Zakon o promjeni kinetike energije sistema materijalnih taakaPosmatrajmo sistem koji se sastoji od materijalnih taaka . Primjeniti emo zakon o promjeni kinetike energije za proizvoljnu taku u nekom posmatranom vremenskom intervalu:

Gdje je Ako ovakav zakon postavimo za sve take sistema i saberemo dobijene zakone, dobiti emo:

Poto je kinetika energija sistema jednaka sumi kinetikih energija svih njegovih taaka, tada izraz (1) postaje:

Izraz (2) predstavlja zakon o promjeni kinetike energije sistema materijalnih taaka iz kojeg se vidi da je promjena kinetike energije sistema materijalnih taaka u nekom vremenskom intervalu jednaka sumi radova svih spoljanjih i unutranjih sila sistema u istom vremenskom intervalu. Ukoliko u nekom sistemu materijalnih taaka nema promjene rastojanja izmeu bilo koje dvije take sistema, tada takav sistem nazivamo neizmjenjivim sistemom. U tom sluaju je rad unutarnjih sila sistema jednak nuli:

Ako to nije sluaj, tada sistem nazivamo izmjenjivim sistemom.Kinetika energija tijela za opti sluaj kretanja ( KENIGEOVA TEOREMA)Neka se tijelo proizvoljnog oblika kree slobodno u prostoru i neka je brzina njegovog centra inercije , a trenutna ugaona brzina .

Kinetika energija tijela e biti:

Brzina take e imati oblik:

Pri emu je Kvadrat intenziteta brzine take e biti:

Kinetika energija sistema e biti:

Pojedini lanovi u izrazu (1) e biti:

lan predstavlja moment inercije tijela za osu koja prolazi kroz centar inercije i na kojoj lei . Prema tome je:

Trei sabirak sa desne strane u izrazu (1) e biti:

Ako se podsjetimo radijus vektora centra inercije tijela prema kojem moemo pisati da je:

Prema tome je: Prema tome, na osnovu izraza (1) dobijamo:

Izraz (6) predstavlja KENIGEOVU teoremu iz koje se vidi da se kinetika energija tijela za opti sluaj kretanja sastoji od dvije komponente i to kinetike energije translacije i kinetike energije rotacije.

Kinetika energija za neke specijalne sluajeve kretanja tijela a) translacijaZa sluaj translacije , tako da koristei Kenigeovu teoremu dobijemo izraz za kinetiku energiju tijela : Poto je kod translacije

b) rotacija tijela oko stalne oseNeka tijelo rotira oko stalne ose z i neka u optem sluaju njegov centar inercije tijela ne lei na toj osi.

Na osnovu Kenigeove teoreme:

Poto je prema tajnerovoj teoremi:

c) ravno kretanjeNeka tijelo vri ravno kretanje pri emu centar inercije tijela ima brzinu , a tijelo ima ugaonu brzinu .

Direktnom primjenom Kenigeove teoreme e biti:

NEKI SLUAJEVI RADOVA SILA KOJE DJELUJU NA TIJELOa) rad sile teeNeka se tijelo kree iz poloaja 0 do poloaja 1.

Neka je osa z vertikalna osa usmjerena prema gore. Rad sila tee svih taaka tijela e biti:

S obzirom na definiciju poloaja centra inercije:

I njegovu projekciju na osu z:

Iz izraza (1) i (2) e biti:

b) rad sila pri rotaciji tijela oko stalne oseNeka tijelo rotira oko stalne ose z.

Neka u nekoj taki tijela djeluje sila ije su komponente u pravcu osa prirodnog koordinatnog sistema . Elementarni rad sile e biti : Poto je vektor slijedi da je:

Poto je slijedi da je :

Rad u nekom vremenskom intervalu e biti:

Snaga uslijed djelovanja sile e biti :

c) rad uslijed trenja kotrljanjaNeka se toak radijusa R kotrlja po ravnoj podlozi.

Neka uslijed deformacije toka ili podloge normalna reakcija ima pomjereni pravac u odnosu na centralnu osu toka za iznos kraka k. Ako reakciju redukujemo na taku A kao rezultat redukcije dobiti emo moment trenja kotrljanja.

