ËßÀπ૬

i Ó j = k, j Ó k = i, k Ó i = j ...... (1.17) i Ó i = j Ó j = k Ó k = 0

1.8 ª√–‡¿∑¢Õß·√ß

·√ß (force) §◊Õ°“√°√–∑”¢Õß«—µ∂ÿÀπ÷ËßµàÕÕ’°«—µ∂ÿÀπ÷Ëß ∑’Ë欓¬“¡∑”„Àâ«—µ∂ÿ∑’Ë∂Ÿ°°√–∑”

‡§≈◊ËÕπ∑’ˉªµ“¡·π«·√ßπ—Èπ ·√߇ªìπª√‘¡“≥‡«°‡µÕ√å·≈–¡’§ÿ≥ ¡∫—µ‘¥—ßπ’È §◊Õ ¡’¢π“¥ ¡’∑‘»∑“ß ¡’

·π«°√–∑” ·≈–¡’®ÿ¥°√–∑” ∂â“¡’°“√‡ª≈’ˬπ·ª≈ߢâÕ®”°—¥ 4 ª√–°“√Õ¬à“ß„¥Õ¬à“ßÀπ÷Ëß∑’Ë„™â√–∫ÿ

·√ß®–∑”„Àâº≈≈—æ∏å∑’Ë¡’µàÕ«—µ∂ÿπ—Èπ‡ª≈’ˬπ·ª≈߉ª¥â«¬ ‡™àπµ—«Õ¬à“ß„π√Ÿª∑’Ë 1.1 · ¥ß·√ß°√–∑”¢Õß

“¬‡§‡∫‘≈µàÕ·ºàπ¬÷¥√Ÿª¡ÿ¡©“° ·√ß´÷Ëß¡’¢π“¥ P °√–∑”¡ÿ¡ ˜ °—∫·π«√–¥—∫·≈–°√–∑”∑’Ë®ÿ¥ A

‚¥¬¡’·π«°√–∑”µ“¡·π« “¬‡§‡∫‘≈ ∂Ⓡª≈’ˬπ·ª≈ߢâÕ®”°—¥„™â√–∫ÿ·√ßπ’ȇ撬ßÕ¬à“߇¥’¬« °Á®–

∑”„À⧫“¡‡§âπ·≈–§«“¡‡§√’¬¥¢Õß·ºàπ¬÷¥¢≥–π—Èπ‡ª≈’ˬπ·ª≈߉ª

„π∑’Ëπ’È “¡“√∂®—¥·¬°™π‘¥¢Õß·√ßµ“¡≈—°…≥–°“√®”·π°ª√–‡¿∑‰¥â¥—ßπ’È

1.8.1 °“√®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡°“√«‘‡§√“–Àå°≈»“ µ√å¢Õß

∂‘µ¬»“ µ√å·≈–°≈»“ µ√å¢Õß«— ¥ÿ

À“°®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡°“√«‘‡§√“–Àå°≈»“ µ√å¢Õß ∂‘µ¬»“ µ√å·≈–

°≈»“ µ√å¢Õß«— ¥ÿ “¡“√∂·∫àß·√ßÕÕ°‡ªìπ

1) ·√ß°√–∑”¿“¬πÕ° ‡ªìπ·√ß∑’Ë°√–∑”µàÕ«—µ∂ÿ‚¥¬µ√ß·≈–Õ¬Ÿà¿“¬πÕ°«—µ∂ÿ

®“°√Ÿªº—ß«—µ∂ÿÕ‘ √– (free body diagram À√◊Õ FBD) ¢Õß«—µ∂ÿÀπ÷ËßÊ “¡“√∂·∫àß·√ß°√–∑”¿“¬πÕ°

‰¥â‡ªìπ

·√ß°√–∑”‚¥¬µ√ß (applied force) ·≈–

·√ߪؑ°‘√‘¬“ (reaction force)

2) ·√ß°√–∑”¿“¬„π ®“°º≈¢Õß·√ß°√–∑”¿“¬πÕ°∑”„À⇰‘¥º≈¢÷Èπ¿“¬„π

‡π◊ÈÕ«— ¥ÿ¢Õß«—µ∂ÿπ—Èπ àߺ≈„À⇰‘¥·√ß°√–∑”¿“¬„π ‡°‘¥§«“¡‡§âπ·≈–§«“¡‡§√’¬¥°√–∑”µàÕ‡π◊ÈÕ«— ¥ÿ

