96 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

좌표공간과점의좌표

①공간의 한 점 O를 원점으로 하여 서로 직교하는 세 수직선

OX, OY, OZ를각각 x축, y축, z축이라하고, 이들세

축을좌표축이라고한다.

②공간의한점 P에대응하는실수의순서쌍 (x, y, z)를점

P의 라하고, 이것을기호로 P(x, y, z)와

같이나타낸다. 여기서 x, y, z를각각점P의 x좌표, y좌

표, z좌표라하고, 이와같이좌표가주어진공간을

이라고한다.(2)

(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.*

1.좌표공간과점의좌표

공간에서선분의내분점과외분점

두점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™)를이은선분AB를

①m : n (m>0, n>0)으로내분하는점P의좌표는

P { , , }

②m : n (m>0, n>0, m+n)으로외분하는점Q의좌표는

Q { , , }

｜참고｜ 세점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™), C(x£, y£, z£)을꼭짓점으로하는삼각형ABC의무게중심G의좌표는

G { , , }

｜보기｜ 두점O(0, 0, 0), A(1, 2, 3)에대하여

(1) 선분OA를 1 : 2로내분하는점의좌표는 ( , , 1)

(2) 선분OA를 1 : 2로외분하는점의좌표는 (-1, , )(6)(5)

(4)(3)

z¡+z™+z£1111233

y¡+y™+y£1111233

x¡+x™+x£111113

mz™-nz¡11112m-nmy™-ny¡11112m-n

mx™-nx¡111124m-n

mz™+nz¡11112m+nmy™+ny¡11112m+n

mx™+nx¡111124m+n

C

x

By

AO

Zz

X

Y

P{x,`y,`z}

⇡내용정리가부족한학생은교과서114~118쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 공간좌표 (2) 좌표공간 (3) ;3!; (4) ;3@; (5) -2 (6) -3답

(074~107)41교과6K 2008.11.28 3:4 PM 페이지96 mac02 T

2. 공간좌표 97

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

두 점 A(-4, -1, 2), B(2, 3, 4)에대하여다음점의좌표를구하여라.(1) 선분AB를 3 : 1로내분하는점 P

(2) 선분AB를 3 : 1로외분하는점Q

1. 두 점 A(3, 2, -1), B(-2, -3, 4)

에대하여다음점의좌표를구하여라.(1) 선분AB를 2 : 3으로내분하는점 P

(2) 선분AB를 2 : 3으로외분하는점Q

1.

[풀이]

(1) 점 P의좌표를 P(x, y, z)라고하면

(1) x= =;2!;

(1) y= =2

(1) z= =;2&;

(1) ∴ P{;2!;, 2, ;2&;}

(2) 점Q의좌표를Q(x, y, z)라고하면

(1) x= =5

(1) y= =5

(1) z= =5

(1) ∴Q(5, 5, 5)

3¥4-1¥2111133-1

3¥3-1¥(-1)11111133-1

3¥2-1¥(-4)11111133-1

3¥4+1¥2111133+1

3¥3+1¥(-1)11111133+1

3¥2+1¥(-4)11111133+1

[풀이]

(1) 점 P의좌표를 P(x, y, z)라고하면

(1) x= =

(1) y= =

(1) z= =

(1) ∴ P( , , )

(2) 점Q의좌표를Q(x, y, z)라고하면

(1) x= =

(1) y= =

(1) z= =

(1) ∴Q( , , )

2¥4-3¥(-1)11111132-3

2¥(-3)-3¥211111132-3

2¥(-2)-3¥311111132-3

2¥4+3¥(-1)11111132+3

2¥(-3)+3¥211111132+3

2¥(-2)+3¥311111132+3

점A(2, 4, 6)을다음에대하여대칭이동한점의좌표를구하여라.

(1) 원점 (2) y축

(3) xy평면 (4) yz평면

1교과서 116쪽

좌표공간에서두점A(-2, a, 4), B(4, 3, b)에대하여AB”의중점의

좌표가M(c, 1, 4)일때, 상수 a, b, c의값을구하여라.2교과서 117, 118쪽

(074~107)41교과6K 2009.5.22 12:51 PM 페이지97 mac01 T

수선의발, 대칭이동한점의좌표(1) 공간의점A(a, b, c)에서좌표축및좌표평면에내린수선의발의좌표

x축에내린수선의발➞➞P(a, 0, 0) xy평면에내린수선의발➞➞P(a, b, 0)

y축에내린수선의발 ➞➞Q(0, b, 0) yz평면에내린수선의발 ➞➞Q(0, b, c)

z축에내린수선의발 ➞➞R(0, 0, c) zx평면에내린수선의발 ➞➞R(a, 0, c)

