Tich Phan Boi Ba Fisdnal

8/18/2019 Tich Phan Boi Ba Fisdnal

1/50

2.2 TÍCH PHÂN BỘI 3


2/50

1 2, ,..., n

Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính

1 2, ,...,

nV V V

Định nghĩa:

Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ωtrong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần khôngchồng lên nhau có thể tích tương ứng là

Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk)Lập tổng tích phân

1

( , , )n

n k k k k k

S f x y z V

Cho ,nếu tổng trên tiến tới giá trị hữuhạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cáchlấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tíchphân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω

max ( ) 0k

d


3/50


Định nghĩa(tt):Cho ,nếu tổng trên tiến tới giá trị hữuhạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cáchlấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích

phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω

max ( ) 0k d

max ( ) 0 1

( , , ) lim ( , , )k

n

k k k k d k

f x y z dV f x y z V

Vậy:


4/50

Chú ý :

* Yếu tố thể tích dV được thay bằng dxdydz, vì vậyta thường kí hiệu

( , , ) ( , , )f x y z dV f x y z dxdydz


* Điều kiện khả tích và tính chất của tích phân bộiba tương tự như tích phân kép.


5/50

( , )

( , )

( , , ) ( , , ) x y

D x y

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy

Cách tính

( , )

( , ) ( , , )

x y

D x y dxdy f x y z dz

Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy làmiền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạndưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì

Ta còn viết tích phân trên ở dạng

Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác địnhhình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi

xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω.



6/50

Ví dụ 1 : Tính tích phân 1 2I zdxdydz

Trong đó Ω giới hạn bởi 2 20 ,0 , 4 x y x y z

Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên

2 2

4

1 2

D x y

I dxdy zdz

2 2

42( ) x y D

z dxdy

2 2 2(16 ( ) )D

x y dxdy 22

4

0 0

(16 )d r r dr

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần

hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y



7/50

D

x=0

y=0

z=4z=x2+y2



8/50

Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên

đường parabol y=x2

là mặt trụ không kín, ta cần thêmgiao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳngOxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu củaΩ xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D

Trong miền D, ta có y≤1tức là 0 ≤ 1 - y nên trongΩ mặt phẳng z = 1 – ynằm trên mặt phẳng z = 0

2 ( )I x y dxdydz

Ví dụ 2 : Tính tích phân

Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0

-1 1

1D



9/50

Vì vậy:

1

20

( )y

D

I dxdy x y dz

10( ( ))

D

y z x y dxdy

2

1 1

21

( )(1 ) x

I dx x y y dy

y+z=1

z=0

y=x2



10/50

Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trênmiền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền Dgiới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1

Miền D ứng với x+y≥0 nênta được 0≤z ≤x+y. Vậy :

3 ( , , )I f x y z dxdydz

3

0

x y

D

I dxdy xdz

1 1 1

2 2 1

3 0

0 0 0

1x( ) |

2

x

y x

y I dx x y dy x y xy dx



11/50


1

2 2 1

0

0

1

2 2

0

1

2 3 2 3

0

1 1

3 2 4

00

1|

2

1(1 ) (1 )

2

1( 2 )2

1 1 1 1 1

2 2 2 4 8

y x

y

x

x

x y xy dx

x x x x dx

x x x x x dx

x x dx x x

x+y=1

x=0

y=0

x+y=z


12/50

Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình

chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độcủa N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ

Vậy điểm M được xác

định bởi bộ ba số (r, φ, z),chúng được gọi là tọa độtrụ của điểm M. Côngthức liên hệ giữa tọa độtrụ và tọa độ Descartes là

cos

sin

x r

y r

z z

y

x

z M(x,y,z)

y

x

z M(x,y,z)

z

φN(r,φ)

r

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ


13/50

Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ

Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụnếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.

( , , ) . ( cos , sin , )f x y z dxdydz r f r r z drd dz



14/50

2 2 2 2z x y x y 2 2 2 2 2( ) 0 x y x y

Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z

từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặtphẳng z = 0

2 2

2 201

z x y z x y

(loại)

Ví dụ 4:

Tính tích phân3I zdxdydz

2 2 2 2,z x y z x y Trong đó Ω là miền giới hạn bởi

Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là

hình tròn , tương ứng ta có2 2

1 x y



15/50

Vậy:

Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên tasẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt :

cos

sin

x r

y r z z

2 2

2 2 2 23

1

x y

x y x y

I dxdy zdz

và ta có2

2 1

30 0

r

r

I d rdr zdz

12

2 2 2 2

x y x y Vì x2

+y2

≤1 nên

2

21 12 4

30 0

2 . .( ) . ( )2

r

r

z I rdr r r r dr



16/50

Miền D



17/50

Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω

xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1

Ví dụ 5: Tính tích phânTrong đó Ω giới hạn bởi

5 2 2

z I dxdydz

x y

2 2 1, 0, 2 x y z x y z

Với 2 mặt còn lại, ta phải sosánh giữa z=0 và z=để có cận đối với dz

√2 -x-y

Ta vẽ thêm đường thẳng√2 -x-y =0 trong mp z=0 để

so sánhRõ ràng, trong hình

tròn ta có √2 -x-y ≥0



18/50

Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tíchphân trên tọa độ trụ bằng cách đặt cos

sin

x r

y r

z z

2 cos sin2 1

5

0 0 0

r r z

I d rdr dz r

2 cos sin2 1 2

5

00 0 2

r r

z I d dr

2 2

2

5 2 201

x y

x y

z

I dxdy dz x y

Vậy :



19/50

Ta sẽ tính bằngcách thứ 2

2

5

0

1 1 72 2(cos sin ) (1 s in2 )2 3 3I d

x+y+z=√2

Miền Dx2+y2=1



20/50

2 2

2 2

2 21

2 2 2 2 2 2

x y

x y x y xy dxdy

x y

Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽđổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thườngvà được


2 2

22

52 2

1 0

12

x y

x y

z I dxdy x y

2 22 1

50 0

2 2 2 (cos sin ) 2 sin cosr r r I d r dr

r


21/50

Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trongtọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thườngtheo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếusang tọa độ cực.



22/50

Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trênmiền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π

Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song songvới Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và

được miền D : 1≤ y2

+z2

≤42 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π

4

2 2

6

2

( )

D

I dydz y z dx

2 2

2 2

1 4

( ).2

y z

y z dydz

2 2

2 2

6

0 1

2 . 15I d r r dr



23/50

Trong không gian cho điểmM(x,y,z), N là hình chiếu của Mxuống mặt phẳng xy. Ta đặt:

ρ là độ dài đoạn OM

Như vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π

Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, cònkhi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xácđịnh. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác địnhφ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M

θ

φN

M

φ là góc giữa Ox và tia ON

θ là góc giữa Oz và tia OM ρ

Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu


24/50

Khi đó, ta dễ dàng tính được sin cossin sin

cos

x y

z

Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầusang tọa độ Descartes như sau

2 2 2

2 2

tan

tan

x y z

y x

x y

z



25/50

Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang

tọa độ cầu:

2

( , , )

sin ( sin cos , sin sin , cos )

f x y z dxdydz

f d d d

Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phầnhình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân

bội ba sang tọa độ cầu.Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ωxuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vàophần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz



26/50

Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình trònD: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y

ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ rata chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặpmặt cầu với phương trình

Ví dụ 7 : Tính tích phân

Trong đó Ω giới hạn bởi

6 2I yzdxdydz

2 2 2 1, 0, 0, 0 x y z x y z

Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt

x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 12 2 2 1 x y z



27/50

12 22 4

50 0 0

sin sin cos 2I d d d

Vậy :12 2

2

5 0 0 0 sin .2 sin sin . cosI d d d

12

3 525 00 0

1 2cos sin3 5

I

x2+y2+z2=1z

0≤θ ≤π/2



28/50

sin cos2 2 sin cos

sin sin 3 sin sin3

coscos

x x

y y

z z

Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tíchphân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt :


2 2 2 1, 0, 0, 04 9

x y z x y z

Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y

trên miền Ω giới hạn bởi

thì định thức Jacobi 2 22.3. sin 6 sinJ

và 2 2

2 14

19

x y z


29/50

Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặtphẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phầntư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π

Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta

được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên

π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉgặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1

Vậy :

2

2 19

y z

1 28

02 2

6 sin ( sin cos sin sin )I d d d

12 3

80

2 2

(sin cos ) sin 6I d d d

Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta

được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên

π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉgặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1

2

2 19

y z

Vậy : 1 28

02 2

6 sin ( sin cos sin sin )I d d d



30/50

D Hình chiếu

z



31/50

Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong

miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0

Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếuxuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2

mặt và được hình chiếu là D: x2

+y2

≤1

0≤φ ≤2π

Hình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nên

Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứngx=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z

Suy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2



32/50

Miền D

zzz

0≤θ≤π/20≤θ≤π/2



33/50

Vậy2 24

2

9

0 0 0

sin ( sin cos sin sin )I d d d

2 24

2 3

9

0 0 0(cos sin ) sinI d d d

Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân vớinhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0

Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên tacũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thôngthường



