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REALES POSITIVOSREALES NEGATIVOS

PROF. ING. SARA ALCÁNTARA. Unidad Curricular: MATEMÁTICA, Modulo: ALGEBRA. Trayecto: INICIAL. Dpto. de Informática. IUT. “Jacinto Navarro Vallenilla”.

UNIDAD 1:

CONJUNTOS NUMÉRICOS:

Número Real (R)

En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales Q(31 , 37/22 ,25,4)como a los números irracionales  I (√2 , π ).

El conjunto de los números reales es el conjunto formado por todas las expresiones decimales periódicas y no periódicas.

Expresándolo en notación matemática: R=Q∪ I  

En el gráfico podemos apreciar las siguientes relaciones:

Q∪ I=R Q ∩ I=∅

N⊂Z⊂Q⊂R I⊂R

 Algunos subconjuntos notables de R:

R¿ : Conjunto de números reales sin el cero R¿=R−0

R+¿ :¿ Conjunto de números reales positivos R+¿={ x∈ R / x>0}¿

R−¿:¿ Conjunto de números reales positivos R−¿={ x∈ R / x<0 }¿

 

R=R+¿∪ { 0} R−¿¿ ¿

Números Racionales   (Q)

En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero).

Notación

Q={pq|p∈Z , q∈Z , q ≠ 0}

Representación en la recta numérica

Para representar un número racional de la forma a/b en la recta numérica determinamos su expresión decimal y luego graficamos en la recta numérica. Otra manera es utilizando el concepto de fracción.

Los números racionales contienen a los enteros

Es decir

Lo podemos mostrar con un ejemplo sencillo

Número Entero (Z):

Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.

Por ejemplo: Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

 Notación

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Representación en la recta numérica

También lo podemos graficar en forma vertical

Los números naturales están incluidos en los enteros el cual lo podemos expresar mediante un gráfico:

En símbolo , lo cual nos indica que para todo x perteneciente a N entonces x pertenece a Z 

Número Natural (N )

Un número natural es cualquier número: 1, 2, 3..., que usan para contar. Reciben  ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser  humano para contar objetos.

El conjunto de los números naturales se representa por N y corresponde al siguiente conjunto numérico:

N= {1,2,3,4,5,6,7 ,…}

Representación en la recta numérica: 

Es un conjunto bien ordenado: por ejemplo, el conjunto del 4 tiene los elementos 0, 1, 2 y 3, y se ordenan 0 < 1 < 2 < 3.

Número Irracional (I )

Un número irracional son las expresiones decimales no limitados y no periódicos los cuales no pueden expresarse en forma fraccionaria. A este conjunto lo denotamos con la letra I

Ejemplos de números irracionales:

a) Raíces cuadradas de números primos consecutivos:√2 ,√3 ,√5 ,√7 ,√11 ,√13 ,√17 ,√19 ,√23 ,…

b) Las raices cuadradas de números enteros positivos no cuadrados perfectos consecutivos√6 ,√8 ,√10 ,√12 ,√18 ,√20 ,√70 ,…

c) Las raíces cúbicas de números enteros que no sean cubos perfectos3√2 , 3√3 , 3√4 , 3√7 , …

d) El número piπ=3,141592653589793 ….

e) El número ee=2,718281828459 …

f) Los formados en operaciones algebraicas de los anteriores

Nota: Existen raíces que no son irracionales:

√4=± 2√9=±3

OPERACIONES EN R (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN):

Antes de realizar las operaciones, debemos conocer que el conjunto de números reales, R, es la unión del conjunto de los números racionales, Q, y el conjunto de los números irracionales, I .

De acuerdo a la definición, podemos escribir que:

R=Q∪ I

Entonces, son reales:

34

0 ,96 π −√3 3√5 −52

Como los elementos del conjunto I no pertenecen al conjunto Q y viceversa, la intersección de Qe I es un conjunto vacío, ∅ .

1. Operación de Suma (Adición) de números Reales.

1.2.a. Propiedad Conmutativa: dado los números a ,b∈R se tiene:

a+b=b+a

Es decir, el orden de los sumandos en una suma no altera el valor de la misma. Por ejemplo:13+√7=√7+ 1

3

1.2.b. Propiedad Asociativa: dados los números reales a ,b , c∈R se tiene:

(a+b )+c=a+(b+c )Lo que quiere decir que los sumandos pueden ser agrupados en cualquier orden cuando se efectúa la suma. Por ejemplo:

(√3+8 )+ 15=√3+(8+ 1

5 )1.2.c. Elemento Neutro: cero es el elemento neutro (identidad o modulo) de la suma en R porque,

dada a∈R , se tiene:

a+0=0+a=a

1.2.d. Elemento Simétrico: el elemento simétrico de la suma recibe también el nombre de elemento opuesto. De acuerdo a lo anterior, −√2 es el elemento opuesto da √2y tendremos que:

√2+(−√2 )=0

2. Operación de Resta (sustracción) de números Reales.

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. Es decir, dado dos números reales a y b, la sustracción a−b se define como la suma de a con el opuesto de b:

a−b=a+(−b)

