3 ( 32101) 5 1 2560elsd.ssru.ac.th/ketum_sa/pluginfile.php/835/course/summary/อัตราส่วน... · อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric

เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 3 (ค32101)

ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2560

เรอง อตราสวนตรโกณมต

ชอ-นามสกล ……………………………………………………………………………………….

ชน ม.5 หอง……………………….. เลขท …………………………..

โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฎสวนสนนทา

วชาคณตศาสตร 3 ชนมธยมศกษาปท 5 เรอง อตราสวนตรโกณมต

1

อตราสวนตรโกณมต (Trigonometry ratios)

ความหมายของตรโกณมต

ตรโกณมต หมายถง วทยาศาสตรวเคราะห (Analytic Science) จดเรมตนของวชานเรมในศตวรรษท 17

หลงจากไดพฒนาสญลกษณของพชคณต

ตรโกณมต หมายถง เรขาคณตทเกยวกบดาราศาสตร ซงเกยวกบการวดมม

ตนก าเนดวชานอาจจะขนอยทผลงานของ ฮปพารคส (Hipparchus)

อตราสวนรปสามเหลยม

ชาวอยปตโบราณท าการวดฐานของพระมดโดยการแบงเสนเชอกออกเปน 12 สวนเทาๆกน แลว

ท าเชอกใหเปนปมตรงสวนทแบงนน แลวดงใหตงเปนรปสามเหลยม ดวยอตราสวนของดาน 3 : 4 : 5 และมมทอย

ตรงขามกบดานทยาวทสดจะเปนมมฉากเสมอจงเปนทนาเชอไดวาทฤษฎปทากอรสเปนทรจกกนมาแพรหลายแลว

ทฤษฎบทปทากอรส ในรปสามเหลยมมมฉาก ดานตรงขามมมฉากยกก าลงสองมคาเทากบผลบวกของ

ก าลงสองของอกสองดาน

พจารณารปสามเหลยมมมฉาก

จะไดวา 2 2 2a b c หรอ 2 2c a b

a แทนความยาวของดานตรงขามมม A

b แทนความยาวของดานตรงขามมม B

c แทนความยาวของดานตรงขามมม C

ดานชดทพบบอย

3,4,5 11,60,61 28,45,53

5,12,13 12,35,37 33,56,65

7,24,25 13,84,85 36,77,85

8,15,17 16,63,65 39,80,89

9,40,41 20,21,29 48,55,73

a

b

c

A

B

C


2

1. อตราสวนตรโกณมต (Trigonometric ratio)

อตราสวนตรโกณมต หมายถง อตราสวนระหวางความยาวของดานทงสองดานของรปสามเหลยมมมฉาก

โดยวธการเรยกดานทงสามในรปสามเหลยมมมฉาก โดยจะองกบ “มมทสนใจ”

เชน ถา สนใจมม A จะเรยก ดานตรงขามมม A วา “ขาม”

ดานประชดมม A วา “ชด”

ถา สนใจมม B จะเรยก ดานตรงขามมม B วา “…………………”

ดานประชดมม B วา “…………………”

สนใจมม C สนใจมม B สนใจมม A

ตวอยางท 1 จงเรยกดานแตละดานตอไปนเทยบกบมมทก าหนดใหพรอมกบความยาวดาน

1)

AC วา ดานตรงขามมมฉาก ยาว ……………. หนวย

BC วา ดานตรงขามมม A ยาว ……………. หนวย

AB วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

BC วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

AB วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

A

A

B B

C

C

A

B

C

b


3

2)

