Programas de estudio Matemática - minedupedia.mined.gob.svminedupedia.mined.gob.sv/lib/...media=files:tercer_ciclo_-_matematica.pdf · Salvador Enrique Rodríguez Hernández

Tercer Ciclo de Educación Básica

Programas de estudio

Matemática

Ing. Carlos Mauricio Canjura LinaresMinistro de Educación

Lic. Óscar de Jesús Águila ChávezDirector Nacional de Educación Media (Tercer Ciclo y Media)

Director del Proyecto ESMATE

Ing. Wilfredo Alexander Granados PazGerente de Gestión y Desarrollo Curricular de Educación Media

Coordinador del Proyecto ESMATE

Equipo Técnico

Corrección de estilo

Monica Marlene Martínez Contreras

Lic. Francisco Humberto CastanedaViceministro de Educación

Dra. Erlinda Hándal VegaViceministra de Ciencia y Tecnología

Lic. Félix Abraham Guevara MenjívarJefe del Departamento de Educación en Ciencia Tecno-

logía e Innovación (Matemática)

Lic. Gustavo Antonio Cerros UrrutiaJefe del Departamento de Especialistas en Currículo de

Educación Media

▪ Ana Ester Argueta Aranda▪ Erick Amílcar Muñoz Deras▪ Reina Maritza Pleitez Vásquez▪ Diana Marcela Herrera Polanco

▪ Francisco Antonio Mejía Ramos▪ Norma Elizabeth Lemus Martínez▪ Salvador Enrique Rodríguez Hernández▪ Félix Abraham Guevara Menjívar

Equipo de diagramación

▪ Neil Yazdi Pérez Guandique ▪ Judith Samanta Romero de Ciudad Real

Primera edición, 2018.Derechos reservados. Prohibida su venta y su reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin previa autorización del MINED.

Estimadas maestras y maestrosReciban un saludo cordial y nuestro más sincero respeto y agradecimiento por el trabajo que realizan día con día.

Desde la administración del Ministerio de Educación, hemos dado pasos muy concretos para fortalecer y acompañar la labor docente que ustedes realizan. En coherencia con los ejes estratégicos del Plan Nacional de Educación en Función de la Nación, particularmente con el fortalecimiento de la matemática, hemos visto oportuno robustecer la propuesta de formación con la creación de libros de texto y programas de estudio actualizados.

El equipo que ha liderado este proyecto denominado Mejoramiento de los Aprendizajes de Matemática en Educación Básica y Educación Media (ESMATE), ha sido conformado por especialistas del área de matemática, comprometidos por dar una respuesta educativa que ayude a todos a la mejor comprensión de los saberes matemáticos. Este equipo se ha apoyado mucho de docentes que están trabajando en el área de matemática a lo largo de todo el país.

Tenemos convicción y claridad para afirmar que el apoyo en la educación de la matemática permite desarrollar una sociedad capaz de resolver eficiente y oportunamente problemas complejos que se presentan día con día para construir un país más educado y productivo.

Les invitamos a que consideren este programa de estudio como una herramienta fundamental para el desarrollo de sus clases.

Una vez más, agradecemos toda la labor docente que realizan.

Carlos Mauricio Canjura LinaresMinistro de Educación

Francisco Humberto CastanedaViceministro de Educación

Erlinda Hándal VegaViceministra de Ciencia y Tecnología

ÍndiceI. Introducción del programa de estudio de MatemáticaparaTercerCiclo...............................1

II. PlandeestudiodematemáticaparaTercerCiclodeEducaciónBásica ....................................4

IV. Lineamientos metodológicos................................ 9 V. Lineamientos de evaluación................................ 11 Objetivosyunidadesdidácticas de tercer ciclo.................................................... 13

VI. Glosario.............................................................. 87VII. Referencias........................................................ 89

III. PresentacióndelaasignaturadeMatemática ........................................................................... 5

Componentescurriculares............................................................... 1

a.Objetivos................................................................................... 1

b.Contenidos................................................................................ 1

b.1Contenidosprocedimentales...........................................b.2Contenidosactitudinales.................................................

12

c.Evaluación................................................................................ 2

Descripciónypresentacióndelformatodeunaunidaddidáctica.... 2

Enfoquedelaasignatura:Resolucióndeproblemas........................... 5

Competenciastransversalesadesarrollar........................................ 5

a.Razonamientológicomatemático........................................... 5

b.Comunicaciónconlenguajematemático................................. 5

c.AplicacióndelaMatemáticaalentorno................................... 5

Ejestransversales............................................................................. 4

Bloquesdecontenido..................................................................... 5

Relacióndeunidadesdidácticaybloquesdecontenidodeséptimogrado ................................................................................................ 6Relacióndeunidadesdidácticaybloquesdecontenidodeoctavogrado ................................................................................................ 7Relacióndeunidadesdidácticaybloquesdecontenidodenovenogrado ................................................................................................ 8

Objetivosdeséptimogrado............................................................ 13

Unidadesdelprogramadeséptimogrado........................................ 14

Objetivosdeloctavogrado............................................................... 39

Unidades del programa de octavo grado ......................................... 40

Objetivosdelnovenogrado............................................................. 63

Unidades del programa de noveno grado ........................................ 64

El programa de estudio de Matemática para Tercer Ciclo de Educación Bá-sica presenta una propuesta curricular que responde a las interrogantes que toda maestra o maestro se hace al planificar sus clases.

Este programa de estudio está diseñado a partir de componentes curriculares y se desarrolla en el siguiente orden:

• Descripción de las competencias y el enfoque que orienta el desarrollo de la asignatura.

• Presentación de los bloques de contenido que responden a los objetivos de la asignatura y permiten estructurar las unidades didácticas.

• El componente de metodología ofrece recomendaciones específicas que perfilan una secuencia didáctica. Describe cómo formular proyectos en función del aprendizaje de competencias.

• La evaluación se desarrolla por medio de sugerencias y criterios aplicables a las funciones de la evaluación: diagnóstica, formativa y sumativa.

Finalmente, se presentan de manera articulada las competencias de unidad, contenidos e indicadores de logro por unidad didáctica en cuadros similares a

los formatos del plan de unidad. Aunque el programa de estudio desarrolle los componentes curriculares, no puede resolver situaciones particulares de cada aula; por lo tanto, se debe desarrollar de manera flexible y contextualizada.

Componentes curricularesa. Competencias de unidad. Están estructuradas en función del logro del

conocimiento, por ello se formulan de modo que orientan a una acción. Posteriormente se enuncian conceptos, procedimientos y actitudes como parte de la competencia para articular los tres tipos de saberes. Al final se expresa el “para qué” o finalidad del aprendizaje, conectando los conteni-dos con la vida y las necesidades del alumnado.

b. Contenidos. El programa de estudio propicia mayor comprensión de la asig-natura a partir de sus fuentes disciplinares, ya que presenta los bloques de contenido de forma descriptiva, los contenidos contribuyen al logro de los objetivos por medio de las competencias. El autor español Antoni Zabala1 define los contenidos como: “El conjunto de habilidades, actitudes y cono-cimientos necesarios para el desarrollo de las competencias”. Se pueden integrar en tres grupos según estén relacionados con: el saber, saber hacer y el ser; es decir, los contenidos conceptuales (hechos, conceptos, sistemas conceptuales), los contenidos procedimentales (habilidades, técnicas, mé-todos, estrategias, etcétera), y los contenidos actitudinales (actitudes, nor-mas y valores). Estos contenidos tienen la misma relevancia, ya que sólo integrados reflejan la importancia articulada del saber, saber hacer, saber ser y convivir. Merecen especial mención los contenidos procedimentales por el riesgo de que se entiendan como metodología.

b.1. Los contenidos procedimentales no son nuevos en el currículo, ya que la dimensión práctica o de aplicación de los conceptos se ha venido potenciando desde hace varias décadas.

Al darles la categoría de contenidos procedimentales “quedan sujetos de planificación y control, igual como se preparan adecuadamente las actividades para asegurar la adquisición de los otros tipos de con-tenidos”2.

I. Introducción del programa de estudio de Matemática para tercer ciclo

Competencias/Objetivos

Contenidos

Orientación sobre metodología

Orientación sobre evaluación Indicadores de logro

Componentescurriculares

1Marco Curricular. Antoni Zabal. Documento de referencia de consulta para el Ministerio de Educación. página 21.2Ibid.,pág. 103.

¿Para qué enseñar?

¿Qué debe aprender el estudiantado?

¿Cómo enseñar?

¿Cómo, cuándo y qué evaluar?

Interrogantes

1

2

b.2. Los contenidos actitudinales deberán planificarse igual que los con-tenidos conceptuales y procedimentales, por tener la misma impor-tancia. Las personas competentes tienen conocimientos y los aplican con determinadas actitudes y valores.

La secuencia de contenidos presentada en los programas de estudio es una propuesta orientadora para ordenar el desarrollo, pero no es rígida. Sin embargo, si se considera necesario incluir contenidos nue-vos, desarrollar contenidos de grados superiores en grados inferiores, o viceversa, deberá haber un acuerdo en el Proyecto Curricular de Centro (PCC) que respalde dicha decisión.

c. Evaluación. En este programa de estudio se hace énfasis en los indicado-res de logro3, debido a que estos son evidencias del desempeño espe-rado en relación con los objetivos y contenidos de cada unidad. Su uso para la evaluación de los aprendizajes es muy importante debido a que señalan los desempeños que debe evidenciar el alumnado y que deben considerarse en las actividades de evaluación y de refuerzo académico.

Las y los docentes deben comprender el desempeño descrito en el indi-cador de logro y hacer las adecuaciones pertinentes para atender las diversas necesidades del alumnado. Sin embargo, modificar un indica-dor implica un replanteamiento en los contenidos (conceptuales, proce-dimentales, actitudinales), por lo tanto se recomienda discutirlo con otros colegas del centro y con la directora o el director, y acordarlo en el PCC.

El programa de estudio presenta los indicadores de logro numerados de acuerdo con un orden correlativo por cada unidad didáctica. Por ejemplo, 2.1 es el primer indicador de la unidad 2, y el número 5.3 es el tercer indicador de la unidad 5.

Refuerzo académico. Se insiste en utilizar los resultados de la evaluación para apoyar los aprendizajes del alumnado. Por lo tanto, los indicadores de logro deberán guiar al docente para ayudar, orientar y prevenir la deserción y la repetición: al describir los desempeños básicos que se espera lograr en un grado específico, los indicadores de logro permiten reconocer la calidad de

lo aprendido, el modo como se aprendió y las dificultades que enfrentaron los estudiantes. Así se puede profundizar sobre las causas que dificultan el apren-dizaje, partiendo de que muchas veces no es descuido o incapacidad del alumnado.

Descripción y presentación del formato de una unidad didáctica

• El número y nombre de unidad: describe los datos generales de la unidad.

• Tiempo asignado para la unidad: contiene el número de horas asignadas a esa unidad.

• Competencias de unidad: lo que se espera que alcancen los alumnos y las alumnas.

• Contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales: incluyen los conceptos, procedimientos y actitudes que las alumnas y alumnos deben adquirir como parte del proceso de enseñanza-aprendizaje.

• Los indicadores de logro: son una muestra que evidencia que el alumnado está alcanzando las competencias.

• Conceptos claves: contiene los elementos más importantes de la unidad.

• Notación: se presentan los que se han utilizado en la unidad.

3Para mayor información, leer el documento Evaluación al servicio del aprendizaje y del desarrollo, Ministerio de Educación.San Salvador, 2015.

3

CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES

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COMPETENCIA DE UNIDAD

CONTENIDOS INDICADORES DE LOGRO

Números positivos, negativos y el cero

Conocer el significado de los números positivos, negativos y el cero representado por una ubicación respecto a un punto de referencia o una diferencia respecto a una cantidad de referencia, y reconocer la utilidad de los números negativos, para representar situaciones del entorno.

Punto de referencia. ▪ Asignación de un valor positivo o negativo a distintas temperaturas.

1.1 Asigna un valor positivo o negativo a distintas temperaturas.

▪ Asignación de un valor positivo o negativo a la ubicación de un objeto respecto a un punto de referencia.

1.2 Asigna un valor positivo o negativo a la ubica-ción de un objeto respecto a un punto de refe-rencia.

Cantidad de referencia. ▪ Asignación de un valor positivo o negativo a la diferencia de una cantidad respecto a otra cantidad de referencia.

1.3 Asigna un valor positivo o negativo a la diferen-cia de una cantidad respecto a otra cantidad de referencia.

Recta numérica. ▪ Representación de números positivos y negativos en la recta numérica.

1.4 Representa números positivos y negativos en la recta numérica.

Relación de orden. ▪ Determinación de una relación de orden entre un grupo de números positivos o negativos.

1.5 Determina y compara números positivos, ne-gativos o cero para establecer una relación de orden entre ellos.

Valor absoluto de un número. ▪ Determinación del valor absoluto de un número dado.

1.6 Encuentra el valor absoluto de un número dado.

1Tiempo probable: 8 horas

15



ACTITUDINALES

▪ Identificacióndeunarelacióndeordenentreungrupo de números negativos, utilizando comocriterioelvalorabsolutodelosnúmeros.

1.7 Identificaunarelacióndeordenentreungru-podenúmerosnegativos,utilizandocomocri-terioelvalorabsolutodelosnúmeros.

▪ Determinación de un númeromayor omenorque otro a partir de los desplazamientos a laizquierdaoaladerechaenlarectanumérica.

1.8 Determinaunnúmeromayoromenorqueotroapartirdelosdesplazamientosalaizquierdaoaladerechaenlarectanumérica.

Valorabsoluto:|| Menorque:< Mayorque:>

Númerospositivos. Númerosnegativos. Puntodereferencia. Cantidaddereferencia.Rectanumérica. Relacióndeorden. Valorabsoluto.

▪ Interésporaplicarlosnúmerospositivosynegativosasituacionesdelentorno.▪ Establecerconseguridadlasrelacionesdeordenentrenúmerospositivos,negativosycero.

Conceptos claves

Notación

Indicadores de logro

Competencia de unidad

Tiempo probable para la unidad

Contenidos conceptuales

Contenidos procedimentales

Notación

Contenidos actitudinales

Conceptos claves

Número y nombre de la unidad

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II. Plan de estudio de Matemática para Tercer Ciclo de Educación BásicaA continuación se presenta la cantidad de horas clase por cada grado de tercer ciclo:

La cantidad de horas clases necesarias para desarrollar todos los contenidos de las unidades didácticas es de 160, por lo que las 40 horas restantes los do-centes pueden utilizarlas para realizar evaluaciones, capacitaciones y otras actividades que el Ministerio de Educación o el centro educativo requiera.

Para implementar el plan de estudios, se deberán realizar adecuaciones cu-rriculares en función de las necesidades de las y los estudiantes y de las con-diciones del contexto. Esta flexibilidad es posible gracias al PCC, en el que se registran los acuerdos de las y los docentes de un centro escolar sobre los componentes curriculares, a partir de los resultados académicos del alumna-do, de la visión, misión y diagnóstico del centro escolar escrito en su Proyecto Educativo Institucional.

Las maestras y los maestros deberán considerar los acuerdos pedagógicos del PCC y la propuesta de los programas de estudio como insumos clave para su planificación didáctica. Ambos instrumentos son complementarios.

Ejes transversales son contenidos básicos que deben incluirse oportunamente en el desarrollo del plan de estudio. Contribuyen a la formación integral del educando, ya que a través de ellos se consolida “una sociedad democrática impregnada de valores, de respeto a la persona y a la naturaleza, constitu-yéndose en orientaciones educativas concretas a problemas y aspiraciones específicos del país”4.

Horas semanales Horas anuales Horas

semanales Horas anuales Horas semanales Horas anuales

5 200 5 200 5 200

Séptimo Octavo Noveno

4Fundamentos curriculares de la Educación Nacional. Ministerio de Educación, pág. 115-116. El Salvador, 1999.

Los ejes que el currículo salvadoreño presenta son:• Educación en derechos humanos.• Educación ambiental. • Educación en población. • Educación preventiva integral.• Educación para la igualdad de oportunidades.• Educación para la salud.• Educación del consumidor.• Educación en valores.

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III. Presentación de la asignatura de MatemáticaLa asignatura de Matemática estimula el desarrollo de diversas habilidades intelectuales, como: el razonamiento lógico y flexible, la imaginación, la inte-ligencia espacial, el cálculo mental, la creatividad, entre otras. Estas capa-cidades tienen una aplicación práctica en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Enfoque de la asignatura: Resolución de problemas

El enfoque de la asignatura responde a la naturaleza de la Matemática: resol-ver problemas en los ámbitos científicos, técnicos, sociales y de la vida cotidia-na. En la enseñanza de la matemática se parte de que, en la solución de todo problema, hay cierto descubrimiento que puede utilizarse siempre.

En este sentido los aprendizajes se vuelven significativos desde el momento que son para la vida, más que un simple requisito de promoción. Por tanto, el docente debe generar situaciones en que el estudiantado explore, aplique, argumente y analice los conceptos, procedimientos algebraicos, algoritmos; sistematice e interprete información, y otros tópicos matemáticos acerca de los cuales debe aprender.

