МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені Володимира Даля
ТЕКСТИ ЛЕКЦІЙ
з дисципліни
«МОДЕЛЮВАННЯ І ПРОГНОЗУВАННЯ СТАНУ ДОВКІЛЛЯ»
Частина 1
(для студентів денної та заочної форм навчання за напрямом
"Екологія, охорона навколишнього середовища
та збалансоване природокористування")
Затверджено
на засіданні кафедри
"Технології неорганічних речовин та екології".
Протокол № 9
від 23.03.16
Сєвєродонецьк, 2016
УДК 519.242;51-76
Тексти лекцій з дисципліни «Моделювання і прогнозування стану
довкілля». Ч. 1. (для студентів денної та заочної форм навчання за
напрямом "Екологія, охорона навколишнього середовища та
збалансоване природокористування"). / Уклад.: І.В. Кравченко. –
Сєвєродонецьк: вид-во СНУ ім. В. Даля, 2016. – 98 с.
Наведено матеріали лекційних занять зі списком рекомендованої
літератури для більш глибокого їх засвоєння та переліком питань до
кожної теми для самопідготовки.
Укладачі:І.В. Кравченко, к.т.н., доц.
Відповідальний за випускО.В. Суворін, д.т.н., проф.
РецензентН.К. Блінова, к.б.н., доц.
ЗМІСТ
Тема 1. Загальні поняття. Предмет вивчення дисципліни4
Запитання для самоперевірки:11
Тема 2. Блокові моделі екосистем12
Запитання для самоперевірки:18
Тема 3. Математична статистика18
Емпіричні розподіли і числові характеристики спостережень20
Графічне представлення експериментальних даних22
Числові характеристики спостережень23
Стандартна помилка середнього арифметичного27
Закон нормального розподілу28
Деякі спеціальні безперервні розподіли31
Критерії оцінки генеральних параметрів32
Визначення необхідного обсягу вибірки для отримання оцінок
заданої точності35
Критерії значимості і перевірка гіпотез36
Рівні значущості37
f-критерій Фішера38
t - критерій Стьюдента39
Критерії згоди42
Непараметричні критерії42
Критерій Вілкоксона або Уайта43
Кореляція45
Запитання для самоперевірки:46
Тема 4. Моделі поширення домішок в атмосфері від стаціонарних
джерел46
Поведінка потоку, викидаємого в атмосферу47
Перелік основних моделей, що використовуються для оцінки
забруднення атмосфери52
ОНД-86 на прикладі програми ЕОМ54
Запитання для самоперевірки:57
Тема 5. Основи моделювання та прогнозування екологічного стану
поверхневих вод58
Показники просторового розповсюдження забруднюючих речовин у
воді водного об’єкта64
Моделювання процесів розповсюдження забруднюючих речовин у воді
водного об’єкта65
Моделювання факторів впливу на процеси розповсюдження
забруднюючих речовин у воді водного об’єкта68
Моделювання концентрації забруднюючих речовин у водному
середовищі75
Моделювання екологічного стану та якості поверхневих вод83
Запитання для самоперевірки:86
Додаток 189
Додаток 295
Література:97
Тема 1. Загальні поняття. Предмет вивчення дисципліни
Моделювання - це дослідження об'єкта шляхом побудови і вивчення
його моделі, здійснюване з певною метою, і полягає в заміні
експерименту на оригіналі експериментом на моделі.
Моделювання - це метод дослідження реальних і абстрактних
об'єктів-прототипів на умовних образах, схемах, фізичних об'єктах,
що відрізняються від прототипу, але аналогічні йому за будовою або
типу поведінки, з використанням методів аналогії, теорії подібності
та теорії обробки даних експерименту.
Методологічна основа досліджень в екології - це системний
підхід, орієнтований на вивчення специфічних характеристик складно
організованих об'єктів, різноманіття зв'язків між елементами в
об'єкті, їх різноякісності і підпорядкування. Використання цього
методу дозволяє отримати цілісне уявлення про досліджуваний
об'єкт.
Багато ідей системного підходу висловлювалися низкою філософів і
натуралістів ще в ХVIII-XIX століттях. Особливо чітко вони були
висловлені Ю.Лібіхом. Він підкреслював, що між усіма явищами в
мінеральному, рослинному і тваринному царствах, які обумовлюють
існування життя на поверхні Землі, є закономірний зв'язок. В
результаті жодне явище не існує само по собі, окремо, воно завжди з
одним або декількома іншими.
Подальшому формуванню системного підходу на природничонауковій
базі послужили роботи В.І.Вернадського, Л.Берталанфі,
Н.А.Берштейна, В.В.Докучаєва і проникнення ідей кібернетики в
біологію.
Системний підхід до вивчення екосистем полягає у визначенні
складових частин, що утворюють її, і взаємодії з ними об'єктів
навколишнього середовища, у встановленні структури екосистеми і
знаходженні закону функціонування екосистеми, що визначає характер
зміни компонентів екосистеми і зв'язків між ними під дією зовнішніх
об'єктів.
Під системою розуміють множину об’єктів разом з відношеннями
(зв’язками) між цими об’єктами та їх атрибутами. Об’єкти – це
окремі частини або елементи системи, причому їх може бути
необмежена множина; атрибути – це властивості об’єктів; відношення,
чи зв’язки, – це ті властивості системи, що об’єднують її в єдине
ціле. Елементом системи вважають таку її частину, яка не підлягає
подальшому поділу, щоб виконувати властиві функції.
У сучасній екології для досліджень і аналізу екосистем існують
три групи методів досліджень: польові спостереження, експерименти в
поле і лабораторії, моделювання.
Польові спостереження - метод безпосереднього спостереження
екосистеми, що вивчається, або її певних компонентів в природних
умовах без втручання експериментатора в її склад і функціонування.
Серед польових спостережень поширений еколого-географічний метод,
який передбачає застосування ландшафтних досліджень.
При проведенні експерименту, на відміну від пасивного
спостереження, дослідник свідомо виробляє певні зміни в екосистемі.
Залежно від місця проведення досліди поділяють на польові та
лабораторні. Польові досліди практично неконтрольовані. У
лабораторних дослідах можна забезпечити контроль великої кількості
факторів. Експерименти бувають однофакторні, коли вивчається вплив
одного фактора на екосистему на тлі фіксованих інших факторів; і
багатофакторні - коли дослідник змінює не один, а відразу кілька
факторів, що дозволяє при подальшій математичній обробці отримати
багатофакторний опис - рівняння досліджуваного процесу.