PR วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

PQ วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

RQ วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

PQ วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

RQ วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

3) EF วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

DF วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

DE วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

DF วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย

DE วา …………………………………….. ยาว ……………. หนวย


4

ตวอยางท 2 จงหาความยาวดานทเหลอ ( x ) ของสามเหลยมมมฉากตอไปน

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3

4

x

x

2

1

2 2

3

x

x

25

7

1

5 x

x

7

4

x 17

15


5

บทนยาม อตราสวนตรโกณมต

sineA (ไซนของมม A) เขยนยอวา sin A เขยนแทนดวย

นนคอ sin A =

cosine A (โคไซนของมม A) เขยนยอวา cosA เขยนแทนดวย

นนคอ cosA =

tangent A (แทนเจนตของมม A) เขยนยอวา tan A เขยนแทนดวย

นนคอ tan A =

อตราสวนตรโกณมต sin ,cos และ tan ทเปนอตราสวนตรโกณมตของมมภายในรปสามเหลยม

นอกจากอตราสวนตรโกณมตทง 3 ยงมอตราสวนตรโกณมต 3 อตราสวนทส าคญเชนกน ดงน

cosecant A (โคเซแคนตของมม A) เขยนยอวา cosecA หรอ cscA เปนสวนกลบของ sin A

นนคอ cosecA = 1 เมอ sin A 0

secant A (เซกแคนตของมม A) เขยนยอวา secA เปนสวนกลบของ cosA

นนคอ secA = 1 เมอ cosA 0

cotangent A (โคแทนเจนตของมม A) เขยนยอวา cot A เปนสวนกลบของ tan A

นนคอ cot A = 1 เมอ tan A 0

sin = ………

cos = ………

tan = ………

cosec = ………

sec = ………

cot = ………

ความยาวของดานตรงขามมม A

ความยาวดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานประชดมม A

ความยาวดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานตรงขามมม A

ความยาวของดานประชดมม A


6

ตวอยางท 3 สามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมมม C เปนมมฉากดงรป

วธท า จงหา 1) sin A = ………………... cosA = ………………..

tan A = ………………... cosecA = ………………..

secA = ………………... cot A = ………………..

2) sin B = ………………... cosB = ………………..

tan B = ………………... cosecB = ………………..

secB = ………………... cot B = ………………..

ตวอยางท 4 รปสามเหลยม XYZ มมม X เปนมมฉาก ดงรป

วธท า จงหา 1) sin Y = ………………... cosY = ………………..

tan Y = ………………... cosecY = ………………..

secY = ………………... cot Y = ………………..

2) Zsin = ………………... Zcos = ………………..

Ztan = ………………... Zcosec = ………………..

Zsec = ………………... Zcot = ………………..


7

ตวอยางท 5 รปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก ถา AB 5, AC 13 จงหา

วธท า 1) sin A = ………………... cosA = ………………..

tan A = ………………... cosecA = ………………..

secA = ………………... cot A = ………………..

2) sin C = ………………... cosC = ………………..

tan C = ………………... cosecC = ………………..

secC = ………………... cot C = ………………..

ตวอยางท 6 ก าหนดให 4sin A

5 จงหา cosecA , cosA และ tan A

วธท า

ตวอยางท 7 ก าหนดให ABC มมม C เปนมมฉาก ถา cos A 2 จงหา sin B cosA

วธท า


8

ความสมพนธในรปเศษสวน

asin A

c

bcos A

c

atan A

b

sin A

cos A

cos A

sin A

นนคอ tan A และ cot A

1.2 ก าลงสองของของฟงกชนตรโกณมต

2(sin A) เขยนแทนดวย 2sin A

2(cosA) เขยนแทนดวย 2cos A

2(tan A) เขยนแทนดวย 2tan A

หมายเหต 2(sin A) 2sin A

2(cosA) 2cos A

2(tan A) 2tan A

ตวอยางท 8 จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC จงหา 2sin A , 2cos A และ 2tan A

วธท า

B

C A

4

3

5

B

C A

a

b

c


9

ตวอยางท 9 จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC จงหาคาของ 2 2 2sin A cos A tan C

วธท า

ตวอยางท 10 จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC จงหาคาของ x จากสมการ 2 2 29xsin A cos B tan B

