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Control de Procesos Industriales. ELAI. UPM. 2011

9/19/2011

Prof. Miguel Hernando. 1

MODULO I. CONTROL REGULATORIO AVANZADO

Tema 1. Revisión del controlador PID y consideraciones industriales

• 1.‐ Introducción– Control por realimentación. Razón de la realimentación. Controladores On‐Off– Evolución histórica del controlador PID– Expresión matemática del controlador

EL CONTROLADOR PID

• 2.‐ Acciones correctoras del controlador PID– La acción proporcional– La acción integral o automatic reset.– La acción derivativa o pre‐act.

• 3.‐ Estructuras del PID– Representaciones alternativas (ISA, Serie, Paralelo)– SetPoint weighting. PI‐D. I‐PD

• 4.‐Modificaciones al PID– Limitación de la acción derivativa– El efecto Wind‐up y el anti Wind‐up– El efecto Wind‐up y el anti Wind‐up

• 5.‐ Realización digital– Filtro Anti‐aliasing– Discretización– Consideraciones sobre la cuantificacíón

• 6.‐ Notas Prácticas sobre el PID

2


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1.1 Control por realimentación• Sistema en cadena abierta: más preciso, estable, rápido, raramente oscilatorio…• Sistema en cadena cerrada: aparece el error inestabilidades oscilaciones lento

1.‐ Introducción

• Sistema en cadena cerrada: aparece el error, inestabilidades, oscilaciones, lento…• ¿Por qué realimentamos los sistemas?

3

El sistema corrige la acción de control en base a la observación de la variable que sequiere controlar.

Hace frente a las perturbaciones tanto previsibles como imprevisibles.

1.2 Control On‐Off• Sistema de control realimentado más

sencillo

1.‐ Introducción

sencillo.• No hay ajuste alguno de parámetros.

Funciona sólo entre dos estados de la variable de control:

si e>0 u = umáx.si e<0 u = umín

• Objetivo: permanecer cerca de la consigna.• Inconveniente: la variable de proceso puede

oscilar; las conmutaciones de u pueden deteriorar los actuadores.

• Modificaciones: incluir zonas muertas, histéresis (0.5 ± 2% del rango máximo)

• Control de nivel de depósitos de agua

4


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1.3 Evolución histórica del PIDEs el controlador por excelenciaProviene de los controles proporcionales

1.‐ Introducción

Proviene de los controles proporcionalesVelocidad de los Molinos de viento ( Mead 1787)Regulador centrífugo de la máquina de Watt (1788)

5

1.3 Evolución histórica del PID (2)1788‐1900 Evolución mecánica, aparición de oscilaciones. Soluciones ad‐hoc1920 Estudios teóricos sobre las posibles bondades del PID

1.‐ Introducción

p1915‐1940 Nacimiento de las grandes compañias de control (Bristol, Fisher,

Honeywell…). La acción integral en forma de “automatic reset”.1935 La acción derivativa en forma de “pre‐act”1942 Ajuste heurístico de Ziegler y Nichols1950 La aparición del AO permite la realización analógica del PID (antes neumáticos)1960 Computador genera consignas para controladores analógicos1970 DDC control digital directo. En seguida basados en microprocesoador.1980 Implementación genérica de PID, con algoritmos más complejos cuya base es el

PID.

6


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1.4 Expresión matemática del PIDConocido como el Controlador Universal:

1.‐ Introducción

⎞⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫

t

di dt

tdETdET

tEKtU0

)()(1)()( ττ

DIPdt

tdEKTdETKtKEtU

t

di

++=++= ∫0)()()()( ττ

sTsTsTT

KsTsT

KsEsU

i

idid

i

1)11(

)()( 2 ++

=++=

7

2.1 La acción Proporcional (1)

• Genera una señal proporcional al error:

2.‐ Acciones correctoras del PID

u(t)=K.e(t)• Se ajusta mediante el parámetro

ganancia proporcional K.

• La Acción proporcional comporta como un Control on‐off para errores grandes.

