1. VARIA‡ƒO DA ENERGIA POTENCIAL - gota.eng.br .Energia potencial eletrosttica de um sistema

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1. VARIAO DA ENERGIA POTENCIAL t b lh li d d l l id d t t d t o trabalho realizado para deslocar um corpo, com velocidade constante, de um ponto a outro num campo conservativo ( ) . 0W F dl= =

.dU d= F l

Obs. sobre o sinal (-): um corpo, imerso num campo, fica sujeito ao de uma fora (F), para desloc-lo com velocidade constante deve-se aplicar uma fora (-F).

.dU dF l

2. DIFERENA DE POTENCIAL ( - ) bV aV o trabalho realizado, por unidade de carga, para deslocar uma carga de prova, com , p g , p g p ,velocidade constante, de um ponto a at um ponto b.

. . . .dU d q ddV dq q q

= = = =

F l E l E l, logoq q q

.b

b a a

UV V V dq

= = = E lqOnde:

V Potencial eltrico (ou simplesmente, potencial)

Unidade: Volt (V), sendo que 1(V) = 1(J/C), logo a unidadedo campo E pode ser expressa em (V/m).p p p ( )

Linhas de fora apontam na direo do maiorpara o menor potencial (potencial decrescente)

Potencial de uma carga puntiforme:g pconsidere uma carga de prova que sedesloca com velocidade constante num campoeltrico E, gerado por uma outra carga

0q

puntiforme Q, logo a variao da energia potencial:

KQdU d E d dF l 0 0. . . . rQdU d q E dr q dr

r= = = F l

1 1

b

b a a

KQV V V dr KQr r r

= = =

a

b ar r r

Se definirmos um potencial zero quando ,o potencial num ponto r ser:

r =o potencial num ponto r ser:

( )rKQV =( )r r

O potencial de uma carga puntiforme o trabalho por unidade de carga para trazer uma p g p f p g pcarga positiva desde o infinito at uma distncia r, com velocidade escalar constante.

Uma unidade de energia conveniente a nvel atmico o eltron-volt (eV), sendo que

19 191 1,6 10 . 1,6 10eV x C V x J = =

i t 1 V lt d ltisto , 1 Volt vezes a carga do eltron.

EXEMPLO: Calcular o potencial eltrico devido a um prton a uma distncia 100,59 10r x m= (distncia da primeira rbita de Bohr) e a energia potencial quando

se coloca um eltron nesta posio.

Soluo:

( )( )9 199 10 1 6 10K O potencial dado por: ( )( )10

9.10 1,6.1027,2

0,59.10KqV Vr

= = =

A energia dada por: 19 18. 1,6.10 .27,2 4,36.10U qV J = = =

3. POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGASPUNTIFORMES

O potencial devido a um sistema de cargas puntiformes igual a soma dos potenciais,no ponto devido as cargas puntiformes individuaisno ponto, devido as cargas puntiformes individuais.

. iK qVr

=i ior

Energia potencial eletrosttica de um sistema de cargas puntiformes o trabalho necessriopara transportar uma carga, com velocidade constante, do infinito at uma posio final.

0. i

i io

K qW qr

=

EXEMPLO: Trs cargas puntiformes positivas deesto nos vrtices de um quadrado de lado 3m, como mostra

fi C l l i l i d d

2 C

a figura. Calcular o potencial V no vrtice desocupado e otrabalho necessrio para trazer uma carga positiva e coloc--la no vrtice desocupado.

Soluo:O potencial devido as trs cargas :

KqKq Kq 31 21 2 3

6 6 69 2.10 2.10 2.109.10

3 3

KqKq KqVr r r

= + +

= + +

4

3 3 3 21,62.10 V

=

O trabalho necessrio para trazer uma carga at o vrtice ser:

( )( )( )( )6 4 2. 2.10 1,62.10 3, 24.10W qV J = = =

4. SUPERFCIES EQUIPOTENCIAIS

Vi t b lh f t d t lt i d l d Vimos que o trabalho efetuado contra o campo eltrico para deslocar uma carga de prova e a variao de potencial

Se o deslocamento for perpendicular a E, ento o potencial no se altera

0q . .U q = E l .V = E l

l ( )0V =p p , p

A maior variao do potencial ocorre quando paralelo ou anti-paralelo ao campo E.Quando paralelo e tomarmos o limite temos:

( )

V ll

lim V dVEl dl

= =

Um vetor que tem a direo da maior variao da funo escalar (paralelo ao campo E) e que tem mdulo igual a derivada da funo com relao a distncia como a frmula anteriorque tem mdulo igual a derivada da funo com relao a distncia, como a frmula anterior chamado de gradiente da funogradiente da funo (no caso anterior do potencial).

Numa superfcie equipotencial, o potencial eltrico no se altera e o deslocamento de umap q p pcarga sobre esta superfcie no efetua trabalho.