13

วธท า

1

3 10

A B

C

2

3 13

A

B

C


10

1.3 การหาคาฟงกชนตรโกณโดยก าหนดคาฟงกชนของมมอน

วธการแกปญหา ท าโดยน าคาฟงกชนของมมนนๆมาเขยนสามเหลยมมมฉากพรอมกบใสมมใสดานลงไป

ตามนยามของฟงกชนตรโกณมตของสามเหลยมมมฉากแลวหาดานทเหลอ

ตวอยางท 11 สามเหลยมมมฉาก ABC ใดๆ จงหาคาฟงกชนตรโกณมตทเหลอ

1) 3sin A

5

วธท า

cosecA = …………………………

cosA = ………………………… secA = …………………………

tan A = ………………………… cot A = …………………………

2) 1tan B

3

วธท า

cot B = …………………………

sin B = ………………………… cosecB = …………………………

cosB = ………………………… secB = …………………………

3) 24cot C

7

วธท า

tan C = …………………………

sin C = ………………………… cosecC = …………………………

cosC = ………………………… secC = …………………………


11

ตวอยางท 12 สามเหลยมมมฉาก ABC ซง sin A 0.6 จงหาคาของ 2tan A 3secA

วธท า

ตวอยางท 13 สามเหลยมมมฉาก ABC ซง tan A 3 จงหาคาของ 2 23sin A 4cos A

วธท า

ตวอยางท 14 สามเหลยมมมฉาก ABC ซง secA 2 จงหาคาของ 2cot A 3 cosecA

วธท า


12

Worksheet 1 อตราสวนตรโกณมต

1. ก าหนดให 8secA 17 จงหา sin A , cosA และ tan A

2. รปสามเหลยม ABC มมม C เปนมมฉาก ถา cosecA 2 จงหา

1) sin B cosA

2) cosA cosB

3. รปสามเหลยม ABC มมม A เปนมมฉาก ถา secC 3 จงหา

1) cot B tan C 2) 2sec B 3) cscC

cscB


13

4. สามเหลยมมมฉาก ABC ซง cot A 2.4 จงหาคาของ 2sin AcosA

5. สามเหลยมมมฉาก ABC ซง 5cosA 3 จงหาคาของ 3tan AcosecA

6. สามเหลยมมมฉาก ABC ซง 24cosecA 25 จงหาคาของ 5cot AsecA


14

2. คาฟงกชนตรโกณมมทควรทราบ

คาฟงกชนตรโกณมตของมมทนาสนใจ ม 30 ,45 และ 60 ซงในสมยโบราณไดสรางตารางแสดง

อตราสวนของฟงกชนตรโกณมตของสามเหลยมมมฉากของมม 30 ,45 และ 60 ไวดงน

รปสามเหลยม มม sin A cosA tan A

A

30

45

60

B

C

ฉาก

ชด

ขาม

C

C

C

B

B

B

A

A

A

A

O30

O45

O60

2 1

3

2

2

2

3

2

1


15

หาคาฟงกชนตรโกณดวยหลกมอซาย

ตารางแสดงคาฟงกชนตรโกณมตของมม 30 ,45 และ 60

0 30 45 60 90

sin A

cos A

tan A


16

ตวอยางท 15 จงหาคา O O O Ocos30 tan 60 sin30 tan 45

วธท า

ตวอยางท 16 จงหาคา O O O O O(sin 60 )(tan30 )(sec60 ) (cot 45 )(cosec30 )

วธท า

ตวอยางท 17 จงหาคา 2 O 2 O 2 O 2 Osin 45 cos 60 cot 60 sin 30

วธท า


17

ตวอยางท 18 จงหาคา O O O2sin30 cos30 cot 60

วธท า

ตวอยางท 19 จงหาคา 2 O 2 O 2 Otan 60 4cos 45 3sec 30

วธท า

ตวอยางท 20 จงหาคา 2 2 2 2tan 30 cos 60 tan 60 sin 30

6sin 45 cos 45

วธท า


18

Worksheet 2 : คาฟงกชนตรโกณมมทควรทราบ

1. จงหาคา 2 O O 2 O 2 O 2 O1 1 4sin 60 sec60 tan 30 sin 45 tan 60

3 2 3

2. จงหาคา 2 O O O 2 Otan 45 sin 60 tan30 tan 60

3. จงหาคา 2 O O 2 O 2 O3cot 45 cos60 sin 60 cot 60

4


19

4. จงหาคา 2 2 2 24 1 13tan 30 cos 30 cos 45 sin 60

3 2 3

5. จงหาคา 2 2 2 2 21 4sin 60 sec 60 tan 30 sin 45 tan 60

2 3

6. จงหาคา 2 2 3 2 44 1 2 23tan 60 cos 30 cot 45 sin 60 sec 60

3 2 3 3


20

7. จงหาคา 2 2 2 23cot 30 2cos 60 sec 45 4sin 30

4

8. จงหาคา 210 7cot 45 4cos60

3cos30 sec60

9. จงหาคา 2 2 2tan 30 2sin 60 tan 60 tan 45 cos 30


21

3. คาฟงกชนตรโกณของมมใดๆ

ตารางแสดงคาฟงกชนตรโกณมตของมมระหวาง 0 องศา ถง 90 องศา


22

ตวอยางท 21 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตตอไปนดวยการเปดตารางตรโกณมต

1) sin 22 = ………………. 2) tan 42 = ………………. 3) cos34 = ……………….