8


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2.1 La acción Proporcional (2)Analisis estático:


BlnyAlKK

Kny

KKKK

xluKxnxy

refp

refpc

p +−=+

+−+

=⇒⎪

⎪⎬

⎫

+=+=

)(1

)(1

)(

l: perturbación de carga (de entrada)n: perturbación en la medida (ruido)KcKp: Ganancia de lazo

9

KKKKyyKu pcpc

refc

++⎪⎭−=

11)(

2.1 La acción Proporcional (3)Si n=0:


Interesa A=1 y B=0Si n<>0 el ruido es tan importante como la referenciaRegla importante: la calidad de los sensores y el aislamiento de las señales de

medida es la mejor forma de hacer un buen sistema de control.

BlAylKK

Ky

KKKK

x refpc

pref

pc

pc +=+

++

=11

10


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2.1 La acción Proporcional (4)Efectos Dinámicos:


1.4

K=1,2 y 5 de forma sucesiva.

0.4

0.6

0.8

1

1.2

salid

a

0

1

2

3

40.160.340.50.64

0.76

0.86

0.94

0.985

0.985

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.5

Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Imag

Axi

s

11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

tiempo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0.160.340.50.64

0.76

0.86

0.941

1.5

2

2.5

3

3.5

Real Axis

2.1 La acción Proporcional (5)

• La acción proporcional tiene efectos sobre el régimen transitorio y


p p g ypermanente, normalmente aumentar K:

– tiende a reducir el error en régimen permanente.– tiende a aumentar las oscilaciones en la variable de proceso.

• Elevada ganancia hace el sistema insensible a variaciones de carga, pero por elcontrario, lo hace más sensible al ruido.

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2.2 La acción Integral (1)• Genera una señal que es proporcional a la

integral del error.D b i bi d l ió i l


• Debe ir combinada con la acción proporcional, de la forma:

• Se ajusta mediante el parámetro Ti tiempo integral.

• La acción integral actuará mientras exista

∫+⋅= ))(1)(()( dtteT

teKtui

⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞+

=+=s

sTTK

sTKsG i

ii

1)11()(

error:– si e>0, variable de control u crece.– si e<0, variable de control u decrece.

• Tiene efecto sobre el régimen permanente. Su objetivo: anular el error.

13

2.2 La acción Integral (2)El automatic reset.

1111 T ⎞⎛


La variable real es

Cuando existe I:

La acción integral asume con el tiempo la

oreal UtUtU += )()(

)()()()()( ntegral tUtUtUUtUtU opiopreal +=++=

)(11)(1

)(

111

1)(11

1)( sesT

KsesT

sTKse

sTsT

Kse

sT

KsUii

i

i

i

i

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

+−+

=−

=

0dB

1/Ti

La acción integral asume con el tiempo la componente de continua marcada por el regulador.

14


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2.2 La acción Integral (3)• Filtro paso bajo con Ti=10(0.1 rad/sec)

-10

0

dB)

Bode Diagram


( / )• Ti: tiempo integral, una

medida de la ventana de tiempo utilizada para calcular el valor medio.

• Ti debe ser lento respecto de la dinámica del sistema

-40

-30

-20

Mag

nitu

de (d

-45

0

Phas

e (d

eg)

15

10-3

10-2

10-1

100

101

-90

Frequency (rad/sec)

2.2 La acción Integral (4)• Se fija en el pasado para decidir que hacer.• Incremento notable de la inercia del sistema

2.‐ Acciones correctoras del PID2.‐ Acciones correctoras del PID

• Hace al sistema preciso, pero debe ser suave o el sistema se hace oscilatorio

Ti= 3, 1, 0.5 y 0.2

11)(+

=s

sG

16


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2.3 La acción Derivativa (1)• Genera una señal proporcional a la derivada del error• Debe ir combinada con la acción proporcional, de la forma:


• Se ajusta mediante el parámetro Td tiempo derivativo.• Tiene efecto sobre el régimen transitorio mejorando la estabilidad

⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞+⋅=

dttdeTteKtu d)()()(

)1()()()( sTK

sesusG dcc +==

• Tiene efecto sobre el régimen transitorio, mejorando la estabilidad.