Rad sila trenja kotrljanja se sada moe posmatrati kao rad momenta kotrljanja , tako da emo imati:

Snaga uslijed djelovanja sile trenja kotrljanja e biti:

ZAKON O PROMJENI MOMENTA KOLIINE KRETANJAMoment koliine kretanja tijela za neku taku O kao pol, definie se kao suma momenata koliine kretanja svih njegovih taaka za isti pol.

Neka je nepomina taka O odabrana kao pol za kojeg odreujemo moment koliine kretanja tijela . Izvod momenta koliine kretanja po vremenu e biti:

Posljednja dva lana u dobijenom izrazu predstavljaju glavni moment spoljanjih sila koje djeluju na tijelo za taku O kao pol, odnosno glavni moment unutranjih sila tijela za istu tu taku kao pol.

Dobijeni izraz predstavlja zakon o promjeni momenta koliine kretanja tijela za nepominu taku O kao pol, iz kojeg se vidi da je izvod takvog momenta koliine kretanja tijela po vremenu jednak glavnom momentu svih spoljanjih sila koje djeluju na tijelo za taku O kao pol. Na isti nain se dobija i zakon o promjeni momenta koliine kretanja tijela za centar inercije C kao pol, bez obzira da li se on kree ili miruje:

MOMENT KOLIINE KRETANJA TIJELA ZA POJEDINE VIDOVE KRETANJAa) rotacija tijela oko stalne oseNeka tijelo rotira oko stalne ose z.

U ovom sluaju emo imati:

Poto je kod rotacije oko stalne ose brzina take tada moemo pisati:

Konano je moment koliine kretanja:

Izraz (1) predstavlja moment koliine kretanja tijela za sluaj rotacije oko stalne ose z pri emu je nepomini pol O ujedno i ishodite koordinatnog sistema xyz.

b) translacija tijelaNeka tijelo vri translaciju u prostoru pri emu se ishodite koordinatnog sistema xyz poklapa sa centrom inercije C.

Potrait emo moment koliine kretanja tijela za njegov centar inercije kao pol.

Pri tome je relativni radijus vektora izmeu centra inercije tijela u taki .

Poto je

c) ravno kretanje tijelaPoto se ravno kretanje moe razloiti na translaciju i rotaciju, za pol translacije emo odabrati centar inercije tijela. Vidjeli smo da je moment koliine kretanja tijela pri translaciji za njegov centar inercije kao pol jednak nuli. To znai da e izraz za moment koliine kretanja pri ravnom kretanju tijela za njegov centar inercije kao pol e imati isti oblik kao u sluaju rotacije tijela oko centralne ose okomite na ravan kretanja tijela.

PRIMJENA ZAKONA O PROMJENI MOMENTA KOLIINE KRETANJA ZA NEKE SLUAJEVE KRETANJA TIJELAAnalizirati emo kako se zakon o promjeni momenta koliine kretanja tijela primjenjuje na neke sluajeve kretanja (rotacija oko stalne ose, translacija, ravno kretanje tijela). a) rotacija oko stalne oseNeka tijelo rotira oko stalne ose z.

Neka je takoer sistem xyz kruto vezan za tijelo. Poi emo od zakona spoljanjih sila:

Podsjetimo se da su za ovako usvojen koordinatni sistem, jedinini vektori promjenjivi vektori jer su kruto vezani za tijelo, a da su pojedini momenti inercije tijela konstantni po vremenu. Izvodi pojedinih jedininih vektora po vremenu e biti:

Sada e izraz B u (1) biti:

Uvrtavanjem (2) u (1) dobiti emo:

Izraz B se moe projektovati na osu rotacije z, pa imamo:

Izraz (4) predstavlja osnovnu jednainu kada je u pitanju rjeavanje dinamike tijela koje se obre oko stalne ose. Projektujui zakon o promjeni momenta koliine kretanja za ovaj sluaj kretanja na ose x i y, moemo dobiti nepoznate dinamike reakcije u osloncima tijela. b) translacijaPoto je za sluaj translacije tijela tada je:

c) ravno kretanje tijelaNeka tijelo vri ravno kretanje i neka su ose xyz njegove centralne ose pri emu je osa z okomita na ravan kretanja.