4) tan 56 = ………………. 5) sin10 = ………………. 6) sin 77 = ……………….

7) cos 44 = ………………. 8) Otan86 = ………………. 9) Ocos15 = ……………….

10) Ocos82 = ………………. 11) Otan 5 = ………………. 12) Otan 72 = ……………….

13) Osin3 = ………………. 14) Osin88 = ………………. 15) Ocos 25 = ……………….

จากตารางทใหมามเฉพาะฟงกชน sin,cos และ tan เทานน ถาตองการหา cosec,sec และ cot

จงจะใชคณสมบตการเปนสวนกลบกบ ฟงกชน sin,cos และ tan เขามาชวยหา


1) cosec22 = ……………….……………….……… 2) Osec43 = ……………….……………….………

3) Ocot 72 = ……………….……………….……… 4) Osec65 = ……………….……………….………

5) Ocot12 = ……………….……………….……… 6) Ocosec83 = ……………….……………….………

7) Osec37 = ……………….……………….……… 8) Ocot16 = ……………….……………….………


1) Osin 22.5 2) Otan56.2


23

3) Ocos 43.5 4) Osec63.4

5) Ocot 33.7 6) Ocosec82.8


24

4. การหามมเมอทราบคาอตราสวนของฟงกชนตรโกณมต

กรณท 1 มมทไมตองเปดตารางฟงกชนตรโกณมต

ตวอยางท 24 ก าหนด O O0 x 90 จงหาคาของมม x ท

1) 1sin x x

2 ………………………… 2) 1

cos x x2

…………………………

3) tan x 3 x ………………………… 4) secx 2 x …………………………

5) 3cos x x

2 ………………………… 6) 2

cosec x x3

…………………………

7) 3sin x x

2 ………………………… 8) 2

sec x x3

…………………………

9) 2cosec x x

2 ………………………… 10) 2

cos x x2

…………………………

ตวอยางท 25 จงหาคาของมม A ของสามเหลยมมมฉาก ABC ตอไปน

1)

2)


25

3)

4)

5)


26

กรณท 2 มมทตองเปดตารางฟงกชนตรโกณมต

ตวอยางท 26 ก าหนด O O0 x 90 จงหาคาของมม x ท

1) sin x 0.407 2) cos x 0.934

3) tan x 2.050 4) sin x 0.616

5) cos x 0.208 6) tan x 0.105

7) sin x 0.430

8) tan x 2.655


27

Worksheet 3: การหามมเมอทราบคาอตราสวนของฟงกชนตรโกณมต

1. ก าหนด O O0 x 90 จงหาคาของมม x ท

1) 2sin x x

2 ………………………… 2) cscx 2 x …………………………

3) cot x 1 x ………………………… 4) 2sec x x

2 …………………………

5) 1tan x x

3 ………………………… 6) tan x 1 x …………………………

7) cot x 3 x ………………………… 8) 1cot x x

3 …………………………

2. จงหาคาของมม A ของสามเหลยมมมฉาก ABC ตอไปน

1)

2)

B

C A

2 3

4


28

3)

4)

B

C A

5 2

5

B

C

A

16

8


29

5. การหาดานของของดานสามเหลยมมมฉาก

ในกรณนโจทยจะก าหนดความยาวของดานมาหนงดาน พรอมกบมมหนงมมทไมใชมมฉาก

ตวอยางท 27 จงหาคาของ x, y หรอ z ของสามเหลยมมมฉากตอไปน

1)

2)

3)

B C

A


30

4)

