คานา

แบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3

รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชดท 4 เรอง การหารพหนาม จดทาขนเพอใชในการฝกทกษะเกยวกบพหนามและเศษสวนของพหนาม โดยไดจดทาขนตามแนวทางการจดกจกรรมการเรยนการสอนทเนนผเรยนเปนสาคญ และมงใหผเรยนไดฝกทกษะเกยวกบพหนามและเศษสวนของพหนาม ดวยแบบฝกทกษะทจะชวยพฒนาอยางเปนขนตอน แบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม มทงหมด 7 ชด ดงน

แบบฝกทกษะชดท 1 เรอง การบวกและการลบพหนาม แบบฝกทกษะชดท 2 เรอง การคณเอกนามกบพหนามและการหารพหนามดวยเอกนาม แบบฝกทกษะชดท 3 เรอง การคณพหนาม แบบฝกทกษะชดท 4 เรอง การหารพหนาม แบบฝกทกษะชดท 5 เรอง การคณเศษสวนของพหนาม แบบฝกทกษะชดท 6 เรอง การหารเศษสวนของพหนาม แบบฝกทกษะชดท 7 เรอง การบวกและการลบเศษสวนพหนาม

ผจดทาหวงเปนอยางยงวา แบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3 รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร จะชวยพฒนาทกษะเกยวกบพหนามและเศษสวนของพหนามใหกบผเรยนไดเปนอยางด และจะเปนประโยชนสาหรบผสอนในการนาไปปรบใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอนไดตามความเหมาะสม ภาวน ศรพน

 

 

สารบญ

หนา

คาแนะนาการใชแบบฝกทกษะสาหรบคร........................................................................ 1 คาแนะนาการใชแบบฝกทกษะสาหรบนกเรยน............................................................... 2 สาระสาคญและจดประสงคการเรยนร............................................................................. 3 ใบความรท 4 เรอง การหารพหนาม ............................................................................ 4 แบบฝกทกษะท 4.1 ...................................................................................................... 9 แบบฝกทกษะท 4.2 ..................................................................................................... 11 บรรณานกรม ................................................................................................................. 15

ภาคผนวก ...................................................................................................................... 16 เฉลยแบบฝกทกษะท 4.1 ................................................................................. 17 เฉลยแบบฝกทกษะท 4.2 ................................................................................. 19

 

คาแนะนาการใชแบบฝกทกษะสาหรบคร

แบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3 รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชดท 4 เรอง การหารพหนาม มขนตอนการใช ดงน

1. ครแจกแบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม รายวชาคณตศาสตร เพมเตม 3 รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชดท 4 เรอง การหารพหนาม

2. ครชแจงการใชแบบฝกทกษะใหนกเรยนทราบกอนลงมอปฏบต 3. ครใหนกเรยนศกษาใบความร เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม รายวชา

คณตศาสตรเพมเตม 3 รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชดท 4 เรอง การหารพหนาม แลวปฏบตตาม

4. ครสงเกตพฤตกรรมและคณลกษณะอนพงประสงคของนกเรยน จากนนบนทกผล ลงในแบบสงเกตพฤตกรรมและคณลกษณะอนพงประสงค

5. ครตรวจผลงานของนกเรยนจากแบบฝกทกษะ จากนนบนทกผลลงในใบเกบคะแนน 6. ครแจงคะแนนใหนกเรยนทราบและชมเชยนกเรยน พรอมใหคาแนะนาเพมเตม

 

คาแนะนาการใชแบบฝกทกษะสาหรบนกเรยน

แบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3

รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชดท 4 เรอง การหารพหนาม ชดน นกเรยนสามารถศกษาไดดวยตนเอง โดยใหนกเรยนอานคาแนะนา และปฏบตกจกรรมแตละขนตอน นกเรยนจะไดรบความรอยางครบถวนและปฏบตตามขนตอนดงตอไปน

1. ศกษาจดประสงคการเรยนรของแตละเรอง เพอใหทราบวาเมอจบบทเรยนแตละ บทเรยนแลวสามารถเรยนรอะไรไดบาง