Організм як елементарна частинка живої природи в середовищі
свого існування знаходиться під одночасним впливом кліматичних і
біотичних факторів, які разом називають екологічними. Екологічний
фактор - це будь-який елемент середовища, здатний прямо чи
опосередковано впливати на організми хоча б упродовж однієї фази їх
розвитку. Екологічні фактори можна об'єднати по природі їх
походження або в залежності від їх динаміки і впливу на
організм.
За характером походження розрізняють:
• абіотичні фактори, які обумовлені дією неживої природи і
поділяються на кліматичні (температура, світло, сонячна радіація,
вода, вітер, кислотність, солоність, вогонь, опади і т.д.),
орографічні (рельєф, кут нахилу) і геологічні;
• біотичні - це дія одних організмів на інші, включаючи всі
взаємодії між ними;
• антропогенні - вплив на живу природу життєдіяльності
людини.
За характером дії фактори класифікують як:
• стабільні - не змінні впродовж тривалого часу (земне тяжіння,
склад атмосфери). Вони зумовлюють загальні пристосовницькі
властивості організмів;
• змінні, в свою чергу підрозділяються на закономірно змінні та
випадково змінні. До закономірно змінних відносяться періодичність
добових і сезонних змін. Ці фактори обумовлюють певну циклічність у
житті організмів (міграції, сплячку, добову активність та ін.
періодичні явища і життєві ритми). Випадково змінні фактори
об'єднують біотичні, абіотичні і антропогенні фактори, вплив яких
повторюється без певної періодичності (перепади температури, дощ,
вітер, град, епідемії, вплив хижаків тощо.)
Зараз вважається, що вивчення складних систем (в т.ч. екосистем)
найефективніше при поєднанні експериментального методу і
моделювання, а найкращі результати досягаються в тому випадку, коли
дослідження ретельно сплановані.
Метод моделювання - це побудова, перевірка, дослідження моделей
і інтерпретація отриманих результатів. Модель - це штучно створений
об'єкт будь-якої природи, більш простий по зв'язках, ніж
досліджуваний оригінал.
Математична модель - це рівняння або система рівнянь, що
дозволяє розрахувати (спрогнозувати) вплив факторів на
досліджуваний об'єкт.
Процес моделювання складається з декількох етапів:
• складання формалізованого опису, в ході якого описуються
досліджувані фактори і визначаються допущення і обмеження, що
накладаються на модель;
• створення математичного опису, тобто вираз формалізованого
опису на мові математики;
• знаходження алгоритму рішення складеної системи рівнянь з
метою визначення коефіцієнтів моделі.
Залежно від завдань дослідження і особливостей системи-оригіналу
розробляються різноманітні моделі, які можна класифікувати за
різними ознаками.
Реальні моделі відображають найбільш суттєві риси оригіналу.
Наприклад, акваріум з рослинністю, тваринним і мікробним населенням
відтворює деякі риси населених водойм хоча б тому, що сам є
водоймою. При натурному моделюванні важко обґрунтувати адекватність
моделі і оригіналу і можливість застосування результатів
моделювання до оригіналу.
Найбільше значення при моделюванні екосистем мають концептуальні
та математичні моделі.
Концептуальна модель - більш формалізований і систематизований
варіант традиційного природничо-наукового опису досліджуваної
екосистеми. Вона складається з наукового тексту, супроводжуваного
блок-схемою системи, таблицями, графіками й іншими ілюстративними
матеріалами. Термін «концептуальна модель» підкреслює, що
призначення цієї моделі - бути ясним, узагальненим і досить повним
вираженням знань і уявлень дослідника про досліджувану систему в
світлі певної наукової концепції. Недолік - неоднозначність
інтерпретації (перехід від моделі до оригіналу) і деяка
статичність, що ускладнює опис динамічних систем.
Для опису динамічних систем використовують математичні моделі.
Як приклад можна привести систему, що складається з однієї
популяції, яка існує в умовах великої кількості корму і відсутності
ворогів і паразитів. Припустимо, що в таких умовах приріст
популяції пропорційний досягнутої чисельності, причому питома
швидкість приросту Z залежить від єдиного зовнішнього фактора -
температури навколишнього середовища, яка в даному проміжку часу
вважається відомою. Структуру моделі утворюють три математичних
рівняння:
де V(t) - динаміка зовнішнього середовища в проміжку часу ; x(τ)
- чисельність популяції в момент часу .
Перше рівняння виражає лінійну залежність швидкості росту
популяції від її чисельності х з мінливим у часі коефіцієнтом
питомого приросту Z(t). Друге рівняння - математичний вираз
залежності швидкості приросту від температури, де V(t) - функція,
що описує (визначає) зміну температури в часі.
Після складання системи рівнянь знаходять алгоритм чисельного
рішення. За вхідним і вихідним даним розраховують значення змінних
стану х1 (), ......, хn () в даному проміжку часу. Такі моделі
називають чисельними та імітаційними.
Залежно від ступеня визначеності передбачення моделі діляться на
детерміновані і стохастичні (ймовірнісні). У детермінованих моделях
значення змінних стану визначаються однозначно з точністю до
помилок обчислення, а в стохастичних моделях для кожної змінної х1
є розподіл можливих значень, які характеризуються імовірнісними
показниками (математичне очікування М(хі), середньоквадратичне
значення σ(хі) тощо).
За характером часу опису динаміки змінних стану хі() розрізняють
дискретні і безперервні моделі. Дискретна модель описує поведінку
системи по фіксованій послідовності моментів часу . У безперервних
моделях значення змінних стану можуть бути розраховані для
будь-якої точки розглянутого інтервалу ().
Математичні моделі екосистем можуть відрізнятися за характером
опису їх просторової будови. Якщо просторова будова екосистеми в
моделі не розглядається, а змінна стану залежить тільки від часу,
то такі моделі називаються моделями з зосередженими значеннями
змінних, або точковими.
У моделях з розподіленими значеннями змінних стану хі залежать
не тільки від часу, але і від просторових координат.
Загальна схема системного підходу до вивчення екосистем
Системний підхід передбачає інтеграцію методів дослідження
(спостереження, експеримент, моделювання).
Процес дослідження поділяють на кілька етапів, які послідовно
змінюють один одного або збігаються в часі:
1. Постановка завдання - для вирішення окремих проблем потрібно
виділити в системі кінцеве число властивостей або процесів, які
мають найбільше значення для вирішення поставленого завдання.