ตวอยางท 25 ถารปสามเหลยม ABC ม C เปนมมฉาก ลากเสนจาก C มาตงฉากกบ AB ทจด D ดาน

AC และ BC ยาว 10 และ 12 หนวยตามล าดบ จงหาคาของ

1) sin A 2) cosA 3) tan A 4) sin B

5) cosB 6) tan B 7) ความยาวของดาน CD 8) ความยาวของดาน DB


31

ตวอยางท 26 ถาสามเหลยม ABC มฐาน AB ยาว 6 หนวย มม CBA เทากบ 30 องศา และพนทของ

สามเหลยม ABC เทากบ 6 ตารางหนวย แลวดาน BC ยาวเทาใด

วธท า

ตวอยางท 27 ก าหนดรปสามเหลยมซงมมม ABD 30 , มม ADB 60 แลวดาน AC ตงฉากกบดาน

BD โดยท BC ยาว 12 หนวย จงหาพนทของสามเหลยม ABD

วธท า


32

Worksheet 4: การหาดานของของดานสามเหลยมมมฉาก

1. จงหาคาของ x, y หรอ z ของสามเหลยมมมฉาก ABC ตอไปน

1)

2)

3)

x

y

7 45

x

y

15

30

x

y

47 22 10


33

2. ให ABC เปนสามเหลยมมมฉากโดยมมม ABC เปนมมฉาก และมม CAB กาง 60 องศา ถาผลบวกของ

ความยาวดาน AB กบ AC เทากบ 6 หนวย แลวดาน CB จะยาวเทากบเทาใด

วธท า

3. ABC เปนรปสามเหลยมท A มขนาด 70 มม C มขนาด 50 ดาน AB ยาว 5 เซนตเมตร จาก B

ลากเสนตรงลงมาตงฉากกบดาน AC ทจด P จงหาความยาวของดาน BP,BC,AP,PCและ AC

วธท า


34

6. โคฟงกชน ( Co - function)

บทนยาม Co function

sine และ cosine เปน cofunction ซงกนและกน

tangent และ cotangent เปน cofunction ซงกนและกน

secant และ cosecant เปน cofunction ซงกนและกน

จ างายๆดงน

sin cos

tan cot

sec cosec

พจารณาจากสามเหลยมมมฉากตอไปน

A B = 90

A = 90 B

B = 90 A

และจะไดวา

sin A = cosB = cos(90 A)

cosA = sin B = sin (90 A)

tan A = cot B = cot(90 A)

cof .

cof .

cof .

A และ B เรยกวา

เปนมมประกอบมมฉากซงกนและกน


35

สมบตของฟงกชนตรโกณทเปน cofunction กน

ถา A B = 90 แลว

sin A = cosB และ sin A = cosB

tan A = cot B และ cot A = tan B A B = 90

secA = cosecB และ cosecA = secB

ตวอยางท 28 จงพจารณาขอความตอไปนถกหรอผด

…………… 1) O Osin32 cos58 …………… 2) O Ocos25 cosec65

…………… 3) O Osin18 sec72 …………… 4) O Osin52 cosec38

…………… 5) O Ocos63 sin 27 …………… 6) O Ocosec24 sec66

ตวอยางท 29 จงหามม x ท O O0 x 90 โดยท

1) Osin 26 cos x x …................ 2) Otan17 cot x x …................

3) Ocos34 sin x x …................ 4) Ocot 75 tan x x …................

5) Otan 29 cot x x …................ 6) Ocosec61 secx x …................

ตวอยางท 30 จงเตมฟงกชนตรโกณมตใหถกตอง

1) Osin31 …………… O59 2) Ocosec25 …………… O65

3) Ocos18 …………… O72 4) Osin53 …………… O37

5) Ocos69 …………… O21 6) Ocosec26 …………… O64


36

ตวอยางท 31 จงหาคาของ

1) O Osin 22 cos68 2) O O3(sin19 )(sec71 )

3) O O O O Osin 2 sec10 tan 45 cosec80 cos88

4) sin 60 sec30 tan 20 tan 70


37

5) O O O O O Otan1 tan 2 tan3 .... tan87 tan88 tan89

ตวอยางท 32 ถา sin(x 40 ) cos20 แลวจงหาคา x

วธท า

ตวอยางท 33 ถา 0 90 แลวคาของ sin sec(90 ) cot cot (90 )

วธท า


38

Worksheet 5 : โคฟงกชน (Co - function)

1. จงพจารณาขอความตอไปนถกหรอผด

…………… 1) O Otan 22 cot 68 …………… 2) O Ocot 2 tan88

…………… 3) O Ocosec42 sec48 …………… 4) O Otan12 tan 78

…………… 5) O Ocot11 tan 79 …………… 6) O Ocos61 sin19

2. จงหามม x ท O O0 x 90 โดยท

1) Ocosec28 secx x …................ 2) Osec48 cosecx x …................

