INSTITUCIN EDUCATIVA JUAN JOS NIETO ESTNDAR: Comprende las caractersticas y las propiedades de los nmeros reales en las operaciones de potenciacin y radicacin bajo parmetros algebraicos.

LECCIN 1.

NOCIONES SOBRE CONJUNTOS I, Y SISTEMAS NMERICOS

NOCIONES SOBRE CONJUNTOS

Un conjunto es una coleccin de objetos, llamados elementos del conjunto.

Un conjunto puede describirse:

Por extensin: haciendo una lista explicita de sus elementos separados por coma y encerrados

entre llaves.

Por comprensin: dando la condicin o condiciones que cumplen los elementos del conjunto.

Si A es un conjunto decimos que a pertenece a A , y escribimos a A , si a es un elemento

de A . En caso contrario decimos que a no pertenece a A y escribimos a A .

EJEMPLO 1.

El conjunto A cuyos elementos son los nmeros naturales menores que 5 puede escribirse as:

1,2,3,4A , observemos que 1 A y que 5 A .

SISTEMAS NUMRICOS

Los nmeros naturales

Representamos a los nmeros naturales con el smbolo . Los nmeros naturales son: 1, 2, 3,

4,, por tanto:

1,2,3,4,...,

Los nmeros enteros

Los nmeros enteros se denotan por . Los nmeros enteros estn formado por los nmeros

naturales junto a los nmeros enteros negativos y el 0.

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

Algunas veces se acostumbra escribir

El conjunto de los nmeros racionales

Se obtienen al formar cocientes de nmeros enteros, este conjunto lo denotamos por . Es

decir:

, , 0p p q qq Ejemplos

3 7 0 2 1; ; 0 ; 2 ; 0,1

5 4 1 1 10

Nota: Recuerde que no es posible dividir por cero, por lo que las expresiones como 3 0

0 0

no

estn definidas.

El conjunto de los nmeros irracionales

Son aquellos nmeros que no pueden expresarse en la forma pq

con , , 0p q q .

Los nmeros irracionales se representan por

Ejemplos

3, 2, 5

, e

El conjunto de los nmeros reales

Estos se representan por y consta de la unin de los nmeros racionales y los nmeros

irracionales.

Todos los nmeros reales tienen una representacin decimal, si el nmero es racional, entonces,

su decimal correspondiente es peridico.

Ejemplo

10,5000... 0,50

2

10,333... 0,3

3

1570,3171717... 0,317

495

91,285714285714... 1,285714

7

La barra significa que la sucesin de cifras debajo de ella se repite indefinidamente.

Si el nmero irracional, la representacin decimal no es peridica.

Ejemplos

2 1,414213562373095...

2,7182818284590452354...

3,141592653588979323846...

e

Nota: En la prctica se acostumbra aproximar un nmero irracional por medio de uno racional.

Ejemplo

2 1,4142 2,71828 3,1416e

El nmero decimal peridico X lo podemos representar como una fraccin equivalente

multiplicando este por una potencia adecuada de 10 y luego restar para eliminar la parte que se

repite.

Ejemplo

Sea 5,4383838...X convertirlo en un cociente de dos enteros.

Solucin:

Debemos multiplicar por dos potencias adecuadas de 10, de tal manera que al restarlos se

cancelen las partes decimales.

1000 5438,38

10 54,38

990 5384

5384

990

X

X

X

X

EJERCICIOS

1. Exprese cada uno de los decimales peridicos en forma de fraccin.

a. 5,23 b. 1,37 c. 2,135 d. 0,64

2. Ordene de menor a mayor los nmeros racionales

1,43, 1,39, y 1,442

3. Ordene de menor a mayor los nmeros racionales

9 81,43, y

7 5

4. El producto de dos nmeros irracionales es siempre un nmero irracional? Qu puede decir

de la suma?

LECCIN 2.

PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES I

Operaciones en los nmeros reales y sus propiedades

En se definen dos operaciones: suma o adicin y producto o multiplicacin.

Suma y Multiplicacin

Si ,a b , la suma de y a b , denotada a b y el productor de y a b , denotado . , xa b a b

o simplemente ab , son tambin elementos de , que cumplen las siguientes propiedades:

PROPIEDAD SUMA PRODUCTO

Conmutativa a b b a ab ba Asociativa a b c a b c ab c a bc Distributiva del producto con respecto a la suma

a b c ab ac

a b c ac bc

Usando estas propiedades podemos probar resultados importantes.