5. CLCULO DO POTENCIAL ELTRICOExistem 3 formas de calcular o potencial eltrico num ponto:

1 Devido a uma distribuio de carga em que se conhece E(l):1. Devido a uma distribuio de carga em que se conhece E(l):

.V d = E l

2. Devido a uma distribuio de cargas puntiformes:

iKqV =

3. Tratando de um elemento de carga dq como parte de uma distribuio finita de

i io

Vr

=

g q p cargas (garante que potencial no infinito seja finito ou nulo)

.K dqV = V r

EXEMPLO: Calcular o potencial eltrico a uma distncia x de um plano infinito carregado uniformemente com cargas positivas.

Soluo:

O campo eltrico de um plano infinito carregado dado por:O campo eltrico de um plano infinito carregado dado por:

02XE

=

Logo, o potencial ser:( )XV

( ) ( )0x

XxV V E dx = ( ) ( )0 0 Xx

002

xdx

=

0

02x

=

Onde V(0) o potencial do plano infinito.

EXEMPLO: Calcular o potencial a uma distncia x sobre o eixo de um anel de raio a carregado com uma carga Q uniformemente distribuida.g g Q

Soluo:

O potencial no ponto x devido ao anel ser a integral sobre o comprimento do anel levando-se em considerao o potencial d id l d ddevido a um elemento de carga dq a uma distncia 2 2s a x= +

dVEXdVEdx

=

1 2KQ x = ( )3/ 22

2 x

x a=

+

( )3/ 2KQx

=( )3/ 2 x a+

EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de um disco de raio R, com densidade superficial de carga

Soluo:

O potencial de uma espira de raio r largura dr e carga (exemplo anterior):2dq r dr O potencial de uma espira de raio r, largura dr, e carga (exemplo anterior):.2 .dq r dr =

KdqdVs

=

Logo:

2 20

2 .R K r drV dVx r

= =+

2 2

01/ 2

RK x r +

=

( )( )2 22K x R x= + E campo eltrico:

dV 2 2

2 1dV xE Kdx x R

= = +

EXEMPLO: Calcular o potencial sobre o eixo de uma casca esfrica de raio R, e carga total Q uniformemente distribuda com densidade

Soluo:

Escolhemos um anel de carga com larguraEscolhemos um anel de carga com larguraRd e comprimento 2 rsen A rea desteanel :

2 . 2 dA Rsen Rd R sen d = =2 . 2dA Rsen Rd R sen d

A carga eltrica neste anel :

2 dQ dA R sen d = =

Vimos que o potencial devido a este anel :Vimos que o potencial devido a este anel :

KdQdV = 2 K R sen ddV = (I)s s

( )

Por outro lado podemos relacionar as variveis s e por:

2R R dif i d h 2 coss r R rR = + que diferenciando chega-se a

2 2s rRsen d = sdssen drR

= (II)rR

Substituindo (II) em (I) (elimina-se da equao), temos

2 r Rr R K R d++ 2 2

r R

r R r R

K R sds sdV K Rs rR r

+

= =

2 4 2K R K R KQR = = =2Rr r r

= = =

Para pontos fora da casca funciona como se fosse uma carga puntiforme na origem.

Para pontos dentro da casca muda o limite inferiorPara pontos dentro da casca muda o limite inferior.

2 4 2 2R r

s K R K R KQdV K R rR R

+

= = = = R rr r R R

OBS.:

Apesar do campo eltrico ser nulo dentro da casca esfrica, o potencial constante.

A seguir mostraremos um modo mais fcil de se calcular o potencial devido a uma casca esfrica.

Sabemos que o campo eltrico devido a uma casca esfrica radial e como se a carga fosseSabemos que o campo eltrico devido a uma casca esfrica radial e como se a carga fosse puntiforme no centro da esfera:

XKQE = para x>R

x

Onde a carga , que a carga total sobre a superfcie. Logo:

4 Q R =

0

4 ( )

r K R KQV r dxx r

= = , para r>R

O potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencialO potencial dentro da esfera deve ser igual ao potencial sobre a casca esfrica, uma vez que o campo eltrico nulo, logo,

Q( ) KQV rR

= para r

EXEMPLO: Calcular o potencial devido a uma esfera de raio R, carga total Q, com densidade volumar uniforme de carga igual a:

34Q

R =

Soluo: O campo eltrico fora da esfera o mesmo de uma carga puntiforme

3

3R

2

KQErr

=

e, portanto, o potencial ser dado por ( ) KQV rR

=

O campo eltrico dentro da esfera dado por: 3KQrErR

=

r

Como o campo eltrico no interior da esfera nulo, o potencial no ser constante e deve aumentar quando deslocarmos uma carga de prova em direo ao seu centro (efetuar trabalho) logo:(efetuar trabalho), logo:

23 3

0

1( ) (0)2

r KQr KQV r V dr rR R

= = O potencial V(0) no pode ser zero (pois ( ) 0V= ), pode-seescolher V(0) de tal forma que ocorra continuidade V em r=R, isto :

23

1 3(0) (0)2 2

KQ KQ KQV R VR R R

= =

Logo, o potencial no interior da esfera ser:2

2( ) (3 )2KQ rV r

R R=

2R R

EXEMPLO