Призначення етапу - конкретизувати число можливих напрямків і
аспектів вивчення екосистеми.
2. Концептуалізація - формулюються відомості і уявлення про
досліджувану екосистему у вигляді досить повної і логічно не
суперечливою моделі. В першу чергу визначається місце екосистеми в
ландшафті, встановлюються зв'язки з сусідніми екосистемами. Потім в
моделі розкриваються склад, структура і деякі особливості
функціонування екосистеми. Структура екосистеми представляється її
зв'язками із зовнішніми об'єктами і зв'язками внутрішніх елементів
один з одним. В рамках концептуальної моделі характеристику
функціонування екосистеми дають у вигляді словесного опису часової
динаміки компонентів і їх взаємодій, а також у вигляді графіків,
таблиць, що відображають зміни кількісних показників.
3. Специфікація - призначення етапу в тому, щоб визначити склад
вхідних змінних і змінних стану майбутньої математичної моделі і,
по можливості, строго і однозначно задати функцію, визначити методи
і одиниці вимірювання.
4. Спостереження - за результатами специфікації плануються і
здійснюються польові спостереження за динамікою досліджуваних
властивостей екосистеми і середовища. Результати спостережень
використовують на наступних етапах роботи, або можуть бути
підставою для перегляду концептуальної моделі.
5. Ідентифікація - це встановлення математичних співвідношень
між вхідними змінними і змінними стану (виведення рівняння).
6. Експерименти - при необхідності проводять для перевірки
різних гіпотез про характер зв'язку між змінними.
7. Реалізація моделі - це розрахунок динаміки змінних стану (на
ЕОМ).
8. Перевірка моделі - встановлення адекватності моделі:
порівнюють розрахункові криві динаміки змінних стану з даними
спостереження (верифікація). У разі хорошого збігу розрахункових і
емпіричних значень - результати спостережень не суперечать моделі і
немає підстав для її перегляду. Або відтворюють в моделі ситуації,
що імітують різноманітні впливи і порівнюють результати імітації з
показаннями експериментів.
9. Дослідження моделі - це теоретичне дослідження за допомогою
методів математичного аналізу.
10. Оптимізація - серед зовнішніх факторів, що впливають на
екосистему, існують такі, які можна регулювати, тобто за допомогою
математичної моделі і методів оптимізації знаходять оптимальні
значення цих факторів.
11. Заключний синтез - на цьому етапі складається звіт, в якому
оцінюються отримані результати і наводяться рекомендації по
натурній оптимізації або прогнозним розрахункам.
Прогнозування – це науково обґрунтоване передбачення перспектив
розвитку тієї чи іншої системи, а також власне сам процес його
отримання.
Екологічним прогнозуванням називають передбачення стійких змін у
навколишньому середовищі, що відбуваються внаслідок складних
ланцюгових реакцій, зв’язаних як з безпосереднім впливом людства на
довкілля, так і з опосередкованими наслідками цих впливів.
Результатом прогнозування є прогноз – сукупність науково
передбачених даних щодо значень параметрів системи у певні майбутні
моменти часу.
Можна навести такі приклади екологічних прогнозів:
· прогноз змін в екосистемі під впливом антропогенного
фактора;
· прогноз змін коло обігу речовин та енергії, кліматичних,
ґрунтових та інших змін;
· прогноз рибальського, мисливського та інших промислів,
тощо.
Класифікація прогнозів
За метою та задачами передбачення вирізняють наступні види
прогнозів:
1) прогноз дії на середовище – науково обґрунтоване передбачення
видів, шляхів і чинників антропогенного впливу на довкілля, що
відбувається внаслідок будівництва та введення в експлуатацію нових
будівель, виробничих потужностей і технологій у регіоні;
2) прогноз реакції середовища - науково обґрунтоване
передбачення стійких змін у природному середовищі, викликаних
прямою або побічною дією, зазначених вище чинників; зокрема, до
таких змін слід включити і ті з них, які внаслідок значного їх
запізнення або віддаленого зв’язку з антропогенним впливом
помилково відносять на рахунок дії тих чи інших природних
чинників;
3) прогноз зміни середовища - науково обґрунтоване передбачення
інтегрованих змін у природному середовищі під дією всієї сукупності
природно-антропогенних чинників.
Залежно від граничного терміну обґрунтованого прогнозування
розрізняють:
· короткочасні, або оперативні прогнози (на 1-2 роки);
· прогнози середньої тривалості (на 5-10 років);
· довгострокові прогнози (на 15-25 років);
· над довгострокові прогнози (на 50-100 років).
За масштабами передбачуваних явищ екологічні прогнози поділяють
на:
· глобальні (фізико-географічні);
· регіональні (в межах кількох країн, одного материка, океану
тощо);
· національні (в межах країни);
· локальні (для невеликих територій).
Усі існуючі методи прогнозування стану природного середовища
можна об’єднати у три основні групи:
· евристичні методи експертної оцінки;
· методи екстраполювання (статистичні методи);
· методи математичного моделювання.
1) Метод експертної оцінки (метод евристичного, або інтуїтивного
прогнозування чи передбачення – так званий метод Делфі) базується
на логічному моделюванні й полягає у вилученні прихованих у людини
знань шляхом штучних навідних запитань. Сутність методу у
спеціалізованій експертній оцінці та математичній обробці анкет.
Метод слід використовувати тоді, коли об’єкти прогнозування не
підлягають повній або частковій формалізації. В основі методу
лежить система отримання та обробки інформації шляхом
цілеспрямованого індивідуального опитування експертів у вузькій
галузі науки, техніки та виробництва. Метод можна застосовувати для
підвищення прогнозів, отриманих іншими методами.
2) Метод екстраполювання полягає у перенесенні даних, отриманих
у певній галузі діяльності (у певному діапазоні), на більш або менш
широкі аналогічні галузі (діапазони). Різновидами методу
екстраполювання є статистичні методи оцінки наступного ряду значень
деякої властивості, виходячи з попереднього характеру кривої
(продовження відомого ряду, існуючої тенденції на майбутній
відрізок часу чи на поки не відомий, але передбачуваний аналогічний
простір). Іноді до екстраполяції відносять також пошук проміжних
значень деякої властивості між відомими її значеннями –
інтерполяцію прямолінійну, експоненціальну або за іншими
заздалегідь відомими кривими змін. Метод екстраполювання
застосовують вибірково для короткострокових (оперативних
прогнозів), у тому разі, коли розвиток процесів протягом значного
проміжку часу відбувається рівномірно, без значних стрибків.