2. ศกษาใบความรและทาแบบฝกทกษะตามทกาหนดไว พรอมทงตรวจคาตอบเพอ ประเมนตนเอง

3. นกเรยนแตละคนตองมความซอสตยตอตนเอง โดยไมเปดดเฉลยแบบฝกทกษะ กอนการทาแบบฝกทกษะ

4. นกเรยนและผสนใจทตองการศกษาเนอหาเพมเตมจากแบบฝกทกษะ สามารถคนควา ไดจากบรรณานกรม เกณฑผานการประเมนผล นกเรยนตองไดคะแนนแบบฝกทกษะท 4.1 และแบบฝกทกษะท 4.2 รวมกนไมนอยกวารอยละ 75 แบบฝกทกษะชดนใชเวลาในการศกษาและปฏบตกจกรรม 2 ชวโมง

 

แบบฝกทกษะ เรอง พหนามและเศษสวนของพหนาม

รายวชาคณตศาสตรเพมเตม 3 รหสวชา ค20203 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชดท 4 เรอง การหารพหนาม

สาระสาคญ

การหารพหนามสามารถทาไดโดยใชวธการตงหารเชนเดยวกบการหารจานวนเตม ในการหารพหนามดวยพหนามใด ๆ ถามเศษของการหารเปนศนย เรยกการหารพหนามนนวาเปนการหารลงตว แตถาการหารพหนามดวยพหนามใด ๆ ถามเศษของการหารไมใชศนย เรยกการหารพหนามนนวาเปนการหารไมลงตว

จดประสงคการเรยนร

1. หารพหนามดวยพหนามได

 

ใบความรท 4

เรอง การหารพหนาม

การหารพหนาม การหารพหนามดวยพหนามทไมเปนศนย ในหวขอนจะกลาวถงเฉพาะกรณท

ตวตงและตวหารเปนพหนามทมตวแปรหนงตวและเปนตวแปรเดยวกน สาหรบการหารพหนามทมตวแปรหนงตวและเปนตวแปรตวเดยวกน กอนทา

การหารใหเขยนพหนามทงตวตงและตวหาร โดยเรยงพจนของพหนามจากพจนทม ดกรมากไปพจนทมดกรนอย เชน ถาตองการหารพหนาม 6x+x2-72 ดวยพหนาม x-6 จะเขยนเรยงพจนของพหนาม 6x+x2-72 เปน x2+6x-72 สวนพหนาม x-6 กาหนดมาโดยเขยนเรยงพจนทมดกรมากไปพจนทมดกรนอยอยแลว จงไมตองเขยน เรยงพจนใหม

การหารพหนามดวยพหนาม ทาไดโดยวธการตงหารในทานองเดยวกบ

การหารจานวนเตม เชน ตองการหาร 6x+x2-72 ดวย x-6 มขนตอนดงน ขนท 1 ใหเรยงพจนของพหนามตวตงและพหนามตวหารจากพจนทมดกร มากทสดไปหาพจนทมดกรนอยทสด ถาพจนใดไมมใหเวนไวหรออาจใสศนยแทนกได แลวจงเขยนการตงหาร ดงน

x - 6 x2 + 6x - 72

 

ขนท 2 ใหนาพจนแรกของตวหาร (ในทน คอ x) ไปหารพจนแรกของตวตง (ในทน คอ x2) ทาใหไดผลหารคอ x นาผลหารทไดไปเขยนไวบนบรรทดเหนอตวตง ใหตรงกบ x2 ดงน

x x - 6 x2 + 6x – 72 ( x2 = x )

ขนท 3 ใหนาผลหารทไดจากขนท 2 (ในทน คอ x) ไปคณกบตวหาร (ในทน คอ x-6) จะไดผลคณเทากบ (x)(x-6) = x2-6x นาผลคณทไดไปเขยนไวใต บรรทดของตวตง ดงน

x x - 6 x2 + 6x – 72

x2 – 6x (x)(x-6) = x2-6x ขนท 4 ใหนาผลคณทไดจากขนท 3 (ในทน คอ x2-6x) ไปลบออกจากตวตง (ในทน คอ x2+6x-72) จะไดผลลบ คอ (x2+6x-72) – (x2-6x) = 12x-72 ดงน

x x - 6 x2 + 6x – 72

x2 – 6x 12x – 72 (x2+6x-72) – (x2-6x) = 12x-72 ขนท 5 สาหรบผลลบทไดจากขนท 4 (ในทน คอ 12x-72) ใหนาไปเปน ตวตงใหม โดยใหดวาตวตงใหมน มดกรนอยกวาดกรของตวหาร (ในทน คอ x-6) หรอไม ถามดกรนอยกวากใหหยดการหาร ถามดกรเทากนหรอมากกวากใหทา การหารตอไปจนกวาตวตงจะมดกรนอยกวาตวหาร ในทน คอ 12x-72 มดกร เทากบ x-6 จงทาการหารตอไป

x

-

 