Competencias transversales a desarrollar

a. Razonamiento lógico matemático

Esta competencia promueve en las y los estudiantes la capacidad para identificar, nombrar, interpretar información, comprender procedimientos, algoritmos y relacionar conceptos. Estos procedimientos fortalecen en los estudiantes la estructura de un pensamiento matemático, superando la práctica tradicional que partía de una definición matemática y no del des-cubrimiento del principio o proceso que da sentido a los saberes numéricos.

b. Comunicación con lenguaje matemático

Las notaciones y símbolos matemáticos tienen significados precisos, dife-rentes a los del lenguaje natural. Esta competencia desarrolla habilidades,

conocimientos y actitudes que promueven la descripción, el análisis, la ar-gumentación y la interpretación utilizando el lenguaje matemático, desde sus contextos, sin olvidar que el lenguaje natural es la base para interpretar el lenguaje simbólico.

c. Aplicación de la Matemática al entorno

Es la capacidad de interactuar con el entorno y en él, apoyándose en sus conocimientos y habilidades numéricas. Se caracteriza también por la acti-tud de proponer soluciones a diferentes situaciones de la vida cotidiana. Su desarrollo implica el fomento de la creatividad, evitando el uso excesivo de métodos basados en la repetición.

El objetivo fundamental con el desarrollo de las competencias de unidad es fortalecer las competencias transversales, y estas a su vez, aunadas a las de las otras asignaturas, son la clave para potenciar las capacidades producti-vas y ciudadanas y formar así salvadoreños comprometidos con los desafíos y necesidades de la nación.

Bloques de contenido

El programa de estudio de Tercer Ciclo está estructurado sobre la base de cinco bloques de contenidos:

• Números

• Álgebra

• Funciones

• Geometría

• Estadística

A continuación se describen las unidades didácticas y su relación con los blo-ques de contenidos.

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Relación de unidades didácticas y bloques de contenido del programa actual de séptimo grado

Unidades Bloquedecontenido

Unidad 1: Números positivos, negativos y el cero. Números positivos, negativos, cero, orden y valor absoluto de los números. Números

Unidad 2: Suma y resta de números positivos, negativos y el cero. Suma, resta y operaciones combinadas de números positivos, negativos y el cero. Números

Unidad 3: Multiplicación y división de números positivos, negativos y el cero. Multiplicación, división y operaciones combinadas de números positivos, negativos y el cero, números primos y compuestos, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

Números

Unidad 4: Comunicación con símbolos. Expresiones algebraicas, operaciones con expresiones al-gebraicas y representación de relaciones entre expresiones matemáticas. Álgebra

Unidad 5: Ecuaciones de primer grado. Igualdad de expresiones matemáticas, propiedades de una igualdad, solución y aplicaciones de ecuaciones de primer grado. Álgebra

Unidad 6: Proporcionalidad directa e inversa.Definicióndeproporcionalidad directa e inversa, grá-ficas de las relaciones de proporcionalidad, regla de tres simple directa e inversa. Funciones

Unidad 7: Gráfica de faja y circular. Lecturayconstruccióndelagráfica de faja y circular. Estadística

Unidad 8: Figuras planas y construcción de cuerpos geométricos. Patrones y movimientos de figuras planas, círculos, segmentos y ángulos, planos, cuerpos geométricos y área total. Geometría

PROGRAMAACTUALSÉPTIMOGRADO

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Unidades BloquedecontenidoUnidad 1: Operaciones algebraicas. Expresiones algebraicas, operaciones con polinomios, valor numérico y aplicaciones. Álgebra

Unidad 2: Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Definición y sentido de los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, métodos de solución, aplicaciones en contextos cotidianos.

Álgebra

Unidad 3: Función lineal. Definición y características, gráficas de la función lineal y sus variaciones en el plano, ecuación de primer grado con dos incógnitas y su relación con la función lineal, aplica-ciones de la función lineal en contextos cotidianos.

Funciones

Unidad 4: Paralelismo y ángulos de un polígono. Ángulos internos y externos de un polígono, ángulos opuestos por el vértice, ángulos entre paralelas cortadas por una secante, aplicaciones de los ángulos entre paralelas cortadas por una secante.

Geometría

Unidad 5: Congruencia de triángulos. Congruencia de figuras, criterios de congruencia de triángu-los, aplicación de la congruencia de triángulos. Geometría

Unidad 6: Características de los triángulos y cuadriláteros. Características y teoremas de los trián-gulos isósceles y equiláteros, recíproco y contraejemplo de un teorema, criterios de congruencia de triángulos rectángulos, condiciones necesarias y suficientes, bisectrices de un triángulo y sus características; paralelogramos, elementos y características, rectángulo y rombo, líneas paralelas y áreas.

Geometría

Unidad 7: Áreas y volumen de sólidos geométricos. Definición y características de los sólidos geométricos, volumen de sólidos geométricos, elementos del patrón del cono y sus relaciones, áreas superficial de sólidos geométricos.

Geometría

Unidad 8: Organización y análisis de datos estadísticos. Clasificación y análisis de datos estadísti-cos, tablas y gráficas estadísticas para variables cuantitativas, medidas de tendencia central, carac-terísticas y relaciones de las medidas de tendencia central, notación científica, valor aproximado y dígitos significativos.

Estadística

PROGRAMAACTUALOCTAVOGRADO

Relación de unidades didácticas y bloques de contenido del programa actual de octavo grado

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Unidades Bloquedecontenido

Unidad 1: Multiplicación de polinomios. Desarrollo del producto de polinomios, productos nota-bles, y factorización. Álgebra

Unidad 2: Raíz cuadrada. Definición y sentido de raíz cuadrada, definición de números racionales e irracionales, definición de números reales, operaciones con raíces cuadradas. Números

Unidad 3: Ecuación cuadrática. Planteamiento de una ecuación cuadrática y métodos de solu-ción. Álgebra

Unidad 4: Función cuadrática de la forma y = ax2 + c. Proporcionalidad con el cuadrado, gráfica de la función cuadrática, desplazamiento, dominio y rango. Funciones

Unidad 5: Figuras semejantes. Segmentos proporcionales, homotecias, criterios de semejanza de triángulos, teorema de la base media, área de polígonos semejantes y volumen de polígonos semejantes.

Geometría

Unidad 6: Teorema de Pitágoras. Cálculo de la hipotenusa de un triángulo, teorema de Pitágoras, cálculo de los catetos de un triángulo rectángulo. Geometría

Unidad 7: Ángulo inscrito y central. Definición y medidas de ángulos inscritos y centrales, ángulo semiinscrito. Geometría

Unidad 8: Medidas de dispersión. Medidas de dispersión: Amplitud o rango, varianza, desviación típica. Estadística

PROGRAMAACTUALNOVENOGRADO

Relación de unidades didácticas y bloques de contenido del programa actual de noveno grado

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IV. Lineamientos metodológicosEl proceso de aprendizaje de la matemática requiere de metodologías par-ticipativas que generen la búsqueda de respuestas en el estudiante, promo-viendo su iniciativa y participación en un clima de confianza que les permita equivocarse sin temor, desarrollar su razonamiento lógico y comunicar ideas para solucionar problemas del entorno. Se deben hacer esfuerzos para evitar explicaciones largas de parte de las y los docentes y procurar que el estudian-tado disfrute la clase de Matemática, la encuentren interesante y útil porque construyen nuevos aprendizajes significativos.

Para desarrollar este proceso, se presenta como propuesta metodológica el trabajo por Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP). Esta metodología, junto a otras actividades planificadas, promueve la conversión de los tradicio-nales “ejercicios-problema o problemas de lápiz y papel” a verdaderas situa-ciones problematizadoras que impliquen al estudiantado la necesidad de utili-zar herramientas heurísticas para resolverlas; por lo tanto suscitará el desarrollo de las competencias demandadas en la asignatura.

a. Resolución de Situaciones Problemáticas (RSP)

El trabajo por RSP debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

a) Seleccionar el ámbito o escenario de búsqueda e indagación, espe-cificando las variables, los objetivos de esa búsqueda, identificando la problemática y los medios disponibles.

b) Recopilar y sistematizar la información de fuentes primarias o secunda-rias que promuevan la objetividad y exactitud del análisis y pensamiento crítico.

c) Utilizar la deducción de fórmulas para seleccionar el proceso algorítmico que mejor se adecue a la resolución de problemas.

d) Expresar con lenguaje matemático y razonamiento lógico la solución al problema planteado.

e) Establecer otras situaciones problemáticas significativas que permitan transferir los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales aprendidos en la aplicación del RSP.

El profesorado debe considerar que las actividades propuestas correspondan con los conocimientos previos del estudiante. De igual forma, es necesario adecuar el proyecto en una situación contextualizada, considerando las dife-rencias individuales de la población estudiantil.

El disponer de diversos procedimientos metodológicos-didácticos proveerá en cada estudiante un aprendizaje significativo; pero también es importante que el docente se asegure que el procedimiento lógico empleado haya sido debidamente aprendido.

b. Aplicabilidad del aprendizaje

El desarrollo de los saberes matemáticos de tercer ciclo debe ser transferible a situaciones del entorno, haciendo al estudiante competente en la aplica-bilidad a problemas reales que enfrenta. En el área matemática es fácil es-tructurar problemas relacionados con el ambiente particular del joven, ya que consciente o inconscientemente la utiliza. La metodología con base en competencias es, por tanto, compatible con la realidad, haciendo proce-dimientos algorítmicos abstractos aplicables a situaciones reales. Entre más locales sean los problemas o más conexión tengan con la experiencia de vida, más comprensibles y familiares resultan los diferentes procedimientos matemáticos.

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c. El aprendizaje como proceso abierto, flexible y permanente

La creación del acto educativo o el ambiente en el que se ejecuta el pro-ceso-aprendizaje para ser congruente con la nueva metodología deberá ser abierto, flexible y permanente, incorporando los avances de la cultura, la ciencia y la tecnología que sean pertinentes, basado en metodologías activas y variadas que permitan personalizar los contenidos de aprendizaje y promuevan la interacción de todos los estudiantes.

Los diferentes recursos con los que se cuenta ahora pueden hacer que la Matemática sea comprendida con mayor facilidad. El acceso a herramien-tas técnicas debe lograr que el saber sea flexible y permanente por el gra-do de ocupación que este demanda.

Es importante enfatizar que las y los docentes deben esforzarse en su forma-ción permanente, de esta forma será agradable diseñar con creatividad experiencias educativas que marquen positivamente las capacidades de los estudiantes.

d. Consideración de situaciones cercanas a los intereses de los estudiantes

Los intereses del estudiantado varían de acuerdo a regiones o situaciones de su entorno, de aquí la habilidad del profesorado para interpretar los gustos por los cuales son motivados estos. Es preciso evaluar si los intereses de las y los estudiantes, pueden ser aplicables a la experiencia educativa.

Los juegos de vídeo o juegos de mesa suelen ser muy atractivos para los adolescentes. En Matemática, por ejemplo, existe un gran esfuerzo por convertir en juegos temas como: fracciones, factorización, progresiones, etcétera. Se comprueba que la utilización de estas situaciones cercanas a los estudiantes pueden desarrollar, con mayor rapidez, habilidades en ellos, haciéndolos competentes en su desarrollo académico.

e. Rol activo del alumno en el aprendizaje de la Matemática

Concebidos como actores en la resolución de problemas, son ellos quienes aportan soluciones. Las explicaciones del docente deben ser breves, es-forzándose, sobre todo, en hacer trabajar al alumnado, proporcionándole oportunidades para dialogar y comparar lo que han comprendido, desti-nando a la vez tiempo para el trabajo individual, desarrollando un currículo más amplio, equilibrado y diversificado, susceptible a ser adaptado a las necesidades individuales y socioculturales del alumnado.

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V. Lineamientos de evaluaciónLos lineamientos para la evaluación de los aprendizajes establecidos por el Ministerio de Educación (Evaluación al Servicio del Aprendizaje y del desarro-llo, MINED 2015) muestran el marco normativo para determinar las pautas y procedimientos a utilizar. Asimismo, se debe tomar como referencia el docu-mento “Currículo al Servicio del Aprendizaje” (MINED 2007) para establecer e implementar los acuerdos de evaluación en el centro educativo, los cuales se encuentran planteados en el PCC.

a. Evaluación diagnóstica: cuando se comienza el año, y al inicio de cada nueva unidad, se puede realizar la evaluación diagnóstica de forma ge-neral, resolviendo una serie de situaciones problemáticas aplicadas a la vida. En estas se pondrán en evidencia las competencias que posee cada estudiante al momento de utilizar diferentes algoritmos para la resolución de problemas. De esta forma, se potenciará el proceso de aprendizaje.

b. Evaluación formativa: merecen especial atención los conocimientos equi-vocados o acientíficos del alumnado, ya que las competencias de esta asignatura demandan el descubrimiento, la apertura de espacios para el ensayo o el error, y la comprobación de supuestos.

c. Evaluación sumativa: de acuerdo con la naturaleza de la adquisición de las competencias, la prueba objetiva sólo es una actividad entre otras. Se debe diseñar de manera que evalúe contenidos conceptuales y procedi-mentales independientes o integrados y tomando en cuenta los indicado-res de logro.

Se recomienda incluir actividades que evalúen los aprendizajes de las y los estudiantes enfrentándolos a una situación problemática que se resuelva con la aplicación de procedimientos: identificar, clasificar, analizar, expli-car, representar, argumentar, predecir, inventar; y la utilización de conoci-mientos con determinadas actitudes.

Recomendaciones generales de evaluación, según el tipo de contenido referido en los indicadores de logro.

Evaluación de contenidos conceptuales: la comprensión de un concepto determinado no debe basarse en la repetición de definiciones. Se deben reconocer grados o niveles de profundización y comprensión, así como la capacidad para utilizar los conceptos aprendidos. Para ello se recomienda:

▫ Observar el uso que el alumnado hace de los conceptos en diversas si-tuaciones individuales o en trabajo de equipo: debates, exposiciones y, sobre todo, diálogos.

▫ Ejercicios que consistan en la resolución de conflictos o problemas a par-tir del uso de los conceptos y no tanto en una explicación de lo que en-tendemos sobre los conceptos.

▫ Pruebas objetivas que requieran relacionar y utilizar los conceptos en situaciones determinadas.

▫ El diálogo y la conversación pueden tener un enorme potencial para saber lo que el estudiante conoce.

Evaluación de contenidos procedimentales: estos implican un “saber ha-cer”. Las actividades adecuadas para conocer el grado de dominio o las dificultades en este tipo de aprendizaje deben ser:

▫ Actividades que propongan situaciones en que se utilicen estos conte-nidos.

▫ Las habituales pruebas de papel y lápiz sólo se pueden utilizar cuando los contenidos procedimentales precisen papel para su ejecución.

▫ Actividades abiertas realizadas en clases, que permitan un trabajo de atención por parte del profesorado y la observación sistemática de cómo cada uno de los alumnos traslada el contendido a la práctica.

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El sentido de evaluar contenidos procedimentales es verificar cómo el es-tudiante es capaz de utilizar el saber hacer en otras situaciones y si lo hace de manera flexible. Por tanto, se debe tener en cuenta:

▫ El conocimiento del procedimiento o conocimiento de las acciones que lo componen, el orden en que deben suceder, condiciones en que se aplica, entre otros.

▫ El uso y aplicación de este conocimiento en situaciones planteadas. ▫ La corrección de las acciones que componen el procedimiento. ▫ La generalización del procedimiento, el funcionamiento y exigencias en

otras situaciones. ▫ El grado de acierto en la elección de los procedimientos. ▫ La automatización del procedimiento, la rapidez y seguridad con que

se aplica, y el esfuerzo que implica su ejecución.

Evaluación de contenidos actitudinales: las actitudes se infieren a partir de la respuesta del alumnado ante una situación que se evalúa. Las respuestas pueden ser:

▫ Verbales. Son las más usadas, sobre todo en la construcción de escalas de actitudes a partir de cuestionarios.

▫ De comportamiento manifiesto en el aula. ▫ El análisis de cualquier actitud debe tener en cuenta estos componen-

tes: a) cognitivo: capacidad para pensar; b) afectivo: sentimiento y emociones, c) tendencia a la acción: el alumnado actúa de cierta ma-nera para expresar significados relevantes.

Las actividades integradoras

Permiten evaluar si el estudiante ha logrado los objetivos a través de sus cono-cimientos: saber, saber hacer y saber ser. Proceso de elaboración y ejecución de actividades integradoras:

▫ Seleccionar los indicadores de logro.▫ Establecimiento de la situación-problema que requiere solución. ▫ Definir la ponderación que tendrá la actividad y sus criterios de evalua-

ción.

▫ Decidir si la actividad se realizará de forma individual o grupal.▫ Definir el tiempo y espacio para realizar la actividad. ▫ Disponer de los materiales que se utilizarán. ▫ Seleccionar y describir la técnica de evaluación: observación, prueba

objetiva, revisión de trabajo escrito, portafolio, entre otros. ▫ Elaborar el instrumento de evaluación: lista de cotejo, escala de valora-

ción, rúbrica. ▫ Incluir la autoevaluación y coevaluación de los alumnos y las alumnas

según los acuerdos previos. ▫ Proporcionar a los alumnos y alumnas las orientaciones necesarias para

desarrollar las actividades de evaluación. ▫ Apoyo constante a los alumnos y las alumnas durante la ejecución de la

actividad.

La clave para elaborar las actividades de evaluación integradoras es el esta-blecimiento de una situación, que requiere una solución más o menos cerca-na a la realidad del alumnado, que le obligan a actuar y por lo tanto, a tomar decisiones.

Importancia de los criterios para ponderar las actividades de evaluación

Los criterios son abstracciones sobre las características del desempeño de un estudiante en una tarea. Pueden ser aplicados a una variedad de tareas y al mismo tiempo tomar un claro significado en el contexto de cada tarea en par-ticular. Deben ser seleccionados por su valor metacognitivo en relación con el aprendizaje de los estudiantes y a la enseñanza de los maestros5.

El profesorado tiene la oportunidad de establecer criterios en el proceso de evaluación complementarios a los indicadores de logro, sin sustituirlos. Algunos ejemplos en Matemática son:

▫ Pertinencia en el establecimiento de métodos y claridad en la formula-ción de preguntas acerca de los problemas del entorno.

▫ Curiosidad e interés por descubrir y aplicar otras alternativas de solución de problemas.

5Traducción ”Designing an Assessment System For The Future Work Place” (P 195-198) en John R. Frederiksen and Alan Collins. En Lauren B. Resnick & John G. Wirt. Linking School and Work, Roles for Standards and Assessment. 1996. California: Jossey - Bass Publishers.

Objetivos de grado

Al finalizar, el alumno será competente para:

▪ Aplicar diferentes estrategias y procedimientos aritméticos al proponer solucio-nes a problemas del quehacer diario referidos al uso de los números positivos y negativos.

▪ Interpretar y valorar el lenguaje simbólico del álgebra como una herramienta, que facilita la generalización de lo cotidiano.

▪ Participar con actitud propositiva, al resolver problemas del entorno, utilizando ecuaciones de primer grado.

▪ Utilizar la información estadística presentada en gráficas de faja y circular con criticidad, al interpretar la información del entorno.

▪ Resolver con seguridad, problemas del entorno, utilizando la proporcionalidad directa e inversa.

Séptimo Grado7


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Números positivos, negativos y el cero

Conocerelsignificadodelosnúmerospositivos,negativosyelcerorepresentandounaubicaciónrespectoaunpuntodereferenciaounadiferenciarespectoaunacantidaddereferencia,yreconocerlautilidaddelosnúmerosnegativos,pararepresentarsituacionesdelentorno.

Punto de referencia. ▪ Asignación de un valor positivo o negativo adistintastemperaturas.

1.1 Asignaunvalorpositivoonegativoadistintastemperaturas.

▪ Asignacióndeunvalorpositivoonegativoalaubicación de un objeto respecto a un punto de referencia.

1.2 Asignaunvalorpositivoonegativoalaubica-ción de un objeto respecto a un punto de refe-rencia.

Cantidad de referencia. ▪ Asignación de un valor positivo o negativo ala diferencia de una cantidad respecto a otracantidaddereferencia.

1.3 Asignaunvalorpositivoonegativoaladiferen-ciadeunacantidadrespectoaotracantidaddereferencia.

Recta numérica. ▪ Representación de números positivos ynegativosenlarectanumérica.

1.4 Representanúmerospositivos ynegativosenlarectanumérica.

Relación de orden. ▪ Determinación de una relación de orden entre ungrupodenúmerospositivosonegativos.

1.5 Determina y comparanúmerospositivos, ne-gativosoceroparaestablecerunarelacióndeorden entre ellos.

Valor absoluto de un número. ▪ Determinacióndelvalorabsolutodeunnúmerodado.

1.6 Encuentra el valor absoluto de un númerodado.

1Tiempoprobable:8horas

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ACTITUDINALES

▪ Identificacióndeunarelacióndeordenentreungrupo de números negativos, utilizando comocriterioelvalorabsolutodelosnúmeros.

1.7 Identificaunarelacióndeordenentreungru-podenúmerosnegativos,utilizandocomocri-terioelvalorabsolutodelosnúmeros.

▪ Determinación de un númeromayor omenorque otro a partir de los desplazamientos a laizquierdaoaladerechaenlarectanumérica.

1.8 Determinaunnúmeromayoromenorqueotroapartirdelosdesplazamientosalaizquierdaoaladerechaenlarectanumérica.

Valorabsoluto:|| Menorque:< Mayorque:>

Númerospositivos. Númerosnegativos. Punto de referencia. Cantidaddereferencia.Rectanumérica. Relación de orden. Valor absoluto.

▪ Interésporaplicarlosnúmerospositivosynegativosasituacionesdelentorno.▪ Establecerconseguridadlasrelacionesdeordenentrenúmerospositivos,negativosycero.

Conceptos claves

Notación


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Suma y resta de números positivos, negativos y el cero

Utilizarlasoperacionesdesumayrestadenúmerospositivos,negativosyelceroeidentificarsituacionesdelentornoenlasquesepuedenaplicar.2

Suma de números positivos, negativos y el cero. ▪ Realizacióndeunasumadedosnúmerosquesonpositivos,negativosocero.

2.1 Realizaunasumadedosnúmerosnodecima-les ni fraccionarios con igual signo.

2.2 Efectúaunasumadedosnúmerosnodecima-les ni fraccionarios con diferente signo.

2.3 Realizaunasumaquetienecomosumandosalceroyaotronúmeronodecimalnifraccionario.

2.4 Efectúa una suma de números decimales ofraccionariosquesonpositivosonegativos.

▪ Aplicación de la propiedad conmutativa yasociativadelasuma.

2.5 Aplica la propiedad conmutativa y asociativa para realizar el cálculo de una suma.

Resta de números positivos, negativos y el cero. ▪ Realizacióndeuna restadedosnúmerosquesonpositivos,negativosocero.

2.6 Realiza una resta de dos números que tieneigual o diferente signo.

2.7 Efectúaunarestaquetienealcerocomomi-nuendo o sustraendo.

Tiempoprobable:12horas

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ACTITUDINALES

Suma y resta combinadas de números positivos, negativos y el cero.

▪ Realización de sumas y restas combinadas denúmerospositivos,negativosycero.

2.8 Expresasumasyrestascombinadasdenúme-ros positivos o negativos, como sumade nú-merospositivosonegativosyviceversa.

2.9 Realiza sumasy restascombinadasdenúme-rospositivosynegativos.

2.10Realizasumasyrestascombinadasdenúmerospositivosynegativossuprimiendoparéntesis.

Suma. Resta. Propiedadconmutativayasociativa. Operaciones combinadas.

▪ Operarconseguridadlasumayrestadenúmerospositivos,negativosycero.▪ Mostrarinterésporaplicarloaprendidosobrelasumayrestadenúmerospositivos,negativosycero.

Conceptos claves


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Multiplicación y división de números positivos,

negativos y el cero

–Efectuarlasoperacionesdemultiplicaciónydivisióndenúmerospositivos,negativosyelcero,eidentificarsituacionesdelentornoenlasquesepuedanaplicar.

–Conocerlosnúmerosprimosyaplicarlosenelcálculodelmáximocomúndivisoryelmínimocomúnmúltiplo.3Tiempoprobable:26horas

Multiplicación de números positivos, negativos o cero.

▪ Realización demultiplicaciones de dos núme-rosyaseanpositivos,negativosocero.

3.1 Multiplicadosnúmeroscondistintosigno.

3.2 Multiplicadosnúmerosconigualsigno.

3.3 Multiplica dos números donde un factor es –1,0o1.

▪ Aplicacióndelapropiedadconmutativayaso-ciativa.

3.4 Aplica la propiedad conmutativa y asociativaparafacilitarelcálculodeunamultiplicación.

▪ Determinación del signo del producto de una multiplicación,segúnelnúmerodefactoresne-gativos.

3.5 Determinaelsignodelproductodeunamultipli-cación,segúnelnúmerodefactoresnegativos.

Potencia cuadrada o cúbica de un número. ▪ Cálculodelapotencia2o3deunnúmero. 3.6 Calculalapotencia2o3deunnúmeroatravésdelamultiplicación.

▪ Realización de multiplicaciones que incluyenpotencias2o3.

3.7 Efectúa multiplicaciones que incluyen poten-cias2o3.

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División de números positivos, negativos y el cero. ▪ Realizacióndeladivisióndedosnúmerosposi-tivos,negativosycero.

3.8 Realiza la división de dos números positivos,negativosycero.

▪ Expresióndefraccionesconunnúmeronegativoen el numerador o denominador en la forma .

3.9 Expresalasfraccionesconunnúmeronegativoen el numerador o denominador en la forma .

Recíproco de un número. ▪ Determinacióndelrecíprocodeunnúmerodado. 3.10 Determinaelrecíprocodeunnúmerodado.

▪ Realización de una división convirtiéndola enmultiplicación.

3.11 Realiza una división de un número por otro,efectuandolamultiplicacióndeldividendoporelrecíprocodeldivisor.

Operaciones combinadas. ▪ Realización de operaciones combinadas. 3.12 Efectúaoperacionesquecombinanmultiplica-ciónydivisión.

3.13 Realizaoperacionesquecombinansuma,res-ta,multiplicaciónydivisión.

3.14 Efectúa operaciones que combinan suma,resta,multiplicaciónodivisióneincluyenpo-tencias.

▪ Aplicación de la propiedad distributiva de lamultiplicación.

3.15 Aplicalapropiedaddistributivadelamultipli-cación.

▪ Determinacióndelasoperacionesquesiempresepuedenrealizarsegúnelconjuntonuméricodado.

3.16 Determinalasoperacionesquesiempresepue-denrealizarsegúnelconjuntonuméricodado.

ab

ab

20


CONTENIDOS INDICADORESDELOGRO

ACTITUDINALES

▪ Confianzaalaplicarlasreglaspararealizarmultiplicacionesydivisionesdenúmerospositivos,negativosyelcero.▪ InterésporaplicarelmcmyelMCDasituacionesdelentorno.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. ▪ Cálculodelmínimocomúnmúltiploymáximocomúndivisorde2o3números.

3.17 Calculaelmínimocomúnmúltiploymáximocomúndivisorde2o3númeroslistandomúl-tiplosydivisoresdelosnúmeros.

Números primos y compuestos. ▪ Determinación si un número es múltiplo deotro,dadoqueelsegundoesdivisordelprime-royviceversa.

3.18 Determina si unnúmeroesmúltiplodeotrodadoqueelsegundoesdivisordelprimeroyviceversa.

▪ Determinación siunnúmeroesprimoocom-puesto.

3.19 Determinasiunnúmeroesprimoocompues-to,dependiendodelnúmerodedivisores.

Descomposición de un número en factores primos. ▪ Descomposicióndeunnúmeroensusfactoresprimos.

3.20 Descomponeunnúmeroen sus factorespri-mos,utilizandoladivisiónsucesiva.

▪ Cálculodelmáximocomúndivisorpordescom-posición en factores primos.

3.21 Calculaelmáximocomúndivisorpordescom-posición en factores primos.

▪ Cálculo del mínimo común múltiplo por des-composición en factores primos.

3.22 Calcula el mínimo común múltiplo por des-composición en factores primos.

▪ Aplicacióndelmínimocomúnmúltiploymáxi-mocomúndivisorpararesolverproblemasdelentorno.

3.23 Aplica el mínimo común múltiplo y máximocomún divisor para resolver problemas delentorno.

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Conceptos claves

Multiplicación. División. Númerosprimos. Númeroscompuestos.

Múltiplos. Divisores. CribadeEratóstenes. Mínimocomúnmúltiplo.

Máximocomúndivisor. Potencia cuadrada. Potenciacúbica. Exponente.

Propiedadconmutativayasociativa. Propiedaddistributiva. Recíprocodeunnúmero. Conjuntonumérico.

Númerosnaturales. Númerosenteros.

Mínimocomúnmúltiplo:mcm Máximocomúndivisor:MCD

Notación


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Comunicación con símbolos4


Modelarsituacionesdelentornoatravésdelautilizacióndeexpresionesalgebraicaspararesolverproblemas.

Patrones numéricos. ▪ Determinacióndelvalordeunacantidaddesco-nocidaatravésdeunpatrónnumérico.

4.1 Determinaelvalordeunacantidaddesconoci-daatravésdeunpatrónnumérico.

▪ Generalizacióndelpatrónnuméricodeunacan-tidaddesconocida.

4.2 Generalizaelpatrónnuméricodeunacantidaddesconocida.

Expresiones algebraicas. ▪ Determinación de expresiones algebraicas conunavariableapartirdeunasituacióndada.

4.3 Determinaexpresionesalgebraicasconunava-riableapartirdeunasituacióndada.

▪ Determinación de expresiones algebraicas conmásdeunavariableapartirdeunasituacióndada.

4.4 Determinaexpresionesalgebraicasconmásdeunavariableapartirdeunasituacióndada.

▪ Representacióndeexpresionesalgebraicassinelsigno“×”y“÷”yviceversa.

4.5 Representasinelsigno“×”lasexpresionesal-gebraicasconmultiplicaciónyviceversa.

4.6 Representasinelsigno“×”lasexpresionesalge-braicasconmultiplicaciónpor1y–1yviceversa.

4.7 Representa lamultiplicación reiteradadeunavariable como una potencia de la variable.

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CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES4.8 Representasinelsigno“÷”lasexpresionesal-

gebraicascondivisiónyviceversa.

4.9 Representaexpresionesalgebraicasconmulti-plicaciónydivisiónsinlossignos“×”y“÷”,res-pectivamente.

▪ Traducción de expresiones del lenguaje colo-quialaexpresionesalgebraicas.

4.10Traduce expresiones del lenguaje coloquial aexpresionesalgebraicas.

4.11Traduceexpresionessobredistancia,velocidadytiempoen lenguajecoloquialaexpresionesalgebraicas.

4.12Traduceexpresionessobreporcentajedellen-guajecoloquialaexpresionesalgebraicas.

▪ Traduccióndeexpresionesalgebraicasaexpre-sionesdellenguajecoloquial.

4.13Traduceexpresionesalgebraicasaexpresionesdellenguajecoloquial.

▪ Cálculodelvalornuméricodeunaexpresiónal-gebraica.

4.14Calculaelvalornuméricodeunaexpresiónal-gebraicaconunavariablesustituyendovaloresenterospositivos.

4.15Encuentra el valor numérico de expresionesalgebraicasconunavariablesustituyendova-loresnegativosofracciones.


24


4.16 Calcula el valor numérico de una expresión algebraicaconunavariableydondelaexpre-siónesracionalocuadrática.

4.17 Calcula el valor numérico de una expresión algebraica con más de una variable.

▪ Identificacióndetérminosycoeficientesdeunaexpresiónalgebraica.

4.18 Identifica términosy coeficientesdeunaex-presión algebraica.

Multiplicación y división de expresiones algebraicas. ▪ Realización de la multiplicación y división deunaexpresiónalgebraicaporunnúmero.

4.19Multiplica una expresión algebraica con untérminoporunnúmero.

4.20 Divideunaexpresiónalgebraicaconuntérmi-noporunnúmero.

4.21Multiplica una expresión algebraica con dostérminosporunnúmero.

4.22 Divideunaexpresiónalgebraicacondos tér-minosporunnúmero.

4.23Multiplica una expresión algebraica de dostérminosenelnumeradordeunafracciónporunnúmeroentero.

Suma y resta de expresiones algebraicas. ▪ Reduccióndeexpresionesalgebraicas. 4.24 Reduceunaexpresiónalgebraicaaplicandoelrecíprocodelapropiedaddistributiva.

25



ACTITUDINALES

4.25Reduceunaexpresiónalgebraicaidentificandotérminossemejantes.

▪ Realizacióndelasumadedosexpresionesalge-braicas.

4.26Sumadosexpresionesalgebraicas.

▪ Realizacióndelarestadedosexpresionesalge-braicas.

4.27Restadosexpresionesalgebraicas.

▪ Realización de operaciones combinadas. 4.28Realizaoperacionescombinadasdesuma,res-taymultiplicaciónporunnúmerodeexpresio-nes algebraicas.

Relación de dos expresiones matemáticas. ▪ Representación de la relación de igualdad de dosexpresionesmatemáticas.

4.29Representalarelacióndeigualdaddedosex-presionesmatemáticas.

▪ Representación de la relación de desigualdad de dosexpresionesmatemáticas.

4.30Representalarelacióndedesigualdaddedosexpresionesmatemáticas.

▪ Interéspormodelarsituacionesdelentornoconexpresionesalgebraicas.▪ Seguridadalrealizaroperacionesqueincluyanexpresionesalgebraicas.

Conceptos clavesPatrónnumérico. Variables. Expresionesalgebraicas. Lenguaje algebraico.

Lenguajecoloquial. Igualdad. Desigualdad.

Multiplicación:× División:÷

Notación


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Ecuaciones de primer grado5


– Conocer las propiedades de una igualdadmatemática y utilizarlas para la resolución de una ecuación deprimer grado.

–Identificarporiniciativapropia,situacionesdelentorno,enlasqueatravésdelplanteamientoysolucióndeunaecuacióndeprimergradopuedadarrespuestaaunainterrogantequesepresente.

Ecuaciones de primer grado. ▪ Expresióndeigualdadesmatemáticas. 5.1 Expresaigualdadesdedosexpresionesnumé-ricas.

5.2 Expresa igualdades de dos expresiones alge-braicas.

▪ Identificacióndelasolucióndeunaecuación. 5.3 Identificasiunvaloressolucióndeunaecuación.

▪ Identificación de las propiedades de una igualdad.

5.4 Identificalaspropiedadesdeunaigualdadma-temática.

▪ Solución de una ecuación de primer grado apli-cando las propiedades de una igualdad.

5.5 Resuelve una ecuación de primer grado suman-dolamismacantidadenambosmiembros.

5.6 Resuelve una ecuación de primer grado restan-dolamismacantidadenambosmiembros.

5.7 Resuelve una ecuación de primer grado reali-zandolatransposicióndetérminos.

27



5.8 Resuelveunaecuacióndeprimergradomultipli-candolamismacantidadenambosmiembros.

5.9 Resuelve una ecuación de primer grado dividiendo por lamisma cantidad en ambosmiembros.

5.10Resuelve una ecuación de primer grado apli-cando más de una propiedad de una igualdad.

▪ Solución de una ecuación de primer grado con incógnitas en ambos miembros.

5.11Resuelve una ecuación de primer grado con incógnitas en ambos miembros.

▪ Solucióndeunaecuacióndeprimergradoqueincluyesignosdeagrupación.

5.12Resuelve una ecuación de primer grado que incluyesignosdeagrupación.

▪ Solucióndeunaecuacióndeprimergradoquetienesolucionesfraccionariasydecimales.

5.13Resuelve una ecuación de primer grado quetienesolucionesfraccionariasydecimales.

