Automatizacin Industrial 72.061
PID El controlador clsico
de tres modos.
FIUBA
Bibliografa:
Ingeniera de Control Moderna. Katsuhiko Ogata
Sistemas Modernos de Control. Richard Dorf
Dinmica de Sistemas y Control. Umez-Eronini
Sistemas Realimentados de Control. D`Azzo-Houpis
Ingeniera de Control. Bolton
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Operacin Bsica de un control realimentado
En un calefactor CON CONTROL sucede lo siguiente:
z Se mide la temperatura ambiente.
z Se comparan la medicin y el valor deseado de temperatura, con lo que se obtiene el error. Por ejemplomuy caliente o muy fro.
z Sobre la base del error, un algoritmo de control decide que hacer. Tal algoritmo podra ser:
*Si la temperatura es muy alta entonces apagar el calefactor.*Si es muy fra entonces encender el calefactor.
z El ajuste elegido por el algoritmo de control se aplica a alguna variable ajustable, por ejemplo el caudal del gas que alimenta el calefactor.
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Propiedades del control realimentado
z Un sistema de control realimentado trata de llevar la cantidad medida a su valor requerido o Set Point (SP).
z El sistema de control no sabe por qu la variable medida no est en el valor requerido, solo sabe que as sucede.
z Existen dos causas posibles para tal disparidad: El sistema ha sido perturbado. El setpoint ha cambiado.
En ausencia de perturbaciones externas, un cambio en elsetpoint introducir un error. El sistema de control actuar hasta que la cantidad medidaalcance el nuevo setpoint.
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El Algoritmo PID
z El algoritmo PID es el ms difundido y utilizado de los algoritmos de control realimentado.Es un algoritmo robusto y de fcil comprensin que permite obtener un excelente rendimiento de control a pesar de las distintas caractersticas dinmicas de los procesos.
z Como su nombre lo indica, el PID consiste de tres modos bsicos:
modo Proporcional,modo Integral
& modo Derivativo.
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Controlador P, PI or PID
z Cuando se utiliza el algoritmo PID, es necesario decidircuales modos se usan (P, I o D) y especificar los parmetros para cada modo elegido.
z Generalmente se utilizan tres combinaciones bsicas de modos: P, PI o PID.
z Los Controladores se disean para eliminar la necesidad de atencin continua del operador.
Un termostato hogareo es un ejemplo de como los controladores se utilizan para ajustar en forma automtica algunas variables y mantener una medicin (o variable de proceso PV) en un valor deseado (o set-point)
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Salida del Controlador
z La variable a ser controlada es U, la salida del controlador (y la entrada de la planta):
z La salida del controlador U cambiar en respuesta al cambio en la medicin Y o al cambio en el set-point R (lo que significar un cambio en el error E)
Alimenta a la planta Sistema a ser controlado
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Controlador PID
z En el dominio-s, el controlador PID puede representarse como:
z En el dominio del tiempo:
)()( sEsKsKKsU dip
++=
dttdeKdtteKteKtu d
t
ip)()()()(
0++=
ganancia proporcional gan. integral gan. derivativa
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Controlador PID
z En el dominio del tiempo :
z La seal u(t) ser enviada a la planta, y se obtendr una nueva salida y(t). Esta nueva salida y(t) ser retroalimentada al sensornuevamente para obtener la nueva seal de error e(t).El controlador toma esta nueva seal de error y computa su ganacia derivativa y su ganancia integral .Este proceso se repite continuamente.
dttdeKdtteKteKtu d
t
ip)()()()(
0++=
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Definiciones
z En el dominio del tiempo :
++=
++=
dttdeTdtte
TteK
dttdeKdtteKteKtu
d
t
ip
d
t
ip
)()(1)(
)()()()(
0
0
i
dd
i
pi K
KTKK
Tdonde == ,
Ganancia proporcional Ganancia integral
Ganancia derivativa
constante de tiempo derivativaconstante de tiempo integral
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Efectos del Controlador
z Un controlador proporcional (P) reduce las respuestas a las perturbaciones, pero an permite un error de estado estacionario.
z Cuando el controlador incluye un trmino proporcionala la integral del error (I), entonces el error de estado estacionario ante una entrada constante se elimina, aunque generalmente con el costo de deteriorar la respuesta dinmica o transitoria.
z Un control derivativo generalmente logra un sistema mejor amortiguado y ms estable.