До переваг статистичних методів прогнозу належить їхня відносна
простота; до їх недоліків належать:
· низька точність та достовірність;
· імовірнісний характер;
· неможливість застосування в умовах мінливого середовища, при
появі нових впливових факторів, тощо.
Наприклад, саме з цих причин статистичні методи побудови
прогнозу погоди можуть дати досить точні значення середньорічної
температури, середньорічної кількості опадів, тощо, але не можуть
вказати їх точні значення для конкретного місця на конкретну годину
у віддаленому майбутньому.
3) Метод математичного моделювання процесів полягає в детальному
аналізі причин можливих змін у стані довкілля, побудові теорії
часткових процесів і подальшому створенні спрощеної версії будови
загального процесу – об’єднаної моделі реальної системи. Моделі
відображають найсуттєвіші, найважливіші властивості та функції
деякого складного процесу чи об’єкта. При прогнозуванні наслідків
антропогенних впливів на природне середовище розрізняють геофізичні
моделі (моделі процесів переносу або перетворення забруднюючих
речовин у навколишньому середовищі) та екологічні моделі
(наприклад, зміни стану екосистеми під впливом забруднення). Саме
фізико-математична і хіміко-математична база дозволяє вирішити
найбільш важку задачу всіх наук про Землю: розробити об’єктивні
методи достовірного розрахунку майбутніх станів екосистеми.
Запитання для самоперевірки:
1) Що таке моделювання і для чого воно застосовується?
2) Запропонуйте вичерпне визначення екосистеми.
3) Які методи досліджень використовують в екології?
4) Що таке однофакторний та багатофакторний експерименти?
5) Назвіть екологічні фактори?
6) Як класифікують моделі?
7) У чому полягає системний підхід до вивчення реальних
систем?
8) Назвіть основні види екологічних прогнозів. У чому полягає їх
сутність та зміст?
9) Назвіть основні методи побудови екопрогнозів.
10) Що таке евристичні прогнози?
11) У чому полягають переваги і недоліки методу
екстраполяції?
12) У чому полягають переваги і недоліки методу математичного
моделювання?
13) Назвіть головні відмінності довгострокового та оперативного
прогнозування?
Тема 2. Блокові моделі екосистем
Блокові моделі відносять до простих моделей. При їх побудові
стежать за кількістю речовини (енергії) у системі, організацією
потоків і перетвореннями речовини (енергії) у системі при переході
з вихідного, початкового стану в кінцевий.
Блокові моделі є значною мірою узагальненими і мало
реалістичними. Основні принципи застосування блокових моделей в
екології були описані Ван-Дайном (1969) і Патенном (1971). Вони
полягають у тому, що дослідників цікавлять, головним чином,
проблеми загальної динаміки екосистеми в цілому як одиниці, що
здійснює переробку (кругообіг) поживних речовин. Сама екосистема
при цьому розглядається як сукупність блоків (резервуарів) енергії
чи поживних речовин.
Складні процеси всередині блоку, пов’язані з життєдіяльністю
популяцій, що утворюють блок, відсуваються на задній план, оскільки
ці процеси значною мірою врівноважують один одного так, що процес у
цілому виявляється досить простим і може бути описаний за допомогою
простих узагальнених параметрів.
Як результат, при побудові блокової моделі дослідник має справу
не із структурою, а лише з розмірами окремих блоків, а також з
потоками речовини й енергії між блоками.
Параметри блоків і потоків можуть бути отримані експериментально
шляхом спостереження за зміною розмірів блоків у часі.
Для того, щоб перевірити адекватність моделі, треба записати
систему диференціальних рівнянь, що описують зміну розмірів блоків
у часі в результаті наявності єднальних потоків і взаємодій між
блоками, тобто побудувати балансову модель, що відповідає блоковій.
Розв’язуючи ці рівняння, порівнюють динаміку їхньої зміни з
динамікою дослідних даних. Модель вважається задовільною, якщо дані
досліду і розрахунку в цілому збігаються.
Усяка екосистема являє собою відкриту систему, що обмінюється із
середовищем речовиною та енергією. Це твердження носить загальний
характер, оскільки стаціонарна дисипативна система (тобто система з
внутрішнім споживанням енергії) може існувати тільки в умовах
обміну енергією із середовищем. З цієї причини зовнішнє середовище,
вхідні й вихідні потоки – це найважливіші параметри моделювання
екосистеми.
При побудові моделі екосистеми потрібно визначити:
· розміри екосистеми – простір (площа, об’єм), точніше,
максимальний розмір простору, що забезпечує можливість здійснення
процесів саморегуляції та самовідновлення сукупності складових
екосистеми, елементів і компонентів, які утворюють середовище;
· субсистеми (компоненти) – частини системи, що вважаються
важливими для загального функціонування системи;
· проміжок часу, на якому розглядається динаміка розвитку
екосистеми.
Спрощена модель екосистеми
Спрощена модель екосистеми, зображена на рис.1, містить три
компоненти, що взаємодіють між собою:
a) співтовариства екосистеми (продуценти, косументи і
редуценти[footnoteRef:1]); [1: Продуценти (виробники) - автотрофні
організми, що створюють органічні речовини з неорганічних; основні
продуценти у всіх біоценозах — зелені рослини; консументи
(споживачі) - гетеротрофні організми, які харчуються за рахунок
автотрофних; редуценти (відновники) - тварини, які харчуються
залишками організмів, що розкладаються (сапрофаги), і особливо
непаразитуючі гетеротрофні мікроорганізми - сприяють мінералізації
органічних речовин, їх переходу в стан, коли можливе їх засвоєння
продуцентами.]
b) потоки енергії;
c) кругообіг речовин,
і враховує наявність резервуарів речовини й енергії.
Рис.1. Спрощена модель екосистеми:
Е – джерело енергії (Сонце); Q – стік тепла; А -
автотрофи[footnoteRef:2]; Н1-Н3 -
гетеротрофи[footnoteRef:3]-консументи; Нс – гетеротрофи-редуценти
(сапрофіти). Літерою S позначені резервуари речовини й енергії;
трикутник позначає перетворення енергії в процесі фотосинтезу. [2:
Автотрофи — організми, що синтезують із неорганічних речовин
(головним чином води, діоксиду вуглецю, неорганічних сполук азоту)
всі необхідні для життя органічні речовини, використовуючи енергію
фотосинтезу.] [3: Гетеротро́фи — організми, що вимагають органічних
сполук, як джерела вуглецю, для росту й розвитку.]