3) Osin 62 cos x x …................ 4) Ocot57 tan x x …................

3. จงเตมฟงกชนตรโกณมตใหถกตอง

1) Osin 28 …………… O62 2) Ocot88 …………… O65

3) sec41 …………… O49 4) Otan12 …………… O78

5) Ocot14 …………… O76 6) Ocos69 …………… O21

4. จงหาคาของ

1) O O5(cos21 )(cosec69 )(cos69 )

2) cos5 sec15 cot 30 cosec75 sin85


39

3) 6(sin 2 )(tan 22 )(cot 60 )

3(cot 68 )(cos88 )

4) O O O O O Ocot1 cot 2 cot3 .... cot87 cot88 cot89

5. ถา O O0 x 90 แลวคาของ sin(90 A) tan(90 A)

sec(90 A) cos A

เทากบเทาใด


40

7. เอกลกษณฟงกชนตรโกณมต

บทนยาม เอกลกษณตรโกณมต หมายถง สมการตรโกณทเปนจรงทกมมใดๆ ทงนตองมการยกเวนมมบาง

มมภายในสมการอยแลว

เอกลกษณตรโกณมตทตองทราบ

จากสามเหลยมมมฉาก ABC ดงรป พจารณาคา 2 2sin A cos A โดย

2 2sin A cos A =

เอกลกษณทง 3 ขอ สรปไดดงน

2 2sin A cos A = 1

2tan A 1 = 2sec A

21 cot A = 2cosec A


41

ตวอยางท 34 จงหาคาของ

1) 2 2sin 10 cos 10 2) 2 22 sin 70 cos 70

3) 2 2sin 20 sin 70 4) 2 21 cos 47 cos 43

5) 2 2 2 2 2 2sin 1 sin 2 sin 3 .... sin 87 sin 88 sin 89


42

ตวอยางท 35 จากสามเหลยมมมฉาก ABC ทม C เปนมมฉาก ถา 4sin A

5 แลวจงหาคาของ cosA, tan A

วธท า

ตวอยางท 36 ถา เปนมมแหลม และ 3cot 4 แลวจงหาคาของ 10sin 6cos

4sin 3cos

วธท า


43

Worksheet 6 เอกลกษณฟงกชนตรโกณมต

1. จงหาคาของ

1) 2 2sec 56 tan 56 2) 2 22 cot 35 sec 55

3) 2 2cosec 73 cot 73 4) 2 21 sec 31 cot 59


44

5) 2 2 2 2 2 2cos 1 cos 2 cos 3 .... cos 87 cos 88 cos 89

2. ก าหนด เปนมมแหลม ถา cosec cot 5 แลวจงหาคาของ cos


45

8. การประยกตอตราสวนตรโกณมต

การประยกตอตราสวนตรโกณมตมาแกปญหาในเรองของระยะทางและความสงตองใชนยามของฟงกชน

อตราสวนตรโกณมตในเทอมของรปสามเหลยมมมฉากเขามาแก โดยตองเขาใจเกยวกบการวดมมซงจะมการใช

มมกม (angle of depression) และมมเงย (angle of elevation) ซงมความหมายดงน

มมกมและมมเงย เปนการวดมมโดยมดานเรมตนของมมอยทเสนระดบสายตา (แนวนอน) ไปยงเสนทเกด

จากสายตามองไปยงวตถท

ถาวตถอยเหนอเสนระดบสายตา เราจะเรยกวา มมเงย

ถาวตถอยใตเสนระดบสายตา เราจะเรยกวา มมกม

หลกในการแกปญหา เมออานโจทยและวาดรปตามโจทยซงมโครงรางเปนสามเหลยมพรอมกบใสมมและดานท

โจทยก าหนดมา สมมตสงทโจทยตองการเปนตวแปรสรางสมการทมตวแปรนนโดยใชอตราสวนตรโกณในการชวย