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Respuestas a lazo cerrado
Tiempo de crecimiento
Mximosobrepico
Tiempo de establecimiento
Error estacionario
P Disminuye Aumenta Cambio menor Disminuye
I Disminuye Aumenta Aumenta Elimina
D Cambio menor
Disminuye Disminuye Cambio menor
z Estas correlaciones no son exactas , debido a que las ganancias P, I y D dependen unas de otras.
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Ejemplo de problema de PID
z Supongamos un sistema simple masa, resorte y amortiguador.
z El modelo dinmico es de 2 orden:
z Tomando Transformada de Laplace:
z La funcin Transferencia est dada por:
fkxxbxm =++ &&&
)()()()(2 sFskXsbsXsXms =++
kbsmssFsX
++= 21
)()(
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Continuacin del ejemplo
z Sea
z Reemplazando en la transferencia:
z El objetivo es mostrar como cada cada una de las contribuye para obtener:
rpido crecimiento,mnimo sobrepico,
nulo error estacionario.
Nf,m/Nk,m/s.Nb,kgm 120101 ====
20101
)()(
2 ++= sssFsX
dip KandKK ,
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Ejemplo: Sin controlador
z La funcion de transferencia a lazo abierto est dada por:
z El valor de la salida en estado estacionario es :
20101
)()(
2 ++= sssFsX
201
)()()(lim)(lim)(lim
00==== sF
sXssFssXtxxsstss
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Ejemplo: respuesta a lazo abierto
z 1/20=0.05 es el valor final de la salida ante una entrada escaln unitaria .
z Esto corresponde a un error estacionario de 95%!
z El tiempo de establecimientoes aprox. 1.5 seg.
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Ejemplo: Controlador Proporcional
z La funcin de transferencia de lazo cerrado est dada por:
)20(102010
1
2010)()(
2
2
2
p
p
p
p
KssK
ssKss
K
sFsX
+++=+++++=
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Ejemplo: control Proporcional
z Sea
z El grfico muestra que el controlador proporcional reduce el tiempo de crecimiento y el error estacionario, aumentando el sobrepico , y disminuyendo ligeramente el tiempo de establecimiento.
300=pK
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Ejemplo: Controlador PD
z La funcin de transferencia de lazo cerrado est dada por:
)20()10(2010
1
2010)()(
2
2
2
pd
dp
dp
dp
KsKssKK
sssKK
sssKK
sFsX
+++++=
++++++
+=
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Ejemplo: Controlador PD
z Sea
z El grfico muestra que elcontroladorproporcional derivativoreduce el sobrepico y el tiempo de establecimiento, y tiene pequeo efecto sobre el tiempo de crecimiento y el error estacionario.
10,300 == dp KK
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Ejemplo: Controlador PI
z La funcin de transferencia de lazo cerrado est dada por:
ip
ip
ip
ip
KsKssKsK
sssKK
sssKK
sFsX
+++++=
++++++
+=
)20(102010
/1
2010/
)()(
23
2
2
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Ejemplo: Controlador PI
z Sea
z Se ha reducido la ganancia proporccional debido a que el controlador integral tambin reduce el tiempo de crecimiento y aumenta el sobrepico como lo hace el proporcional (tendramos doble efecto).
z La grfica muestra que el controlador integral eliminael error estacionario.
70,30 == ip KK
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Ejemplo: Controlador PID
z La funcin de transferencia de lazo cerrado est dada por:
ipd
ipd
idp
idp
KsKsKsKsKsK
sssKsKK
sssKsKK
sFsX
+++++++=
+++++++++
=)20()10(
2010/
1
2010/
)()(
23
2
2
2
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Ejemplo: Controlador PID
z Sea
z Ahora se ha obtenido un sistema sin sobrepico,rpido crecimento y sin error estacionario.
5500
,300,350
===
d
ip
KKK
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Ejemplo: Resumen
PDP
PI PID
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Funciones del Controlador PID
z Salida realimentada de la accin Proporcional
compara la salida con el set-point
z Elimina offset (= error estacionario) de la accin Integral
aplica control constante an cuando el error es cero
z Anticipacin de la accin Derivativa Reacciona a altas tasas
de cambio antes que el error crezca y se haga muy grande
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