▪ Solución de una ecuación de primer grado con coeficientesytérminosdecimales.

5.14Resuelve una ecuación de primer grado con coeficientesytérminosdecimales.

5.15Resuelve una ecuación con términos y coefi-cientes fraccionarios.

Aplicaciones de ecuaciones de primer grado. ▪ Aplicacióndeecuacionesdeprimergradoquese resuelven utilizando una propiedad de unaigualdad.

5.16Resuelveunasituacióndelentorno,aplicandounaecuacióndeprimergradoqueseresuelveutilizandounapropiedaddeunaigualdad.

28




▪ Aplicacióndeecuacionesdeprimergradoqueseresuelveutilizandomásdeunapropiedaddeunaigualdad.

5.17 Resuelveunasituacióndelentorno,aplicandounaecuacióndeprimergradoqueseresuel-ve utilizando más de una propiedad de una igualdad.

▪ Aplicación de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

5.18 Aplicaunaecuacióndeprimergradoconunaincógnitaentérminosdeotraaunasituacióndel entorno.

▪ Aplicación de ecuaciones de primer grado con la incógnita en ambos miembros.

5.19 Resuelveuna situacióndel entornoaplicandouna ecuación de primer grado con la incógnita en ambos miembros.

▪ Aplicación de ecuaciones de primer grado en situacionesdedistancia,velocidadytiempo.

5.20 Aplicaaunasituacióndedistancia,velocidadytiempounaecuacióndeprimergrado.

▪ Aplicación de ecuaciones de primer grado a situaciones de proporcionalidad directa.

5.21 Resuelveunasituacióndeproporcionalidaddi-recta con una ecuación de primer grado.

5.22 Aplica a una situación de proporcionalidad di-recta una ecuación de primer grado con signos de agrupación.

Conceptos clavesIgualdad. Solución de una ecuación. Miembroizquierdo. Miembroderecho.Propiedades de una igualdad. Transposicióndetérminos.

ACTITUDINALES▪ Interésporplantearyresolverunaecuacióndeprimergradoparadarrespuestaaunainterrogantedeunasituaciónespecífica.▪ Seguridad cuando aplica las propiedades de una igualdad al resolver una ecuación.

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Proporcionalidad directa e inversa

Aplicalosconceptosdeproporcionalidaddirectaeinversa,paramodelarsituacionesdelentorno.

Función. ▪ Identificacióndeunacantidadqueesfuncióndeotra.

6.1 Identificasiunacantidadesfuncióndeotra.

Proporcionalidad directa:-Constantedeproporcionalidad.-Ecuacióny = ax

▪ Identificacióndelarelacióndeproporcionalidaddirectaentredoscantidades.

6.2 Identificasilarelacióndedoscantidadesesdeproporcionalidad directa expresándola en laforma y = ax e indicando la constante .

▪ Representación de los valores que toman las variablesqueestánenunarelacióndepropor-cionalidaddirectaatravésdedesigualdades.

6.3 Representalosvaloresquetomanlasvariablesqueestánenunarelacióndeproporcionalidaddirectaatravésdedesigualdades.

▪ Representación en la forma y = ax, para dos va-riablesqueestánenunarelacióndeproporcio-nalidad directa.

6.4 Representaen la formay = ax, dos variables que toman valores negativos y que están enuna relación de proporcionalidad directa con constantepositiva,apartirdeunatabla.

6.5 Representa en la forma y = ax, dosvariablesqueestán en una relación de proporcionalidad direc-taconconstantenegativa,apartirdeunatabla.


30


6.6 Representa en la forma y = ax dos variables que están en una relación de proporcionali-daddirecta,apartirdeunpardevaloresde yyx.

Par ordenado y su gráfica en el plano cartesiano. ▪ Lectura yubicacióndeunparordenadoenelplano cartesiano.

6.7 Leeyubicaunparordenadoenelplanocarte-siano.

Gráfica de proporcionalidad directa. ▪ Trazodelagráficadeunarelacióndeproporcio-nalidad directa.

6.8 Grafica una relación de proporcionalidad di-rectaapartirdetablas.

6.9 Grafica una relación de proporcionalidad di-rectaapartirdedosparesordenados.

▪ Representación de una relación de proporcio-nalidad directa en la forma de y = ax, apartirdelagráfica.

6.10 Representa una relación de proporcionalidad directa en la forma de y = ax, apartirdelagráfica.

▪ Trazodelagráficadeunarelacióndeproporcio-nalidad directa entre dos variables cuando los valoresquesetomansonlimitados.

6.11 Graficalarelacióndeproporcionalidaddirectaentredosvariablescuandolosvaloresqueto-man son limitados.

Proporcionalidad inversa:-Constantedeproporcionalidad.-Ecuacióny = a x

▪ Identificación de la relación de proporcionali-dadinversaentredoscantidades.

6.12 Identifica si la relacióndedos cantidades esdeproporcionalidad inversaexpresándolaenla forma y = a

x e indicando la constante.

31



▪ Representación de la forma y = a x ,paradosva-

riablesqueestánenunarelacióndeproporcio-nalidad inversa.

6.13Representaenlaformay = a x , dos variables

queestánenunarelacióndeproporcionalidadinversa,apartirdeunatabla.

6.14Representaenlaformay = a x ,dosvariables

queestánenunarelacióndeproporcionalidadinversaapartirdeunpardevaloresdeyyx.

Gráfica de proporcionalidad inversa. ▪ Trazodelagráficadeunarelacióndeproporcio-

nalidad inversa. 6.15Grafica una relación de proporcionalidad in-

versacuandosuconstanteespositiva.

6.16Grafica una relación de proporcionalidad in-versacuandosuconstanteesnegativa.

Regla de tres simple:- Directa.- Inversa.

▪ Aplicación de la regla de tres simple directa para encontrar un dato desconocido.

6.17Aplicaregladetressimpledirectaparaencon-trarundatodesconocido,utilizandodoscanti-dades directamente proporcionales.

6.18Aplicaregladetressimpledirectaparaencon-

trar un dato desconocido en una situación de porcentaje.

6.19Aplicaregladetressimpledirectapararealizarla conversión entre unidades de medida.

▪ Utilizacióndelaregladetressimpleinversaparadeterminar un dato desconocido.

6.20Utiliza regla de tres simple inversa para de-terminarundatodesconocido,utilizandodoscantidadesinversamenteproporcionales.

32

Conceptos clavesFunción. Constantedeproporcionalidad. Proporcionalidad directa. Proporcionalidad inversa.

Par ordenado. Origen. Plano cartesiano. Regla de tres simple directa.

Regla de tres simple inversa.

Constantedeproporcionalidad:a Proporcionalidaddirecta:y = ax Proporcionalidadinversa: Origen:O

ACTITUDINALES

▪ Seguridadalidentificarsiunacantidadrepresentaunafuncióndeotra.▪ Compromisoporaplicarlosconceptosdeproporcionalidaddirectaeinversaparamodelarsituacionesdelentorno.▪ Disposiciónalidentificarsiunasituaciónsepuedemodelaratravésdeunaproporcionalidaddirectaoinversa.

Notacióny = a

x

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Gráfica de faja y circular


COMPETENCIADEUNIDAD


Interpretar y analizar la información de gráficas de fajas y circulares presentada en diferentes medios decomunicaciónparatomardecisionesyconcienciasobreasuntosdeimportanciaeinteréspúblico.

Gráfica de faja. ▪ Lecturadeunagráficadefaja. 7.1 Lee la informaciónpresentadaenunagráficade faja.

▪ Construccióndeunagráficadefaja. 7.2 Construyeunagráficadefajapararepresentarla información de una tabla.

Gráfica circular. ▪ Lecturadeunagráficacircular. 7.3 Leelainformacióndeunagráficacircular.

▪ Construccióndeunagráficacircular. 7.4 Construyeunagráficacircularapartirdeunatabla.

Conceptos claves

Gráficadefaja. Gráficacircular. Categoría. Porcentaje.Grados.

ACTITUDINALES▪ Seesfuerzaporhacerlalecturaadecuadadelasgráficasdefajaycircular.▪ Confianzaenlaconstruccióndeunagráficadefajaycircular.▪ Seguridadenlaexplicacióndelainformaciónpresentadaatravésdegráficasdefajaycircular.


34



Figuras planas y construcción de

cuerpos geométricos8Tiempoprobable:27horas

–Utilizarlosinstrumentosdegeometríaparahacertraslación,reflexiónyrotacióndefigurasplanas.–Aplicarlascaracterísticasdeloscírculosqueseintersectanparadeterminarlamediatrizdeunsegmentoyla

bisectriz de un ángulo. –Aplicarlaregladetressimpledirectaparacalcularlalongituddearcoyeláreadeunsegmentocircular.–Desarrollarelplanodeunprisma,pirámideycilindroparacalcularsuáreatotal.

Puntos y rectas. ▪ Representación de la relación entre segmentos orectasatravésdellenguajematemático.

8.1 Representa con lenguaje matemático la rela-ción entre segmentos o rectas.

Movimientos de figuras geométricas:-Traslación.-Simetría.- Rotación.

▪ Identificación de los diferentes tipos demovi-mientosdefiguras.

8.2 Identifica diferentes tipos demovimientos defigurasgeométricas.

▪ Traslacióndefigurasmedianteunadirecciónyunsentido.

8.3 Traslada figurasmediante una dirección y unsentidodeparalelismo.

▪ Reflexióndefigurasrespectoaunarecta. 8.4 Reflejafiguras respectoauna rectaqueesel

ejedesimetría.

▪ Rotacióndefigurasrespectoaunpunto. 8.5 Rotafigurasrespectoaunpunto,utilizandounángulo determinado.

▪ Utilización de los movimientos de una figurapara sobreponerla en otra.

8.6 Utilizalosmovimientosdeunafiguraparaso-breponerla en otra y determinar si son con-gruentes.

35



Elementos de un círculo. ▪ Identificacióndeloselementosdeuncírculo. 8.7 Identificaloselementosdeuncírculo.

Características de dos círculos que se intersectan:-Simetríadedoscírculosquese intersectan(deigualydistintoradio).

-Perpendicularidaddelsegmentoqueunelosra-diosconelqueunelainterseccióndeloscírculos.

▪ Identificacióndelascaracterísticasdedoscírcu-losqueseintersectan.

8.8 Identificalascaracterísticadedoscírculosquese intersectan.

Construcciones utilizando regla y compás:-Hexágono.-Triánguloequilátero.- Rectas perpendiculares.-Distanciaentreunpuntoyunarecta.- Distancia entre rectas paralelas.- Mediatriz de un segmento.- Bisectriz de un ángulo.-Tangenteaunacircunferencia.

▪ Trazodefigurasutilizandoreglaycompás. 8.9 Dibuja figuras geométricas utilizando regla ycompás.

▪ Aplicacióndecaracterísticasdedoscírculosquese intersectan para trazar rectas perpendiculares.

8.10Aplica características de dos círculos que seintersectan para trazar rectas perpendiculares.

▪ Determinacióndeladistanciaentreunpuntoyunarectayladistanciaentrerectasparalelas.

8.11Determina la distancia entre un punto y unarectayladistanciaentrerectasparalelas.

▪ Trazodelamediatrizdeunsegmento. 8.12Dibujalamediatrizdeunsegmentoaplicandolascaracterísticasdedoscírculosqueseinter-sectan.

▪ Trazodelabisectrizdeunángulo. 8.13Dibujalabisectrizdeunánguloaplicandolasca-racterísticasdedoscírculosqueseintersectan.

▪ Trazodeunarectatangenteaunacircunferencia. 8.14Dibujaunarectatangenteaunacircunferenciautilizando características de dos círculos quese intersectan.


36


Sector circular:- Longitud de arco.- Área.

▪ Cálculo de la longitud del arco de un sector circular.

8.15 Calculalalongituddelarcodeunsectorcircular.

▪ Cálculodeláreadeunsectorcircular. 8.16 Calculaeláreadeunsectorcircular.

Incentro de un triángulo. ▪ Determinación del incentro de un triángulo. 8.17 Determina el incentro de un triángulo.

Cuerpos geométricos. ▪ Clasificación de cuerpos geométricos, segúnsuscaracterísticas.

8.18 Clasifica cuerpos geométricos, según sus ca-racterísticas.

▪ Clasificación de poliedros regulares por el númeroylaformadelascaras.

8.19 Clasificapoliedrosregularesporelnúmeroylaforma de las caras.

Punto, rectas y planos:-Relacióndeposiciónentrerectasyplanos.-Distanciaentreunpuntoyunplano.

▪ Identificacióndelarelacióndeposiciónentrerectasyplanos.

8.20 Identificalarelacióndeposiciónentrerectasyplanos.

▪ Determinación de la distancia entre un punto yunplano.

8.21 Determina la distancia entre un punto y unplano.

▪ Determinación de cuerpos geométricos for-madosporelmovimientodefigurasplanas.

8.22 Determinacuerposgeométricosformadosporelmovimientodefigurasplanas.

▪ Identificacióndeuncuerpogeométricoapar-tirdefigurasproyectadasortogonalmente.

8.23 Identificaelcuerpogeométricoobservandolafiguraproyectadaortogonalmente.

Área total de cuerpos geométricos:- Prisma.- Pirámide.

▪ Cálculodeláreatotaldeunprisma. 8.24 Calculaeláreatotaldeunprismaapartirdesuplano desarrollado.

37

Conceptosclaves

NotaciónSegmentoAB:AB LongituddelsegmentoAB:AB Perpendicularidad:Ʇ Paralelismo:ǁ

Igualdaddelalongituddedossegmentos:AB = BC TriánguloABC:∆ABC ArcoAB:A͡B ÁnguloABC:∢ABC

Línearecta. Segmento. Rectas perpendiculares. Rectas paralelas.

Traslación. Rotación. Simetría. Ejedesimetría.

Mediatriz de un segmento. Figuras congruentes. Arco de una circunferencia. Sector circular.

Ángulo central. Figurassimétricas. Distancia de un punto a una recta. Bisectriz.

Recta tangente a una circunferencia. Punto de tangencia. Longitud de arco. Área de un sector circular.

Incentro de un triángulo. Poliedros. Prismas. Pirámides.

Cuerposredondos. Poliedro regular. Rectas secantes. Rectas paralelas.

Rectas cruzadas. Altura. Proyecciónortogonal. Área lateral.

Área de la base. Área total. Planodesarrolladodeuncuerpogeométrico.

ACTITUDINALES▪ Realizaconconfianzalatraslación,reflexiónyrotacióndefigurasplanas.▪ Aplicaconinteréslascaracterísticasdecírculosqueseintersectanparadeterminarlamediatrizdeunsegmentoylabisectrizdeunángulo.▪ Calculaconesmerolalongituddearcoyáreadeunsectorcircular.▪ Calculaconseguridadeláreatotaldeunprisma,unapirámideyuncilindro.

-Cilindro. ▪ Cálculodeláreatotaldeunapirámide. 8.25Calculaeláreatotaldeunapirámideapartirdesu plano desarrollado.

▪ Cálculodeláreatotaldeunacilindro. 8.26Calculaeláreatotaldeuncilindroapartirdesuplano desarrollado.



39

Octavo Grado8Objetivos de grado


▪ Generalizar las operaciones aritméticas básicas a nivel algebrai-co y utilizarlas para modelar propiedades numéricas o para re-solver situaciones cotidianas.

▪ Modelar y resolver situaciones cotidianas mediante el uso de la función lineal.

▪ Interpretar y cuantificar la realidad de su entorno utilizando pro-piedades de figuras y el cálculo de áreas y volúmenes de sólidos geométricos.

▪ Participar en la toma de decisiones al analizar y discutir la infor-mación mediante la representación gráfica de datos y la aplica-ción de las medidas de tendencia central.


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1 Operaciones algebraicas

Realizaroperacionesdepolinomios,utilizandolasdiferentesoperacionesdenúmerosylaspropiedadesdepo-tencia,paramodelarsituacionesenloscualesseuseellenguajealgebraicodelospolinomios.

Expresiones algebraicas:- Clasificacióndelasexpresiones.-Elementosdeunaexpresión.-Gradodeunaexpresión.

▪ Clasificacióndeexpresiones algebraicaspor sustérminos.

1.1 Identifica loselementosycaracterísticasde lospolinomios,aplicandoladefinición.

▪ Identificacióndetérminosenunaexpresiónalge-braica.

▪ Determinacióndelgradodeuntérminoodeunpolinomio.

▪ Reduccióndetérminossemejantes. 1.2 Reducetérminossemejantesdepolinomios.

Operaciones con polinomios:- Sumayresta.-Multiplicaciónydivisión.

▪ Resolucióndesumayrestadeexpresionesalge-braicas.

1.3 Efectúasumasyrestasdepolinomios.

▪ Realización de multiplicaciones y divisiones depolinomiosporunnúmero.

1.4 Realiza multiplicaciones de polinomios por unnúmero.

1.5 Realizadivisionesdepolinomiosporunnúmero.

1.6 Efectúaoperacionescombinadasdepolinomiosqueincluyendivisiónporunnúmero.


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ACTITUDINALES

Multiplicación y división de un monomio por un mo-nomio.

▪ Realización de multiplicaciones y divisiones demonomios con monomios.

1.7 Realiza multiplicaciones de monomios conmonomios.

▪ Identificaciónyrealizacióndeoperacionescom-binadas.

1.8 Efectúadivisionesdemonomiosconmonomios.

1.9 Realiza operaciones combinadas de polinomios queincluyendivisiónporunnúmerooporunmonomio.

Valor numérico de polinomios. ▪ Determinación del valor numérico de expresio-nes algebraicas.

1.10Utiliza la sustitución de variables paradeterminarelvalornuméricodeunpolinomio.