(2) 공간의점A(a, b, c)를대칭이동한점의좌표

x축에대하여대칭인점➞➞P(a, -b, -c) xy평면에대하여대칭인점➞➞P(a, b, -c)

y축에대하여대칭인점 ➞➞Q(-a, b, -c) yz평면에대하여대칭인점 ➞➞Q(-a, b, c)

z축에대하여대칭인점 ➞➞R(-a, -b, c) zx평면에대하여대칭인점➞➞R(a, -b, c)

원점에대하여대칭인점➞➞A'(-a, -b, -c)

원점에대하여대칭인점➞➞A'(-a, -b, -c)O

z

x

yA{a,`b,`c}

A'{-a,`-b,`-c}

O

z

x

y

R{a,`-b,`c}

P{a,`b,`-c}

A{a,`b,`c}

Q{-a,`b,`c}A{a,`b,`c}

O

z

x

y

R{-a,`-b,`c}

P{a,`-b,`-c}

Q{-a,`b,`-c}

c

A{a,`b,`c}O

z

x

yb

R{a,`0,`c}

P{a,`b,`0}

Q{0,`b,`c}

a

c

A{a,`b,`c}O

z

x

yb

R{0,`0,`c}

P{a,`0,`0}

Q{0,`b,`0}

a

개념 넓히기

98 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

(074~107)41교과6K 2009.5.22 12:51 PM 페이지98 mac01 T

2. 공간좌표 99

점 P(-3, 5, -4)에대하여다음점의좌표를구하여라.

(1) 점 P에서 x축에내린수선의발 P¡

(2) 점 P를 zx평면에대하여대칭이동한다음, 원점에대하여대칭이동

한점 P™

(3) 점 P를 x축, y축, z축의방향으로각각 3, 1, -2만큼평행이동한

다음, z축에대하여대칭이동한점 P£

1

점A(4, 3, -4)를대칭점으로하여점 B(-1, 2, 4)를대칭이동한

점 C의좌표를구하여라.2

공간의세점A(2, 3, 1), B(-2, 3, 1), C(5, 0, 2)에대하여다

음을구하여라.

(1) AB”를 3 : 1로내분하는점 P의좌표

(2) AC”를 3 : 2로외분하는점Q의좌표

(3) PQ”의중점M의좌표

3

세점A(2, 2, -1), B(5, 0, 2), C(-1, 1, 2)에대하여삼각형

ABC의무게중심G의좌표를다음순서에따라구하여라.

(1) AB”의중점M의좌표를구하여라.

(2) C’M”을 2 : 1로내분하는점G의좌표를구하여라.

4

두 점 A(-2, 4, 1), B(4, -2, -2)를 이은 선분 AB가 다음에

주어진평면에의하여m : n으로내분될때, m, n의값을구하여라.

(단, m, n은서로소인자연수)·

(1) xy평면 (2) yz평면 (3) zx평면

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

점 A는 BC”의중점이다.

삼각형의 무게중심은 중선

을 꼭짓점으로부터 2 : 1로

내분하는점이다.

(074~107)41교과6K 2009.5.22 12:51 PM 페이지99 mac01 T

100 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

두점A(-2, 5, -4), B(a, b, c)에대하여선분AB가 xy평면에

의하여 1 : 2로 내분되고, z축에 의하여 3 : 2로 외분된다고 할 때,

a+b+c의값을구하여라.

3

좌표공간에서평행사변형ABCD의꼭짓점의좌표가

A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(a, b, c), D(p, q, r)

일때, (a+b+c)-(p+q+r)의값을구하여라.

1

공간에서점 A(2, 3, 4)를 x축에대하여대칭이동한점을 P라하고,

점 A를 yz평면에 대하여 대칭이동한 점을 Q라고 할 때, 선분 PQ를

2 : 1로외분하는점R의좌표를구하여라.

2

네점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™), C(x£, y£, z£), D(x¢, y¢, z¢)

를꼭짓점으로하는사면체ABCD에대하여다음을증명하여라.

(1) △ABC의무게중심G의좌표는

G{ , , }

(1) 이다.

(2) △BCD, △CDA, △DAB, △ABC의무게중심을각각G¡, G™,

G£, G¢라고하면네선분AG¡, BG™, CG£, DG¢는한점에서만

나고, 그점은네선분을각각 3 : 1로내분한다.

z¡+z™+z£1111243y¡+y™+y£111113

x¡+x™+x£111113

4

다양한유형의문제에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

찬영이는검도장의거울앞에목검을들고서있다. 거울을 yz평면, 발

의앞끝의좌표를 (20, 20, 0), 목검끝의좌표를 (10, 20, 15)라고

할때, 거울에비친발의앞끝과목검끝의좌표를각각구하여라.

