Capitulo 7 Energia Potencial Conservacion de Energia

  • View
    553

  • Download
    11

Embed Size (px)

Text of Capitulo 7 Energia Potencial Conservacion de Energia

  • 244 CA PfT ULO 7 I Energa xltcncial y conservacin de la energa

    que podemos reescribir como

    Xl + VI = K2 + Vzo

    (si slo la gravedad realiza lrabajo) (7.4)

    (si s610 la gravedad realiza trabajo)

    (7.5)

    Ahora def1nimos la suma K + U de las energas cintica y pOlencial como E, laenerga mecnica total del sistema. -Por "sistema", nos referimos al cuerpo demasa m y la Tierra considerados juniOS, porque Ues W1ll propiedad compartida de amobos cuerpos. As, El" K l - VI es la energa mecnica total coy! YE2 = KI + Vzes la energa mecanica total en h La ecuacin (7A) dice que, cuando el peso delcuerpo es la nica fuerza que realiza trabajo sobre l. El = El' Es decir, E es cons-tante; tiene el mismo valor enYI que eoy}, No obstante, dado que las posicionesYI yYI son puntos arbitrarios en el movimiento del cuerpo, la energa mecanica to-tal E tiene el mismo valor en todos los puntos durante el movimiento;

    E = K + U = constante (si slo la gravedad efecta trabajo)Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conserva.Si slo la fuerza de gravedad efecta trabajo, la energa mecnica total es cons-tante. es decir, se conserva (Fig. 7.2). ste es nuestro primer ejemplo de la con-servacin de la energa mecnica.

    Cuando lanzamos una pelota al aire, su rapidez disminuye al subir, a medidaque la energa cintica se convierte en energa potencial; Al( < Oy oU> O. Al ba-jar, la energa potencial se convierte en cintica y la rapidez de la pelota aumenta;Al( > Oy!1U < O. No obstante, la energa mecnica total (cintica ms potencial)es la misma en todos los puntos del movimiento, siempre que nin~na otra fuerzarealice trabajo sobre la pelota (la resistencia del aire debe ser insignificante). Si-gue siendo verdad que la fuerza gmvitacional efecta trabajo sobre el cuerpo alsubir o bajar ste, pero ya no tenemos que calcularlo directamente; basta ver c-mo cambia el valor de U.

    ClflbAl:) Un punto importante en lo que se refiere a la energa potencialgravitacional es que no importa qu altura escojamos como Y" 0, el origen decoordenadas. Si desplazamos el origen de y, los valores deYl yYl cambiarn. pe

    Al subirK disminuye

    U aumenla~-'_'

    7.2 Mientras el atleta est en el aire, slo la gravedad efectatrabajo sobre l (si despreciamos los efeetos menores de laresistencia del aire). La energa mecnica -la suma de las energascintica y potencial gravitacional- se conserva.

  • 7.1 I Energa pOlencial gravitacional 245

    ro su diferencia no. Se sigue que aunque VI y V1 dependen de dnde coloque-mos el origen, la diferencia V1 - VI - lIIg(yl - YI) es independiente. La cantidadque tiene importancia ffsica no es el valor de Ven cierto punto, sino la diferen-cia en V entre 2 puntos. Asf, podemos definir U como cero en cualquier puntosin afectar fa fsica de la situacin. Esto se ifustra en ef siguiente ejempfo.

    Altura de una pelota por conservacin de la energa

    EVALUAR: La masa se elimina, como esperbamos; en el captulo2 vimos que el movmiento de un cuerpo en cada libre no dependede su masa. De hccho, podramos haber deducido el resultado Y2 =V1212g utilizando la ecuacin (2.13).

    Al realizar el clculo anterior, escogimos ef origen en el punto 1,de modo queYI = OYVI - O. Qu pasa si escogemos otro origen?Suponga que lo colocamos 5.0 m debajo del punto 1, de modo queYI .. 5.0 m. Entonces, la energa mecnica total en el punto 1 sera enpane cintica y en pane polencial, pero en el punto 2 ser puramen-te potencial. Si realiza el clculo usando este origen, obtendr "25.4 ro, esto es 20.4 m sobre el punto 1, igual que con el primer ori-gen. En cualquier problema, corresponde a Ud. escoger la altwadonde U - O; no se rompa la cabeza, porque la riSiea de la respucs-ta no depende de su decisin.

    1'2mv11 "" IIlgYl

    v? (20.0mlsPY::! = 2g = 2(9.80 mls2) "" 20.4 m

    U, 29.0J)"2 = "~ = (0.145k:g)(9.80mI~) = 20.4 m

    yes igual a la energa potencial U1 - mg)7 en el punto 2, as que

    Tambin podemos resolver KI= U2 algebraicamente despcjandoYl:

    EJECUTAR: Puesto que Yl - O, la energia polencial en el punto I esV. = mg)'1 - O. Ademas, dado que la pelota esta en reposo en el pun-102, la energa cintiea en ese punto es K2 "" lmv/ = O. La ecua-cin (7.4), que dice que K1 + V. = K2 + V1, se convierte en

    Kl _"" V1

    Como se ve en las grficas de banas de energa de la figura 7.J, laenerga cintica de la bofa en el punlo 1se convierte totalmente en ener-ga potencial gravitacional !!n el punto 2. En el punto 1, la energacintica es

    1 1KI "" 2"mv? "" 2"(0.145kg)(20.0mls)l "" 29.0J

    abandona la mano. Entonces,Yl = O(Fig. 7.3) Y la incgnita es sim-plemcnte Y2'

    E K U

    E K U

    lLVI = 20.0 mism - 0.150 kg. ~.-o

    Ejemplo7.1

    u

    Lanzamos una pelota de bisbol con masa de 0.145 kg haciaarriba, dndole una rapidez inicial de 20.0 mis. Use la conservacinde la energa para determinar qu altura alcanza, despreciando laresistencia def aire.