De acuerdo a lo anterior:

37−( 1

8 )=37+(−1

8 ) , ó √3−√2=√3+ (−√2 )

Por tanto cumplen las mismas propiedades de la adición en R

3. Operación de Multiplicación de números Reales.

Ahora dentro de las propiedades de la Multiplicación de números reales tenemos:

1.2.e. Propiedad Conmutativa: dado los números a ,b∈R se tiene:

a∗b=b∗a

Es decir, el orden de los factores no altera el resultado de la multiplicación. Por ejemplo:35∗√6=√6∗3

5

1.2.f. Propiedad Asociativa: dados los números reales a ,b , c∈R se tiene:

(a∗b )∗c=a∗(b∗c )Es decir, los factores del producto pueden ser agrupados en cualquier orden cuando se efectúa la multiplicación. Por ejemplo:

(√8∗π )∗13

=√8∗( π∗13 )

1.2.g. Propiedad Distributiva: dados los números reales a ,b , c∈R se tiene:

a∗(b+c )=a∗b+a∗cComo ejemplo tenemos:

π∗(√2+√3 )=π∗√2+π∗√3

1.2.h. Elemento Neutro: uno (1) es el elemento neutro (identidad o modulo) de la multiplicación en R porque, dado un numero cualquiera a∈R , se cumple:

a∗1=aAsí, podemos escribir:

π∗1=π √8∗1=√81.2.i. Elemento Simétrico: dado un numero a∈R , existe otro numero 1/a∈R y tal que:

(a )∗(1/a )=1

Al número 1/a=a−1 se le llama inverso dea. Así:

1/√2 esel elemento simetrico de √2

4. Operación de División de números reales.

Dados los números a∈R yb∈R¿, la división a /b se define como:

a /b=a∗(b−1)

es decir, es lo mismo dividir a por b que multiplicar a por elinverso deb

De acuerdo a lo anterior:

37/ 58=3

7∗5

8

−1

VARIANTES OPERACIONES EN R (SUMA Y MULTIPLICACIÓN):

De acuerdo a lo anterior, un real puede ser un número racional (Q) o un número irracional(I ). Por tanto, la suma de números reales puede tener las siguientes variantes:

1.1.a. Suma de dos números racionales: Un número racional se puede expresar como una fracción o como un número decimal periódico. Por ejemplo.

45

23

1,05 0,75

Entonces, si tomamos los dos primeros números racionales( 45

y23 )tenemos que:

45+ 2

3=12+10

15=22

15=1,4666 …=1,4 6̂

Nota: la suma de dos números racionales es también un número racional.

1.1.b. Suma de un número racional con un número irracional: en este caso, la suma de un número racional con uno irracional da como resultado un número irracional. Por ejemplo:

56+π=0 ,833 …+3 , 1415 …=3 ,9748 … (numeroirracional)

1.1.c. Suma de dos números irracionales: la suma de dos números irracionales es un número irracional. Consideremos la suma de los números irracionales √6=2,4494 … y √11=3,3162…, tendríamos que:

S=√6+√11=2,4494 …+3,3162 …=5,7656 …

La multiplicación de números reales cumple con los mismos esquemas de la multiplicación en Q. La multiplicación en Rse puede tener las siguientes variantes

3.1.a. Multiplicación de números racionales: la multiplicación de dos números racionales es también un número racional. Por ejemplo.

Si tenemos ( 14

y3

10 )resultaria que:

P=

14∗3

10=0,25∗0,30=

340

=0,075

3.1.b. Multiplicación de un número racional por uno irracional: en este caso, la multiplicación de un número racional por uno irracional da como resultado un número irracional. Por ejemplo:

1113

∗√6=0,846∗2,449=2,071854 …(numeroirracional)

3.1.c. Multiplicación de dos números irracionales: la multiplicación de dos números irracionales genera un número real (racional o irracional). Consideremos la multiplicación de los números irracionales π=3,142y √π=1,773 tendríamos que:

P=π∗√π=3,142∗1,773=5,570766

Ahora si tenemos (6,4637 …)∗(−0,8391 …) nos daría lo siguiente:

P= (6,4637 …)∗(−0,8391 …)=−5,42976 …

OPERACIONES EN Q (SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS DE FRACCIONES, SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES):

5. Simplificación de Fracciones:

INTERVALOS:VALOR ABSOLUTO:

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) entre dicho número y el cero en la recta numérica. En la práctica se escribe entre dos barras || y resulta el mismo número sin su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales asi |−5| = 5 o   |5| = 5

 El valor absoluto de un  número entero está asociado al opuesto de un número. El opuesto de a es - a y  el opuesto de - a  es - ( -a ) = a

 En notación matemática: 

   x  , si x > 0       i    0  , si x = 0  ii

-  x ,  si x < 0  iii

 Ejemplos:

1) | 10 | = 10                        ( aplicando i )  2) |  0  | = 0                          ( aplicando ii ) 3) | -80 | = - ( - 80) = 80        ( aplicando iii )