34/50

2 2

2 2 2 2

2

9

1

( )

x y

x y x y

I dxdy x y dz

2 2

2 2 2 2

9

1

( )( 2 )

x y

I x y x y x y dxdy

2 1

2

9

0 0

( cos sin )( 1 )I d r r r r r dr

2 1

2 2

9

0 0(cos s ) ( 1 )I in d r r r dr

I9=0



35/50

Ví dụ 10 : Đổi tích phânsau về tọa độ Descartes

Trước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ đểcó hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy,

22 1 42

100 0 0

r

I d dr r dz

2 2

1 1

1 1

x

x y x

0 2:

0 1D

r

Suy raD: x2+y2≤1

-1 1

1



36/50

2 2 2 2

2 2

412 2

101 0

x y x y

x y

I dx dy x y dz

và cuối cùng xem xét đến hàm dưới dấu tích phân đểđổi về tọa độ Oxyz : 2 2( , , )f x y z r x y

sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạntrên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r 2 : 0≤z≤4-x2-y2

Vậy:



37/50

2 2 2 2

0:

a x D

a x y a x

32 2

Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình

chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy

Ví dụ 11: Đổi tíchphân sau sangtọa độ cầu và tính

2 2

2 2 2 2 2

0 0

11

a x

a a x a x y

I dx dy xdz

0-a

a

-a



38/50

Cận tíchphân theodz là

cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0

Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trụcOz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤a

Cuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào

2 2 2 22 2 2 0

0 x y z aa x y z z

Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trụcOz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0

-a

a

-a z

32

211

02 2

sin . sin cosa

I d d d



39/50

Ví dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x2+y2=1, z=0,

x2+y2=z2 (z≥0) của hàm 2 2 2( , , )f x y z x y z 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàmf(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầuHình chiếu của V xuống mp z=0 là hình trònD: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2πCắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y

1

1

π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp

duy nhất đường thẳng tươngứng là mặt trụ trong không gianvới ptx2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ



40/50

12 sin2

212

0 04

sin .I d d d

12 2 sin

4

004

1sin4

d d

2 2

12 30

4

1 1

4 sinI d d

2 2

2 20

4

1 cos

4 (1 s )

d

d co

12

1 2 1( 2 ln )

2 2 2 1

I



41/50

D1



42/50

Cho vật thể V có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) làf(x,y,z) . Ta có

Khối lượng vật thể là ( ) ( , , )V

m V f x y z dxdydz

Moment quán tính với trục Ox 2 2( ). x

V

I y z fdxdydz

Moment quán tính với mp yz 2

. yz V

I x fdxdydz

Moment quán tính với gốc O 2 2 2( ).O

V

I x y z fdxdydz

Tích phân bội ba – Ứng dụng tích phân bội


43/50

Moment tĩnh với mp Oxz . xz V M y fdxdydz

Toạ độ trọng tâm

. . .

, ,V V V

V V V

x fdxdydz y fdxdydz z fdxdydz

x y z fdxdydz fdxdydz fdxdydz



44/50


Ví dụ: Tìm tâm khối lượng của khối với mật độhàng bao bởi mặt trụ parabolic = và mặtphẳng = , = 0, = 1.GiảiKhối E và hình chiếu của nó lên mặt phẳng được vẽ


45/50


46/50


47/50

Mặt dưới và mặt trên của E là mặt phẳng z=0,z=x, vậy biểu diễn E là miền loại 1

= {(, , )| − 1 < ≤ 1, ≤ ≤ 1, 0 ≤ ≤ }Khi đó nếu hàm mặt độ (khối lượng riêng) là

, , = thì khối lượng là

=

= 45 .

Vì tính đối xứng của E và quanh mặt phẳng ta có thể nói ngay = 0 và do đó = 0.Các mômen khác là


48/50

= =

= 47 .

= =

= 27 .Vậy tâm khối lượng là

̅, , ̅ =

,

,

= 5

7, 0, 5

14 .


49/50

Bài tập:I. Tính các tp sau

1

2 2 2 22

2 2 23

2 2 2 2 24

( ) , : 0, 0, 0, 1

2 , : ,

, : 1,0 ,0 , 0

, : 4,2 , 0

V

V

V

V

I x y z dxdydz V x y z x y z

I zdxdydz V z x y z x y

I xyzdxdydz V x y z x z y

I zdxdydz V x y z x x y z

Tích phân bội ba – bài tập


50/50

Bài tập:I. Tính các tp sau

2 2 2 2 2 25

2 2 2 2 26

7

2 2 2 2 2 28

, : 1, , 0

, : 0 2 , 1

cos , : , 0, 0,

2

, :

V

V

V

V

I x y dxdydz V x y x y z z

I x dxdydz V z x y x y

I y x z dxdydz V y x y z x z

I x y z dxdydz V x y z z

Tích phân bội ba – bài tập

Documents

Tich Phan Boi Ba Fisdnal