5

평행사변형의 두 대각선은

서로다른것을이등분한다.

(074~107)41교과6K 2009.5.22 12:51 PM 페이지100 mac01 T

2. 공간좌표 101

좌표공간에서두점사이의거리

①두점A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™)사이의거리는

AB”="√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)√¤ +(z™-z¡)¤

②원점O와점A(x, y, z)사이의거리는

O’A”="√x¤ +y¤ +z¤

｜보기｜ (1) 두점A(4, 1, 3), B(-2, -2, 5)에대하여AB”="√(-2-4)¤ +(-2-√1)¤ +(5-3)¤ =

(2) 두점O(0, 0, 0), P(3, -2, 4)에대하여OP”="√(3-0)¤ +(-2-0)¤ √+(4-0)¤ = (2)

(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

구의방정식

①중심이C(a, b, c)이고, 반지름의길이가 r인구의방정식은

(x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =r¤

②중심이원점이고, 반지름의길이가 r인구의방정식은

x¤ +y¤ +z¤ =r¤

｜보기｜ (1) 중심이 (1, -2, 4)이고, 반지름의 길이가 5인 구의 방정식은

(x-1)¤ +(y+2)¤ +(z-4)¤ =

(2) 방정식이 (x-3)¤ +(y-2)¤ +(z+4)¤ =16인구의중심은( , 2, )이고, 반지름의길이는 4이다.

(3) 방정식 x¤ +y¤ +z¤ -2x+2y-4z-3=0은중심이 (1, , )이고, 반지름의길이는 인구를나타낸다.(8)

(7)(6)

(5)(4)

(3)

*

2.구의방정식

⇡내용정리가부족한학생은교과서119~124쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 7 (2) '∂29 (3) 25 (4) 3 (5) -4 (6) -1 (7) 2 (8) 3답

P{x,`y,`z}

C{a,`b,`c}

O

z

y

x

r

(074~107)41교과6K 2008.11.28 3:4 PM 페이지101 mac02 T

102 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

다음방정식이나타내는구의중심의좌표와반지름의길이를구하여라.

(1) x¤ +y¤ +z¤ =16

(2) (x-3)¤ +(y+1)¤ +(z-2)¤ =10

(3) x¤ +y¤ +z¤ -4x+2y-6z-11=0

(4) x¤ +y¤ +z¤ +4x-4y+2z+4=0

1

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

교과서 123, 124쪽

다음두점사이의거리를구하여라.(1) O(0, 0, 0), P(1, 2, 3)(2) A(5, 1, 3), B(3, -1, 4)

1.

[풀이]

(1) OP”="√1¤ +2¤ +3¤ ='∂14

(2) AB”="√(3-5)¤ +(-1-1)√¤ +(4-3)¤

=3

다음구의방정식을구하여라.(1) 중심이 (1, -3, 4)이고, 반지름의길이가 5인구

(2) 중심이 (2, -2, 1)이고, 원점을지나는구

2.

[풀이]

(1) 구위의임의의점P의좌표를P(x, y, z)

라고 하면 점 (1, -3, 4)와 점 P 사이의거리가 5이므로

(1) "√(x-1)¤ +(y+3)¤ +√(z-4)¤ =5

(1) ∴ (x-1)¤ +(y+3)¤ +(z-4)¤ =25

(2) 반지름의 길이 r는 원점과 중심 사이의거리이므로　 r="√2¤ +(-2)¤ +1¤ =3

(1) 따라서구하는구의방정식은(x-2)¤ +(y+2)¤ +(z-1)¤ =9

[풀이]

(1) OP”="√2¤ +(-3)¤ +4¤ =

(2) AB”

(2) ="√(2+4)¤ +(2+ )¤ √+(-1- )¤

(2) =

다음두점사이의거리를구하여라.(1) O(0, 0, 0), P(2, -3, 4)

(2) A(-4, -1, 3), B(2, 2, -1)

1.

[풀이]

(1) 구위의임의의점P의좌표를P(x, y, z)

라고 하면 점 (2, 3, 1)과 점 P 사이의거리가 이므로

(1) "√(x-2)¤ +(y-3)¤ + √(z-1)¤ =

(1) ∴ (x-2)¤ +(y-3)¤ +(z-1)¤ =

(2) 반지름의 길이 r는 원점과 중심 사이의거리이므로

r="√2¤ +4¤ +(-1)¤ =

(1) 따라서구하는구의방정식은(x-2)¤ +(y-4)¤ +(z+ )¤ =

다음구의방정식을구하여라.(1) 중심이 (2, 3, 1)이고, 반지름의길이가 1인구

(2) 중심이 (2, 4, -1)이고, 원점을 지나는구

2.