Aplicaciones de las expresiones algebraicas. ▪ Uso de polinomios para generalizar propiedades dealgunosnúmerosuoperaciones.

1.11Utilizapolinomiosparaobtenerpropiedadesdenúmerosuoperaciones.

▪ Utilización de operaciones con polinomios pararesolversituacionescotidianas.

1.12Aplica polinomios para resolver problemas en losquesetengaquereconocerpatrones.

1.13Utilizapolinomiospararesolverproblemaspararesolversituacionescotidianas.

ConceptosclavesTérmino.Coeficiente.Reduccióndetérminossemejantes.

Exponente.Polinomio.

Monomio.Términossemejantes.

Grado de un polinomio.Valornumérico.

▪ Muestrainterésenrealizaroperacionesconpolinomios.▪ Valoralaimportanciadeutilizarlospolinomiosparamodelarpropiedadesdenúmerososituacionescotidianas.▪ Tomaencuentalosaportesdelosdemásestudiantesenlasolucióndelassituacionesplanteadas.▪ Participaenlaclasehaciendoaportesenlasolucióndesituacionesdelaclaseyeneltrabajoconlosdemásestudiantes.


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2 Sistemas de ecuaciones de primer grado con

dos incógnitasTiempoprobable:23horas

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

▪ Resolución de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas mediante tablas.

2.1 Resuelveunasituaciónmedianteunaecuacióno un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

▪ Verificaciónde lasolucióndesistemasdeecua-ciones de primer grado con dos incógnitas.

2.2 Determina el valor de las incógnitas quecumplen un sistema de ecuaciones de la forma ax + by + c =0

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas:

-Métododereducción.-Métododesustitución.

▪ Solución de sistemas de ecuaciones de primer gradocondosincógnitas,medianteelmétododereducción por sustracción.

2.3 Resuelve un sistema de ecuaciones con dosincógnitas en las que una de las incógnitastiene coeficientes de igual signo e igual valorabsoluto,medianteelmétododereducciónporsustracción.

▪ Solución de sistemas de ecuaciones de primer gradocondosincógnitas,medianteelmétododereducción por adición o sustracción.

2.4 Aplica el método de reducción por adiciónpara resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas, en las que el valor absoluto de loscoeficientes deunade las incógnitases igual,perocondistintosigno.

2.5 Utiliza el método de reducción por adición osustracción para resolver sistemas de ecuaciones condosincógnitas,dondeenunadelasincógnitasloscoeficientes,unoesmúltiplodelotro.

Utilizarlossistemasdeecuacionesdeprimergradocondosincógnitas,pararesolversituacionesdelentorno,aplicandoelmétododesoluciónqueconsideremásadecuado.

43



2.6 Resuelve un sistema de ecuaciones con dos incógnitas,en lasqueelvalorabsolutode loscoeficientesesdiferente,medianteelmétodode reducción.

▪ Interpretación del método de sustitución pararesolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2.7 Conoceelmétododesustituciónpararesolversistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

▪ Usodelmétododesustituciónpararesolversis-temas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2.8 Resuelve un sistema de ecuaciones con dos incógnitasmedianteelmétododesustitución.

2.9 Resuelve un sistema de ecuaciones con dosincógnitas,aplicandoelmétodomásadecuado.

2.10Determina la solución de un sistema deecuaciones con dos incógnitas cuyoscoeficientes son decimales, utilizando elmétodomásadecuado.

2.11Utilizaelmétodomásadecuadopararesolverun sistemadeecuacionescondos incógnitas,cuyoscoeficientessonfraccionarios.

2.12Determina la solución de un sistema deecuacionescondosincógnitasquecomprendeoperaciones indicadas con signos de agrupación.

2.13Resuelve un sistema de ecuaciones con dosincógnitascuyaformaesax + by + c =0

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Conceptosclaves

Ecuacionesdeprimergradocondosincógnitas. Solución del sistema de ecuaciones. Métododereducción. Métododesustitución.

Sistemas de ecuaciones.

ACTITUDINALES

Notación

CONCEPTUALES PROCEDIMENTALESCONCEPTUALES PROCEDIMENTALES


2.14 Resuelve un sistema de ecuaciones aplicandoel método más adecuado considerando lascaracterísticasdesuscoeficientes.

Aplicación de la ecuación de primer grado con dos incógnitas.

▪ Solución de situaciones del entorno mediante el uso de sistemas de ecuaciones.

2.15 Utilizalossistemasdeecuacionespararesolverproblemassobregeometría.

2.16 Utilizalossistemasdeecuacionespararesolverproblemas de las ciencias naturales.

2.17 Resuelvesituacionessobreporcentajemedianteel uso de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2.18 Utiliza los sistemas de ecuaciones de primergrado con dos incógnitas para resolver problemasqueincluyenrazonesyproporciones.

▪ Manifiestainterésenplantearyresolverdeformaordenadaunsistemadeecuacionesdeprimergradocondosincógnitas.▪ Disposicióndeutilizarlasecuacionesdeprimergradocondosincógnitas,paramodelarsituacionesdelentorno,resolverlasyaportaraldesarrollodelacomunidadenquereside.▪ Muestraconfianzaalmodelaryresolverunasituación,medianteelusodesistemasdeecuacionesdeprimergradocondosincógnitas.

Ecuacióndeprimergradocondosincógnitas: ax + by + c=0 Razón: a:b

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3 Función lineal


Resolversituacionesdelentornomedianteelusodelafunciónlineal,identificando,modelando,interpretandoygraficandocorrectamentelasrelacionesentrelasvariables.

Función lineal:- Definición.- Características.- Gráficaysusvariacionesenelplano.

▪ Comprensióndelsentidodeunafunciónlineal. 3.1 Representadosvariablesenunatablayescribelaexpresióny = ax + b.

▪ Identificacióndeunafunciónlinealy = ax + b. 3.2 Identificalafunciónlinealdadasuecuación.

▪ Conceptualizacióndelarazóndecambio. 3.3 Resuelve situaciones mediante el análisis de la razóndecambiohaciendousodetablas.

▪ Determinación de la relación entre la razón de cambioyelvalordea, en la ecuación de la fun-ción lineal y = ax + b

3.4 Resuelve situaciones mediante el análisis de la razón y comparación con la ecuación de lafunción.

▪ Caracterizacióndelagráficadelafunciónlineal. 3.5 Utiliza la gráfica de la funcióny = ax + b para describirsuscaracterísticas.

▪ Comparacióndelagráficadelafunciónlinealylaproporcionalidad directa.

3.6 Identifica la relación entre las gráficas de lasfunciones y = axyy = ax + b.

▪ Interpretacióndelsignificadodelarazóndecam-bioenlagráficadelafunciónlineal.

3.7 Analiza el significado de la razón de cambiohaciendousodelagráficaconpendientepositiva.

3.8 Resuelve situaciones mediante el análisis de la razóndecambiohaciendousosdegráficasconpendientenegativa.


46


▪ Identificación de la relación entre la razón decambioylapendientedeunafunciónlineal.

3.9 Identificalarelaciónentrelarazóndecambioylapendienteenlafunciónlineal.

▪ Identificacióndelapendienteyelinterceptodelagráficadelafunciónlineal.

3.10 Identificalapendienteyelinterceptodeunafunción y = ax + b.

▪ Relación entre los elementos de las diferentes representaciones de la función lineal.

3.11 Identifica la relación entre los elementos delatabla,laecuaciónylagráficadelafunción lineal.

▪ Construccióndelagráficadelafunciónlinealapartirdeloselementosdelaecuación.

3.12 Trazaelgráficodelafuncióny = ax + b,dadoel valor de ayb.

▪ Identificacióndelarelacióndeloselementosdelaecuacióndelafunciónconlosdelagráfica.

▪ Análisis de la relación de las gráficas de lasfuncionescuyaecuacióntieneigualvalordea o de b.

3.13 Relaciona la ecuación de la función con la grá-ficadelafuncióny = ax + b.

▪ Determinación de los valores de yapartirdelosvalores de x.

3.14 Determina los valores de y,cuandosedelimi-tan los valores de x.

▪ Deducción de la ecuación de la función. 3.15 Escribe la funciónde la formay = ax + b,apartirdelgráfico,identificandolapendienteyel intercepto.

3.16 Escribelafuncióndelaformay = ax + b,co-nociendo las coordenadas de un punto de la gráficayelvalorde a.

3.17 Escribelafuncióndelaformay = ax + b,iden-tificandodospuntosdelagráfica.

47



3.18Escribe la funciónde la formay = ax + b,apartirdelascoordenadasdedospuntosdelaforma (x, 0) (0, y).

La ecuación de primer grado con dos incógnitas:- Representacióngráficaysusvariacionesenel

plano.- Relación con la función lineal.

▪ Comparación de la gráfica de la ecuación deprimergradocondos incógnitas con lagráficade la función lineal.

3.19Compruebaquelagráficadeunaecuacióndeprimergradocondosincógnitastienelamis-ma forma de la función lineal.

▪ Transformacióndelaecuacióndeprimergradocon dos incógnitas a la forma y = ax + b.

3.20Transforma las ecuaciones de primer gradocon dos incógnitas a la forma y = ax + b,delafunción lineal.

▪ Construccióndelagráficadelaecuacióndepri-mer grado con dos incógnitas.

3.21Graficalaecuacióndelaformaax + by + c = 0,identificandolosinterceptosconlosejesxyy.

▪ Análisisdelavariacióndelagráficadelaecua-ción de primer grado con dos incógnitas cuando a o b toman el valor de cero.

3.22Representa gráficamente la ecuación de laforma by = c.

3.23Representa gráficamente la ecuación de laforma ax = c.

▪ Determinacióndelinterceptodelagráficadedosecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

3.24Determina el intercepto de la gráfica de dosecuaciones de la forma ax + by + c=0.

▪ Solucióngráficadeunsistemadeecuacionesdeprimer grado con dos incógnitas.

3.25Determina la solución de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas deformagráfica.

▪ Uso de la función lineal para resolver problemas dedistintoscontextos.

3.26Resuelve problemas mediante el uso de la función lineal.


48



3.27 Extraeinformacióndeungráficopararesolverproblemas.

3.28 Determinaeláreadeunafiguraplanamedianteel uso de la función lineal.

ConceptosclavesFunción lineal. Pendiente. Intercepto. Variación.

Ecuacióndelafunción. Razón de cambio.

ACTITUDINALES

Funciónlineal: y = ax + b.Ecuacióndeprimergradocondosincógnitas: ax + by + c=0.

Notación

▪ Disposiciónenmodelaryanalizarsituacionesmedianteunafunciónlineal.▪ Tomaconcienciadelaimportanciadeutilizarlafunciónlinealparamodelarsituacionescotidianasofenómenoscientíficos.▪ Reflexionayrespetasobrelosaportesdelosdemásestudiantesenlasolucióndelassituacionesplanteadas.

Razón de cambio =

Pendiente =

Variación en yVariación en x

y2 ‒ y1

x2 ‒ x1

Ecuacióndeprimergradocondosincógnitas,cuandoa =0: by = c.Ecuacióndeprimergradocondosincógnitas,cuandob =0:ax = c.

Rectahorizontal:by + c=0.Rectavertical:ax + c=0.

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Ángulos de un polígono:- Ángulos internos.-Ángulosexternos.

▪ Deducción de la fórmula para el cálculo de la sumadelosángulosinternosdeunpolígono.

4.1 Determinalasumadelosángulosinternosdeunpolígonoportriangulación.

▪ Determinación de la suma de los ángulos internos deunpolígono.

4.2 Utilizadiferentesestrategiasparadeterminar lasumadelosángulosinternosdeunpolígonoportriangulación.

▪ Determinaciónde lasumade losángulosexter-nosdeunpolígono.

4.3 Determinalasumadelosángulosexternosdeunpolígono.

4.4 Determina la medida de ángulos internos yexternosdeunpolígonoregular.

Ángulos opuestos por el vértice. ▪ Determinación de la relación de los ángulos opuestosporelvértice.

4.5 Relacionalosángulosopuestosporelvértice.

Ángulos entre paralelas cortadas por una secante:-Correspondientes.-Alternosexternos.- Alternos internos.

▪ Identificacióndelosángulosformadosentrerec-tas paralelas cortadas por una secante.

4.6 Identificaánguloscorrespondientesylosalternosexternoseinternos.

▪ Determinación de la relación entre los ángulos entre paralelas cortadas por una secante.

4.7 Identifica la relación entre ángulos corres-pondientes.

Paralelismo y ángulos de un

polígono4Tiempoprobable:11horas

Utilizarlarelaciónentreángulosinternosyexternosdelospolígonos,asícomodelosángulosentreparalelasparacaracterizarfigurasyresolversituacionesdelentorno.

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4.8 Identifica la relación entre ángulos internos,externos,alternosinternosyalternosexternos,entre dos rectas paralelas.

Aplicaciones de los ángulos entre paralelas cortadas por una secante:

- Demostración de teoremas-Solucióndesituacionescotidianas

▪ Uso de las relaciones de los ángulos entre parale-las cortadas por una secante para demostrar teo-remas.

4.9 Utiliza la relación de los ángulos entreparalelas, para demostrar el teorema de losángulos internos de un triángulo.

▪ Identificaciónde loselementosdeunademos-tración.

4.10 Identificaloselementosdeunademostraciónmatemática.

▪ Uso de las relaciones de los ángulos entre para-lelas para resolver situaciones del entorno.

4.11 Resuelvedesafíososituacionesproblemáticasendistintoscontextos,mediantelaaplicacióndelasrelacionesquecaracterizanalosángulosentre paralelas.

ConceptosClaves

Notación

ACTITUDINALES

▪ Valoralaimportanciadeutilizarlasrelacionesdelosángulosentreparalelaspararesolversituacionescotidianasoparademostrarpropiedadesmatemáticas.▪ Claridadenresolverlassituacionesplanteadas,presentandoaportesyescuchandolaopinióndelosdemás.

Ángulo: Paralela:∥ Entonces: Igualdadenmedidasdesegmentos:AB=DE

Teoremadeángulosinternosdeuntriángulo. Demostración del teorema de ángulos internos de un triángulo. Hipótesis Proposición

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Congruencia de figuras. ▪ Comparación de figuras para determinar si soncongruentes.

5.1 Determinacuandodosfigurassoncongruentes.

▪ Identificacióndetriánguloscongruentes. 5.2 Identificacuandodostriángulossoncongruentes.

Criterios de congruencia de triángulos:-Lado,ladolado(LLL)-Ángulo,lado,ángulo(ALA)-Lado,ángulo,lado(LAL)

▪ Identificacióndelacantidadmínimadeelemen-tosquedebentenerigualesdostriángulosparaqueseancongruentes.

5.3 Determina el mínimo de elementos necesariosque deben ser iguales para que dos triángulossean congruentes.

▪ Identificacióndeloscasosenquedostriángulosson congruentes.

5.4 Identificalosdiferentescasosquesetienenparadeterminar si dos triángulos son congruentes.

Aplicación de los criterios de congruencia. 5.5 Aplica criterios de congruencia para demostrar relacionesentretriángulosformadosapartirdepolígonos.

▪ Uso de los criterios de congruencia para situacio-nes del entorno.

5.6 Aplica criterios de congruencia para resolver situaciones del entorno.


Criterios de congruencia de

triángulosUtilizarloscriteriosparadeterminarlacongruenciaentretriángulos,caracterizaralgunasfigurasplanasyresol-versituacionesmatemáticasdelavidacotidiana.

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Conceptosclaves

Notación

ACTITUDINALES

▪ Interésporcomprenderydiferenciarloscriteriosdecongruenciadetriángulos.▪ Disposiciónporaplicarloscriteriosdecongruenciaparademostrarpropiedadesmatemáticasopararesolversituacionesdelentorno.▪ Participaciónenlasolucióndesituacionesplanteadassobrecongruenciadefiguras.

Congruencia:≅

Congruente. Correspondientes. Homólogos. Congruencia.

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Características de los triángulos y cuadriláteros

Identificafigurasplanasutilizandocriteriosdecongruenciasparaobtenercaracterísticasdetriángulosycuadri-láteros.

Triángulos isósceles:-Características.-Teoremas.- Bisectriz.

▪ Caracterizacióndelostriángulosisósceles. 6.1 Caracterizalostriángulosisósceles.

▪ Demostracióndelteoremadeltriánguloisósceles:“A lados iguales corresponden ángulos iguales”.

6.2 Demuestra el teorema del triángulo isósceles:“A lados igualescorrespondenángulos iguales”,utilizandolacongruenciadetriángulos.

▪ Deduccióndelascaracterísticasdelabisectriz. 6.3 Deduce y utiliza la característica que posee labisectriz de un triángulo isósceles.

Triángulos equiláteros:-Características.-Teoremas.

▪ Identificacióndeloscasosenquedostriángulosson congruentes.

6.4 Demuestraelteorema“Untriánguloequiláteroesequiángulo”.

▪ Uso de los criterios de congruencia para demos-trarpropiedadesdepolígonos.

6.5 Demuestra teoremas que relacionan los ladosy ángulos iguales de triángulos isósceles oequiláteros,conlosrespectivosladosopuestos.

Recíproco y contraejemplo de un teorema. ▪ Identificacióndelrecíprocoocontraejemplodeun teorema.

6.6 Identifica el recíproco o contraejemplo de unteorema.

▪ Identificacióndeloscriteriosdecongruenciadetriángulos rectángulos.

6.7 Identifica la relación que debe existir entre loslados y ángulos de dos triángulos rectángulosparaqueseancongruentes.


54


6.8 Identificalarelaciónquedebeexistirentreloslados de dos triángulos rectángulos para quesean congruentes.

Condiciones necesarias y suficientes: definición y uso.

▪ Interiorización del concepto de condición nece-sariaysuficiente.

