12.2 指数型生成函数用生成函数可以解决组合计数问题，那么

是否可用来解决排列问题？注 意 到 组 合 计 数 问 题 ， 多 重 集

S={·a1,·a2,…, ·ak} 的 r- 组 合 数 是C(r+k-1,r) ，数列 {C(r+k-1,r)} 的生成函数

kr

r

yyrrkC

)1(

1),1(

0

收敛于初等函数

而对于集合 {a1,a2,…,an} 的 r- 排列数为p(n,r), 数列 {p(n,r)} 的生成函数

0

),(r

ryrnp

其收敛和函数不能表示为初等函数，因此无法直接应用。但因为 C(n,r)=p(n,r)/r! ，所以

n

r

n

r

rrn

r

xrnpxrnCx

0 0 !),(),()1(

对排列数的生成函数可考虑用这样的幂级数

n

r

r

r r

xa

0 !指数型生成函数

定义 12.2: 设 a0,a1,,an, 是一个数列，构造形式幂级数

nn

r

rr xn

ax

axaax

r

axf

!!2!)( 22

100

称 f(x) 是数列 a0,a1,,an, 的指数型生成函数为什么要称指数型生成函数 ?

因为

0 !

)(

r

rax

r

axe 与上述幂级数类似。

根据定义知，指数型生成函数与幂级数型生成函数的一般项仅相差一个因子 1/n!

只要令 a'r=ar/r! ，则 a'r 的幂级数型生成函数就是 ar 的指数型生成函数，因此由定理12.1 易得指数型生成函数的性质。

定理 12.2 ：设 an,bn 的指数生成函数分别为fe(x) 和 ge(x) ，则：

n

kknkn

n

n

nee

baknCc

n

xcxgxf

0

0

),(

!)()(

其中

对于 an=1 的数列 {1} ，它的指数型生成函数为：

!!21

!

2

0 n

xxx

r

xe

n

r

rx

现在用指数型生成函数来解决多重集的排列问题。

定 理 12.3 ： 设 有 限 多 重 集 {n1·a1,n2·a2,…, nk·ak} ，且 n=n1+n2+…+nk ，对任意的非负整数r ， ar 为 S 的 r- 排列数，则数列 ar 的指数型生成 函 数 为 ： g(x)=gn1(x)·g n2(x)·…·gnk ， 其 中gni(x)=1+x+x2/2!+… +xni/ni!,i=1,2,…,k 。

证 明 ： 要 证 ar 的 指 数 型 生 成 函 数 为gn1(x)·gn2(x)·…·gnk ，

关键是证明 gn1(x)·gn2(x) ·…·gnk(x) 的展开式中项xr/r! 的系数就是 ar。

下面考察 gn1(x)·g n2(x)·…·gnk 的展开式中项 xr/r! 的情况。

!!21)(

!21)(

!!21)(

2

2

21

2

2

2

1

1

k

n

r

n

r

n

r

r

n

xxxxg

n

xxxxg

n

xxxxg

x

k

k

来源

上述式子乘积的每项：!!!!!! 2121

2121

k

mmm

k

mmm

mmm

x

m

x

m

x

m

x kk

下面证明

0

2121!!!

!

i

km

rmmm kmmm

r

就是 S 的 r- 排列数 ar 。

而 对 于 S 的 每 个 r- 排 列 ， 其 确 定 了ai(i=1,2,…k) 的个数，因此是某个 r 元子集的一个全排列。 S 的 r- 排列数不会多于 S 的所有 r 元子集的全排列数之和。

所以 S 的 r- 排列数 ar 就是

02121

!!!

!

i

k

mrmmm kmmm

r

即 gn1(x)·g n2

(x)·…·gnk=g(x) 。

例： S={1·a1,1·a2,…,1·ak}, 求 r- 排列数解：设排列数为 {pr}, gri(x)=1+x ，则

k

r

r

k

r

r

k

r

rk

r

x

rn

n

xrnr

n

xrnCxxg

0

0

0

!)!(

!

)!(!

!

),()1()(

所以 pr=n!/(n-r)!=p(n,r)

例： S={·a1,·a2,…,·ak} ，求 S 的 r- 排列数解：设排列数为 {pr}, gri(x)=(1+x+x2/2!+…+xr/r!+…) ，则g(x)=(1+x+x2/2!+…+xr/r!+…)k=(ex)k=ekx

00 !!

)(

r

rr

r

r

r

xk

r

kx

所以 pr=kr 。

例： S={2·x1,3·x2} ，求 4- 排列数。解：设 4- 排列数为 p4, 数列 {pr} 的指数型生成

函数为g(x)=(1+x+x2/2!)(1+x+x2/2!+x3/3!)

5432

54433322

2

12

1

12

5

6

7221

!3!2)

!2!2!3()

!2!2!3()

!2!2(21

xxxxx

xxxxxxxx

xx

p4=?要注意标准形式 : pr 是 xr/r! 的系数。所以

!510

!452

!37

!2421)(

5432 xxxxxxg

因此 p4=10 。

3!=6,

4!=24,

5!=120

例： S={2·x1,3·x2,4·x3} ，求 4- 排列数，且各元素均出现偶数次。

解：设 4- 排列数为 p4, 数列 {pr} 的指数型生成函数为

g(x)=(1+x2/2!)(1+x2/2!)(1+x2/2!+x4/4!)

!4)

!4

1

4

1

2

1(!4

!231

)!442

(!2

31

42

4442

xx

xxxx

所以 p4=4*3+3*2+1=19

例：设有 6 个数字，其中 3 个数字 1,2个数字 6,1 个数字 8 ，问能组成多少个四位数 ?

解：这实际上是求 S={3·x1,2·x2,1·x3} 中取4 个的多重集排列数问题。

其指数型生成函数为：g(x)=(1+x+x2/2!+x3/3!)(1+x+x2/2!)(1+x)=1+3x+8(x2/2!)+19(x3/3!)+38(x4/4!)

+60(x5/5!)+60(x6/6!)由此可得 a4=38 ，即可组成 38 个四位数。

设 S={·a1,·a2, ·a3} ，要求 a3 出现偶数次， a2 至少出现 1 次。求满足上述要求的 r- 排列数。

作业 :P253:3,4,7,8,12