ขนท 6 ใหนาพจนแรกของตวหาร (ในทน คอ x) ไปหารพจนแรกของตวตงใหม (ในทน คอ 12x) ทาใหไดผลหารเทากบ 12 ใหนาผลหารทไดไปเขยนในรปการบวก ตอจากผลหารทไดในขนท 2 เปน x+12 แลวใหทาซาตามขนท 3 และขนท 4 จนกวาจะไดตวตงใหมเปน 0 หรอมดกรนอยกวาตวหาร จงหยดการหารได ดงน

(x2 = x)

x + 12 (12x = 12) x - 6 x2 + 6x – 72

x2 – 6x (x)(x-6) 12x – 72 (x2+6x-72) – (x2-6x) 12x – 72 (12)(x-6) 0 (12x-72) – (12x-72)

ในการหารพหนามตามขนตอนขางตน จะได (x2+6x-72) ÷ (x-6) มผลหาร

คอ x+12 เศษ 0 สามารถนามาเขยนความสมพนธของตวตง ตวหาร ผลหาร และเศษ ไดดงน

x2+6x-72 = (x-6)(x+12)+0 หมายเหต โดยทวไป ตวตง ตวหาร ผลหารและเศษ มความสมพนธกนดงน ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษ ขอสงเกต ในการหารพหนามดวยพหนามใด ๆ ถามเศษของการหารเปนศนย

เราจะเรยกการหารพหนามนนวา เปนการหารลงตว แตถาการหารพหนามดวยพหนามใด ๆ ถามเศษของการหารไมใชศนย

เราจะเรยกการหารพหนามนนวา เปนการหารไมลงตว

-x

x

-

 

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธของการหาร 9x2+6x+1 ดวย 3x+1 (9x2 = 3x) 3x + 1 (3x = 1) วธทา 3x + 1 9x2 + 6x + 1 9x2 + 3x (3x)(3x+1) 3x + 1 (9x2+6x+1)-(9x2+3x)

3x + 1 (1)(3x+1) 0 (3x+1)-(3x+1)

ตอบ ผลลพธ คอ 3x+1 ตรวจสอบผลลพธ (3x+1)(3x+1) = (3x)(3x) + (3x)(1) + (1)(3x) + (1)(1) ตวหาร ผลหาร = 9x2+3x+3x+1 = 9x2+6x+1 ตวตง สรปวา 9x2+6x+1 = (3x+1)(3x+1) นนคอ ตวตง = ตวหาร × ผลหาร จะไดวา ผลลพธทไดเปนคาตอบทถกตอง

3x

3x

-

-

 

ตวอยางท 2 จงหาผลลพธของการหาร x4+2x2+1 ดวย x2-x+1

(x3 = x) (2x2 = 2) (x4 = x2) x2 + x + 2

วธทา x2 – x + 1 x4 + 0x3 + 2x2 + 0x + 1 x4 – x3 + x2 (x2)(x2-x+1) x3 + x2 + 0x (x4+0x3+2x2+0x+1)-( x4-x3+2x2) x3 - x2 + x (x)( x2-x+1) 2x2 - x + 1 (x3+x2+0x)-(x3-x2+x) 2x2 - 2x + 2 (2)( x2-x+1) x – 1 (2x2-x+1)-(2x2-2x+2)

ตอบ ผลลพธ คอ x2+x+2 เศษ x-1 ตรวจสอบผลลพธ (x2-x+1)(x2+x+2) + (x-1) = (x2)(x2) + (x2)(x) + (x2)(2) + (-x)(x2) + (-x)(x) + (-x)(2) ตวหาร ผลหาร เศษ + (1)(x2) + (1)(x) + (1)(2) +x-1 = x4+x3+2x2-x3-x2-2x+x2+x+2+x-1 = x4+2x2+1 ตวตง สรปวา x4+2x2+1 = (x2-x+1)(x2+x+2) +x-1 นนคอ ตวตง = (ตวหาร × ผลหาร) + เศษ จะไดวา ผลลพธทไดเปนคาตอบทถกตอง

x2 x2 x2 พจนทมดกร 3 และดกร 1 ไมม

จงใสศนย (0) แทน

-

-

-

 

แบบฝกทกษะท 4.1

คาชแจง จงหาผลลพธของการหารพหนามในแตละขอตอไปน

1. (x2+5x+6)÷(x+2) ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. (3x2-4x-1)÷(x-2) ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................