°“√«‘‡§√“–Àå ¡¥ÿ≈¢Õß·√ß ”À√—∫°“√‡¢’¬πº—ßÕ‘ √–∑—Èß‚§√ß √â“ßÀ√◊Õº—ßÕ‘ √–

‡©æ“– à«πµ—¥ (cut sectional free body) „™â°—∫·√ß°√–∑”¿“¬πÕ° à«π·√ß°√–∑”¿“¬„π„™â°—∫

º—ß«—µ∂ÿÕ‘ √–‡©æ“– à«πµ—¥‡∑à“π—Èπ ¥Ÿ√“¬≈–‡Õ’¬¥„π√Ÿª∑’Ë 1.6 ·≈– 1.7

1.8 ª√–‡¿∑¢Õß·√ß

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM19

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß20

A

W

F

B

W

F

ByAyBx

√Ÿª∑’Ë 1.6 FBD ∑—Èß‚§√ß √â“ß

Ay

C

W

E D

FC

❶

❶ ❶

❶

FCF

FCD

FED

√Ÿª∑’Ë 1.7 FBD ‡©æ“– à«πµ—¥

1.8.2 °“√®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡®ÿ¥À√◊Õ∫√‘‡«≥¢Õß·√ß°√–∑”

∂â“®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡®ÿ¥À√◊Õ∫√‘‡«≥∑’Ë·√ß°√–∑” “¡“√∂·∫àß·√ßÕÕ°

‰¥â‡ªìπ 2 ª√–‡¿∑ §◊Õ

1) ·√ß°√–∑”‡ªìπ®ÿ¥ (concentrated force) ‡ªìπ·√ß∑’Ë°√–∑”∑’Ë®ÿ¥Àπ÷ËßÊ∫π

«—µ∂ÿÀπ÷Ëß ÷Ëß∫√‘‡«≥∑’Ë·√ß°√–∑”π—Èπ¡’¢π“¥¢Õßæ◊Èπ∑’ËπâÕ¬°«à“¢π“¥¢Õß«—µ∂ÿπ—Èπ¡“° ‡™àπ ≈âÕ√∂¬πµå

°√–∑”µàÕ∂ππµ“¡·π«¬“« ‡ªìπµâπ

2) ·√ß°√–∑”‡ªìπ∫√‘‡«≥ (distributed force) ‡ªìπ·√ß°√–∑”°√–®“¬µ“¡

§«“¡¬“«À√◊Õ∑—Ë«æ◊Èπ∑’Ë ÷ËßÕ“®°√–®“¬Õ¬à“ß ¡Ë”‡ ¡ÕÀ√◊Õ‰¡à°Á‰¥â ‡™àπ ·√ß°√–∑”µàÕ “¬‡§‡∫‘≈

¥—ß√Ÿª∑’Ë 1.8

a

b

w kN/m ¿“√–

“¬‡§‡∫‘≈

c

(°)

Dw kN/m

A B

P

(¢)

√Ÿª∑’Ë 1.8 ·√ß°√–®“¬‡ªìπ∫√‘‡«≥

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM20

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

21

1.8.3 °“√®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßµ“¡≈—°…≥–¢Õß°“√°√–∑”

∂â“®”·π°ª√–‡¿∑¢Õß·√ßÕÕ°µ“¡≈—°…≥–¢Õß°“√°√–∑” ®–·∫à߉¥â¥—ßπ’È

1) ·√ß°√–∑”‚¥¬µ√ß (applied force) ‡ªìπ·√ß∑’Ë°√–∑”µàÕ«—µ∂ÿ‚¥¬µ√ß

‰¥â·°à ·√ߥ÷ß«—µ∂ÿÀ√◊Õ·√ߺ≈—° ‡ªìπµâπ

2) ·√ß°√–∑”‰¡à —¡º— ‚¥¬µ√ß (non applied force) ‡ªìπ·√ß∑’Ë«—µ∂ÿÀπ÷Ëß

°√–∑”µàÕÕ’°«—µ∂ÿÀπ÷Ëß‚¥¬‰¡à‰¥â —¡º— °—𠇙àπ ·√߇π◊ËÕß®“°§«“¡‚πâ¡∂à«ß¢Õß‚≈° À√◊Õ·√ߥ÷ߥŸ¥