6.9 Conoceelsentidodeunacondiciónnecesariaysuficiente.

▪ Determinación de las condiciones necesarias ysuficientes.

6.10Determina en enunciados si una condición esnecesariaysuficiente.

Bisectrices de un triángulo y sus características. ▪ Demostracióndelascaracterísticasdelasbisec-trices de un triángulo.

6.11Demuestra que la distancia del incentro acualquiera de los lados de un triángulo soncongruentes.

Paralelogramos:-Característicasyelementos.- Relaciones entre sus elementos.

▪ Identificación de las condiciones para que uncuadrilátero sea paralelogramo.

6.12Identifica las condiciones para que uncuadrilátero sea paralelogramo.

▪ Caracterizacióndelosparalelogramos. 6.13Caracterizalosparalelogramosestableciendolarelaciónentresusladosyángulos.

▪ Caracterizacióndelasdiagonalesdeunparalelo-gramo.

6.14Caracterizalasdiagonalesdeunparalelogramo.

▪ Demostración de las condiciones que debencumplir los lados y ángulos de un cuadriláteroparaqueseaparalelogramo.

6.15 Demuestra la relación que debe existir entrelos lados de un cuadrilátero para que seaparalelogramo.

6.16 Demuestra que para que un cuadrilátero seaparalelogramo sus ángulos opuestos deben ser iguales.

▪ Explicitacióndelconceptodecondiciónnecesa-riaysuficiente.

6.17 Enlistalascondicionessuficientesparaqueuncuadrilátero sea paralelogramo.

55

ACTITUDINALES



Rectángulo y Rombo:-Características.-Elementos.

▪ Caracterizacióndeunrectánguloydeunrombo. 6.18Caracterizaunrectánguloyunrombo.

▪ Aplicacióndelascaracterísticasdelasdiagona-les de un rectángulo.

6.19Utiliza las características de las diagonales deun rectángulo para demostrar relaciones con elementos de un triángulo rectángulo.

6.20Analiza la veracidad del recíproco de lascaracterísticasdelosrectángulos.

Líneas paralelas y áreas. ▪ Especificacióndelarelaciónentrelossegmentosperpendiculares trazados entre rectas paralelas.

6.21Determina la relación entre los segmentosperpendiculares trazados entre rectas paralelas.

▪ Determinacióndelarelacióndelasáreasdefi-gurasdeigualbasequeseformanentrerectasparalelas.

6.22Resuelve problemas de triángulos y para-lelogramos aplicando la relación entre rectas paralelasyáreas.

▪ Constanciaeneldesarrollodelasactividadespropuestaseneldesarrolloenloscontenidos.▪ Disposiciónparademostrarpropiedadesdetriángulosycuadriláteros.▪ Interésporresolversituacionesmedianteelusodepropiedadesdetriángulosycuadriláteros.

Conceptos claves

NotaciónTriángulo:∆ Ángulo:∢ Congruencia:≅ Perpendiculara:⊥

Bisectriz. Equiángulo. Recíproco. Contraejemplo.

Condiciónnecesaria. Condiciónsuficiente. Incentro. Paralelogramo.

Diagonales. Cuadrilátero. Rombo. Hipotenusa.


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7 Área y volumen de sólidos

geométricosTiempoprobable:17horas

Utilizareláreayelvolumendecuerposgeométricosparaproponersolucionesasituacionesdelentorno.

Sólidos geométricos:-Cono.-Esfera.- Prisma.- Pirámide.-Cilindro.

▪ Identificacióndelossólidosderevolución. 7.1 Identifica el sólido que se genera al girar unafiguraplanaalrededordeuneje.

▪ Identificaciónydescripcióndelascaracterísticasdelconoylaesfera.

7.2 Identificacaracterísticasyelementosdelconoyla esfera.

Volumen de los sólidos geométricos:-Cono.-Esfera.- Prisma.-Cilindro.- Pirámide.- Sólidos compuestos.

▪ Deducciónyusodelafórmulaparadeterminarel volumen del cilindro.

7.3 Deduce la fórmulaparael cálculodelvolumendel cilindro de manera análoga al cálculo del volumen del prisma.

▪ Deducciónyaplicacióndelarelaciónentreelvo-lumendelprismaylapirámide.

7.4 Determina la relación entre el volumen de unprisma y el de una pirámide, cuyas bases soncongruentesyseutilizanpararesolverproblemas.

▪ Uso de los criterios de congruencia para demos-trarpropiedadesdepolígonos.

7.5 Calcula el volumen de una pirámide de basetriangularutilizandolafórmula.

▪ Cálculodelvolumendelapirámidetriangular.

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▪ Determinaciónyusodelarelaciónentreelvolu-mendelconoyelcilindro.

7.6 Determina la relación entre el volumen del conoyelcilindrodeigualradioyaltura.

▪ Determinaciónyusodelarelaciónentreelvolu-mendelaesferayelcilindro.

7.7 Determina la relación entre el volumen de la esferayelcilindroconigualradioeigualaltura.

▪ Cálculodelvolumendesólidoscompuestos.

7.8 Utiliza las fórmulas de volúmenes de sólidosgeométricos, para determinar el volumen desólidos compuestos.

Elementos del patrón del cono y sus relaciones. ▪ Identificación de los elementos del patrón delcono.

7.9 Identificaloselementosdelpatróndelcono.

▪ Determinación de la relación entre los elemen-tos del patrón del cono.

7.10Determina la relaciónentre loselementosdelpatrón del cono.

Área superficial de sólidos geométricos:-Cono.-Esfera.- Sólidos compuestos.

▪ Determinación del área total del cono. 7.11Determina el área total del cono a partir delpatrón.

▪ Deduccióndelarelaciónentreeláreadelcírculoylaesfera.

7.12Determina la relaciónentreeláreasuperficialdeunaesferayeláreadelcírculodeigualradio.

▪ Cálculo de áreas superficiales de sólidos com-puestos.

7.13Utiliza las fórmulas deducidas sobre áreassuperficiales de sólidos, para determinar eláreasuperficialdesólidoscompuestos.

58

ACTITUDINALES

Conceptos claves

Notación

Volumenyáreadelcilindro: Volumenyáreadelcono: Volumenyáreadelaesfera: Volumenyáreadeunapirámide:

Vcilindro = AB × h=πr2 h Vcono = πr2h Vesfera =(Vcilindro)=(πr2h) Vpirámide = × AB× h

Alateral = 2πrh Atotal = Alateral + ABase Aesfera=4πr2 Atotal = 2πr(h + r)

ATotal = 2πr(h + r) Atotal = πr(g + r)

Sólidos de revolución. Cono. Esfera. Prisma.

Ejedegiro. Generatriz. Superficiecurva. Cilindro.

Sólidos compuestos. Longitud de arco. Diámetro. Pirámide.

Área lateral. Patrón del cono. Plano desarrollado. Áreasuperficial.

Área total. Sector circular. Cuerda. Base.

▪ Rigorenelanálisisydeducciónderelacionesentrevolúmenesdealgunossólidosgeométricos.▪ Respetoporeltrabajodeloscompañeros/asenladeduccióndefórmulas,paradeterminarvolúmenesdealgunossólidosgeométricos.▪ Responsabilidadenelusodedelasfórmulaspararesolversituacionesqueimpliqueelcálculodevolúmenesoáreasdesólidosgeométricos.

13

13

2 3

2 3

59





Organización y análisis de datos

estadísticos-Organizar,graficareinterpretarlainformacióndelentorno,afindeutilizarlaenlatomadedecisionesperso-nalesy/osociales,valorandoconcriticidadlaopinióndelosdemás.

-Resolverproblemasaplicandolasmedidasdetendenciacentraladatosestadísticosparaanalizar,opinaryobtenerconclusionesdemaneracrítica.

Clasificación y organización de datos estadísticos. ▪ Clasificacióndedatosestadísticos. 8.1 Clasificalosdatosengrupos.

Tablas y gráficas estadísticas para variables cuantita-tivas:-Tablasdefrecuencias.-Elementosdelatabladefrecuencia.- Histograma.-Polígonodefrecuencias.

▪ Organizacióndedatosestadísticos. 8.2 Organiza datos en tablas de distribución de frecuencias.

▪ Cálculo de los elementos de una tabla de fre-cuencias.

8.3 Calcula el punto medio de una serie de datosorganizados en una tabla e interpreta los resultados.

▪ Representacióngráficadedatosestadísticos. 8.4 Representagráficamenteinformaciónestadística.

▪ Comparacióndedatosmedianteelusodegráficas. 8.5 Compara información estadística mediantepolígonosdefrecuencias.

▪ Interpretacióndedatosestadísticos. 8.6 Interpreta datos estadísticos organizados entablas de frecuencias.


60


Medidas de tendencia central:-Mediaaritmética.- Moda.- Mediana.

▪ Identificacióndelasmedidasdetendenciacentral. 8.7 Identificaelusodevaloresrepresentativosparalasolucióndesituacionescotidianas.

▪ Cálculodelamediaaritmética. 8.8 Calcula la media aritmética de una serie dedatos agrupados.

▪ Usodelaspropiedadesdelamediaaritmética. 8.9 Comparayanalizainformaciónmedianteelusodepropiedadesdelamediaaritmética.

▪ Determinación del valor de la mediana.

▪ Determinación del valor de la moda.

8.10 Determinademaneraaproximadalamedianayla moda de una serie de datos.

Características y relaciones de las medidas de tenden-cia central.

▪ Uso de las propiedades de las medidas de ten-dencia central.

8.11 Interpreta situaciones a partir de laspropiedades de las medidas de tendencia central.

▪ Análisis de la relación entre las medidas de ten-dencia central.

8.12 Analiza la relación entre las medidas detendenciacentralapartirdeunagráfica.

Notación científica:-Valoraproximado.-Dígitossignificativos.

▪ Determinación del valor aproximado de unacantidad.

8.13 Determinaelvaloraproximadodeunacantidad.

▪ Determinación de los dígitos significativos deunacantidad.

8.14 Analiza las reglas para determinar los dígitossignificativosdeunacantidad.

▪ Expresióndecantidadesennotacióncientífica. 8.15 Expresacantidadesennotacióncientífica.

61

ACTITUDINALES

Conceptos claves

Notación

Frecuenciarelativa. Frecuenciarelativa porcentual.

Tablasdedistribucióndefrecuencia. Frecuencia. Punto medio. Histograma.

Clases. Anchodeclases. Límitedeclases. Polígonodefrecuencia.

Medidas de tendencia central. Mediaaritmética. Mediana. Moda.

▪ Compromisoenlatomadecisionesapartirdelanálisisdedatosestadísticos.▪ Espíritucríticoenelprocesamientoyanálisisdeinformaciónestadística.▪ Respetoporlaopinióndelosdemásenlainterpretacióndedatosorganizadosentablasográficasestadísticas.

fr =frecuencia

total de frecuencias = fn

Punto medio = Límite superior + Límite inferiorn

Mediaaritmética = Suma de todos los xn

fnfr% = frecuencia

total de frecuencias ×100=×100

Noveno Grado9Objetivos de grado


▪ Utilizar el álgebra simbólica y los diferentes métodos de factorización para resolver problemas matemáticos.

▪ Realizar operaciones con números reales, utilizando las propiedades de la raíz cuadrada y aplicándolas a situaciones del contexto.

▪ Plantear una ecuación cuadrática y resolverla mediante los diferen-tes métodos.

▪ Resolver problemas sobre figuras y cuerpos geométricos utilizando la semejanza de figuras y el teorema de Pitágoras.

▪ Organizar e interpretar la información obtenida en su entorno y utilizar las medidas de dispersión para el análisis de los datos.


64



Multiplicación de polinomios

Adquirirhabilidadesdeldominiodelálgebraelemental,atravésdelosprocesosdemultiplicaciónyfactori-zacióndepolinomios,apoyándoseenjustificacionesgeométricasquefacilitensuvisualización;pararesolverproblemasdematemáticaydesuentorno.

Producto de polinomios. ▪ Desarrollo del producto de un monomio por un binomio.

1.1 Desarrolla el producto de un monomio porbinomio.

▪ Desarrollo del producto de un binomio por un binomio.

1.2 Determina el desarrollo del producto de unbinomioporunbinomioqueinvolucreelsignopositivo.

1.3 Desarrolla el producto de un binomio porun binomio que involucre el signo positivo ynegativo.

▪ Realización del producto de un binomio por un trinomio.

1.4 Determina el desarrollo del producto de unbinomio por trinomio.

▪ Realización del producto de un trinomio por un trinomio.

1.5 Desarrolla el producto de un trinomio por untrinomio.

1.6 Desarrollaelproductodeunpolinomioutilizandolo visto en clases anteriores.

Tiempoprobable:29horasclase

1

65



Productos notables:- Productosdelaforma(x + a)(x + b).- Cuadradodeunbinomio.- Sumaporladiferenciadebinomios(x −a)(x + b).- Cuadradodeuntrinomio.

▪ Desarrollo de productos de la forma (x + a)(x + b). 1.7 Determinaproductosdelaforma(x + a)(x + b).

▪ Justificación geométrica del desarrollo del cua-drado de un binomio.

1.8 Justifica geométricamente el desarrollo delcuadrado de la suma.

▪ Determinación del desarrollo del cuadrado de un binomio.

1.9 Determina el desarrollo del cuadrado de laresta.

▪ Determinación del producto de la suma por la di-ferencia de binomios.

1.10Desarrollalasumaporladiferenciadebinomios.

▪ Realizacióndeproductosnotablesutilizandosus-titucióndevariables.

1.11Multiplicapolinomiosutilizandosustitucióndevariables.

1.12Multiplica polinomios utilizando combinaciónde productos notables.

▪ Determinación del desarrollo del cuadrado de un trinomio.

1.13Desarrollaelcuadradodeuntrinomio.

▪ Cálculodelvalornuméricodeoperacionesutili-zando productos notables.

1.14Calcula el valor numérico de expresionesalgebraicas y de operaciones aritméticasutilizandoproductosnotables.

▪ Aplicación de los productos notables en la reso-lución de problemas.

1.15Realiza operaciones utilizando productosnotables.


66


Factorización:- Factorcomún.- Trinomiosdelaformax2 +(a + b)x + ab.- Trinomioscuadradosperfectos.- Diferencia de cuadrados.

▪ Justificación geométrica de la factorizacióncomoprocesoinversodelamultiplicación.

1.16 Relacionalafactorizacióncomoprocesoinversodelamultiplicacióndepolinomios.

▪ Determinación del factor común monomio enunaexpresiónalgebraica.

1.17 Factorizapolinomios cuyo factor comúnesunmonomio.

▪ Justificacióngeométricayaplicacióndelafacto-rización de trinomios.

1.18 Factorizapolinomiosdelaformax2+(a + b)x + abenelproductonotable(x + a)(x + b).

▪ Justificacióngeométricayaplicacióndelafacto-rización de trinomios cuadrados perfectos.

1.19 Factoriza trinomios cuadrados perfectos en elproductonotable(x + a)2o(x−a)2.

▪ Demostracióngeométricayaplicacióndeladife-rencia de cuadrados.

1.20 Factoriza la diferencia de cuadrados como elproductonotable(x + a)(x −a).

▪ Aplicación del cambio de variable para factorizar polinomios.

1.21 Utilizael cambiodevariableporunmonomiopara factorizar polinomios.

▪ Resolucióndeproblemasaplicandolasdistintasestrategias de factorización vistas en las clases anteriores.

1.22 Utiliza el cambio de variable por un binomiopara factorizar polinomios.

1.23 Factorizapolinomiosextrayendo factorcomúnyutilizandoproductosnotables.

1.24 Factoriza polinomios que impliquencombinacionesdelosmétodosvistosenclasesanteriores.

67



ACTITUDINALES

Conceptosclaves

NotaciónCuadradodeunasuma: Sumaporladiferencia: Trinomiocuadradoperfecto: Diferenciadecuadrados:

(x + a)2 (x + a)(x + b) x2 + 2ax + a x2 −a2

Desarrollo del producto. Cuadradodeunasuma. Suma por la diferencia de binomio. Factorización.

Factorcomún. Trinomiocuadradoperfecto. Diferencia de cuadrados.

▪ Muestrainterésporcompartirsusideasdesoluciónaproblemassobreproductosnotables.▪ Se responsabiliza por su aprendizaje al estudiar la factorización de polinomios.▪ Esperseveranteenlaresolucióndeproblemasutilizandofactorizacionessucesivashastaobtenersatisfactoriamenteunasolución.

▪ Utilizacióndelafactorizaciónpararesolverpro-blemasqueinvolucrenelcálculodeoperacionesaritméticasyáreasdefiguras.

1.25Calcula operaciones aritméticas y áreas deregionesutilizandofactorización.

▪ Resolucióndeproblemasutilizandofactorizacio-nessucesivasycambiosdevariable.

1.26Utilizafactorizaciónpararesolverproblemas.


68




2 Raíz cuadrada Conocerelsentido,representaciónydefiniciónderaícescuadradas,realizandooperacionesalgorítmicasydesimplificaciónparapoderenfrentarseafuturosproblemasmatemáticosydelentorno.

Raíz cuadrada:- Radical.- Radicando.-Raícesexactas.-Raícescuadradas.

▪ Utilizacióndelradicalpararepresentarunnú-mero.

2.1 Utilizaelsímboloderadicalpararepresentarunnúmero.

▪ Determinación de números que son raícesexactas.

2.2 Determinanúmerosquesonraícesexactas.

▪ Determinación de las raíces cuadradas de un número.

2.3 Determinalasraícescuadradasdeunnúmero.

▪ Comparacióndedosnúmerosutilizandoel or-dendelasraícescuadradas.

2.4 Utiliza el orden de las raíces cuadradas paracompararnúmeros.

Números racionales e irracionales:-Númerosdecimalesperiódicos.-Númerosreales.-Ordenderaícescuadradas.