 

3. (2x2+9x+4)÷(2x+1) .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

 

แบบฝกทกษะท 4.2

คาชแจง ใหนกเรยนเลอกตวอกษรทางขวามอทอยดานหนาคาตอบของการหารพหนาม เตมลงในชองวาง โดยใหมความสมพนธกบโจทยทกาหนดให

1. (6x2-8x-6)÷(3x+2) ก. x2+3x+5 เศษ 16

2. (4x2+x-16)÷(x+2) ข. 3x+1

3. (3x2-5x-2)÷(x-2) ค. 4x2+7x+15 เศษ 78

4. (10x3-37x2+32x-5)÷(2x-5) ง. 5x2+6x-1

5. (x3+7x2+7x-15)÷(x+3) จ. 2x2-7x+4 เศษ 5

6. (2x3+7x2+13x-21)÷(2x+1) ฉ. x2+4x-5

7. (8x3-6x2-5x+3)÷(2x-5) ช. 4x2+x-1

ซ. 2x-4 เศษ 2

ฌ. 5x2-6x+1

ญ. 4x-7 เศษ -2

……………

……………

……………

……………

……………

……………

……………

 

บรรณานกรม

กนกวล อษณกรกล และคณะ. (2554). หนงสอคมอ-เตรยมสอบ คณตศาสตรเพมเตม ม.2 เลม 1 ชวงชนท 3 (ม.1-ม.3). กรงเทพฯ : บรษท ภมบณฑตการพมพ จากด. กระทรวงศกษาธการ. (2555). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร. พมพครงท 3. กรงเทพฯ : สกสค. ลาดพราว. กฤษฎ ไกรสวสด. (2555). คมอคร คณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1. กรงเทพฯ : บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว.) จากด. นพพร แหยมแสง. (2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 ภาคเรยนท 1. กรงเทพฯ : หจก. ซ แอนดเอน บค. ฝายวชาการดอกหญาวชาการ. (2554). ตวเขมคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 2 เลม 1. กรงเทพฯ : สานกพมพดอกหญาวชาการ. เลศ สทธโกศล. (2558). MATH REVIEW คณตศาสตร ม.2 เลม 1 (พนฐาน&เพมเตม). กรงเทพฯ : ไฮเอดพลบลชชง.

 

ภาคผนวก

 

เฉลยแบบฝกทกษะท 4.1

1. (x2+5x+6)÷(x+2)

x + 3 วธทา x + 2 x2 + 5x + 6 x2 + 2x 3x + 6 3x + 6 0 ตอบ ผลลพธ คอ x+3

2. (3x2-4x-1)÷(x-2)

3x + 2 วธทา x - 2 3x2 - 4x - 1 3x2 - 6x 2x - 1 2x - 4 3 ตอบ ผลลพธ คอ 3x+2 เศษ 3

-

-

-

-

 

3. (2x2+9x+4)÷(2x+1) x + 4

วธทา 2x + 1 2x2 + 9x + 4 2x2 + x 8x + 4 8x + 4 0 ตอบ ผลลพธ คอ x+4

-

-

 

เฉลยแบบฝกทกษะท 4.2

1. (6x2-8x-6)÷(3x+2) ก. x2+3x+5 เศษ 16

2. (4x2+x-16)÷(x+2) ข. 3x+1

3. (3x2-5x-2)÷(x-2) ค. 4x2+7x+15 เศษ 78

4. (10x3-37x2+32x-5)÷(2x-5) ง. 5x2+6x-1

5. (x3+7x2+7x-15)÷(x+3) จ. 2x2-7x+4 เศษ 5

6. (2x3+7x2+13x-21)÷(2x+1) ฉ. x2+4x-5

7. (8x3-6x2-5x+3)÷(2x-5) ช. 4x2+x-1

ซ. 2x-4 เศษ 2

ฌ. 5x2-6x+1

ญ. 4x-7 เศษ -2

……ซ……

……ญ..…

……ข……

……ฌ..…

……ฉ……

……ก……

……ค……