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2.3 La acción Derivativa (2)• Combinada con la acción proporcional se ve su aspecto de previsión (pre‐act)


e(t)

t t+dt

ê(t+dt)

señal de error e(t)

D ll i d T l

18

• Desarrollo en serie de Taylor:

( )[

( )nn

axn

afaxafaxafafxf −++−+−+=!

)(....!2

)(''))((')()( 2

tdt

tedtette Δ+≅Δ+))(()()(ˆ


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2.3 La acción Derivativa (3)• Al hacer el sistema más estable es posible hacerlo más rápido• La única acción con carácter anticipativo


• La única acción con carácter anticipativo• Td representa cuanto proyectamos hacia el futuro la tendencia actual.• Inconvenientes de la acción D:

– Amplifica el ruido de la señal.– Satura los actuadores ante cambios bruscos de consigna

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2.4 Combinación PID• El máximo beneficio se obtiene combinando las tres acciones de control =

algoritmo PID.

2.‐ Acciones correctoras del PID2.‐ Acciones correctoras del PID

algoritmo PID.• En el plano s aporta 2 ceros y un polo en 0:

P: Actúa con el presente. Da consistencia al controlador. Siempre presenteI: Actúa con el pasado Da precisión Incrementa la inercia Muy común

i

diid

i sTsTKTsKTKsT

sTKsG

2)()(11)( ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

20

I: Actúa con el pasado. Da precisión. Incrementa la inercia. Muy comúnD: Actúa con la previsión. Incrementa la estabilidad. Introduce fricción. No

suele ser necesaria.

Todos ellos parten de la base que mas acción de control empuja el sistema con más fuerza.


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3.1 Representaciones alternativas• Estándar, no‐interactiva, ISA

3.‐ Estructuras del PID

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

i

diid

ic sT

sTTsTKsT

sTKsG

2111)(

21

3.1 Representaciones alternativas (2)• Serie, interactiva. La más común y comercial.• P PI o PD esta estructura es igual a la del PID estándar


• P, PI o PD, esta estructura es igual a la del PID estándar

( ) '

2''''''''

''' )()(

111)(i

didid

i sTsTTKsTTKK

sTsT

KsG+++

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

D

P + +

I

+ +

22

''

''''

'

''' ,,

di

diddii

i

di

TTTTTTTT

TTTKK

+=+=

+=

Si Ti>4Td existe una equivalencia entre ISA y serie:


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3.1 Representaciones alternativas (3)• Paralelo o Ideal. La más teórica y polivalente.


sKs

KKsG d

ic ++=)(''

23

3.1 Representaciones alternativas (4)• La formulación estándar es la más estudiada. Admite ceros complejos útiles para

la cancelación de polos oscilatorios. Parámetros con significado físico aplicable.


• La formulación serie es de realización mecánica sencilla. Los ceros se situan en1/Ti y en 1/Td por lo que es cómodo en frecuencia. Es la más común condiferencia.

• La formulación paralela es la más general y flexible pero los parámetros pierdensu significado físico. (Admitiría incluso acciones D o I sueltas)

24


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3.2 Control PI‐D• Evitar el fenómeno de la patada en el punto de consigna,• Se puede utilizar la acción D sólo en la realimentación evitando derivar la


• Se puede utilizar la acción D sólo en la realimentación, evitando derivar lareferencia.

R(s)

+

+

+

++

D(s)

+

+

-

+

+

Y(s)

1

1/Tis

Tds

Kp Gp(s)E(s)

B(s) N(s)

25

)(111

)(11)()(

sGKsTsT

sGKsTsR

sY

ppdi

pp

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

)(11)(11)( sBsTsT

KsRsT

KsU di

pi

p ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

3.2 Control I‐PD• Cambios de consigna no importante seguirlos rápido.• Se centra en hacer efecto ante las perturbaciones de carga


• Se centra en hacer efecto ante las perturbaciones de carga.