▪ Clasificacióndenúmeroscomoracionalesoirra-cionales.

2.5 Clasificanúmeroscomoracionalesoirracionales.

▪ Conversióndenúmerosdecimalesperiódicosafracción.

2.6 Convierte números decimales periódicos afracción.

▪ Establecercriteriosparajustificarqueunnúme-ro es real.

2.7 Identifica números reales y justifica supertenencia a este conjunto.

69



Operaciones con raíces cuadradas:- Multiplicaciónydivisiónderaícescuadradas.-Simplificaciónderaícescuadradasexactas.-Simplificaciónderaícescuadradasinexactas.- Racionalización.-Sumayrestaderaícescuadradas.

▪ Realización de operaciones de multiplicación y divisiónderaícescuadradas.

2.8 Operamultiplicacionesconraícescuadradas.

2.9 Operadivisionesconraícescuadradas.

▪ Utilización de la descomposición prima para representarunnúmerosinelsímboloradical.

2.10Utilizaladescomposiciónprimapararepresentarunnúmerosinelsímboloradical.

▪ Realización de la multiplicación de un racionalcon una raíz cuadrada representándolo con unsolo radicando.

2.11Expresalamultiplicacióndeunnúmeroracionalcon una raíz cuadrada, representando laoperación con un solo radicando.

▪ Simplificaciónderaícescuadradasinexactas. 2.12Simplificaraícescuadradasinexactas.

▪ Determinacióndelproductoderaícescuadradasutilizandosimplificación.

2.13Determina el producto de raíces cuadradasutilizandosimplificación.

▪ Racionalización de fracciones con radicales. 2.14Racionalizaeldenominadordeunafracción.

▪ Realización de operaciones de suma y resta deraícescuadradas.

2.15Sumayrestaraícescuadradassemejantes.

2.16Suma y resta de raíces cuadradas, utilizandosimplificaciónyracionalización.

▪ Realizacióndeoperacionesconraícescuadradas. 2.17Operaraícescuadradasutilizando lapropiedaddistributivadelamultiplicaciónsobrelasuma.


70



ACTITUDINALES

Conceptosclaves

NotaciónRaízcuadradadelnúmeroa: Númerosdecimalesperiódicos:1.3=1.3333 Númerosracionales:ℚ Númerosirracionales:ℚ'

Númerosreales:ℝ

Radical. Radicando. Raícesexactas. Raícescuadradas.

Númeroracionaleirracional. Númeroreal. Simplificaciónderaíces. Racionalización.

2.18 Opera raíces cuadradasutilizando lapropiedaddistributivadelamultiplicaciónsobrelasuma.

▪ Aplicacióny resolucióndeproblemasoperandoraícescuadradas.

2.19 Resuelve problemas de aplicación utilizandoconceptossobreraícescuadradas.

▪ Confianzayseguridadalrealizaroperacionesqueinvolucrenlaraízcuadradadeunnúmero.▪ Interésymotivaciónporcomprenderproblemasqueinvolucrenoperacionesconraícescuadradas.▪ Participaenlaresolucióndeproblemasdondeseapliquelaraízcuadrada.

a

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Raízcuadradadelnúmeroa: Númerosdecimalesperiódicos:1.3=1.3333 Númerosracionales:ℚ Númerosirracionales:ℚ'

Númerosreales:ℝ


Ecuación cuadrática

Ecuación cuadrática. ▪ Identificacióndesentidoyladefinicióndeunaecuacióncuadrática.

3.1 Plantea ecuaciones cuadráticas e identifica lanecesidad de resolverlas.

▪ Resolucióndelaecuacióncuadrática. 3.2 Determina la cantidadde solucionesquetieneunaecuacióncuadrática.

Métodos de solución para una ecuación cuadrática de la forma:- x2 = c - ax2 = c -(x + m)2 = n

▪ Resolución de ecuaciones de la forma x2 = c. 3.3 Resuelveecuacionesdelaformax2 = c.

▪ Resolución de ecuaciones de la forma ax2 = c. 3.4 Resuelveecuacionesdelaformaax2 = c.

▪ Resolución de ecuaciones de la forma (x + m)2 = n 3.5 Resuelveecuacionesdelaforma(x + m)2 = n

Métodos de solución por factoreo:-Factorcomúnx2 + bx = 0-Trinomiocuadradoperfecto-Ecuacionesdelaforma(x + a)(x + b) =0

▪ Resolución de ecuaciones de la forma x2 + bx=0 3.6 Resuelveecuacionesdelaformax2 + bx=0

▪ Determinacióndeecuacionescuadráticasdelaforma x2 + 2ax + a2=0,utilizandoeltrinomiocuadrado perfecto.

3.7 Determina ecuaciones cuadráticas de la formax2 + 2ax + a2, utilizando el trinomio cuadradoperfecto.

Resolverecuacionescuadráticas,utilizandodiferentesmétodosderesolución,paramodelarysolucionarproble-máticasenlavidacotidiana.


72


▪ Solucióndeecuacionescuadráticasdelaforma(x + a)(x + b)=0.

3.8 Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma(x + a)(x + b)=0.

▪ Utilizacióndeáreasparasolucionarecuacionescuadráticas.

3.9 Utilizal argumentos geométricos paraencontrar la solución positiva de ecuaciones del tipo x2 + bx + c=0.

Método de solución utilizando fórmula general:- Solución por complementación de cuadrados.- Fórmulageneraldelaecuacióncuadrática.

▪ Resolucióndeecuacionescuadráticasutilizandoel procedimiento de complementación de cua-drados.

3.10 Utiliza el procedimiento de complementaciónde cuadrados, para resolver ecuacionescuadráticas.

▪ Solución de ecuaciones de la forma ax2 + bx + c=0.

3.11 Resuelveunaecuacióncuadráticausandounasecuenciadepasos,comounaestrategiapreviapara deducir la fórmula general de la ecuación cuadrática.

▪ Deducción de la fórmula general de la ecuación cuadrática.

3.12 Utiliza completación de cuadrados paradeterminar la fórmula general de la ecuación cuadrática.

▪ Aplicacionesdelaecuacióncuadrática. 3.13 Utiliza la fórmula general de la ecuacióncuadrática identificando los valores de laecuación general.

▪ Comparación entre losmétodos de resolucióndeecuacionescuadráticas.

3.14Compara los métodos de solución desarro-lladospararesolverecuacionescuadráticas.

73

ACTITUDINALES



Conceptosclaves

NotaciónEcuacióncuadrática: ax2 + bx + c=0

Coeficientedex2 distintodecero: a ≠ 0

Fórmulageneraldelaecuacióncuadrática:

Discriminantedeunaecuacióncuadrática: b2–4ac

Ecuacióncuadrática. Métodosdesolucióndelaecuacióncuadrática. Fórmulageneraldelaecuacióncuadrática. Discriminante.

Discriminante de una ecuación cuadrática. b2–4ac

▪ Interpretación de la cantidad de soluciones deunaecuacióncuadrática.

3.15Determinaeinterpretalacantidaddesolucionesquetieneunaecuacióncuadrática.

▪ Utilización del discriminante en la resolución deproblemas.

3.16Utiliza el discriminante para determinar si unaecuación cuadrática tiene una solución, dos oninguna.

▪ Resolución de ecuaciones cuadráticas aplicado auna situación del entorno.

3.17Plantea ecuaciones cuadráticas que resuelvensituacionesproblemáticas.

▪ Decideconseguridadelmétododeresoluciónadecuadoparaunaecuacióncuadrática.▪ Muestrainterésaldeterminareldiscriminantedeunaecuacióncuadrática.▪ Fomentaeltrabajoenequipoalresolverproblemasdeecuacionescuadráticas.

x = −b ± b2 −4ac2a


74




4 Función cuadrática de la forma y = ax2 + c

Determinalascaracterísticasdelafuncióny = ax2+c, trazandoconprecisiónlagráficayresolviendoproblemassobre la variación de la función.

Función cuadrática de la forma y = ax2:- Proporcionalidad directa con el cuadrado- Función y = x2.- Función y = ax2,cona > 1;0< a <1;- Función y =−ax2,cona>0

▪ Planteamiento de una ecuación de la forma y = ax2 apartirdelusodetablas,encontrandola proporcionalidad directa con el cuadrado de la ecuación.

4.1 Plantea una ecuación de la forma y = ax2 a partir del uso de tablas y encontrando laproporcionalidad directa con el cuadrado de la ecuación.

▪ Utilización de la proporcionalidad directa para encontrar la constante de proporcionalidad dadoelvalordelasvariablesindependienteydependiente.

4.2 Utiliza la proporcionalidad directa paraencontrar la constante de proporcionalidad dadalavariableindependienteydependiente.

▪ Ubicación de puntos en el plano cartesiano para encontrar la función y = x2.

4.3 Describe las características de la función y = x2apartirdelospuntosubicadosenelplanocartesiano.

▪ Elaboracióndelagráficay = ax2 de la función a partirdelagráficadey = x2.

4.4 Elaboralagráficay = ax2 con a > 1o0< a < 1apartirdelagráficay = x2.

▪ Elaboracióndelagráficay =−ax2 de la función a partirdelagráficadey = x2.

4.5 Elaboralagráficay =−ax2 con a >0apartirdelagráficay = x2.

75



▪ Identificacióndelascaracterísticasdelasfuncio-nes y = ax2 yy =−ax2apartirdelosvaloresdea.

4.6 Identifica las características de las funciones y = ax2 yy =−ax2apartirdelosvaloresdea.

▪ Variación de las funciones y = ax2 yy=−ax2, si a < 0ya > 0.

4.7 Describeel cambioen losvaloresde la fun-ción y = ax2.

4.8 Encuentraelmáximoyelmínimodelafuncióny = ax2,describiendoelcambioenlosvaloresquetomalafunción.

4.9 Encuentraelrangodelafuncióny = ax2 dado su dominio.

Función cuadrática de la forma y = ax2 + c, con c > 0yc < 0.

▪ Elaboracióndelagráficadelafuncióny = ax2+c, para valorespositivosdec.

4.10Grafica la funcióny = ax2+c, con c > 0y rea-lizandodesplazamientosverticalesenc unida-des,apartirdelagráficadey = ax2.

▪ Elaboracióndelagráficadelafuncióny = ax2+c, para valoresnegativosdec.

4.11Grafica la funcióny = ax2+c, con c < 0y rea-lizandodesplazamientosverticalesenc unida-des,apartirdelagráficadey = ax2.

▪ Cálculodelosvaloresayc de la función y = ax2+c, dadas,lascondicionesinicialesdelagráfica.

4.12Calculalosvaloresdeayc en y = ax2+c,dadaslascondicionesinicialesdelagráficadelafunción.

76

ACTITUDINALES

Conceptosclaves

Notación

Funcióncuadráticadelaforma. y = ax2

Funcióncuadráticadelaforma. y = ax2 + c

Funcióncuadrática.Valormáximodeunafunción.

Variación de las funciones.Valormínimodeunafunción.

Rango de una función. Dominio de una función.

▪ Graficaconseguridadyprecisiónlasfuncionesy = ax2yy = ax2 + c.▪ Muestraempeñoenlacomprensióndelavariacióndelasfuncionescuadráticas.

77





Figuras semejantes

-Identificaryconstruirfigurassemejantesapartirdelascaracterísticasdesusladosysusángulos-Utilizarsemejanzadetriángulos,paradeduciryaplicarpropiedadesdefigurasysólidossemejantesenlaresolu-cióndesituacionesproblemáticas.

Semejanza de Figuras:- Razón entre segmentos.- Segmentos proporcionales. - Figuras semejantes.-Característicasdefigurassemejantes.-Construccióndefigurassemejantes.

▪ Cálculo de la longitud de segmentos, dadauna razón.

5.1 Encuentra la longitud de segmentos, dada unarazón.

▪ Uso de la razón entre segmentos para determi-nar si son proporcionales a otros dos.

5.2 Utilizalarazónentresegmentosparadeterminarsi dos segmentos son proporcionales a otros dos.

▪ Construccióndefigurassemejantes,mediantelareducciónylaampliacióndefiguras.

5.3 Reduceyamplíacuadriláterosparadibujarfigu-rassemejantesutilizandocuadrícula.

▪ Caracterizacióndefigurassemejantes. 5.4 Identifica ángulos correspondientes entre po-lígonos y, conbaseaello,determinapolígonossemejantes.

5.5 Identificalosladoscorrespondientesdefigurasycalcula la razón de semejanza.

▪ Construccióndefigurassemejantes,mediantelahomotecia.

5.6 Construye figuras semejantes,mediante la ho-motecia,conrazónpositiva.


78


Criterios de semejanza de triángulos:- Lados correspondientes proporcionales. - Dos ángulos correspondientes congruentes.-Unángulocorrespondientecongruenteylados adyacentesproporcionales.

▪ Verificacióndelprimercriteriodesemejanzadetriángulos: ‟Lados correspondientesproporcio-nales”.

5.7 Identificatriángulossemejantesapartirdelcri-terio “lados correspondientes proporcionales”.

▪ Verificación del segundo criterio de semejanzade triángulos: ‟Dos ángulos correspondientescongruentes”.

5.8 Identifica triángulos semejantes a partir del criterio‟Dosánguloscorrespondientescon-gruentes”.

▪ Verificación del tercer criterio de semejanza detriángulos:‟Unángulocongruenteyladosadya-centes proporcionales”.

5.9 Identificatriángulossemejantesapartirdelcri-terio‟Unángulocorrespondientecongruenteyladosadyacentesproporcionales”.

Semejanza y paralelismo:- Teoremadelabasemedia.- Paralelogramo inscrito en un cuadrilátero.- Semejanzadetriángulosutilizandosegmentos

paralelos. - Teoremasobrelaproporcionalidadyelparalelismo.

▪ Aplicación del teorema de base media para calcu-lar longitudes de segmentos.

5.10 Aplicaelteoremadelabasemediaparacalcu-lar longitudes de segmentos.

5.11 Aplicaunavariantedelteoremadelabaseme-dia para encontrar la longitud de segmentos.

▪ Demostracióndeque lospuntosmediosdeuncuadrilátero cóncavo forman un paralelogramo.

5.12 Demuestraque lospuntosmediosdeuncua-drilátero cóncavo forman un paralelogramo.

▪ Cálculodelaslongitudesdesegmentosutilizan-do el teorema sobre segmentos paralelos en un triángulo.

5.13 Calculalongitudesdesegmentosusandoelteo-rema sobre segmentos paralelos en un triángulo.

▪ Cálculodelamedidadeángulosutilizandoelteo-rema sobre segmentos paralelos en un triángulo.

5.14 Calculalamedidadeángulosidentificandoseg-mentos paralelos a los lados de un triángulo.

▪ Determinación de segmentos paralelos en un triángulo, dada su proporcionalidad de seg-mentos.

5.15Determinasegmentosparalelosenuntriángu-lo,dadasuproporcionalidaddesegmentos.

79



ACTITUDINALES

▪ Utilización de áreas de triángulos congruentes,para la demostración del teorema sobre propor-cionalidadyparalelismo.

5.16Demuestraelteoremasobreproporcionalidadyparalelismo.

Aplicación de semejanza y triángulos semejantes:- Distancia entre dos puntos.-Áreasdepolígonossemejantes.- Volumen de sólidos semejantes.

▪ Cálculodeladistanciaentredospuntossobreunmapa, utilizando la proporcionalidad entre seg-mentos,paraconocerlaescalareal.

5.17Encuentra ladistanciaentredospuntossobreunmapa,utilizando laproporcionalidadentresegmentos,paraconocerlaescalareal.

▪ Utilizacióndelarazónentretriángulossemejantespara encontrar la razón entre sus áreas.

5.18Utilizalarazónentredostriángulossemejantespara encontrar la razón entre sus áreas.

▪ Uso de la semejanza de sólidos para encontrar la razóndesemejanzaentresusvolúmenes.

5.19Utilizalasemejanzadesólidosparaencontrarlarazóndesemejanzaentresusvolúmenes.

▪ Aplicación de semejanza en problemas de la vida cotidiana.

5.20Aplica la semejanza y triángulos semejantespararesolverproblemasdelavidacotidiana.

Conceptosclaves

Notación

Símbolodesemejanza:~ Triángulossemejantes:∆ADE~∆ABC

Razón entre segmentos.Teoremadelabasemedia.

Segmentos proporcionales.Criteriosdesemejanza.

Figuras semejantes. Lados correspondientes.

▪ Muestrainterésalreduciryampliarunpolígonosemejante.▪ Fomentaeltrabajoenequipoalresolverproblemasdesemejanzadetriángulos.


80




Teorema de Pitágoras

UtilizarelteoremadePitágorasparacalcularlongitudesdesconocidasenfigurasycuerposgeométricosyaplicarlo en la resolución de problemas del entorno.

Triángulo rectángulo:- Hipotenusa.- Catetos.

▪ Utilización de áreas de cuadrados y triánguloscongruentesparaencontrarlamedidadelahi-potenusa en un triángulo rectángulo.

6.1 Encuentra la hipotenusa de un triángulorectánguloenparticular,utilizandoáreas.

▪ Determinacióndelahipotenusadeuntriángulorectángulocuyosvérticessonpuntosdelplanocartesiano,utilizandojustificacióngeométrica.

6.2 Encuentra la hipotenusa de un triángulorectángulocuyosvérticessonpuntosdelplanocartesiano.

Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2. ▪ DemostracióngeométricadelteoremadePitá-gorasutilizandoáreadefiguras.

6.3 Demuestra el teoremade Pitágoras, utilizandoáreasdetriángulosycuadrados.

▪ DemostracióndelteoremadePitágorasutilizan-do las propiedades de la semejanza de triángulos.