√–À«à“ß¡«≈ ‡ªìπµâπ

1.9 °“√·µ°·√ß·≈–°“√√«¡·√ß∫π√–π“∫

·¬°æ‘®“√≥“°“√·µ°·√ßÕÕ°‡ªìπ·√߬àÕ¬ 2 ·√ß´÷ËßÕ¬Ÿà∫π√–π“∫‡¥’¬«°—π‰¥â‡ªìπ°√≥’ ¥—ßπ’È

1) °“√·µ°‡ªìπ·√߬àÕ¬≈ß∫π·°π∑’˵—Èß©“°°—π

y

x

v F

v F y

v F x

q

√Ÿª∑’Ë 1.9 °“√·µ°·√ß vF ≈ß∫π·°π∑’˵—Èß©“°°—π

„π√Ÿª∑’Ë 1.9 „Àâ F ‡ªìπ·√ß„¥·√ßÀπ÷Ëß ´÷Ëß∑”¡ÿ¡°—∫·°π x ‡∑à“°—∫ ˜ ·≈–·µ°ÕÕ°

‡ªìπ·√߬àÕ¬¢π“¥ Fx ·≈– Fy ≈ß∫π·°π x ·≈– y µ“¡≈”¥—∫ °”Àπ¥ i ·≈– j ‡ªìπ‡«°‡µÕ√åÀπ÷Ëß

Àπ૬∫π·°π x ·≈– y µ“¡≈”¥—∫ ¥—ßπ—Èπ

F = Fx + Fy = Fxi + Fyj

F = (F cos ˜)i + (F sin ˜)j ...... (1.18)

‚¥¬∑’Ë ˜ = tan-1 F

F

y

x( )

F =

F Fx y2 2

+

1.9 °“√·µ°·√ß·≈–°“√√«¡·√ß∫π√–π“∫

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM21

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß22

¸

˝ÔÔ

˛ÔÔ

2) °“√·µ°‡ªìπ·√߬àÕ¬≈ß∫π·°π∑’ˉ¡àµ—Èß©“°°—π

a b

F a

F b

b

a

F

v v

v

√Ÿª∑’Ë 1.10 °“√·µ°·√ß vF ≈ß∫π·°π∑’ˉ¡àµ—Èß©“°°—π

„π√Ÿª∑’Ë 1.10 °”Àπ¥„Àâ·µ°·√ß F ≈ß∫π·°π a ·≈– b ´÷Ëß F π—Èπ∑”¡ÿ¡°—∫·°π a

·≈–·°π b ‡∑à“°—∫ Ú ·≈– Ò µ“¡≈”¥—∫ ¢π“¥¢Õß·√߬àÕ¬∫π·°π a ·≈– b (Fa ·≈– Fb) „™â°Æ¢Õß

‰´πåÀ“ æ∫«à“

Fa =

F sin

sin (

ab a+ )

Fb =

F sin

sin (

bb a+ )

...... (1.19)

3) °“√À“·√ß≈—æ∏å ‚¥¬„™â∑ƒ…Æ’ ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π

q

v R

v Q

v P

a

v Q

v P

q∫

√Ÿª∑’Ë 1.11 °“√À“·√ß≈—æ∏å‚¥¬„™â∑ƒ…Æ’ ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π

„π√Ÿª∑’Ë 1.11 °”Àπ¥„Àâ P ·≈– Q ‡ªìπ·√߬àÕ¬´÷Ëß∑”¡ÿ¡°—π‡∑à“°—∫ ˜ π”‡Õ“·√ß P

·≈– Q ¡“µàÕ‡ªìπ√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π ·√ß≈—æ∏å (R) ∑’ˉ¥â§◊Õ

R = P2 + Q + 2PQ cos 2 q ...... (1.20)

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM22

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

231.9 °“√·µ°·√ß·≈–°“√√«¡·√ß∫π√–π“∫

‚¥¬∑’Ë Ò = tan-1

Q

P

sin qq+ Q cos

ÊË

ˆ¯ ...... (1.21)