Потік енергії Сонця (Е) спрямований односторонньо (всередину
системи). Частина сонячної енергії, що надходить, засвоюється
співтовариством (автотрофами) і трансформується ними в більш
концентровану й організовану форму – в органічну речовину. Більша
частина енергії Е деградує в теплову форму, проходить через
екосистему і покидає її, що в блоковій моделі подано у вигляді
стоку тепла Q. Енергія може накопичуватися в співтовариствах
екосистеми, перетворюватися з однієї органічної форми в іншу, а
також вивільнятися чи експортуватися, але вона не може
використовуватися двічі: на кожному етапі взаємодії частина енергії
перетворюється в нові форми, а та частина, що використовується для
функціонування живих істот, перетворюється в тепло й енергію
неорганічних сполук.
На відміну від енергії, поживні елементи і вода можуть
використовуватися багаторазово, утворюючи тим самим кругообіг
речовин. Ефективність повторного використання, імпорт і експорт
речовин-елементів харчування можуть змінюватися в широких
межах.
Відкриті екосистеми
Наявність джерел і стоків енергії, а також експорту-імпорту
речовин демонструють відкритість екосистеми.
Екосистема доцільним чином відкрита для потоків речовин і
енергії, еміграції й імміграції організмів через її кордони. Тому
концепція екосистеми повинна враховувати зв’язані між собою потоки
речовин і енергії на вході й виході (на межі з середовищем),
необхідні для функціонування системи та її самопідтримки
(рис.2).
Рис.2. Відкрита система
Масштаби впливу середовища на екосистему на вході й виході
сильно залежать від обставин. На них впливають такі фактори,
як:
a) розміри системи (чим більші геометричні розміри екосистеми й
чим більший у ній запас енергії та речовини, тим менше впливає на
її стан навколишнє середовище;
b) інтенсивність обміну (чим більша густина потоку речовин і
енергії, тим сильніший вплив на систему і тим інтенсивніше течуть у
ній процеси);
c) збалансованість автотрофних і гетеротрофних процесів
усередині системи (чим сильніше порушена рівновага між автотрофами
і гетеротрофами, тим більший приплив енергії в систему чи відтік
енергії з неї необхідний для відновлення рівноваги);
d) вік системи (молоді системи вимагають більшого припливу
енергії та речовини, ніж зрілі).
Елементарні блокові системи
Математичне моделювання, як правило, починають з побудови
графічної блокової моделі. Такі моделі мають вид графа – сукупності
вершин, що символізують компоненти системи, і ребер, що з’єднують
визначені вершини і символізують наявність зв’язку між відповідними
компонентами системи. За їх допомогою можна наочно уявити собі
структуру досліджуваної системи, а також структуру і ієрархію
зв’язків в ній.
Усяка графічна блокова модель може бути подана як сукупність
деяких простих (елементарних) блокових моделей. Розглянемо деякі з
них.
Модель «пряме перетворення»
Моделями типу «пряме перетворення» називають такі з них, що не
містять замкнутих шляхів – контурів. Приклад такої моделі зображено
на рис.3.
Рис.3. Модель системи з прямим перетворенням:
Е – рушійна сила, зовнішній фактор (спрямована енергія); Р –
властивості (змінні стану);
I – взаємодія компонентів; F – потоки речовини й енергії
На схемі Р1 і Р2 – дві властивості, які при взаємодії І дають
деяку третю властивість Р3 (або впливають на нього), коли система
отримує енергію від джерела Е. Позначені також п’ять напрямків
потоків речовини та енергії (F), з яких F1 – вхід, а F6 – вихід для
системи як для цілого. Таким чином, у працюючій моделі екологічної
ситуації як мінімум чотири інгредієнти або компонента, а саме: 1)
джерело енергії або інша зовнішня рушійна сила; 2) властивості, які
називають змінними стану; 3) напрямки потоків, що пов’язують
властивості між собою і з рушійними силами через потоки енергії і
речовини; 4) взаємодії або функції взаємодій, де взаємодіють між
собою сили та властивості, змінюючи, підсилюючи або контролюючи
переміщення речовин та енергії, або створюючи емерджентні
властивості[footnoteRef:4]. [4: Емерджентні властивості – нові
властивості, непритаманні системі та не рівні сумі початкових
властивостей.]
Приклад застосуванні цієї схеми – лугова (пасовищна) екосистема,
в якій Р1 – зелені рослини, що перетворюють сонячну енергію Е у
їжу. Р2 травоїдна тварина, що поїдає рослини, а Р3 – всеїдна
тварина, яка може харчуватися або травоїдними тваринами, або
рослинами. Взаємодія I може представляти декілька можливостей. Це
може бути «випадковий» перемикач, якщо спостереження в реальному
світі показали, що всеїдна тварина Р3 харчується Р1 і Р2 без
розбору в залежності від їх доступності. Або ж І може мати постійне
процентне значення, якщо виявлено, що раціон Р3 складається,
наприклад, на 80% з рослинної і на 20% з тваринної їжі незалежно
від того, які є запаси Р1 и Р2. Або І може бути «сезонним»
перемикачем в тому випадку, коли Р3 харчується рослинами в один
сезон року і тваринами – в інший. Наприкінці, І може бути пороговим
перемикачем, якщо Р3 сильно воліє тваринну їжу та переходить на
рослини тільки тоді, коли рівень Р2 падає нижче визначеного
порогу.
Блок-схема (рис.3) може бути моделлю утворення смогу в повітрі
над Лос-Анджелесом. В цьому випадку Р1 – це вуглеводні, а Р2 –
оксиди нітрогену, два типа хімічних сполук, що містяться у
вихлопних газах автомобілів. Під дією рушійної сили – енергії
сонячного світла Е – вони реагують між собою і дають смог Р3. Тобто
взаємодія І надає синергічний, підсилюючий ефект, оскільки Р3 більш
небезпечний для здоров’я людей, ніж Р1 або Р2, що діють
нарізно.
Модель «контур зворотного зв’язку» (або «петля керування»)
Елементарна блокова модель з петлею зворотного зв’язку зображена
на рис.4.