Poto se kretanje moe prikazati kao zbir translacije, sa usvojenim polom translacije C, i rotacije oko centralne ose z, okomite na ravan kretanja, tada e izraz za promjenu momenta koliine kretanja u tom sluaju biti analogan izrazu za rotaciju tijela oko stalne ose.

DINAMIKA SFERNOG KRETANJA TIJELAMoment koliine kretanja pri sfernom kretanju tijelaNeka tijelo vri sferno kretanje i neka su ose vrsto vezane za tijelo, pri emu je ishodite tog koordinatnog sistema poklopljeno sa nepominom takom tijela.

Moment koliine kretanja e biti:

Poto je vektor brzine proizvoljne take

Poto je za neke vektore

Uvrtavanjem izraza (4) i (5) u (3) dobit emo:

Projekcije momenta koliine kretanja na pojedine ose poretnog sistema e biti:

Izraze 6 moemo zapisati u kraoj matrinoj formi:

Kinetika energija tijela pri sfernom kretanjuPoi emo od izraza:

Uvrtavanjem u izraz (1) dobijamo:

Ukoliko su ose glavne ose inercije, tada je , pa je:

Eulerove dinamike jednaine za sferno kretanje tijelaNeka tijelo vri sferno kretanj oko take O i neka su ose vrsto vezane za tijelo pri emu se ishodite tog koordinatnog sistema poklapa sa nepominom takom O tijela. Neka na tijelo takoer djeluju spoljanje sile

Poi emo od zakona o promjeni momenta koliine kretanja za taku O kao pol.

Za sferno kretanje je moment koliine kretanja

Pojedini jedinini vektori su kruto vezani za tijelo koje vri sferno kretanje i ija je ugaona brzina . Prema tome i ti jedinini vektori se kreu nekom ugaonom brzinom

Na osnovu toga e zbir posljednja tri lana u izrazu (4) biti:

Uvrtavanjem izraza (5) u (4) pa u (1) dobiemo:

Projektujui jednainu (6) na pojedine ose pokretnog koordinatnog sistema dobiemo:

Jednaine (7) predstavljaju Eulerove jednaine za sluaj sfernog kretanja tijela. U sluaju kada su ose glavne ose inercije, odnosno kada su pojedini centrifugalni momenti jednaki nula, tada je: Na osnovu izraza (7) :

Dinamike jednaine kretanja slobodnog tijela u prostoruU sluaju slobodnog kretanja tijela u prostoru podsjetit emo se da se takvo kretanje sastoji od translacije sa centrom inercije kao polom translacije i sfernog kretanja oko centra inercije.

U tom sluaju koristei zakon o kretanju centra inercije moemo postaviti sljedee tri dinamike jednaine:

Sljedee tri jednaine slijede na osnovu Ojlerovih dinamikih jednaina sfernog kretanja pri emu smo za pol uzeli centar inercije tijela.

Prikazanih 6 jednaina predstavlja dinamike jednaine kretanja slobodnog tijela u prostoru i njihovim integrisanjem se dobija 6 nepoznatih zakona kretanja.

PRIBLINA TEORIJA IROSKOPSKIH POJAVAMoment koliine kretanja iroskopairoskop je tijelo koje rotira oko ose materijalne simetrije pri emu postoji mogunost da se ta osa obre oko neke druge ose. iroskop vri sferno kretanje. Moe biti uravnoteen i neuravnoteen. Ako se nepomina taka iroskopa poklapa sa njegovim centrom inercije tada je iroskop uravnoteen u protivnom je neuravnoteen.Pretpostavimo da se iroskop obre oko ose materijalne simetrije ugaonom brzinom

Neka se ta osa obre oko neke druge ose ugaonom brzinom i neka je , poto je ukupna ugaona brzina iroskopa tada moemo napisati priblinu relaciju U tom sluaju se priblino moe napisati

iroskop sa tri stepena slobode kretanjairoskop sa tri stepena slobode kretanja ima jednu nepominu taku i potpunu slobodu sfernog kretanja oko te take. Pretpostavimo da je takav iroskop uravnoteen. Neka uravnoteeni iroskop sa tri stepena slobode kretanja miruje i neka u tom stanju mirovanja na njeg pone djelovati konstantna sila kao na slici.