„π ¡°“√ (1.20) ·∫àßæ‘®“√≥“‡ªìπ°√≥’¬àÕ¬Õ’°¥—ßπ’È

1) ∂â“ ˜ < 90 Ì „Àℙ⠡°“√ (1.21) ¥—߇¥‘¡

2) ∂â“ ˜ = 0 æ∫«à“ R = P + Q, Ò = 0 Ì

3) ∂â“ ˜ = 90 Ì æ∫«à“ R = P2 + Q2 , Ò = tan-1(Q/P)

4) ∂â“ ˜ > 90 Ì °”Àπ¥„Àâ Ú = 180 - ˜ ·≈–æ∫«à“

R = P Q PQ2 2 2+ - cos b , tan Ò =

Q

P

sin bb- Q cos

ÊË

ˆ¯

5) ∂â“ ˜ = 180 Ì æ∫«à“

R = P - Q ·≈–¡’∑‘»µ“¡ P ‚¥¬∑’Ë Ò = 180 Ì ”À√—∫ P > Q

R = Q - P ·≈–¡’∑‘»µ“¡ Q ‚¥¬∑’Ë Ò = 0 Ì ”À√—∫ Q > P

4) °“√À“·√ß≈—æ∏宓°·√߬àÕ¬À≈“¬·√ß°√–∑”∑’Ë®ÿ¥‡¥’¬«

q2 q1 x

v F 1

v F 2

v F 3

y

q3O ∫

v F y∑

v R = y

v xR = ∑F x

y

x

v R

qv

√Ÿª∑’Ë 1.12 °“√À“·√ß≈—æ∏宓°·√߬àÕ¬ v vF F1 2, ·≈–

vF3 °√–∑”∑’Ë®ÿ¥ O

„π√Ÿª∑’Ë 1.12 ·√ß F1, F2 ·≈– F3 °√–∑”∑’Ë®ÿ¥ O ·≈–∑”¡ÿ¡ ˜1, ˜2 ·≈– ˜3 °—∫

·°π x µ“¡≈”¥—∫ „Àâ·µ°·√ß·µà≈–·√ß≈ß∫π·°π x ·≈– y °àÕπ ®“°π—Èπ®÷ß√«¡·√߬àÕ¬„π·µà≈–

·°π π—Ëπ§◊Õ

Rx =

Fixi

n

=Â

1

, Ry =

Fiyi

n

=Â

1

...... (1.22)

·√ß≈—æ∏委π«≥®“°

R = Rx

2+ Ry

2 ...... (1.23)

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM23

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß24

‚¥¬∑’Ë ˜ = tan-1

F

F

y

x

ÂÂ

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

5) °“√À“·√ß≈—æ∏å ‚¥¬Õ“»—¬°Æ¢Õ߉´πå·≈–°Æ¢Õß‚§‰´πå

∫“ߧ√—Èß°“√·°âªí≠À“‚¥¬Õ“»—¬µ√’‚°≥¡‘µ‘®– –¥«°°«à“ ÷Ëß®”‡ªìπµâÕß„™â°Æ “¡‡À≈’ˬ¡

∑“ßµ√’‚°≥Õ—π‰¥â·°à°Æ¢Õ߉´πå·≈–°Æ¢Õß‚§‰´πå æ‘®“√≥“„π√Ÿª∑’Ë 1.13 À≈—ß®“°„™â°ÆÀ—«µàÕÀ“ß

À“·√ß≈—æ∏å R ®“°·√߬àÕ¬ P ·≈– Q ®–‰¥â√Ÿª DABC ¥—ßπ—Èπ

ab

gC

B

A

v R

v P

v Q

√Ÿª∑’Ë 1.13 °“√À“·√ß≈—æ∏å‚¥¬„™â°Æ “¡‡À≈’ˬ¡

°Æ¢Õ߉´πå;

R P Q

sin sin sinb g a = = ...... (1.24)

°Æ¢Õß‚§‰´πå; R2 = P2 + Q2 - 2PQ cos Ú ...... (1.25)

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1.1 °√–∫Õ°‰Œ¥√Õ≈‘° BD àß·√ß°√–∑”