Ejemplo 1.

Pruebe que 2a b a b aa ab bb

Solucin

Usando la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y la propiedad conmutativa

del producto, tenemos que:

Prop. Distributiva

Prop. Distributiva

Prop. Conmutativa del producto

a b b a a b a a b b

aa ba ab bb

aa ab ab bb

2 Suma de trminos semejantesaa ab bb

Usando el hecho de que para todo 2,a aa a , escribimos la igualdad anterior como:

2 2 22a b a ab b

OTRAS PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES

Entre los nmeros reales, el 0 y el 1 juegan un papel importante en la suma y el producto,

respectivamente:

0 , es tal que para todo , 0a a a .

Al nmero 0 se le llama elemento NEUTRO para la suma.

EJEMPLOS

3 35 0 5 3 0 3 0

2 2

Dado a existe un nico b tal que 0a b . Dicho nmero b se denota por a y se

llama INVERSO ADITIVO de a . Es decir, 0a a

EJEMPLOS

8 8 0 3 3 0

1 17 7 0 0

5 5

1 es tal que para todo , 1a a a

Al nmero 1 se le llama el elemento NEUTRO PARA EL PRODUCTO.

EJEMPLOS

3 33 3.1 5.1 55 5

Si y 0,a a entonces existe un nico nmero b tal que . 1ab

Tal nmero b denotado por 1

a o por 1a , se llama INVERSO MULTIPLICATIVO O RECPROCO DE

a . Es decir, para 0a se tiene que 11

. . 1a a aa

.

EJEMPLOS

1

1

1 3 35. 1 . 1

5 2 2

8 8. 13 3

NOTA:

1

,a b

b a

por lo que podemos escribir que

1

1a a a b

b b b a

.

Si y ,a b el nmero b a b se escribe a b y se llama la RESTA O DIFERENCA de

y b a .

EJEMPLOS

1 1 1 1

3 3 3 3 0 05 5 5 5

Si y a b son nmeros reales, con 0b , el nmero 1

.ab

, se escribe tambin a

b y se llama

el COCIENTE de y a b .

A la expresin a

b se le llama FRACCIN, a se llama NUMERADOR y b DENOMINADOR DE LA

FRACCIN.

EJEMPLOS

1 3 7 73. 1.

5 5 8 8

Con base en las definiciones y en las propiedades de la suma y la resta de nmeros reales, podemos

probar las siguientes propiedades, conocidas como LEYES DE SIGNOS.

Sean ,a b , entonces:

1. 1 a a

EJEMPLOS

1 5 5

8 81 .3 3

2. a a

EJEMPLOS

8 8

7 7

3. a b a b ab

EJEMPLOS

3 2 3 2 6

3 4 3 4 12

5 7 5 7 35

4. a b ab

EJEMPLOS

8 2 16

3 5 15

2 4 8

5. a b a b

EJEMPLOS

3 8 3 8 11

3 4 3 4 9 8 17

2 3 2 3 6 6

6. a b b a

EJEMPLOS

8 10 10 8 2

3 3 20 3 174 4

5 5 5 5

7. .0 0a

EJEMPLOS

33.0 0 2.0 0

8 .0 07

NOTA:

La propiedad 6 nos dice que a b es el inverso aditivo de b a

La propiedad 5 puede usarse con ms de 2 trminos, as:

a b c a b c

EJEMPLOS

Utilizando propiedades de nmeros reales escriba las siguientes expresiones sin usar parntesis:

1) x y 2) x y z

SOLUCIN

1. Tenemos que:

propiedad 5

propiedad 2

x y x y

x y

Luego,

x y x y

2. tenemos que

propiedad 5

propiedad 2

x y z x y z

x y z

Luego,

x y z x y z

CARACTERIZACIN Y PROPIEDADES DE ALGUNOS NMEROS REALES

Un nmero a es un nmero par si puede escribirse en la forma 2 , con a k k .

