明德华兴中学 米亮

某登山队大本营所在地的气温为15o C , 海拔升高 1km 气温下降 6o C ,登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y o C ，试用解析式表示 y 与 x 的关系。

问题

y =15 - 6x （ x≥ 0 ）

写出函数解析式，观察这些函数有什么共同点？

（1）有人发现 ,在 20-25o C 时 ,蟋蟀每分钟鸣叫次数 c 与温度 t（ o C ）有关 ,即 c 的值大约是 t 的 7倍与 35的差；

思考

c =7t-35 (20≤t≤25)

写出函数解析式，观察这些函数有什么共同点？

思考

（ 2） 一种计算成年人标准体重 G（千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h 减去常数 105 ，所得的差是 G 的值；

G= h-105

写出函数解析式，观察这些函数有什么共同点？

思考

（ 3）某城市的市内电话的月收费额 y（元）包括：月租费 22元，拨 打电话 x 分的计时费（按 0.01 元 /分收取）；

y =0.01x+22

（ x≥ 0 ）

写出函数解析式，观察这些函数有什么共同点？

思考

（ 4）把一个长 10cm 、宽 5cm 的长方形的长减少 xcm , 宽不变 ,长方形的面积 y（ cm 2 ）随 x 的值而变化。

y =5(10-x)

得到函数解析式为：(1) c = 7t-35(2) G = h-105(3) y = 0.01x+22

y =5(10-x)

(4) y = -5x+50

定义： 一般地，形如 y=kx+b （ k, b 是常数， k≠0 ）的函数，叫做一次函数。

(1) c = 7t-35(2) G = h-105(3) y = 0.01x+22(4) y = -5x+50

定义：

正比例函数是一种特殊的一次函数

一般地，形如 y=kx+b （ k, b 是常数， k≠0 ）的函数，叫做一次函数。

当 b=0 时， y=kx+b 即 y=kx

1 、下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

xy 8)1( 65)2( 2 xy

xy

8)3( 15.0)4( xy

解：（ 1）、（ 4）是一次函数，

其中（ 1）又是正比例函数。

2 、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2 米 / 秒。

（ 1 ）求小球速度 v 随时间 t 变化的函数关系式，它是一次函数吗？

（ 2 ）求第 2.5 秒时，小球的速度。

2. 一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 2米。

（ 1）求小球的速度 v随时间 t变化的函数关系式，它是一次函数吗？

（ 2）求第 2.5 秒时小球的速度？

（ 2）当 t=2.5 时， y=2 2.5＝ 5

解 :（ 1） v =2t 它是一次函数。

(t≥0 ),

答：第 2.5 秒时小球的速度是 5米 /秒 .

是一次函数

时当

543

,___12

xxky

kk

1（ 1 ）

（ 2 ） y=-2x-2m+1 是正比例函数 , 则m =

12

y=mx+2k-10

② y 是 x 的正比例函数

（ 3 ）讨论 : m 、 k 是什么值时 , 函数

① y 是 x 的一次函数 m≠0

,k 为一切实数

m≠0,

k=5

实践应用

1. 为了加强公民的节水意识 , 某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过 6 米 3 时，水费按 2 元 / 米 3 收费 , 超过 6 米 3 时 , 超过部分每米 3 按 3 元收费 , 每户每月用水量为 x 米 3 ，应缴水费 y 元。

（ 1 ）写出每月用水量不超过 6 米 3 和超过 6 米3 时， y 与 x 之间的函数关系式，并判断它们是否是一次函数。

（ 2 ）已知某户 5 月份用水量为 8 米 3 ，求该用户 5 月份的水费。

思考题

2. 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有 50 元 , 从现在起每个月节存 12 元．试写出小张的存款 y 与从现在开始的月份 x 之间的函数关系式．

y＝ 50 ＋ 12x

（ X是自然数）

例 1 已知 y 与 x － 3 成正比例 , 当 x ＝ 4 时 ,y ＝ 3 ． (1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)y 与 x 之间是什么函数关系； (3) 求 x ＝ 2.5 时， y 的值．

y ＝ 3x －9(2) y 是 x 的一次函数．

y ＝ 3×2.5 - 9 ＝ -1.5 ．

解 (1) 设 y ＝ k(x － 3)

把 x ＝ 4,y ＝ 3 代入上式 , 得 3 ＝ k(4－ 3) 解得 k ＝ 3

(3) 当 x ＝ 2.5时

2. 梯形的上底长 x, 下底长 15, 高 8,

（ 2 ）当 x 每增加 1 时 , y 是如何变化的 ?（ 3 ）当 x=0 时 , y 等于多少？

此时 y 的意义是什么？ ?

（ 1 ）写出梯形的面积 y 与上底 x 的关系式 , 是一次函数吗 ?

x

8

15

3. 某停车场能停大小车 1200 辆，大车每辆每次收费 10 元，小车每辆每次 5 元，

（ 1 ）写出收费 y 元与小车 x 辆的函数式

（ 2 ）若小车占总数的 65% 到 85% ，求 y 的范围

检测反馈 1. 已知 y － 3 与 x 成正比例，且 x ＝ 2 时， y ＝ 7 (1) 写出 y 与 x 之间的函数关系． (2)y 与 x 之间是什么函数关系． (3) 计算 y ＝－ 4 时 x 的值．

　３、柴油机在工作时油箱中的余油量 Q( 千克）与工作时间 t （小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油 40 千克，工作 3.5 小时后，油箱中余油 22.5 千克，写出余油量 Q 与时间 t 的函数关系式 .

把 t=0 ， Q=40 ； t=3.5 ， Q=22.5 分别代入上式，

bk

b

5.35.22

40 解得

40

5

b

k

解析式为： Q ＝－５ t+40 　　 (0≤t≤8 ） )

解：（１）设Ｑ＝ kt ＋ b

得

例 2 ：已知 y+m 与 x-n 成正比例 ( 其中m 、 n 是常数 )

(1) 求证 y 是 x 的一次函数．(2) 如果 x=-1 时， y=-15 ； x=7 时， y

=1 ，求这个一次函数的解析式

把 x=-1 ， y=-15 ； x=7 ， y=1 代入上式，得

一次函数的解析式为 : y = 2x-13 ．

解： (2) 设 y=kx+b(k≠0)

例 2 ：已知 y+m 与 x-n 成正比例 ( 其中m 、 n 是常数 .

(1) 求证 y 是 x 的一次函数．证明： (1)∵y+m 与 x-n 成正比例，(2) 如果 x=-1 时， y=-15 ； x=7 时， y

=1 ，求这个一次函数的解析式 ∴ y+m=k(x-n) ( k≠0 )整理，得 y=kx-(kn+m)

∵ k 、 m 、 n 均为常数，

∴ -(kn+m) 也是常数，且 k≠0

∴ y 是 x 的一次函数．