W60 Ì

50 Ì

D

C

A BµàÕ™‘Èπ à«π ABC „π·π« BD ‡∑à“°—∫

P ∂â“∑√“∫«à“·√߬àÕ¬¢Õß P „π·π«

·°πµ—Èß©“°°—∫™‘Èπ à«π ABC ·≈–¡’

¢π“¥‡∑à“°—∫ 750 N ®ßÀ“¢π“¥¢Õß

·√ß P π—Èπ ·≈–·√߬àÕ¬∫π·π«∑’Ë

¢π“π°—∫ ABC

°“√§”π«≥·√ß P §◊Õ·√ß°√–∑”„π·π« BD ·√߬àÕ¬¢Õß P „π·π«µ—Èß©“°°—∫ ABC

෈ҡѺ 750 N

123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM24

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

25

⊥P P//

AB

C

D50 Ì

60 Ì q

P

θ = 180 - 120 - 40 Ì= 20 Ì

v

P^ = 750 = P sin 20 Ì

P = 2192.8 N µÕ∫

¥—ßπ—Èπ·√߬àÕ¬¢Õß P „π·π«¢π“π°—∫ ABC

§”π«≥®“°

P// = P cos 20 Ì

= 2192.8 cos 20 Ì

= 2060.6 N µÕ∫

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1.2 ·√ß¢π“¥ 10 kN °√–∑”µàÕ·ºàπ¢âÕµàÕ

q45 Ì

a

b

10 kN

y

xO

b¢

a¢

„π·π«¥‘Ëߥ—ß√Ÿª µâÕß°“√·µ°·√߬àÕ¬

∫π·°π a - a` ·≈–·π«·°π b - b`

‡ªìπ Fa ·≈– Fb µ“¡≈”¥—∫ °”Àπ¥

Fb = 8 kN ®ßÀ“ Fa ·≈–¡ÿ¡ ˜

°“√§”π«≥𔇫°‡µÕ√å Fa, Fb ·≈–·√ß≈—æ∏å¡“‡¢’¬π√Ÿª ’ˇÀ≈’ˬ¡¥â“π¢π“π ®–‰¥â 2 °√≥’

¥—ß„π√Ÿª (°) ·≈– (¢) ®“°√Ÿª DABO „™â°Æ¢Õ߉´πå

a

g b

45 Ì b

10 kN

y

q x

A

B

Fa8 k

N

b

(°)

8 kN

O

b¢

a¢

v

v F =

8 k

Nb

a

45 Ì b

10 kN

y

q x Fa

b

(¢)

O

v

b¢

a¢

8

45sin Ì=

10

sin g

Ô g = 62.1 Ì, 117.9 Ì

Ú = 72.9 Ì, 17.1 Ì

123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456

123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456

1.9 °“√·µ°·√ß·≈–°“√√«¡·√ß∫π√–π“∫

Untitled-4 29/10/08, 5:19 PM25

«‘∑¬æ—≤πè

μ—«Õ¬ã“ß¿“

¬„π‡≈ã¡

∫∑∑’Ë 1 À≈—°æ◊Èπ∞“π·≈–√–∫∫·√ß26

‡¡◊ËÕ Ú = 72.9 Ì ;

Fa =

8 72 9

45

sin .

sin

Ì

Ì= 10.81 kN

‡¡◊ËÕ Ú = 17.1 Ì ;

Fa =

8 17 1

45

sin .

sin

Ì

Ì= 3.33 kN

‡¡◊ËÕ Ú = 72.9 Ì ; ˜ = 90 - 72.9 = 17.1 Ì

‡¡◊ËÕ Ú = 17.1 Ì ; ˜ = 90 - 17.1 = 72.9 Ì µÕ∫

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1.3 ®ßÀ“¢π“¥ Ÿß ÿ¥¢Õß¡ÿ¡ ˜ ‡¡◊ËÕ°”Àπ¥

A

3 m

B

qC 4 m

v F

¢π“¥¢Õß·√߬àÕ¬µ“¡·π« CA ‡∑à“°—∫

0.6 ¢Õß¢π“¥¢Õß·√߬àÕ¬µ“¡·π« BC

°“√§”π«≥

a

b c

·π« BC37 Ì

(180 Ì- 37 Ì)

qF

F1

37 Ìo

0.6 F10.6 F1

AC

v

v v

°Æ¢Õ߉´πå„π√Ÿª Daob

0 6 1.