(074~107)41교과6K 2008.11.28 3:4 PM 페이지102 mac02 T

2. 공간좌표 103

공간의세점A(3, 3, 0), B(3, 0, 3), C(0, 3, 3)에대하여다음

물음에답하여라.

(1) △ABC는정삼각형임을보여라.

(2) 정사면체ABCD의한꼭짓점D의좌표를구하여라.

1

구 x¤ +y¤ +z¤ =1 위의점 P와한점 Q(2, 3, 6)에대하여다음을구

하여라.

(1) PQ”의길이의최솟값

(2) PQ”가구의접선일때, 선분 PQ의길이

2

구 (x-2)¤ +(y-6)¤ +(z-8)¤ =89에대하여다음을구하여라.

(1) 구와 z축이두점A, B에서만날때, 선분AB의길이

(2) 구와 xy평면의교선이원일때, 그원의넓이

4

오른쪽그림과같이반지름의길이가각

각 6, 12, 24이고 서로 외접하는 세 개

의구가평면 a위에놓여있다. 세구의

중심을각각A, B, C라고할때,

△ABC의무게중심으로부터평면 a까지의거리를구하여라.

5

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

구의 접선은 접점을 지나는

반지름과 수직임을 이용하

여접선의길이를구한다.

xy평면의 z좌표는 0임을

이용한다.

å

공간의 두 점 P(x¡, y¡, z¡), Q(x™, y™, z™)를 지름의 양 끝 점으로

하는구의방정식은

(x-x¡)(x-x™)+(y-y¡)(y-y™)+(z-z¡)(z-z™)=0

임을증명하여라.

3

(074~107)41교과6K 2008.11.29 4:36 PM 페이지103 mac02 T

104 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

사면체 ABCD에서 △BCD, △CDA, △DAB, △ABC의 무게중

심을 각각 G¡, G™, G£, G¢라고 할 때, 사면체 G¡G™G£G¢의 부피는

처음사면체ABCD의부피의몇배인지를말하여라.

1

공간의네점A(3, 2, 1), B(4, 6, 10), C(a, 3, 5), D(7, b, 2)

를꼭짓점으로하는사면체ABCD가정사면체라고할때, △BCD의

무게중심의좌표를구하여라. (단, a>0, b>0)

2

다음조건을만족하는점 P의자취의방정식을구하여라.

(1) 두 정점A(-2, 3, 0), B(3, 0, 0)에대하여 PA” : PB”=2 : 1

을만족하면서움직이는점 P

(2) 두 정점 A(-1, 0, 0), B(3, 0, 0)에서의 거리의 제곱의 합이

일정한값 10을가지면서움직이는점 P

4

공간의두점A(5, -2, -1), B(5, 4, -3)을점M(3, 2, 1)에

대하여 대칭이동한 점을 각각 C, D라고 할 때, xy평면 위의 점 P에

대하여 CP”+DP”의최솟값을구하여라.

5

다양한유형의문제에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

다음구의방정식을구하여라.

(1) 점 (1, 2, 1)을지나고, 세좌표평면에접하는구

(2) 구 x¤ +y¤ +z¤ -2x-2y+2z-1=0에 내접하고, 원점을 중심으

로하는구

(3) 네 점 (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, -1)을지나는

구의방정식을구하여라.

3세좌표평면에접하므로

구의 중심을 (a, a, a)로

놓는다.

닮음비가 m : n인 도형의

부피의비는m‹ : n‹이다.

점 P의 좌표를 (x, y, z)

로 놓고 두 점 사이의 거리

를 구하는 공식을 이용하여

자취의방정식을구한다.

두 점 C, D의 좌표가 모두

xy평면의위쪽에있음을알

고, 한 점을 xy평면에 대하

여대칭이동하여생각한다.

(074~107)41교과6K 2009.5.22 12:51 PM 페이지104 mac01 T

4차원공간

읽기 자료

직선을 1차원, 평면을 2차원이라고할때, 우리가살고있는세계

를 3차원공간이라고한다. 3차원공간에서는서로다른세가지운

동, 즉전후운동, 좌우운동, 상하운동을할수있다.

그렇다면 4차원공간은무엇일까?

흔히 3차원공간의세좌표축에모두수직인제4의좌표축을갖는

공간을 4차원공간이라고한다. 이때, 제4의좌표축을보통시간의

축이라고한다.