Рис.4. Елементарна блокова модель з петлею зворотного
зв’язку
Тут потік F3, який утворюється в нижній частині русла,
спрямований у верхню частину русла і вливає на утворення
компонентів, називають потоком зворотного зв’язку. Зворотний
зв’язок називається позитивним, якщо він поліпшує (підсилює) дію
вхідного потоку F1. Зворотний зв’язок називається негативним, якщо
він послаблює дію потоку F1 (тобто якщо при наявності такого
зв’язку вихідний потік F4 стає меншим, ніж за відсутності зв’язку,
при т ому самому значенні F1).
Прикладом застосування такої блокової моделі може служити процес
утворення промислових відходів. У цьому випадку: Е – це сировинні й
енергетичні ресурси, що перетворюються в товарну масу Р1 з
утворенням відходів виробництва Р2. Відходи Р2 після деякої
переробки знову направляються на вхід системи як вторинна сировина.
Тим самим збільшується вихід товарів Р1 і зменшується потік
остаточних відходів F4 при заданому потоці F1. Таким чином, тут
маємо приклад негативного (щодо відходів) зворотного зв’язку.
Модель «внутрішня петля зворотного зв’язку»
Приклад елементарної блокової моделі системи з внутрішньою
петлею зворотного зв’язку показаний на рис.5.
(Стан системиzxyzyx)
Рис.5. Елементарна блокова модель системи з внутрішньою петлею
зворотного зв’язку
Ця модель відображає стан екосистеми, який визначається не
тільки впливом зовнішніх факторів, але й здатністю системи до
саморегулювання. Така система має два типи вхідних сигналів:
a) z – зовнішній (вхідний) сигнал;
b) zx – сигнал, що виробляється самою системою і подається на її
вхід паралельно зовнішньому сигналу.
Сигнал zx залежить від стану системи, тому залежність від zx не
пряма (як у попередній схемі), а побічна; це відбито існуванням
двох виходів: у і ух.
Внутрішній сигнал zx має на меті стабілізувати стан системи,
якщо його дія протилежна дії сигналу z, тобто зворотний зв’язок є
негативним. Якщо зв’язок, навпаки, позитивний, то система буде
нестійкою.
Для прикладу розглянемо систему регулювання температури у
теплокровних тварин. Тут z – температура Т навколишнього
середовища. При підвищенні Т у теплокровних організмів виникають
реакції, що зменшують тепловиділення (за рахунок зниження
інтенсивності обміну речовин) і збільшують тепловіддачу (прискорене
дихання, потовиділення, розширення підшкірних судин). Цей сигнал zx
викликає зниження температури організму, тим самим компенсуючи її
підвищення за рахунок підвищення температури довкілля.
Інший приклад – парниковий ефект. Підвищення Т веде до посилення
випаровування води і поглинання випромінювання Землі, тобто сигнал
zx у цьому випадку діє в тому самому напрямку, що і z. Отже, в
такій системі є петля позитивного зворотного зв’язку, тому вона не
стійка.
Запитання для самоперевірки:
1. В чому полягають переваги і недоліки блокових моделей
екосистем?
2. Що потрібно визначити при побудові моделі екосистеми?
3. З яких компонентів складається спрощена модель
екосистеми?
4. Наведіть приклади моделей систем з прямим перетворенням?
5. Наведіть приклади моделей з «петлею керування»
6. Наведіть приклади моделей з «внутрішньою петлею зворотного
зв’язку»
Тема 3. Математична статистика
Математична статистика - розділ математики, присвячений методам
збору, аналізу і обробки статистичних даних для наукових і
практичних цілей, оперує великим числом об'єктів і аналізує масові
явища.
Введемо деякі визначення.
Генеральна сукупність - вихідна сукупність (абсолютна кількість
об'єктів, яка існує в наявності взагалі, наприклад, всі абітурієнти
університету 2000 р.)
Вибірка - частина об'єктів дослідження, певним чином обрана з
генеральної сукупності (наприклад, абітурієнти факультету хімічної
інженерії 2000 р. – це об'єкти дослідження, вибрані з генеральної
сукупності за ознакою приналежності до факультету).
Існують методи, що дозволяють однозначно сказати про те, що
вибірка є представницькою (репрезентативною) по відношенню до
генеральної сукупності. До них відносяться:
1) Методи відбору об'єктів з генеральної сукупності у
вибірку:
а) жеребкування;б) механічний відбір;в) типовий відбір;г)
серійний відбір.
2) Методи точкових та інтервальних оцінок, що дозволяють виявити
максимально близькі значення і межі інтервалів, між якими з більшою
ймовірністю знаходяться дійсні значення шуканих параметрів.
3) Методи, що дозволяють виявити той мінімальний обсяг вибірки,
який би дозволяв судити про середнє значення генеральної сукупності
не більше ніж з помилкою на задану величину після проведення
контрольних зрізів.
4) Дослідник отримує первинний цифровий матеріал, що представляє
собою, як правило, великий обсяг числових даних. Масив цих чисел
дуже великий, і зробити якісь висновки безпосередньо по ним
неможливо. Тут використовуються методи описової статистики:
а) Угруповання даних і подання їх у вигляді статистичних таблиць
з виділенням в них варіаційних рядів.
б) Графічне представлення експериментальних даних у вигляді
гістограм і полігону частот.
5) Методи, що дають уявлення про кількісні числові
характеристики:
1. Характеристики положення:
а) середнє арифметичне;
б) медіана;
в) мода.
2. Характеристики розсіювання:
а) дисперсія;
б) стандартне відхилення;
в) коефіцієнт варіації.
3. Характеристики асиметрії емпіричних розподілів:
а) асиметрія;
б) ексцес.
6) Після отримання середніх значень і характеристик розсіювання
експериментальних даних, дослідник бачить, що показники в
контрольній та експериментальній групах розрізняються. Виникає
питання, наскільки достовірні ці відмінності? Це результат
нововведення чи випадковість? Ці питання вирішують методи перевірки
статистичних гіпотез:
1. Критерії, засновані на нормальному розподілі:
а) F - критерій Фішера;
б) t - критерій Стьюдента;
в) U - критерії.
2. Критерії згоди:
а) χ2 - критерій (критерій хі-квадрат);
б) критерій Шапіро-Уілкі.
3. Непараметричні критерії:
а) критерій Вілкоксона.
7) Дуже часто метою дослідження є встановлення наявності та
ступеня зв'язку між результатом і певним параметром або окремими
показниками, подібні завдання вирішуються методами кореляційного і
регресивного аналізу.