sin

F

q=

F

sin 7 Ì3

Ô sin ˜ = 0.6 sin 37 Ì

F

F

1( ) ... (1)

°Æ¢Õß‚§‰´πå°—∫√Ÿª abco

F2 = F1

2 + 0.36 F1

2 + 2F1(0.6F1) cos (180 - 37 Ì)

F2 = F1

2(1 + 0.36 - 0.96)

Ô

F

F

1 = 2 5. ·∑π§à“≈ß„π (1) ®–‰¥â

sin ˜ = (0.6 sin 37 Ì) 2 5. = 0.57

˜ = 34.8 Ì µÕ∫

123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456

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statics ∫.1( 9-82) 24/12/08, 3:47 PM26

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27

µ—«Õ¬à“ß∑’Ë 1.4 ®ß·∑π·√ß∑—Èß Õß∑’Ë°√–∑”µàÕ

2.4 m

12

900 N

2 m

A800 N

x

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‡æ’¬ß·√߇¥’¬«´÷Ëß°√–∑”∑’Ë®ÿ¥ A

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x ¢Õß®ÿ¥ A

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‚§‰´πåÀ“¢π“¥¢Õß·√ß≈—æ∏å

800 N

RAx

0.8 m

1.2 m

2.4 m900 N

2 m

g

a b = 90 - a

g

®“°√Ÿª¡ÿ¡ Ò À“®“°

Ò = tan-1

1 2

2 4

.

.( ) = 26.57 Ì

Ú = 90 - Ò = 90 - 26.57 = 63.43 Ì

®“°°Æ¢Õß‚§‰´πå

R2 = 9002 + 8002 - 2(900)(800) cos 63.43 Ì

R = 898 N µÕ∫

®“°°Æ¢Õ߉´πå

900

sin g=

898

63 43sin . Ì

Ô g = 63.69 Ì

·≈– x = 0.8 tan 63.69 Ì

= 1.62 m µÕ∫

123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456123456

1.9 °“√·µ°·√ß·≈–°“√√«¡·√ß∫π√–π“∫

Untitled-4 29/10/08, 5:20 PM27

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1.10.1 °“√æ‘®“√≥“‚¥¬Õߧåª√–°Õ∫æ‘°—¥©“°¢Õß·√ß„πª√‘¿Ÿ¡‘

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z ‡ªìπ¡ÿ¡‡∑à“°—∫ ˜x, ˜y ·≈– ˜z µ“¡≈”¥—∫ Õߧåª√–°Õ∫¢Õß·√ß F ∫π·µà≈–·°π§◊Õ Fx, Fy

·≈– Fz µ“¡≈”¥—∫ ‚¥¬§”π«≥‰¥â®“°

E

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C

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AF

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B

z

qx

(°)

Fx Fz

Fyv

v v

v

E

O

C

D

A

F

y

B

z

qy

(¢)

FzFx

x

Fyv

v v

v

E

O

C

D x

AF

y

B

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qz Fz

Fx

Fyv

v v

v

√Ÿª∑’Ë 1.14 Õߧåª√–°Õ∫æ‘°—¥©“°¢Õß·√ß vF „πª√‘¿Ÿ¡‘

Fx = F cos ˜x Fy = F cos ˜y Fz = F cos ˜z ...... (1.26)

À√◊Õ cos ˜x =

F

F

x cos ˜y =

F

F

y cos ˜z =

F

F

z ...... (1.27)

‚¥¬∑’Ë cos ˜x, cos ˜y ·≈– cos ˜z §◊Õ‚§‰´πå°”°—∫∑‘»∑“ߢÕß·√ß F ∑”°—∫

·°π x, y ·≈– z µ“¡≈”¥—∫ ‚¥¬∑’Ë

cos2 ˜x + cos2 ˜y + cos

2 ˜z = 1 ...... (1.28)

¥—ßπ—Èπ “¡“√∂‡¢’¬π·√ß vF „πÕߧåª√–°Õ∫æ‘°—¥©“°‰¥â¥—ßπ’È

Untitled-4 29/10/08, 5:20 PM28

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μ—«Õ¬ã“ß¿“

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