오른쪽의｜그림1｜은 1, 2, 3차원공간에서의단위입방체를평

면위에나타낸것이고, ｜그림2｜는 4차원공간에서의단위입방체

중하나를평면위에나타낸것이다.

이때, ｜그림2｜는미국의건축가인브래그던(Bragdon)이1913년

에쓴책에나오는 4차원단위입방체로, 3차원단위입방체를시간

의축으로단위길이만큼평행이동하여나타낸것이다.

2. 공간좌표 105

직선을1차원, 평면을2차원,공간을3차원이라고해요.

물론이지~. 3차원에서좌표축을하나더가진것을말한단다.

그럼4차원도있나요?

선생님, 4차원도그림으로그릴수있을까요?

미국의건축가인브래그던이이렇게 4차원을그림으로그렸단다.

｜그림1｜

｜그림2｜

(074~107)41교과6K 2009.5.22 12:51 PM 페이지105 mac01 T

106 Ⅲ. 공간도형과공간좌표

대 단 원 확 인 하 기

오른쪽 그림과 같은 사면체 ABCD에서 BC”, CA”, AB”,

AD”, BD”, CD”의중점을각각 L, M, N, P, Q, R라고

하자. 이때, 다음두직선의위치관계를말하여라.

(1) AC Í와 LP Í (2) LM Í과 QP Í

(3) LP Í와 NR Í (4) LQ Í와 AR Í

1★

다음 그림과 같이 정삼각형 ABC를 중선 BD를 접는 선으로 하여 면 ABD와 면

BCD가수직이되게접을때, 두모서리 AB와 BC가이루는각의크기를 h라고하

자. 이때, cosh의값을구하여라.

4★★

사면체OABC의세모서리OA, OB, OC는서로수직이다.

OA”=8, OB”=6, OC”=6일때, 다음을구하여라.

(1) 점 C에서AB”까지의거리

(2) △ABC의넓이

3★★

오른쪽그림과같은직육면체의네모서리AD, CD, EF,

FG의중점을각각M, N, P, Q라고할때, 다음을증명

하여라.

(1) 두선분MN, PQ는같은평면위에있다.

(2) 두선분AG, NP는한점에서만난다.

2★★★

C

B

A

O

6

86

A

E

H

N

Q

G

C

BM

P

D

F

A

N

L R

P

B D

C

MQ

이해

이해

추론

A

B C

D

A

B C

DΩ

➞➞

계산

(074~107)41교과6K 2008.11.28 3:4 PM 페이지106 mac02 T

대단원확인하기(Ⅲ) 107

단원을최종적으로마무리하는문제입니다. 각자의실력을확인해보세요.*

밑면의반지름의길이가 3 cm인직원기둥을밑면의중심을포함하는평면으로밑면과

30˘의각을이루게잘랐을때의단면의넓이를구하여라.5★

공간의 두 점 A(1, 2, 3), B(3, 4, 2)에서 같은 거리에 있으면서 x축 위에 있는

점을 P, y축위에있는점을 Q, z축위에있는점을 R라고할때, 다음점의좌표를

구하여라.

(1) PQ”를 2 : 1로내분하는점 (2) QR”를 2 : 1로외분하는점

8★★

오른쪽 그림에서 점 A는두평면 a, b의교선위에있고

점 P, Q는각각평면 a, b위에있다. ∠PAO=45˘,

∠QAO=30˘, PA”=3'2, PQ”='3, PO”⊥AO”,

QO”⊥AO”일 때, 두 평면 a, b가 이루는 예각의 크기를

구하여라.

6★★★

점O를원점으로하는좌표공간에서정사면체 OABC의면OAB는 xy평면위에있

고, 점 A의좌표는 A(6, 0, 0)이다. 점 B의 y좌표, 점 C의 z좌표는모두양수라

고할때, 다음점의좌표를구하여라.

(1) 점B (2) △OAB의무게중심 (3) 점 C

7★★

오른쪽 그림과 같이 볼링공을 나무판자에 원 모양의

구멍을 뚫어 보관한다고 하자. 볼링공을 나타내는 구

의방정식이

x¤ +y¤ +z¤ -24x-40y-16z+508=0

이고, 나무판자를 xy평면이라고할때, 원모양의구

멍의넓이를구하여라. (단, 나무판자의두께는생각하지않는다.)

9★★

å45æ

30æ Q ∫

P

A O

xy평면

문제 해결

문제 해결

문제 해결

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계산

(074~107)41교과6K 2008.11.28 3:4 PM 페이지107 mac02 T