8) Крім того, в деяких випадках дослідникові цікаво дізнатися
ступінь тісноти взаємозв'язку одного показника з двома, трьома,
чотирма і більше аргументами, що впливають на цей показник.
Наприклад, з області біомеханічної науки: якою мірою (в процентному
відношенні сумарно) впливають на результат стрибка в довжину з
розбігу: початкова швидкість розбігу; швидкість розбігу на 3 метри
до відштовхування; величина кута постановки поштовхової ноги на
відштовхуванні; величина кута згинання в колінному суглобі і
швидкість руху махової ноги під час відштовхування, висоти польоту
в польотній фазі стрибка і т.д. Це приклад з безліччю невідомих.
Подібні цьому прикладу рівняння вирішуються за допомогою методів
множинної кореляції і регресії. Ще більш складні питання вирішують
факторні і інші види аналізів.
Емпіричні розподіли і числові характеристики спостережень
Угруповання експериментальних даних
Отримані дані в ході експериментальної роботи представлені у
вигляді невпорядкованого набору чисел. Для того щоб по ним можна
було робити якісь висновки, необхідна первинна їх обробка -
угруповання. Розглянемо угруповання на конкретному прикладі.
Приклад 1: У експерименті отримані дані результатів стрибка
вгору з місця спортсменів баскетболістів (65 осіб): 59, 48, 53, 47,
57, 64, 62, 62, 65, 57, 57, 81, 83, 48, 65, 76 , 53, 61, 60, 37,
51,51, 63, 81, 60, 77, 71, 57, 82, 66, 54, 47, 61, 76, 50, 57, 58,
52, 57, 40, 53 , 66, 71, 61, 61, 55, 73, 50, 70, 59, 50, 59, 83,
69, 67, 66, 47, 56, 60, 43, 54, 47, 81, 76, 69 см.
В даному прикладі число спостережень склало 65 виміряних значень
ознаки (результатів стрибка вгору з місця), n = 65.
Для угруповання наявних даних необхідно весь проміжок (діапазон
варіювання ознаки) між найбільшими і найменшими значеннями розбити
на ряд інтервалів, або, як їх зазвичай називають, розрядів.
Весь діапазон варіювання варіантів спостережень розташований в
проміжку 37-83 см. Далі необхідно визначити число розрядів (R);
ширину розряду (h); межі розрядів (нижня хнi, верхня хвi). Число
розрядів можна вибрати, керуючись таблицею 1.
Таблиця 1 - Вибір числа розрядів угруповання
Число спостережень (n)
Число розрядів (R)
30-60
5-8
60-100
7-10
100-200
9-12
200-500
11-16
У нашому прикладі число спостережень, n = 65, приймаємо R = 10,
вибравши число розрядів, визначаємо ширину розряду (h) за такою
формулою:
де h - ширина розряду, хmax, хmin - найбільше і найменше
значення ознаки; R - число розрядів.
В даному прикладі:
.
Оскільки вихідні дані визначені з точністю до сантиметра, то
округляємо знайдене значення ширини розряду до необхідної точності
(цілого числа). З урахуванням цього приймаємо h = 5 см. Тепер
знаходимо межі розрядів угруповання. Рекомендується вибрати межі
розрядів таким чином, щоб найменше спостереження виявилося
приблизно в середині першого, а найбільше - в середині останнього
розряду. Звідси, нижню межу першого розряду (хН1) можна визначити
за формулою:
Для розглянутого прикладу:
додавши до цієї величини ширину розряду, знайдемо нижню межу
другого розряду:
Це буде одночасно і верхня межа попереднього першого розряду ().
аналогічно знаходимо = = 39,5 + 5 = 44,5 см і т.д. для всіх десяти
розрядів. Іноді знайдені межі розрядів точно збігаються з числовим
значенням варіанту спостережень. Виникає питання: в який розряд
віднести таке число? В цьому випадку рекомендується зменшити верхню
межу всіх розрядів на величину, рівну точності вимірювання
ознаки
Далі заповнюємо таблицю даних, що пройшли початкову статистичну
обробку (табл. 2).
Таблиця 2 - Табличне представлення даних результатів стрибка
вгору з місця спортсменів - баскетболістів
Номер розряду (і)
Межі розрядів
(-)
Серединні значення ()
Розподіл даних
Частоти
(ni)
Частості
(wi)
1
34,5-39,5
37
0
1
0,015
2
39,5-44,5
42
00
2
0,031
3
44,5-49,5
47
000000
6
0,092
4
49,5-54,5
52
00000000000
11
0,169
5
54,5-59,5
57
000000000000
12
0,185
6
59,5-64,5
62
00000000000
11
0,169
7
64,5-69,5
67
00000000
8
0,123
8
69,5-74,5
72
0000
4
0,062
9
74,5-79,5
77
0000
4
0,062
10
79,5-84,5
82
000000
6
0,092
Сума
65
65
1,000
У першому стовпці міститься номер розряду угруповання (i), у
другому - межі розрядів (хнi - xвi), в третьому - серединні
значення розрядів (хi), четвертий стовпець візуально показує,
скільки містить кожен розряд варіантів спостережень. Маючи перед
собою цифровий масив, умовними значками, наприклад гуртками,
відзначаємо повторюваність варіантів в кожному розряді, тобто по
порядку для кожного з чисел, ставимо умовний значок в рядку табл.
2, яка відповідає розряду угруповання, в якій це число потрапляє.
Після того, як вихідні дані будуть вичерпані, підраховуємо число
умовних значків в кожному рядку і заносимо їх кількість в п'ятий
стовпець. Числа, що показують скільки разів варіанти, які
стосуються кожного розряду, зустрічаються в спостереженнях,
називаються частотами (ni). Сума частот завжди дорівнює числу
спостережень (n), що можна використовувати для перевірки
правильності заповнення таблиці.
У шостий стовпець заноситься величина, що показує частку
спостережень, які потрапили в даний розряд, так звана частість
(wi), вона визначається формулою:
Сума всіх частостей завжди дорівнює 1. Таким чином,
експериментальні дані, представлені в такій формі (у вигляді
таблиці) дають первинні статистичні уявлення про результати
досліджень.
Графічне представлення експериментальних даних
Емпіричні розподіли експериментальних даних найнаочніше
виглядають у вигляді графічних зображень. Найчастіше використовують
дві основні форми графічного представлення даних: гістограма (рис.