R(s)

+

+

+

++

D(s)

+ - -

+

+

Y(s)

1

1/Tis

Tds

Kp Gp(s)E(s)

B(s) N(s)

⎞⎛ )(1)( GK

26

)(11)(1)( sBsTsT

KsRsT

KsU di

pi

p ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

)(111

)(1)()(

sGKsTsT

sGKsTsR

sY

ppdi

pp

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=

)(111

)()()(

sGKsTsT

sGKsDsY

ppdi

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=Ante D(s) es igual


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3.3 Ponderación de la referencia(1)• Set‐Point weighting.• Las dos estructuras anteriores son especializaciones de este concepto


• Concepto de ponderación:

• Reformulación de PID:

yybe

dtdeTdtte

TteKtu

spp

dd

ip

−⋅=

++⋅= ∫ ))(1)(()(

27

yye

yyce

sp

spd

−=

−⋅=

3.3 Ponderación de la referencia(2)Separa la variable de proceso de la de consigna para formar distintas señales de

error


errorPara diferentes valores de b y c el controlador responde distinto ante cambios

de consigna que ante perturbaciones

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3.3 Ponderación de la referencia(3)• El parámetro b limita la sobreoscilación debida a cambios de la consigna

(SP) pero el sistema reacciona mas lentamente.


• El parámetro c evita que se produzcan elevados transitorios debido acambios de la consigna (SP) .

• Con b = c = 1 se tiene el PID estándar.• Con b = c = 0 se tiene el controlador I‐PD.• Con b =1 y c = 0 se tiene el controlador PI‐D.• Lo habitual c = 0 y 0 < b < 1. c puede ser distinto de cero particularmente

en el control en cascada

29

PID G2(s)G1(s)PID

3.3 Ponderación de la referencia(4)


30


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3.3 Ponderación de la referencia(5)

3.‐ Estructuras del PIDAcción Proporcional (2‐0)

Acción Integral (2‐0)

31

Acción Derivativa (2‐0)

4.1 Limitación de la acción derivativa(1)Por la naturaleza del ruido este suele ser de alta frecuencia:

4.‐Modificaciones al PID

)sen( tan ω⋅=La acción derivativa amplifica en base a la frecuencia:

La acción derivativa amplifica el ruido.Por ello se limita con la inclusión de un filtro paso bajo:

)cos()( taKTdt

tdnKTu ddn ωω ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

En alta frecuencia, D amplifica N (D(jw) con w=inf)

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4.1 Limitación de la acción derivativa(2)En baja frecuencia se comporta igual, pero a partir de N/Td deja de amplificar (lo

cual ocurre para una amplificación de N). (Ej: Td=10 y N=10)


15

20

25

30

35

40

Mag

nitu

de (d

B)

91

Bode Diagram

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (d

B)

90

Bode Diagram

33

100

101

89

89.5

90

90.5

Phas

e (d

eg)

Frequency (rad/sec)10

-210

-110

010

110

20

45

Phas

e (d

eg)

Frequency (rad/sec)

4.2 El efecto de windup ( 1)• Las FDT funcionan bajo consideraciones lineales.• Hay algunos elementos no lineales habituales que hay que considerar


• Zona muerta, y en particular las saturaciones:Velocidad limitada de un motorApertura máxima de una válvulaCapacidad máxima de un depósito

• El control por compensación del error se basa en que si se pide más, el sistema seesfuerza por dar más. Cuando no esto no se cumple, desaparece la realimentación

34

PID G(s) PID G(s)max


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4.2 El efecto de windup ( 2)• Esto es especialmente crítico cuando hay acción integral.• El integrador acumula y pide más, y sin embargo no se le hace caso. Por tanto


seguirá pidiendo más.

‐Funcionamiento relé (máximos y mínimos).‐Oscilación de frecuencia variable‐Dientes de sierra

35

4.2 El efecto de windup ( 3)

S d d i i


• Se puede producir si:– cambios bruscos y grandes de SP o grandes perturbaciones.– Hay acción integral– Se satura el actuador

• Soluciones:– Dispositivos limitadores en el SP (filtrado).– Implementar estructura de “seguimiento y retrocálculo” (back‐calculation & tracking)– Implementar una integración condicional (posibilidad de bloqueo)

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4.2 El anti‐windup ( 4)• Back‐calculation & Tracking:• Obtener es no siempre es posible, pero es fácil de simular