สรางสมการ

ขอตกลง 1. พนดนหรอพนน าใหถอวาเปนแนวราบทงสน ขนานกบแนวระดบสายตา

2. ถาโจทยไมก าหนดความสงของผสงเกตมาให ใหถอวาความสงของผสงเกตเปนศนย

และแนวระดบสายตากคอแนวพนดนหรอพนน านเอง

ตวอยางท 37 เอมอรยนหางจากตกแหงหนง 150 เมตร เมอมองขนไปบนยอดตกเปนมมเงยขนาด 36 องศา

อยากทราบวา ตกนสงประมาณกเมตร โดยไมตองคดความสงของเอมอร

วธท า


46

ตวอยางท 38 หนงยนอยบนฝงแมน าและอยากทราบวา แมน าชวงนกวางเทาใด จงใชตนไมทอยบนฝงตรงขามของ

แมน า (จดC )เปนจดสงเกต แลวจงเดนจากจด B ซงอยตรงขามกบตนไมไปตามแนวฝงแมน าถงจด A จะได

ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากทมมม B เปนมมฉาก AB ยาว 50 เมตร และมม CAB มขนาด 25 องศา

อยากทราบวา แมน ากวางกเมตร

วธท า

ตวอยางท 39 นาวนยนอยบนหนาผาแหงหนง ซงสงจากระดบน าทะเล 48.30 เมตร เมอเขามองลงไปยงเรอล า

หนง โดยมมทแนวสายตาท ากบแนวเสนระดบเปนมมกมมขนาด 60 องศา ถาตาของนาวนสงจากพนของหนาผา

1.70 เมตร เรอล านอยหางจากเชงหนาผาประมาณกเมตร

วธท า


47

ตวอยางท 40 นกทองเทยวคนหนงยนอยบนประภาคารสงเกตเหนเรอสองล าจอดอยในทะเลทางทศตะวนออก

ของประภาคารในแนวเสนตรงเดยวกน โดยท ามมกมขนาด 30 องศาและ 60 องศากบแนวระดบ ประภาคาร

แหงนอยสงจากระดบน าทะเลประมาณเทาใด ถาเรอทงสองล าอยหางกน 200 เมตร

วธท า

ตวอยางท 41 เมอดวงอาทตยท ามม 30 กบแนวระนาบแลว ตกสง 150 เมตร จะทอดยาวเทาใด

วธท า


48

ตวอยางท 42 รถสองคนจอดอยหางกน 60 เมตร และจอดอยในแนวเสนตรงกบตก คนในรถแตละคนมองยอด

ตกเปนมมเงย 45 กบ 30 ตามล าดบ จงหาวา

1. รถคนทจอดอยใกลตก อยหางจากตกเทาไร

2. ความสงของตกเปนเทาไร

วธท า

ตวอยางท 43 นายณฐดนยอยยอดประภาคารแหงหนงซงสง 120 เมตร จากระดบน าทะเล ถามองออกไปทเรอ 2

ล าในทะเลทอยในแนวเดยวกนกบประภาคารพบวาเปนมมกม 30 กบ 60 ตามล าดบ จงหาระยะหางระหวาง

เรอทงสองล า

วธท า


49

ตวอยางท 44 เดกหญงบมยนอยหางจากตกหลงหนง 18 เมตร มองเหนยอดตกและเสาอากาศซงอยบนยอดตก

เปนมมเงย30 กบ 60 ตามล าดบ จงหาความสงของเสาอากาศ

วธท า

ตวอยางท 45 กานยาวยนอยบนดาดฟาของตก 15 ชนหลงหนง เขามองเหนปอมยาวทอยทางทศตะวนออกของ

ตกเปนมมกม 60 และมองเหนรถบรรทกคนหนงจอดอยทางทศใตของปอมยามนนเปนกม 30 อยากทราบวา

รถบรรทกอยหางจากปอมยามเทาไร ถาตกหลงนนสงชนละ 4 เมตร

วธท า


50

Documents

3 ( 32101) 5 1 2560elsd.ssru.ac.th/ketum_sa/pluginfile.php/835/course/summary/อัตราส่วน... · อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric