Energíapotenc ia l y

conservación de la energía

KWWRFT ∆==

Se define la energía cinética como :K= mV2/2

El trabajo efectuado por la fuerza resultante o el trabajo total es igual al

cambio en la energía cinética de la partícula

∫ ⋅=Q

P

dsF

CONSERVATIVASCONSERVATIVAS

CC22

El trabajo El trabajo conduce aconduce a una clasificación de una clasificación de las FUERZAS las FUERZAS en:en:

El trabajoEl trabajo NONO depende depende de la trayectoria seguida de la trayectoria seguida

para ir de para ir de PP a a QQ

CC11∫ ⋅=Q

P

dsFW

P

Q

CC11

CC22

El trabajoEl trabajo NONO depende depende de la trayectoria seguida de la trayectoria seguida para ir de para ir de PP a a Q, pero si Q, pero si

depende de las depende de las coordenadas de P y Qcoordenadas de P y Q

POTENCIALESPOTENCIALES

NO NO CONSERVATIVASCONSERVATIVAS

El trabajo SI depende del camino seguido

para llevar el cuerpo de P a Q

AB

d

EJEMPLO DE FUERZA NO CONSERVATIVA: FRICCION

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVASUna fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula entre dos puntos: P y Q, es independiente de la trayectoria que toma la partícula.

Fuerzas conservativasW = 0W = 0

Fuerzas PotencialesW W ≠≠ 0 0

P QC1

C2

WPQ (a lo largo de C1) = WPQ (a lo largo de C2)

o equivalentemente: El trabajo realizado sólo depende de los

puntos inicial y final.

Fuerza Potencial (Conservativa)

P QC1

C2

además para este tipo de fuerzas:

WPQ (a lo largo de 1) = - WQP(a lo largo de 2)

WPQ (a lo largo de 1)+WQP(a lo largo de 2)=0

Fuerzas PotencialesFuerza de gravedad,

Fuerza elástica

Fuerza de Coulomb (electrostática)

conservativas Fuerza magnética (W = 0)

No conservativas: La fuerza de fricción y otras

FUERZA FUERZA CONSERVATIVACONSERVATIVA

∫ ⋅=−

Q

P

QP dsFW

∀∀ CC

P

Q

UQUPU ∆−=−= )()(

cteU +UWCF

∆−=

CC

(u

Se define la función escalar Se define la función escalar Energía PotencialEnergía Potencial UU(x,y,z)(x,y,z), , de forma que la diferencia de forma que la diferencia de valores de esta función de valores de esta función

para dos puntos del para dos puntos del espacio sea igual al trabajo espacio sea igual al trabajo

realizado por la fuerza realizado por la fuerza CONSERVATIVACONSERVATIVA..

)(QU)(PU

Energía PotencialEnergía Potencial

Capacidad de un cuerpo Capacidad de un cuerpo para realizar trabajo en para realizar trabajo en

base a su ubicación dentro base a su ubicación dentro de un campo de fuerzas de un campo de fuerzas

CONSERVATIVASCONSERVATIVAS

fizyxc UUUdzFdyFdxFWf

i

−=∆−=++= ∫ )(

Energía Potencial

Si una fuerza es CONSERVATIVA el trabajo se puede escribir como la variación de la energía potencial U ASOCIADA A ELLA:

por conveniencia se agrega el signo negativo a .∆U

yf

Yi = 0

Ui =0F

F = -mg j

Energía Potencial de la fuerza de gravedad

( )

∫ ∫∫

−==

++=

f

i

f

i

f

i

y

y

y

y

y

y zyxg

dymgFdy

dzFdyFdxFW

)(

W mgy mgy Ug i f g= − = −∆

U mgyg =

0 0

FF de gravedad homogéneade gravedad homogénea

UUgg

yy

mgyU g =F

( ) jdyydU

zyxUF)(

,, −=−∇=

y

jdydU

Fg −= mgj−=

F

W kx kx Us i f s= − = −1

2

1

22 2 ∆

U kxs =1

22

Energía Potencial almacenada en un resorte

W Fdx kx dxs x

x

x

x

i

f

i

f

= = −∫∫ ( )

xi

m

fx

xm xm

U kxs =1

22

x = 0

m

xm

U

U kxs =1

22

eF

x PP QQ

kx−=idxdU

F ˆ−=

KWWWW FncFTF cR∆=+==

Teorema del W y la Energía Teorema del W y la Energía mecánicamecánica

KWU Fc ∆=+∆−UKW

ncF∆+∆=

UKE +=EWncF

∆=

Definimos la energía mecánica total E, como:

E K U≡ +

Trabajo realizado por fuerzas no conservativas

El trabajo realizado por fuerzas no conservativas es igual al cambio de energía mecánica total.

EEEW ifnc ∆=−=

EWncF

∆= 0=ncF

W

La energía mecánica se conserva si el trabajo de las fuerzas no conservativas se anula.

0=∆E

K U K Ui i f f+ = +

∆ ∆K U= −Se cumple:

Conservación de la Energía Mecánica

Entonces: E Ei f=

2222

21

v21

21

v21

ffii kxmkxmE +=+=

ffii mgymmgym +=+ 22 v21

v21

Conservación de la energía para un cuerpo en caída libre

Conservación de la energía para un resorte

Hacer click sobre conservación

FUERZAS conservativasFUERZAS conservativas

No producen variación de energía No producen variación de energía mecánicamecánica

Estas son las fuerzas potenciales y otras Estas son las fuerzas potenciales y otras que no realizan trabajo como Fque no realizan trabajo como Fmagmag

FUERZAS NO conservativasFUERZAS NO conservativas

PRODUCEN variación de energía PRODUCEN variación de energía mecánicamecánica

Fuerzas Conservativas

Fuerza de gravedad

Fuerza elástica

No conservativas: La fuerza de fricción y otras

U kxs =1

22

mgyU g =

fic UUUW −=∆−≡

KWWRFT ∆==

UWCF ∆−=

EWNCF ∆=

Teorema del trabajo y la energía

0=ncFW 0=∆E

La energía mecánica se conserva

Curvas de Energía Potencial

Puntos de retorno E = U, K = 0

Equilibrio estable Umin

Equilibrio inestable Umax

Puntos de

Equilibrio

F = 0 Equilibrio indiferente U=cte U

E

E´

Hacer click en curva

U

max22

max2 v

21

21

21

KkkxUkAE =+===

U

KKmax

Umax

x = 0

m

A

E

Ejemplo: Una pelota en caída libreSe deja caer una pelota de masa m desde una altura h arriba del piso , tal como se indicaa) determine la rapidez de la pelota cuando se encuentra a una altura y por arriba del piso, despreciando la resistencia del aire b)determínese la rapidez de la pelota en y si se hubiera tenido una rapidez inicial vi en la altitud inicial h

yi = hUi = mghKi = 0

yf = yUf = mgyKf = 1/2 mvf

2

{

{hy vf

y = 0Uf = 0

U

yyiy

imgyE =

fU

fK

EjemploEn el sistema mostrado, determínese el trabajo efectuado por el peso, si m se mueve desde A hacia B

37 F2=10e-t

F1=10N

µk = 0,8

370

m= 5kg

A

B

15m

Ejemplo : el péndulo:Un péndulo consta de una esfera de masa m sujeta a una cuerda ligera de longitud L tal como se indica . La esfera se libera a partir del reposo cuando la cuerda forma un ángulo θo con la vertical, y el pivote en O no presenta fricción a)Encuéntrese la rapidez de la esfera cuando se encuentra en el punto mas bajo ,bb)Cual es la tensión de la cuerda en b

o

a

b

cθ0L cos θ0

L

T

mg

2,5 m

5 Kg

3,5 Kg

3m

υo = 8 m/s

A

R

h

y

xO

B C

A

(5,5) m

k=100N/m

1 Kg

PROBLEMA

Un bloque de 3kg se desliza hacia abajo de un plano inclinado áspero cuya longitud es de 1m, El bloque parte del reposo en la parte superior y experimenta una fuerza constante de fricción cuya magnitud es de 5N, el ángulo de inclinación es de 30a) determine la rapidez del bloque en la parte inferior del plano

30

3kg

Ki = 0Ui = mgyi

i

vi = 0

Kf = 1/2 mvf2

Uf = 00,5 m

y = 0

30°

N

f

mg cos 30°

mg sen 30°

PROBLEMA

Una niña de masa m se deja deslizar sobre una resbaladilla curva de manera irregular y cuya altura es h . Las niña parte del reposo de la parte superior. a)determine la rapidez de la niña cuando llegue a la parte inferior, suponiendo que no existe fricción. b)si hubiera fuerza de rozamiento cual seria el trabajo efectuado por esta fuerza si llega con una rapidez igual a 0,5 veces la velocidad del caso anterior

6 m

mg

N

PROBLEMA

Se conectan dos bloques por medio de una cuerda ligera que pasa por una polea sin fricción, el bloque de masa m1 esta sobre una superficie áspera y se conecta a un resorte cuya constante de fuerza es k, el sistema se libera del reposo cuando el resorte no esta estirado . si m2 cae una distancia h antes de quedar en reposo, calculese el coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y la superficie.

k

m1

m2

h

PROBLEMA

Un bloque de 10 kg. se suelta desde el punto A sobre un carril ABCD tal como se indica. El carril no presenta fricción en ninguna parte excepto en la parte BC, de longitud 6m. El bloque viaja hacia abajo del carril hasta que choca con un resorte de constante 2250 N/m y lo comprime 30cm antes de llegar al reposo momentáneamente. Determine el coeficiente de fricción cinético entre la parte del carril BC y el bloque

A

B CD

h=6mk = 2250

PROBLEMA

Una partícula de 4kg se mueve a lo largo del eje x con la influencia de una sola fuerza conservativa. Si el trabajo realizado sobre la partícula es de 80J cuando la partícula se mueve de x = 2m a x = 5m, encuentre a)el cambio en la energía cinética de la partícula b) el cambio en su energía potencial y c) su rapidez en x = 5m si la partícula parte desde el reposo en x = 2m