6.4 Demuestra el teoremade Pitágoras, utilizandosemejanza de triángulos.

▪ Determinacióndelamedidadeuncateto,utili-zando el teorema de Pitágoras dadas las longitu-desdelahipotenusaydelotrocateto.

6.5 Encuentralalongituddeuncatetodesconocido,utilizando el teorema de Pitágoras en untriángulo rectángulo.

▪ Resolucióndeproblemasdegeometríautilizan-do el teorema de Pitágoras dos veces.

6.6 Calcula la longitud del lado de un triánguloutilizandoelteoremadePitágorasdosveces.

81



Triángulos notables. ▪ Deducción de la medida de los lados de los trián-gulosnotables,utilizandoladiagonaldeuncua-dradoylaalturadeuntriánguloequilátero.

6.7 Calculalamedidadelosladosdelostriángulosnotables,utilizandoelteoremadePitágoras.

▪ Demostración del recíproco del teorema de Pi-tágorasverificandosiuntriánguloesrectánguloutilizandoesteresultado.

6.8 Utiliza el recíproco del teorema de Pitágorasparaverificarsiuntriánguloesrectángulo.

Volumen de sólidos geométricos:- Volumen de un cono.- Volumen de una pirámide.

▪ Uso del teorema de Pitágoras para calcular la altu-rayelvolumendeciertossólidosgeométricos.

6.9 Calcula la altura y el volumen de un cono,utilizandoelteoremadePitágoras.

6.10Calculalaalturayelvolumendeunapirámide,utilizandoelteoremadePitágoras.

▪ Determinacióndeladiagonaldeunortoedrouti-lizando el teorema de Pitágoras dos veces.

6.11Calcula lamedidadeunade lasdiagonalesdeunortoedro,utilizandoelteoremadePitágorasdos veces.

Área de un hexágono. ▪ Cálculodeláreadeunhexágonodividiéndoloentriángulos congruentes y utilizando el teoremade Pitágoras.

6.12Calculaeláreadeunhexágono,conociendo lalongitud de la altura del triángulo equiláterocontenidoenelhexágono.

▪ Resolución de problemas aplicados a figuras ycuerposgeométricosutilizandoelteoremadePi-tágoras.

6.13Resuelve problemas sobre figuras y cuerposgeométricos donde se aplique el teorema dePitágoras.


82



ACTITUDINALES

▪ Utilizacióndel teoremadePitágoraspara resol-ver problemas aplicados.

6.14 Aplica el teorema de Pitágoras a situacionesreales para calcular una distancia desconocida,realizandocálculoshastaundecimal.

6.15 Utiliza el teorema de Pitágoras para calcularlongitudes ymedidas de objetos en problemascontextualizados.

▪ PerseveraymuestraseguridadalrealizarlademostracióndelteoremadePitágoras.▪ AportaideasycomunicasussolucionesconsuscompañerossobreelcálculodelongitudesutilizandoelteoremadePitágoras.▪ MotivaciónydisposiciónalresolverproblemasdeaplicacióndondeseutiliceelteoremadePitágoras.

Conceptosclaves

NotaciónTeoremadePitágoras: Cálculodelahipotenusa: Cálculodelcatetoa: Cálculodelcatetob:

c2 = a2 + b2 c = a2 + b2 a = c2 – b2 b = c2 – a2

Hipotenusa. Catetos. TeoremadePitágoras. Triángulosnotables.

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Ángulo inscrito y central

Determinarlamedidadelosángulosinscritosysemiinscritosenunacircunferencia,utilizandolosteoremasyrelacionessobrecuerdasyarcosenunacircunferencia,paraestudiarlascaracterísticasypropiedadesdefigurasplanas.

Elementos de la circunferencia:- Arco.- Cuerda.- Tangente.- Ángulo inscrito.

▪ Identificaciónydeterminacióndeloselementosde una circunferencia.

7.1 Identificaloselementosdeunacircunferencia.

▪ Determinación de la medida de un ángulo inscri-to utilizando la relación intuitiva con el ángulocentral.

7.2 Distingue los tipos de ángulos inscritos en lacircunferencia y su relación intuitiva con elángulo central.

Teorema del ángulo inscrito:Elángulocentraleseldobledelánguloinscritoquesubtiendeelmismoarco.

▪ Demostración del teorema del ángulo inscrito cuando un lado del ángulo coincide con el diá-metro.

7.3 Determina las medidas de ángulos inscritoscuyo lado coincide con un diámetro de lacircunferencia.

▪ Demostración del teorema del ángulo inscrito,cuando el ángulo central esta en el interior del ángulo inscrito.

7.4 Determinalasmedidasdeángulosinscritoscuyoángulo central está al interior del ángulo inscrito.

▪ Demostración del teorema del ángulo inscrito,cuando el centro de la circunferencia está fuera del ángulo inscrito.

7.5 Utiliza el teorema del ángulo inscrito paradeterminar la medida de ángulos en la circunferencia.

▪ Demostración y determinación de los ángulosinscritosquesubtiendenarcosdeigualmedida.

7.6 Determina lamedida de ángulos inscritos quesubtiendenarcosdeigualmedida.

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▪ Construccióndelastangentesaunacircunferen-cia,utilizandolosresultadosdelánguloinscrito.

7.7 Construye las tangentes a una circunferenciadesdeunpuntofueradedichacircunferencia.

▪ Clasificacióndefigurasconladosigualesutilizan-docuerdasyarcoscongruentes.

7.8 Utilizalascuerdasylosarcoscongruentesparaclasificarfigurasconladosiguales.

▪ Determinacióndetriángulossemejantesutilizan-do ángulos inscritos que subtienden el mismoarco.

7.9 Resuelveproblemascontriángulossemejantesutilizandoelteoremadelánguloinscrito.

▪ Determinación de cuerdas paralelas o secantes utilizandoarcosdeigualmedida.

7.10 Utiliza arcos congruentes para determinarparalelismo entre cuerdas.

▪ Demostración del teorema sobre cuatro puntos enunacircunferenciaydeterminacióndeángu-losutilizandoesteteorema.

7.11 Determina las condiciones para que cuatropuntosesténsobreunacircunferencia.

Teorema del ángulo semiinscrito:Elángulocentraleseldobledelángulosemiinscritoquesubtiendeelmismoarco.

▪ Determinación de la medida de ángulos semiins-critos.

7.12Determina las medidas de ángulossemiinscritosutilizando lamedidadelángulocentral.

Conceptosclaves

NotaciónÁngulocentralenelpuntoO:∢BOA ÁnguloinscritoconvérticeenP:∢BPA Arcoscongruentes:AC=AD

Ángulo inscrito. Tangentesalacircunferencia. Arcos congruentes. Ángulo semiinscrito.

ACTITUDINALES▪ Disposiciónycompromisoalestudiarlosteoremasdelánguloinscritoenunacircunferencia.▪ Seguridadalresolverproblemasutilizandoresultadossobreángulosinscritosenunacircunferencia.

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Medidas de dispersión

Calculaeinterpretalasmedidasdedispersiónparaanalizarcríticamentesituacionesdesucontextoquerequierandelanálisisdedatos.

Medidas de dispersión para datos no agrupados:- Rango.-Varianza(σ2).- Desviacióntípica(σ).

▪ Determinación de las medidas de tendencia cen-tralyelrangodeunaseriededatos,paraidentifi-carquetandispersosseencuentranlosdatos.

8.1 Identifica la dispersión de distribucionesde datos, utilizando el rango para datos noagrupados.

▪ Cálculodelasdesviacionesrespectoalamediapara identificar ladispersiónde lasdistribucio-nes de datos.

8.2 Identifica distribuciones de datos que seencuentran más dispersas respecto a la media.

▪ Cálculodelavarianzaparadatosnoagrupados. 8.3 Utilizalavarianzaparadatosnoagrupadosparajustificarladispersióndelosdatosdelaserie.

▪ Cálculo de la desviación típica para datos noagrupados.

8.4 Justifica ladispersióndeunaserieutilizando ladesviacióntípica.

Medidas de dispersión para datos agrupados:- Rango.- Punto medio de clase.-Mediaaritmética(µ).-Varianza(σ2).- Desviacióntípica(σ).

▪ Organización de datos en una tabla de distribu-ción de frecuencias.

8.5 Organiza datos en una tabla de distribución de frecuencias.

▪ Cálculodelamediaaritméticayrangoparada-tos agrupados.

8.6 Calcula la media aritmética e identifica ladispersióndedistribucionesdedatos,utilizandoel rango para datos agrupados.

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ACTITUDINALES



▪ Organización de datos en una tabla de distribu-cióndefrecuenciasycálculodelavarianzaparadatos agrupados.

8.7 Calculalavarianzaparadatosagrupados.

▪ Organización de datos en una tabla de distribu-cióndefrecuenciasycálculodeladesviacióntí-pica para datos agrupados.

8.8 Calcula la desviación típica para datosagrupados.

8.9 Utilizalasmedidasdedispersiónpararesolverproblemaseidentificadistribucionesdedatosqueseencuentranmásdispersos.

Propiedades de la desviación típica:-Desviacióntípicamásunaconstante.-Desviacióntípicamultiplicadaporunaconstante.

▪ Justificacióndeque ladesviacióntípicadeunaserie no se ve afectada al sumar una constante a cada dato de la variable.

8.10 Calcula la desviación típica de distribucionescuyos datos son la suma de una constante yuna variable.

▪ Justificacióndeque ladesviacióntípicadeunaserienoseveafectadaalmultiplicarunacons-tante a cada dato de la variable.

8.11 Calcula la desviación típica de distribucionescuyosdatossonelproductodeunaconstantepor una variable.

Conceptosclaves

NotaciónSuma de las desviaciones respecto Mediaaritméticapoblacional:µ. Varianza:σ2. Desviacióntípica:σ.

alamediaaritmética:Ʃ(x −µ).

Rango. Desviaciones respecto a la media. Varianza. Desviacióntípica.

▪ Seguridadalutilizarmedidasdedispersiónparaidentificardistribucionesqueseencuentranmásdispersas.▪ Muestraconfianzaalconstruirtablasdedistribucióndedatos.▪ Trabajaenequipoyexpresasusideasalutilizarmedidasdedispersiónparadatosagrupadosalsolucionarunproblema.

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Glosario▪ Apotema: Eslarectaperpendiculartrazadadesdeelcentrodeunpolígonoregularacualquieradesuslados.

▪ Binomio: Esunaexpresiónalgebraicaformadapordostérminos.

▪ Coeficiente:Númeroquemultiplicaaunavariableovariablesenuntérminodeunaexpresiónalgebraica.

▪ Congruentes: Dosfigurasquecoincidencuandosesobreponendemaneradirectaovolteandoalrevésunadeellas,siesnecesario.

▪ Cono: Esunsólidolimitadoporuncírculoyporunasuperficiecurva.

▪ Correspondientes: Losvértices,ladosyángulosquecoincidenalsobreponerdosfi-gurascongruentes,tambiénsepuedenllamarhomólogos.

▪ Cuerda: Segmentoqueunedospuntoscualesquieradelacircunferencia.

▪ Desigualdad: Relacióndedosexpresionesmatemáticasquerepresentanvaloresdis-tintos,serepresentanconlossímbolos“<“y“>“,enocasioneslasexpresionesma-temáticasnorepresentanestrictamentevaloresdiferentesporloqueseutilizanlossímbolos“≤“y“≥“paradenotar la relacióndedosexpresionesmatemáticasquepueden representar valores diferentes o iguales.

▪ Descomposición en factores primos de un número: Expresióndelnúmerocomoelproductodenúmerosprimos.

▪ Diámetro: Cuerdaquepasaporelcentrodelacircunferencia.

▪ Dominio de una función:Sonlosvaloresquetomalavariablex en una función.

▪ Equiangular: Untriánguloqueposeesustresángulosdeigualmedida.

▪ Esfera: Esuncuerporedondoformadoporunasolasuperficiecurva.

▪ Expresión algebraica: Esunaexpresiónquecombinanúmeros,variablesyopera-ciones.

▪ Figuras semejantes: Dosomásfigurassonsemejantessitienenlamismaforma,perononecesariamente,elmismotamaño.

▪ Frecuencia: Altotaldedatosquecorrespondeacadaclase.

▪ Función de x: Cuandoendosvariablesxyy,elvalorquetomaxdeterminaunúnicovalor de y,sedicequey es función de x.

▪ Generatriz: Eslalíneaquemediantelarotacióngenerauncuerpogeométrico.

▪ Gráfica de faja: Lagráficaestádivididaencienpartesiguales,representandoelpor-ciento de cada parte.

▪ Igualdad: Relacióndedosexpresionesmatemáticasquerepresentanelmismovalor,yseutilizaelsímbolo“=˝.

▪ Intercepto: La constante b es el valor de y cuando x=0,yselellamainterceptodelafunción lineal con el eje y.

▪ Lados correspondientes: Sonlosqueseencuentranenlamismaposiciónconrespec-toalasfigurasencuestión,tambiénselellamanhomólogos.

▪ Mediatriz de un segmento: Eslarectaperpendicularadichosegmentoyquelodivi-de a la mitad.

▪ Miembro de una igualdad: Cadaexpresiónmatemáticadeunaigualdadodesigual-dad.Asílaexpresiónalladoizquierdodelsímbolodeigualdadodesigualdadesel“miembroizquierdo”,ylaexpresióndelladoderechoesel“miembroderecho”.

▪ Número recíproco: Unnúmeroeselrecíprocodeotronúmero,cuandoalmultiplicar-seambos,elproductoesuno.

▪ Paralelogramo: Esuncuadriláteroquetienedosparesdeladosopuestosparalelos.

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▪ Pirámide: Esunpoliedrolimitadoporunasolabasepoligonalyporvariascaraslate-rales,conformatriangular,quetienenunvérticecomún.

▪ Poliedro: Esuncuerpogeométricolimitadoporcarasplanasyqueencierranunvo-lumen.

▪ Polinomio:Lasumadeproductosdenúmerosyvariables.

▪ Polos: Puntos donde el eje de rotación corta a una esfera.

▪ Plano desarrollado o patrón: Unafiguraplanacompuestaconlaquesepuedefor-maruncuerpogeométrico.

▪ Proporcionalidad: Eslaequivalenciaentredosrazones,esdecir,cuandodosrazonesson iguales.

▪ Proporcionalidad directa: Si y es directamente proporcional a x,cuandox cambia en unacantidaddevecesentoncesycambiaenlamismacantidad.

▪ Proporcionalidad al cuadrado: Una magnitud y es directamente proporcional al cua-drado de otra magnitud x, si y = ax2.

▪ Proposición: Esunaexpresióndondesihayunahipótesis,entoncessedaunaconclu-sión.

▪ Punto de referencia:Eselpuntoapartirdelcuálsedetermina ladireccióndeuncuerpoenmovimientooexpresar respectoaelloscualquierotramagnitud.En larectanuméricacorrespondeusualmentealcero.

▪ Radio: Distanciadelcentroaunpuntocualquieradelacircunferencia.

▪ Rango de una función:Alosvaloresquetomay en una función.

▪ Razón de cambio: Al comparar la variación de la variable y respecto a la variación de x en una función lineal.

▪ Razón entre segmentos:Eselcocientedelosnúmerosqueexpresanlaslongitudesde dos segmentos.

▪ Rotación:Eselmovimientodeunafiguraconundeterminadoángulorespectoaunpunto central.

▪ Semirrecta:Eslaqueestáformadaportodoslospuntossobreunalínearectaqueseencuentranaunodelosladosdeundeterminadopuntofijo.

▪ Simetría: Selellamaalmovimientoqueserealizadoblandoeldibujopormediodeun eje.

▪ Sistema de ecuaciones: Eselconjuntodedosecuacionesylasolucióndelsistemaseráelpardevaloresquesatisfacenambasecuaciones.

▪ Sólidos de revolución:Sonlossólidosgeométricosquepuedengenerarsegirandounafiguraplanaalrededordeuneje.

▪ Tabla de distribución de frecuencias: Eslatablaenlaqueseorganizanlosgruposdedatos de una serie.

▪ Teorema de la base media:Elsegmentoqueunelospuntosmediosdedosladosenuntriángulocualquieraesparaleloaltercerladoysulongitudesigualalamitaddellado al cual es paralelo.

▪ Teorema recíproco: Esel teoremaque intercambia lahipótesisy laconclusióndeotro teorema.

▪ Términos semejantes: Sonlostérminosquetienenlamismaparteliteral.

▪ Trinomio: Esunaexpresiónqueposeetrestérminos.

▪ Triángulo isósceles: Eselquetienedosdesusladosquesondeiguallongitudysecaracterizanporquelamedidadedosdesusángulosesigual.

▪ Valor absoluto de un número:Esladistanciaquehayentreceroyelnúmero.Seex-presamedianteelsímbolo“||”.

▪ Valor numérico de una expresión: Resultado obtenido al realizar las operaciones indicadasen la expresiónalgebraicadespuésde sustituir valoresnuméricoen lasvariables.

▪ Variable:Representacióngeneraldecantidadesquepuedentomardiferentesvalores.

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Referencias bibliográficas▪MinisteriodeEducación(1999).Fundamentoscurricularesdelaeducaciónnacional,Versióndivulgativa.

▪MinisteriodeEducación(2008).Currículoalserviciodelaprendizaje

▪ Zabala,Antoniyotro(2007).11ideasclave.Cómoaprenderyenseñarcompetencias.Barcelona,España:EditorialGraó.

▪MinisteriodeEducación(2008).ProgramadeestudiodeMatemática,TercerciclodeEducaciónBásica.ImpresoenPerúporQuebecor World.

▪ Zabala,Antoniyotro(2008).PrácticaEducativa.Cómoenseñar.Barcelona,España:EditorialGraó.

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