• bajos Tt eliminan la acción I rápidamente.– Td < Tt < Ti– sugerencia Tt = (Ti Td )1/2

– Tt no excesivamente bajo

lid

37

ref

salida

4.2 El anti‐windup ( 4)


38


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39



40

antiwindup1.mdl


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La realización digital conlleva tres efectos importantes:1.‐ Efecto del muestreo2.‐ Discretización

5.‐ Realización Digital

3.‐ Cuantificación

Regulador ) ( z R Bloqueador ) ( sB

Convert idor Digital-Analógico

T

) ( sG

) ( sH

Computador

) (sY

41

Convertidor Analógico-Digital

T

5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (1).• Proceso de un controlador digital:


Proceso de un controlador digital:1. Esperar a la interrupción de reloj (tiempo real)2. Lectura de la señal analógica (CAD)3. Cálculo de la acción de control4. Escritura de la señal analógica (CDA)5. Actualización de las variables del controlador6. Volver a 1.

• Durante todo un ciclo la señal muestreada se considera invariante.• Efecto del muestreo: aparición de alias.

42


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5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (2)..


Step Response

Am

plitu

de

Step Response

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8 From: U(1)

To: Y

(1)

43

Time (sec.)

0 5 10 15 200

0.2

0.4

5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (3)..


44


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5.1 El muestreo. Filtro antialiasing (3).• El efecto de aliasing: aparición de una falsa señal de baja frecuencia


El efecto de aliasing: aparición de una falsa señal de baja frecuencia como consecuencia del submuestreo.

• Producidas por señales que superen la frecuencia de Niquist (TªShanon).Wn=0.5Ws

• Solución: filtro analógico antes de muestrear.– Se suele usar uno de 2º Orden (Butterworth) con ancho de banda al menos de 1/8 de la

frecuencia de muestreo.

45

5.2 Discretización (1).• ¿Cómo se realiza con un algoritmo un cálculo del tipo PID?.


¿Cómo se realiza con un algoritmo un cálculo del tipo PID?. – Existen distintas transformaciones. La mas utilizada es la de Tustin o bilineal, la cual se basa

en aproximar la integración por:

)(tx)(tx ∫

t

dttx0

)( { }kx { }kws1

)1()1(

2 1

1

−

−

−+

zzT

46

T 2T 3T kT t


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5.2 Discretización (2).


47

5.3 Cuantificación (1).


– Un ordenador tiene una precisión finita.– Codificación de números reales:

• Coma fija:• Coma flotante

– 32 bits– 64 bits

– Una precisión excesiva puede provocar que el cálculo acumulativo salga mal:

U j l ti l b d i i– Un ejemplo particular buscado a conciencia:

– Habitualmente quien es problemático es el término integral. Se puede arreglar ajustando su muestreocon un periodo mayor, para que el valor que se incrementa sea significativo.

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Notas prácticas de uso del PID

6.‐ Notas Prácticas sobre el PID

• Empleo del PID:seguimiento fiable de los cambios de SP.insensibilidad al ruido.Buen comportamiento ante cambios de carga, perturbaciones.

• El PID funciona, en la mayoría de los casos, aceptablemente.

• En muchas implementaciones la acción D se desconecta.

á d l f ó• ¿ Cuándo emplear configuración PI ?En sistemas principalmente de 1er orden (control de nivel)En sistemas de orden superior siempre acción I para asegurar correcto funcionamiento en régimenpermanente.

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Notas prácticas de uso del PID

6.‐ Notas Prácticas sobre el PID

• ¿Cuándo emplear configuración PID ?En sistemas principalmente de 2º orden (control de temperatura).En sistemas donde haya que incrementar la velocidad de respuesta y en sistemas de orden superior,mediante la adición de la acción D.

• ¿ Cuándo no usar PID ?

En sistemas de orden 3 o superior (control más sofisticado, el PID no basta, pero puede usarse).En sistemas con elevados tiempo muertos (predictor Smith).En sistemas con mas de un modo oscilatorio más de un polo complejo con parte real muy pequeñaEn sistemas con mas de un modo oscilatorio más de un polo complejo con parte real muy pequeña(adición de ceros complejos).

50