Neka je sila stalno okomita na osu z, tada e iroskop vriti rotaciju oko nepomine ose x jednoliko ubrzano jer je

Ako nakon nekog vremena sila prestane djelovati na iroskop on e se nastaviti obrtati oko stalne ose x zateenom brzinom koja e ostati konstantna i iznosit e:

Pretpostavimo sada da se iroskop obre dovoljno brzo oko materijalne ose nekom ugaonom brziom , pri tome je njegov moment koliine kretanja

Neka u takvom stanju obrtanja na iroskop pone djelovati sila kao na slici. Tada je na osnovu zakona o promjeni momenta koliine kretanja

Poto je s druge strane uz uslov da je , onda e brzina vrha B vektora biti i on e biti paralelan sa x osom.Poto je vektor u ravni koja je okomita na silu tada e vektor rotirati oko take O takoer u ravni koja je okomita na silu . Automatski e i osa rotirati u toj istoj ravni. Odavde vidimo da uravnoteeni iroskop sa tri stepena slobode kretanja ima osobinu da se suprostavlja djelovanju sile jer se njegova osa simetrije pomjera u ravni koja je okomita na silu . Nakon prestanka sile osa simetrije iroskopa e ostati u zateenom poloaju, a iroskop e se rotirati oko te ose nekom ugaonom brzinom. Navedene osobine iroskopa sa tri stepena slobode kretanja se koriste u regulaciji stabilnosti kretanja kod letjelica, projektila itd.iroskop sa dva stepena slobode kretanjaNeka je dat iroskop sa dva stepena slobode kretanja kao na slici

Neka iroskop ima rotaciju oko ose simetrije sa ugaonom brzinom , kao na slici. Neka takoer iroskop zajedno sa njegovim pokretnim ramom ima ugaonu brzinu , pri emu je . Poto je , a poto je takoer pri emu je D taka vrha vektora tada je ujedno

Poto je tada je Pri tome je teina iroskopa sa pokretnim ramom, i su statike reakcije u osloncima A i B, i su dinamike reakcije u osloncima A i B koje su rezultat postojanja ugaone brzine . Poto je suma svih statikih sila jednaka nuli

Vrijedi da je i da one ine spreg.

Moment kojim iroskop djeluje na sistem u koji je iroskop ugraen odnosno moment silu kojom iroskop djeluje na oslonce A i B zove se iroskopski moment Maksimalno optereenje u osloncima A i B ce biti u sluaju kada se dinamika akcija po smjeru poklopi sa statikom reakcijom.

Pojava dinamikih reakcija usljed iroskopskog efekta kod iroskopa sa dva stepena slobode kretanja moe biti stetna ukoliko dinamike reakcije dostignu odreene kritine vrijednosti i pored ega i iroskop sa dva stepena slobode kretanja se koristi za neke sluajeve stabilizacije kretanja.

REGULARNA PROCESIJA IROSKOPANeka je dat neuravnoteen iroskop sa tri stepena slobode koji se obre oko ose vlastite simetrije ugaonom brzinom . Neka je u datom trenutku njegova osa simetrije nageta za ugao u odnosu na stalnu vertikalnu osu z.

Glavni moment svih sposljanjih sila e biti ustvari moment teine za taku O. Moemo pisati:

to znai da je brzina take A kao vrha vektora jednaka

U skladu sa ovim izrazom brzine e biti u pravcu tangente na krunicu koja prolazi kroz taku A iji centar se nalazi na osi z, a ija ravan je okomita na osu z. Usljed krune putanje take A koja se nalazi na osi simetrije postojae precesija iroskopa oko ose se z koju nazivamo regularna procesija iroskopa.Moemo takoer pisati:

DALAMBEROV PRINCIP ZA SISTEMOsnovne jednaine Dalamberovog prinicpa za sistemNeka se sistem materijalnih taaka kree pod uticajem odreenih aktivnih sila. Neka je u opem sluaju taj sistem vezan tako da e se pojaviti i reakcije veza. Za proizvoljnu taku sistema emo postaviti II Njutnov zakon.