EJEMPLOS

6 Es un nmero par ya que 6 2 con 3k k

0 es un nmero par ya que 0 2 con 0k k

-8 es un nmero par ya que 8 2 con 4k k

Un nmero a es un nmero impar si puede escribirse en la forma 2 1, con a k k

EJEMPLOS

3 es un nmero impar ya que 3 2 1 con 1k k

7 Es un nmero impar ya que 7 2 1 con 4k k

Dados , zd b , con 0d , decimos que d divide ab que d es un divisor de b , si existe

a tal que b ad .

Tambin se acostumbra a decir que d , es un factor de b y que b es un mltiplo de d .

EJEMPLOS

2 divide a 8 ya que existe 4 tal que 8 4.2

5 Divide a 45 ya que existe 9 tal que 45 9 5

23

Divide a 3 ya que existe 92

tal que 2 9 18

3 33 2 6

Decimos que d es el MXIMO COMN DIVISOR de los enteros y a b , con 0 0a b ,

si d es el mayor nmero entero positivo que los divide a ambos, es decir, d es el mayor de

los divisores comunes de y .a b

EJEMPLOS

El mximo comn divisor de 24 y 30 es 6. En efecto

24 30 2

12 15 3 2 x 3 6

4 5

El mximo comn divisor de 9 y 18 es 19, en efecto

9 18 3

3 6 3 3 x 9

1 2

3

Decimos que m es el MNIMO COMN MLTIPLO de los enteros y a b , con , 0a b , si m

es el menor nmero entero positivo que es mltiplo de ambos, es decir, m es el menor entero

positivo que es divisible por y a b .

EJEMPLOS

El mnimo comn mltiplo de 6 y 10 es 30, en efecto:

6 10 2

3 5 32 x 3 x 5 30

1 5 5

1 1

El mnimo comn mltiplo de 15 y 14 es 210, en efecto:

15 14 2

15 7 3

2 x 3 x 5 x 7 2105 7 5

1 7 7

1 1

Dos nmeros enteros y a b son primos relativos si el mximo comn divisor de y a b es 1.

EJEMPLO

7 y 18 son primos relativos.

Un nmero racional a

b est en forma reducida, o simplificado si y a b son primos relativos.

EJEMPLOS

7

18 Est en forma reducida ya que 7 y 18 son primos relativos.

16

12 No est en forma reducida ya que 16 y 12 no son primos relativos. Sin embargo podemos

escribirlo en forma reducida como 4 .3

NOTA: todo nmero racional puede representarse en forma reducida.

EJEMPLO

18 9

8 4

Un entero positivo 1p es un nmero primo si sus nicas divisores positivos son 1 y p .

EJEMPLO

Los nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 37, 523 son nmeros primos.

EJEMPLO

Los nmeros 6, 8, 9, 20 no son primos, ya que al menos 2 es divisor de 6, 8, 9, 20 no son primos, ya

que al menos 2 es divisor de 6, 8, y 20 y 3 divide a 9.

Si , 1, y a a a no es primo, decimos que a es nmero compuesto.

EJEMPLO

8 es un nmero compuesto ya que 8 1 y 8 no es primo.

Teorema fundamental de la aritmtica

Todo nmero entero mayor que 1 puede descomponerse en forma nica como un producto de

nmeros o factores primos.

EJEMPLOS

6 2 x 3 20 2 x 2 x 5

16 2 x 2 x 2 x 2 30 2 x 3 x 5

NOTA:

En la descomposicin de un nmero los nmeros primos pueden repetirse y no importa el

orden en el que aparecen, ya que el producto de nmeros reales cumple la propiedad

conmutativa.

Cuando escribimos un nmero como producto de factores primos, decimos que hemos

factorizado el nmero.

EJEMPLO

22 x 17 x 43 Es la descomposicin o factorizacin de 2924, es decir, 22924 2 x 17 x 43

EJERCICIOS

1) Diga cul propiedad de los nmeros reales se est usando:

a) 5 8 8 5

b) 3 5 3 5x y z x y z

c) 4 2 7 28 14x x

2) Usando las propiedades de los nmeros reales, escriba las expresiones sin parntesis

a) 5 x y c) 6 2 4 7k l m n

b) 3

2 162

a b

3) Halle el mximo comn divisor de los nmeros

a) 1820 y 2574 c) 144, 96 y 64

b) 110 y 273

4) Descomponga los siguientes nmeros enteros en sus factores primos:

a) 300

b) 1386

c) 2160

5) simplifique completamente las siguientes fracciones:

a) 126

90 b)

1540

1680