    EI!!mIIDENTIFICAR: Una vez en el aire, la nica fuerza que acta sobrela pelota es su peso; por tanlo, podcmos usar la conservacin de laenerga mecnica.

    PLANTEAR: Usaremos las ecuaciones (7.4) y (7.5); ef punto I serel punto en que la bola abandona fa mano, y el punto 2, donde fa pe-lota alcanza su altura mxima. Al igual que en fa figura 7.1, esco-gemos un ejeyque apunta venicalmente hacia arriba. La rapidez dcla pelota en el punlo I es VI - 20.0 mis. La pefota esta instanranea-mente en reposo en el punto ms alto de su movimiento (punto 2),as que V2 - o.

    La incgnita es la distancia que la pelota se mueve venicalmen-le entre estos dos punlos, es decir, el desplazamienlo"Y2 - Yl' Porsencillez, colocaremos el origen en el punto 1, donde la pelola

    73 Despus de separarse la pelota de la mano, la nica fuerzaque acta sobre ella es su peso (despreciando la resistencia delaire), asi que la energa mecnica E = K + U se conserva. Lasgrficas de barras de energia muestran los valores de E, K Y UenYl=OYY2'

  • 246

    Act',vPhyscs5.2 Deteniendo un elevador que

    asciende

    5.3 Detencin de un elevador quebaja

    5.6 Rapidez de un esquiador

    CA PfT ULO 7 I Energa potencial y conservacin de la energa

    Efecto de otras fuerzas

    Si otras fuerzas actan sobre el cuerpo adems de su peso, entonces FOh>; de lafigura 7.1 no es O. En el caso del martinete del ejemplo 6.5 (seccin 6.2) la fuerzaaplicada por el cable y la fric~n de las guias verticales son ejemplos de fuerzasque podran estar incluidas en F_. El trabajo gravitacionaI Wpo_ an esta dad~ porla ecuacin (7.3), pero el trabajo tolal WlOt es la suma de IVm' Yel trabajo de Fotros-Llamamos a este trabajo adicional Wocra" de modo que el trabajo total realizadopor todas las fuerzas es W;oc = Wgra + WOl",," Igualando esto al cambio de energacintica, tenemos

    Por ltimo, usando las expresiones apropiadas para los dislintos terminos de ener-ga, obtenemos

    K + VI + WOlrti = K2 + V2 (7.7)(si otras fuerzas adems de la gravedad efectan trabajo)

    El significado de las ecuaciones (7.7) y (7.8) es que el Trabajo realizado por fo-das las fUerzas distintas de la gravitacional es igual al cambio en la energa mec-nico ToTal E = K + V del sisTema, donde U es la energa poTencial gravifacional. SiWoau es positivo, E aumenta y (K1 + UiJ > (K + VI)' Si IV.-. es negativo, E dismi-nuye. En el caso especial en que slo el peso realiza trabajo, WOlra5 = O. La encrgiamecnica total es entonces constante, y volvemos a la ecuacin (7.4) o (7.5).

    Estrategia pararesolver problemas

    WDl/U + IV""y = K2 - K lAdems, por la ecuacin (7.3), Wen" = VI - V2, as que

    WOQ;\lO + VI - V2 == K2 - KIque podemos reacomodar as:

    I 2 I 2'2mv + mgy + WOlnt-, = '2/1lU2 + mgy2

    (si otras fuerzas adems de la gravedad efeeman trabajo)

    Problemas en 105 que se utiliza energa mecnica

    (7.6)

    (7.8)

    IDENTIFICAR los conceptos pertinellles: Primero decida si con-viene resolver el problema con metodos de energa, usando

    "iF = mii directamente, o con una combinacin de estrategias.El enfoque de energa es muy til si el problema implica movi-miento con fuerzas variables, en una !rayectora curva (quc ve-remos ms adelante) o ambas cosas. Si el problema implicatiempo transcurrido, el enfoque de energa no suele ser el mejorporque en el no interviene el tiempo direclamente.

    PLANTEAR el problema empleando fos pasos sigllientes:1. S usa el enfoque de cnergia, primero decida cules son

    los estados inicial y final (posiciones y velocidades) delsistema. Use el subindice I para el estado inicial y el 2 pa-

    ra el fmal. Resulla l hacer dibujos que muestren los es-lados inicial y final.

    2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel encl que y = O. Esto le servir para calculat las energias po-tcnciales gravitacionales. La ecuacin (7.2) supone que ladireccin +yes hacia arriba; le sugerimos tomar esa deci-sin de forma consistente.

    3. Identifique las fuerzas no gravitacionales que: efecluentrabajo. Los diagramas de: cuerpo libre siempre son uliles.Si algunas de las cantidade:s que necesira son incgnitas,rcprc:sntelas con simbolos algebraicos.

    4. Haga una lista de las cantidades conocidas y desconoci-das, incluidas las coordenadas y velocidades en cada pun-lO. Dccida qu incgnitas resolver.

  • 7.1 I Energa potencial gravitacional 247

    EJECUTAR la solucin, Escriba e;.;:presiones para las energiascinticas y potenciales iniciales y finales (XI> X2, V y V2). Engeneral, algunas sern conocidas y otrdS no. Relacione las ener-

    gias cintica y potencial y el trabajo no gravitacional Wo'""usando la ecuacin (7.7). (Tendr que calcular W""", en tnninosde las fuerLas no gravitacionales.) Si no hay trabajo no gravita-cional, la expresin se convertir en la ecuacin (7.5). Las gr~

    ficas de barras que muestran los valores iniciales de K, U Y E '"K + U son

Search related