1) і полігон частот (рис. 2).
Рис.1 – Гістограма
Гістограма складається прямокутників, що примикають один до
одного, основи яких відкладаються по осі абсцис (крайні точки основ
прямокутників - межі розрядів), а по осі ординат – висоти
прямокутників, що відображають відносну щільність розподілу
експериментальних даних і пропорційних відношенню
де ni – частота i-го розряду, hi - ширина i-го розряду
угруповання.
Полігон частот утворюється ламаною лінією, що з'єднує точки,
відповідні серединним значенням розрядів угруповання (хi) і
частотам цих розрядів (ni). Серединні значення відкладаються по осі
абсцис, а частоти - по осі ординат.
Рис.2 – Полігон частот
У розглянутому вище прикладі гістограма і полігон частот наочно
показують, що використовуваний тест (стрибок вгору з місця), як
інструмент вимірювання, який досліджує швидкісносилові якості
баскетболістів, успішно розрізняє дані, що потрапляють в діапазон
37-72 см. Для вивчення об'єктів спостережень, що стрибають вище 72
см слід або вдосконалити інструмент вимірювання, або посилити
коректність проведення експерименту.
Числові характеристики спостережень
Первинна обробка експериментальних даних (угрупування) і
графічне їх уявлення наочно показують, як варіює ознака в
вибірковій сукупності, але вони недостатні для повної
характеристики всього обсягу спостережень. Необхідні узагальнюючі
числові характеристики, які показують положення центра емпіричних
розподілів (середнє арифметичне (); медіана (Ме); мода (Мо)),
показники їх розсіювання (дисперсія (s2); стандартне відхилення
(s); коефіцієнт варіації (V) і асиметрії (коефіцієнт асиметрії
(As), коефіцієнт ексцесу (Ex)).
Середнє арифметичне
Середнє арифметичне або просто середнє прийнято позначати тією ж
літерою, що і варіанти спостережень, але над цією літерою ставиться
символ усереднення - риска. Наприклад, якщо позначити досліджувану
ознаку через (х), то середнє арифметичне буде позначатися - ().
Середнє арифметичне може обчислюватися як по необробленим первинним
даним, так і по згрупованим показникам. Точність обчислення по
необроблених даних завжди вище, але процес обчислення виявляється
трудомістким при великому обсязі спостережень. Обчислення
середнього арифметичного для несгрупованих даних здійснюється за
формулою:
(1)
де n - обсяг спостережень; хi - варіанти спостережень.
Якщо дані згруповані, то застосовується формула:
(2)
де nі - частоти розрядів; xi - серединні значення розрядів.
Результати розрахунків середнього арифметичного за формулами (1)
і (2) не завжди збігаються. Це пов'язано з тим, що в першому
випадку беруться вихідні дані, а в другому - підсумовуються добутки
частот розрядів і їх серединних значень. Для практичного розрахунку
середнього арифметичного скористаємося даними, наведеними в
прикладі 1:
а) для незгрупованих даних
см
б) для згрупованих даних - для наочності проміжні результати
розрахунків для знаходження середнього арифметичного за формулою
(2) наведені в табл. 3.
Таблиця 3 - Розрахунок середнього арифметичного результату
стрибка вгору з місця спортсменів-баскетболістів
Номер розряду (i)
Середині значення (хi)
Частоти (ni)
nixi
1
37
1
37
2
42
2
84
3
47
6
282
4
52
11
572
5
57
12
684
6
62
11
682
7
67
8
536
8
72
4
288
9
77
4
308
10
82
6
492
Сума
3965
см
Крім середнього арифметичного існують інші характеристики, що
визначають положення центра емпіричного розподілу. До них
відносяться: медіана Ме - число розділяє упорядкований (по
зростанню або зменшенням) ряд експериментальних даних на дві рівні
частини; мода Мо - значення ознаки, що зустрічається в
спостереженні найбільш часто. Медіана і мода є допоміжними
характеристиками спостережень і використовуються рідко.
Характеристики розсіювання
Середнє арифметичне, медіана і мода є одними з найбільш
інформативних характеристик розподілу, але вони не дають повної
картини про ознаку, що варіює. Для того, щоб побачити в якому
діапазоні розсіяні знайдені значення ознаки, обчислюють
характеристики розсіювання: дисперсія s2; середнє квадратичне
відхилення або стандартне відхилення s; коефіцієнт варіації V.
Дисперсія для незгрупованих даних обчислюється за формулою:
(3)
де - сума квадратів відхилень значень ознаки х від середнього
арифметичного ; n-1 - число ступенів свободи, яка дорівнює
кількості спостережень без одного.
Представлену формулу важко застосувати на практиці (особливо при
ручних методах обчислення), так як при збільшенні обсягу числа
спостережень збільшується помилка, що виникає при підсумовуванні
округленої середньої арифметичної і, крім того, збільшується
небезпека зробити помилку при підсумовуванні багаторозрядних
значень хi. Тому пропонується застосовувати цю формулу в
перетвореному вигляді:
(4)
для згрупованих даних:
(5)
де nі - частоти; xi серединні значення розрядів.
Середнє квадратичне відхилення або стандартне відхилення s
розраховується за формулою:
(6)
де s2 – дисперсія.
Розмірність середньоквадратичного або стандартного відхилення на
відміну від розмірності дисперсії збігається з одиницями
вимірювання експериментальних даних, тому на практиці зазвичай
використовують s, а не s2.
Таблиця 4 - Розрахунок дисперсії результатів стрибка вгору з
місця спортсменів-баскетболістів
№ п/п
Хi, cм
Хi2
№ п/п
Хi, cм
Хi2
№ п/п
Хi, cм
Хi2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
59
3481
23
63
3969
45
61
3721
2
48
2304
24
81
6561
46
55
3025
3
53
2809
25
60
3600
47
73
5329
4
47
2209
26
77
5929
48
50
2500
5
57
3249
27
71
5041
49
70
4900
6
64
4096
28
57
3249
50
59
3481
7
62
3844
29
82
6724
51
50
2500
8
62
3844
30
66
4356
52
59
3481
9
65
4225
31
54
2916
53
83
6889
10
57
3249
32
47
2209
54
69
4761
11
57
3249
33
61
3721
55
67
4489
12
81
6561
34
76
5776
56
66
4356
13
83
6889
35
50
2500
57
47
2209
14
48
2304
36
57
3249
58
56
3136
15
65
4225
37
58