Pri emu je: - rezultanta svih aktivnih sila koje djeluju na tu taku - rezultanta svih reaktivnih sila koje djeluju na tu takuPrema Dalamberovom principu za taku dfinisati emo inercijalnu silu

Na taj nain emo dobiti:Izraz (1) predstavlja Dalamberov princip za materijalnu taku. Postavljanje Dalamberovog principa za taku sistema i sabiranje tako dobijenih izraza predstavlja:

Izraz (2) predstavlja prvu osnovnu jednainu Dalamberovog principa za sistem iz koje se vidi da je za neko vezano tijelo koje se kree zbir glavnih vektora aktivnih, reaktivnih i inercijalnih sila jednak nuli.Neka je O proizvoljni pol, neka je takoer radijus vektor koji povezuje taj pol sa proizvoljnom takom . Izraz (1) emo pomnoiti vektorski sa lijeve strane sa radijusom , tako da imamo

Postavljanjem izraza (3) za sve take sistema i sabiranjem tako dobijenih izraza dobiemo:

Odnosno:

Izraz (4) prestavlja drugu osnovnu jednainu Dalamberovog principa za sistem iz koje se vidi da je zbir glavnih momenata za pol zbir aktivnih, reaktivnih i inercijalnih sila jednak nuli.

Glavni vektor inercijalnih sila sistemaGlavni vektor inercijalnih sila sistema e biti :

Sa druge strane je vektor poloaja centra inercija:

Diferenciranjem izraza (2) po vremenu:

Uvrtavanjem (3) u (1) dobiemo :

Vidimo da je za bilo kakav sluaj kretanja glavni vektor inercijalnih sila tijela jednak negativnom proizvodu mase tijela i ubrzanja njegovog centra inercije.Glavni moment inercijalnih sila sistemaa) Sluaj translacije tijelaNeka tijelo vri translatorno kretanje Glavni moment inercijalnih sila za centar inercije kao pol u ovom sluaju e biti

Poto je sa druge strane : Prema tome je:

Prema tome za sluaj translacije tijela je glavni moment inercijalnih sila sistema za njegov centar inercije uvijek jednak nuli.

b) Sluaj rotacije tijela oko stalne oseNeka tijelo rotira oko stalne ose z.

Neka tijelo u datom trenutku ima ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje .Glavni moment inercijalnih sila za taku O e biti:

Poto je za dvostruki vektorski proizvod :

Takoer je:

Obzirom na dobijene izraze (2) i (4) uvrtene u izraz (1) moemo napisati projekcije glavnog momenta inercijalnih sila na pojedine ose: U vektorskom obliku je: c) Sluaj ravnog kretanja tijelaNeka tijelo vri ravno kretanje, ishodite kooridnatnog sistema emo poklopiti sa centrom rotacije inercije tijela:S obzirom da se ravno kretanje moe razloiti na translaciju zajedno sa odabranim polom (taka C), i rotaciju oko ose koja prolazi kroz taj pol (osa z) i sa obzirom da je za sluaj tranclacije

tada e u ovom sluaju izraz za glavni moment inercijalnih sila za taku C kao pol biti istog oblika kao u sluaju rotacije.

PRIMJENA DALAMBEROVOG PRINCIPA NA ODREIVANJE DINAMIKIH REAKCIJA PRI ROTACIJI TIJELA OKO STALNE OSENeka tijelo rotira oko stalne ose z i neka u datom trenutku ima ugaono ubrzanje i ugaonu brzinu .Neka na tijelo djeluju aktivne sile . Pored statikis reakcija, pojaviti e se dinamike reakcije. U cilju odreivanja dinamikih reakcija, koristiti emo Dalamberov princip za sistem. Poi emo od osnovnog Dalamberovog principa:

Izraz (1) emo projektovati na ose x, y i z:

Poto je suma svih statikih sila jednaka nuli, tada iz izraza (2), (3), (4) dobijamo:

Poto se radi o rotaciji oko ose z, tada su sve inercijalne sile okomite na tu osu, pa moemo rei da je , odakle iz izraza (7) slijedi: Odrediti emo pojedine projekcije glavnog vektora inercijalnih sila u izrazima (5) i (6):

Uvrtavanjem izraza (9) u (5) i (10) u (6), dobija se:

Pretpostaviti emo da je sistem x,y,z kruto vezan za tijelo i da se sa njim obre, tako da u tom sluaju veliine imaju konstantne vrijednosti.Iskoristiti emo i drugu osnovnu jednainu Dalamberovog principa za sistem:

Izraz (13) emo projektovati na pojedine ose:

Poto je suma momenata svih statikih sila za pojedine ose jednaka nuli, iz posljednja tri izraza emo dobiti:

Iz sistema jednaina (11), (12), (17), (18) moemo odrediti 4 nepoznate reakcije .

Dinamiko uravnoteenje masa pri rotaciji tijela oko stalne oseOd velikog praktinog znaaja jeste analiza mogunosti da pri rotaciji tijela oko stalne ose dinamike reakcije budu jednake nuli. Poi emo od izraza (11), (12), (17), (18) iz prethodnog poglavlja:

Postaviti emo uslove: Izrazi od (1) do (4) postaju:

Izrazi (6) i (7) e biti zadovoljeni za bilo koliko za .To znai da je za dinamiko uravnoteenje masa potrebno da centar inercije tijela lei na osi rotacije. Uslovi (10) i (11) predstavljaju statike uslove uravnoteenja masa. Izrazi (8) i (9) e biti zadovoljeni za bilo koliko ako je To znai da osa rotacije z mora biti glavna osa inercije. Uslovi (12) i (13) predstavljaju dinamike uslove uravnoteenja masa. Ukoliko na tijelu koje rotira oko stalne ose nisu zadovoljeni statiki i dinamiki uslovi uravnoteenja, tada to moemo postii, izmeu ostalog, dodavanjem koncentrisanih masa tom tijelu. Npr. ako dodajemo dvije mase tada bi se morali zadovoljiti uslovi:

Gdje je U ovom sluaju bismo usvojili 4 nepoznate veliine, a ostale 4 izraunali iz sistema od (14) do (17).PRINCIP MOGUIH POMJERANJAMogue (virtualno) pomjeranje je beskonano malo pomjeranje sistema kojeg dozvoljavaju veze kojim je taj sistem podvrgnut. Sistem moe imati onoliko moguih pomjeranja koliki je i broj stepeni slobode kretanja tijela. Na sljedeim slikama su prikazani primjeri moguih pomjeranja. LAGRANGEOV PRINCIP MOGUIH POMJERANJA (OPTA JEDNAINA STATIKE)Neka se sistem nalazi u ravnotei, tada su u ravnotei sve njegove take. Tada za proizvoljnu taku sistema moemo postaviti uslov:

Pretpostaviti emo da smo taki saoptili virtualno pomjeranje :Izraz (1) emo skalarno pomnoiti sa :

Ako izraz (2) postavimo za sve take sistema i tako dobijene izraze saberemo:

Izraz (3), odnosno (4) predstavlja Lagrangeov princip moguih pomjeranja, odnosno opta jednaina statike, iz kojeg se vidi da je u sluaju mirovanja tijela suma radova svih aktivnih i reaktivnih sila tijela na nekom moguem pomjeranju jednaka nuli. LAGRANGEOV PRINCIP MOGUIH POMJERANJA (OPTA JEDNAINA DINAMIKE)Neka se sistem kree pod djelovanjem konstantne sile, tada se za neku taku sistema moe napisati :

Pretpostaviti emo da smo sistemu saoptili neko virtualno pomjeranje pri emu e se taka pomjeriti za :

Ako izraz (2) postavimo za sve take sistema i tako dobijene izraze saberemo, dobiti emo:

Izraz (3), odnosno (4) predstavlja Lagrange Dalamberov princip moguih pomjeranja (opta jednaina dinamike) iz kojeg se vidi da pri kretanju tijela, suma radova svih aktivnih, reaktivnih i inercijalnih sila na nekom moguem pomjeranju je jednaka nuli.